Е. М. Четыркин финансовая математика
 Скачать 4.63 Mb.
|
|
Глава 1 ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ §1.1. Финансовая математика — основа количественного анализа финансовых операций Любая финансово-кредитная операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвующие стороны. К таким условиям относятся следующие количественные данные: денежные суммы, временные параметры, процентные ставки и некоторе другие дополнительные величины. Каждая из перечисленных характеристик может быть представлена самым различным образом. Например, платежи могут быть единовременными (разовыми) или в рассрочку, постоянными или переменными во времени. Существует более десятка видов процентных ставок и методов начисления процентов. Время устанавливается в виде фиксированных сроков платежей, интервалов поступлений доходов, моментов погашения задолженности и т.д. В рамках одной финансовой операции перечисленные показатели образуют некоторую взаимоувязанную систему, подчиненную соответствующей логике. В связи со множественностью параметров такой системы конечные конкретные результаты (кроме элементарных ситуаций) часто неочевидны. Более того, изменение значения даже одной величины в системе в большей или меньшей мере, но обязательно, скажется на результатах соответствующей операции. Отсюда с очевидностью следует, что такие системы могут и должны являться объектом приложения количественного финансового анализа. Проверенные практикой методы этого анализа и составляют предмет финансовой математики (ФМ). Количественный финансовый анализ предназначен для решения разнообразных задач. Эти задачи можно разделить на две большие группы: традиционные или "классические", и но- п вые, нетрадиционные, постановка и интенсивная разработка которых наблюдается в последние два—три десятилетия. Разумеется, такое деление условно. То, что было новым словом, скажем, еще десять лет назад, часто оказывается рутинным сегодня и должно рассматриваться в ФМ. Количественный финансовый анализ применяется как в условиях определенности, так и неопределенности. В первом случае предполагается, что данные для анализа заранее известны и фиксированы. Например, при выпуске обычных облигаций однозначно оговариваются все параметры — срок, купонная доходность, порядок выкупа. Анализ заметно усложняется, когда приходится учитывать неопределенность — динамику денежного рынка (уровень процентной ставки, колебания валютного курса и т.д.), поведение контрагента. Для того чтобы в первом приближении представить себе предмет ФМ, приведем постановку одной простейшей задачи. Пусть от одновременной инвестиции в размере Dмлн руб. ожидается следующая отдача: через 3 мес. А млн руб., через 8 мес. В млн руб. и далее в течение двух лет ежемесячно по С млн руб. Какова доходность инвестиции, выраженная в виде годовой сложной процентной ставки? Рамки ФМ достаточно широки — от элементарных начислений процентов до относительно сложных расчетов, например оценки влияния различных факторов на эффективность выпуска облигаций или методов сокращения риска путем диверсификации портфеля финансовых инвестиций и т.д. К основным задачам ФМ относятся:
Разумеется, данный перечень не является исчерпывающим. Современная практика ставит новые задачи. К числу последних, например, относится оптимизация портфеля активов и, что более интересно, оптимизация по какому-либо критерию портфеля задолженности. 12 Свидетельством важности дальнейшего развития количественного финансового анализа служит тот факт, что несколько последних Нобелевских премий по экономике присуждены за работы именно в этой области знания. Знание методов, применяемых в ФМ, необходимо при непосредственной работе в любой сфере финансов и кредита, в том числе и на этапе разработки условий контрактов. Нельзя обойтись без них при финансовом проектировании, а также при сравнении и выборе долгосрочных инвестиционных проектов. Финансовые вычисления являются необходимой составляющей расчетов в долгосрочном личном страховании, например проектировании и анализе состояния пенсионных фондов (расчет тарифов, оценка способности фондов выполнить свои обязательства перед пенсионерами и т.д.), долгосрочном медицинском страховании. Область приложения методов количественного анализа финансовых операций последовательно расширяется. Кратко проследим этапы развития. Есть свидетельства того, что на заре цивилизации (Мессопотамия) уже применялось начисление процентов в простых ссудных операциях. В прошлом веке и первой половине нынешнего столетия анализ в основном был нацелен на операции, предполагающие выплаты регулярных последовательностей платежей — финансовых рент. В наше время преобладающим объектом являются потоки платежей. В последнее десятилетие большое внимание уделяется портфелям финансовых инвестиций и задолженности. Очевидно, что во всех случаях переход к новым объектам анализа связан с созданием адекватных методик. Научно-технический прогресс не мог не затронуть такой важной области экономики, как финансово-кредитные отношения. Многие новшества здесь прямо или косвенно связаны с компьютеризацией финансово-банковской деятельности. Возможности компъютеризации и достижения в ряде областей знания (системный анализ, информатика, экспертные системы, статистическое моделирование, линейное и нелинейное программирование и прочее) позволили заметно осовременить как технологию финансово-банковского дела, так и применяемый в количественном финансовом анализе, в том числе ФМ, аналитический аппарат. В связи со сказанным можно указать на заметное усовершенствование методик применительно к традиционным объектам финансового анализа. Примером может служить разработка системы показателей 13 эффективности производственных инвестиций, внедряемых в практику в последнее десятилетие, создание аналитических характеристик для традиционных финансовых инструментов и их портфелей и др. Возникла возможность по-новому взглянуть на содержание финансово-кредитных операций и предложить клиентам новые виды услуг, выходящие за рамки традиционных. К таким новшествам, в частности, относятся новые инструменты денежно-кредитного рынка — опционы, свопы, соглашения о будущей процентной ставке и т.п. Лизинг в его современном виде также начал применяться не так уж давно. Внедрение указанных новшеств в практику сопровождалось развитием соответствующих методов количественного анализа. Отметим, что в последнее время созданы новые технологии, совершенствующие саму финансово-кредитную деятельность. Такие технологии, как правило, содержат в качестве одной из важных составляющих тот или иной метод ФМ. В качестве примера такого новшества нельзя не указать на экспертные системы. Экспертная система кратко может быть определена как автоматизированная система, способная имитировать мышление специалиста и принимать решение в определенной узкой деятельности человека. Основное отличие экспертной системы от обычной автоматизированной системы обработки информации состоит в наличии развитого логического аппарата в виде набора правил "если ..., то ...". Правила формулируются и вводятся в систему непосредственно высококласными экспертами или с помощью самообучения системы путем множественных прогонов на ЭВМ реальных ситуаций. Для иллюстрации укажем на экспертную систему, разработанную в Окобанке (Финляндия). Эта система предназначена для принятия решений о предоставлении частными банками субсидированных государством сельскохозяйственных кредитов. При наличии множества видов кредитования фермеров и более 3 тыс. правил и условий их выдачи (пример простейшего правила: кредит открывают лицам не моложе 18 и не старше 60 лет) решение о кредитовании, включая правомерность его предоставления, размер, срок, продолжительность льготного периода, оказывалось весьма трудоемким. Применение экспертной системы позволило многократно сократить время принятия решений. 14 §1.2. Время как фактор в финансовых расчетах В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения так или иначе, но обязательно, связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Вне времени нет денег. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже и большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования, кредитования и инвестирования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-valueofmoney), или в другой формулировке — принципе изменения ценности денег во времени. Интуитивно понятно, что 1000 рублей, полученные через 5 лет, не равноценны этой же сумме, поступившей сегодня, даже, если не принимать во внимание инфляцию и риск их неполучения. Здесь, вероятно, вполне уместен известный афоризм "Время — Деньги". Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине разновременных сумм связана прежде всего с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход в свою очередь реинвестируется и т.д. Если сегодняшние деньги, в силу сказанного, ценнее будущих, то, соответственно, будущие поступления менее ценны, чем более близкие при равных их суммах. Приведем иллюстрацию. В свое время газеты сообщали, что американская компания "Юнион Карбайд", на химическом заводе которой в Индии произошла крупная авария, предложила в качестве компенсации выплатить пострадавшим в течение 35 лет 200 млн долл. (индийская сторона отклонила это предложение). Воспользуемся этими данными для демонстрации влияния фактора времени. Определим сумму денег, которую необходимо положить в банк, скажем, под 10% годовых для того, чтобы полностью обеспечить последовательную выплату 200 млн долл. Оказывается, для этого достаточно выделить всего 57,5 млн долл. Иначе говоря, 57,5 млн долл., выплаченных сегодня, равнозначны (эквивалентны) 200 млн долл., погашаемых ежемесячно в равных долях на протяжении 35 лет. Влияние фактора времени многократно усиливается, как мы знаем из собственного житейского опыта, в период инфляции. Этот фактор часто лежит в основе явного или скрытого мошен- 15 ничества и недобросовестности. Достаточно в связи с этим упомянуть о случаях, когда "продавец" получал деньги в качестве предоплаты за товар, который он и не собирался поставить. Обесцененные деньги через некоторый срок возвращались покупателю. Очевидным следствием принципа изменения ценности денег во времени является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени, особенно при принятии решений финансового порядка. Однако такое суммирование вполне допустимо там, где фактор времени не имеет принципиального значения. Например, в бухгалтерском учете для получения итогов по периодам и в финансовом контроле, но, повторяем, не при принятии финансовых решений долгосрочного характера. Неправомерно также и непосредственное сравнение разновременных денежных величин. Их сравнение допустимо только при "приведении" таких сумм к одному моменту времени. Способы приведения обсуждаются ниже для разных вариантов производства платежей. Не менее важным в финансовом анализе является принцип финансовой эквивалентности. Под последним понимается равенство (эквивалентность) финансовых обязательств сторон, участвующих в операции. Ограничимся двумя иллюстрациями. Покупатель облигации оплачивает ее рыночную цену, а эмитент обязуется периодически выплачивать ему купонный доход и вернуть в конце срока сумму, равную номиналу облигации. Страхователь оплачивает стоимость страхования, а страховщик обязуется выплатить ему страховую сумму, но только при наступлении страхового события. В отличие от первого примера, где платежи обеих сторон безусловны, здесь платеж страховщика имеет вероятностный характер. Принцип эквивалентности позволяет изменять условия контрактов без нарушения принятых обязательств (поэтому в старой финансовой литературе этот принцип назывался условием безобидности). Согласно ему можно изменять уровень процентных ставок, их вид, сроки исполнения обязательств, распределение платежей во времени и т.д. (разумеется, с согласия контрагента) в рамках одной операции, не нарушая взаимной ответственности. На этом принципе, как будет показано ниже, основаны решения многих проблем, с которыми мы познакомимся ниже. Оба указанных выше принципа не могут быть реализованы без того или иного способа наращения процентов или дисконтирования с применением какого-либо вида процентной ставки. 16 §1.3. Проценты, виды процентных ставок Проценты. Под процентными деньгами или, кратко, процентами (interest), понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т.д. Какой бы вид или происхождение ни имели проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент. Практика получения процентов за выданные в долг деньги существовала задолго до нашей эры. Например, в Древней Греции взимали от 10 до 36 % суммы долга в год. В "Русской Правде" годовой рост на занятый капитал определялся в 40%. При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки. Под процентной ставкой (rateofinterest) понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме долга. Процентная ставка — один из важнейших элементов коммерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Она измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби (в последнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до 1/16 или 1/32) или в процентах. При выполнении расчетов процентные ставки обычно измеряются в десятичных дробях. Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления (runningperiod), его не следует путать со сроком начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками. Проценты согласно договоренности между кредитором и заемщиком выплачиваются по мере их начисления или присоединяются к основной сумме долга (капитализация процентов). Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением, или ростом, этой суммы. Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении — от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьшается на величину соответствующего дисконта (скидки). Такой способ называют дисконтированием (сокращением,). Размер процентной ставки зависит от ряда как объективных, так и су&ьективных факторов, а именно: общего состояния эко- 17 номики, в том числе денежно-кредитного рынка; кратковременных и долгосрочных ожиданияй его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита; особенностей заемщика (его надежности) и кредитора, истории их предыдущих отношений и т. д. В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле — как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирования денежных средств и процесс их наращения. В старой русской финансовой литературе такую ставку называли ставка помещения. Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд признаков, по которым различаются процентные ставки. Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые, во втором — сложные процентные ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты. Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения (interestbaserate) и дисконтные, или учетные, ставки (discountbaserate). В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными. (В России этим понятиям соответствовали проценты "на 100" и "со 100"). Далее декурсивные проценты в большинстве случаев будем называть просто процентами. Пока ограничимся этими сведениями. Подробную характеристику упомянутых ставок отложим до параграфов, в которых обсуждаются конкретные методики их применения в финансовых расчетах. Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указываются их размеры) или плавающими (floating). В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней — мap- is жи. Классическим примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка Л И БОР (LIBOR: Londoninterbankofferedrate). В России применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИ БОР. Размер маржи определяется рядом условий, в частности финансовым положением заемщика, сроком кредита и т.д. Он может быть постоянным на протяжении срока ссудной операции или переменным. Важное место в системе процентных ставок занимает ставка рефинансирования Центрального Банка России — ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам. Добавим, что при последовательном погашении задолженности возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга. По второму способу простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения. Последний способ применяется в потребительском кредите и в некоторых других (правда, редких) случаях. В практических расчетах применяют так называемые дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные интервалы времени (год, полугодие и т.д.). Иначе говоря, время рассматривается как дискретная переменная. В некоторых случаях — в доказательствах и аналитических финансовых расчетах, связанных с процессами, которые можно рассматривать как непрерывные, в общих теоретических разработках и значительно реже на практике — возникает необходимость в применении непрерывных процентов (continuousinterest), когда наращение или дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени. В подобных ситуациях применяют специальные непрерывные процентные ставки. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
|