Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 14 из 58

§10.1. Полная доходность

Доходы от финансово-кредитных операций и различных коммерческих сделок имеют различную форму: проценты от выдачи ссуд, комиссионные, дисконт при учете векселей, дохо­ды от облигаций и других ценных бумаг и т.д. Само понятие "доход" определяется конкретным содержанием операции. Причем в одной операции часто предусматривается два, а то и три источника дохода. Например, ссуда приносит кредитору проценты и комиссионные, владелец облигации помимо про­центов (поступлений по купонам) получает разницу между вы­купной ценой облигации и ценой ее приобретения. В связи со сказанным возникает проблема измерения доходности опера­ции с учетом всех источников поступлений. Обобщенная хара­ктеристика доходности должна быть сопоставимой и примени­ма к любым видам операций и ценных бумаг. Обычно степень финансовой эффективности (доходности) этих операций изме­ряется в виде годовой ставки процентов — чаще сложных, ре­же простых. Искомые показатели получают исходя из общего принципа — все вложения и доходы с учетом конкретного их ви­да условно приравниваются эквивалентной (равнодоходной) ссуд­ной операции.

Решение проблемы измерения и сравнения степени доход­ности финансово-кредитных операций заключается в разработ­ке методик расчета условной годовой ставки для каждого вида операций с учетом особенностей соответствующих контрактов и условий их выполнения. Такие операции различаются между собой во многих отношениях. Эти различия на первый взгляд могут и не представляться существенными, однако практически все условия операции в большей или меньшей мере влияют на конечные результаты — финансовую эффективность.

209

Расчетная процентная ставка, о которой идет речь, получила различные названия. В простых депозитных и ссудных операци­ях она называется эффективной, в расчетах по оценке облигаций ее часто называют полной доходностью, или доходностью на мо­мент погашения, доходностью к погашению {yield to maturity). В анализе производственных инвестиций для аналогичного по со­держанию показателя применяется термин внутренняя норма до-ходности, или внутренняя норма процента (internal rate of return, IRR). Этот термин в настоящее время широко распространен за рубежом и вне рамок производственных инвестиций — его час­то применяют в коммерческой и банковской практике. Свое на­звание данный показатель, по-видимому, получил в связи с тем, что он адекватен всем условиям инвестиционного проекта в со­вокупности и непосредственно не фигурирует в контрактах. На наш взгляд, этот термин не вписывается в принятую у нас тер­минологию. Поэтому в дальнейшем во всех случаях, кроме ана­лиза производственных инвестиций, будем называть соответст­вующую годовую ставку полной доходностью (ПД).

Итак, под ПД понимают ту расчетную ставку процента, при которой капитализация всех видов доходов от операции равна сумме инвестиций и, следовательно, капиталовложения окупа­ются, иначе говоря, начисление процентов на вложения по ставке, равной ПД, обеспечит выплату всех предусмотренных платежей. Применительно к облигации это означает равенство цены приобретения облигации сумме дисконтированных по ПД купонных платежей и выкупной цены; для ссудной операции — равенство действительной суммы кредита (т.е. кредит за выче­том комиссионных) сумме дисконтированных поступлений (процентов и погашений долга). Чем выше ПД, тем больше эф­фективность операции. При неблагоприятных условиях ПД мо­жет быть нулевой или даже отрицательной величиной. Показа­тель ПД является не только измерителем доходности операции для кредитора, но и характеризует цену кредита для должника. Следует отметить, что при получении кредита должник может нести какие-либо дополнительные разовые расходы, которые увеличат цену кредита, но оставят без изменения доходность кредитной операции для владельца денег.

Основное внимание в главе уделено проблеме оценки ПД для конкретных видов финансовых операций и анализу факто­ров, влияющих на этот показатель. Кроме того, здесь обсужда­ются методы сравнения контрактов, предусматривающих кре­дитование.

210

В западной финансовой литературе предполагается множе­ство формул для расчета показателей ПД, причем исходные посылки для их построения обычно даже не обсуждаются. Можно показать, что все подобного рода формулы базируют­ся на равенстве, которое назовем балансом финансовой опера­ции или уравнением эквивалентности. С уравнением эквива­лентности мы уже встречались в гл. 4 (см. § 4.3). Обсуждение методов оценки показателей доходности для разных видов ссудно-кредитных операций начнем с рассмотрения этого уравнения.

§10.2. Уравнение эквивалентности

Необходимым условием финансовой или кредитной опера­ции в любом ее виде (ссуда, депозит, заем, инвестиции в про­изводственный проект и т.д.) является сбалансированность вло­жений и отдачи. На этом требовании базируются все рассмот­ренные выше методы планирования погашения задолженности. Посмотрим теперь на проблему сбалансированности с более об­щей, теоретической точки зрения, не отвлекаясь на техниче­ские детали расчета сумм обслуживания долга и ее компонент.

Для этого вернемся к графику, который был назван в гл. 2 контуром операции. Напомним, что контур позволяет составить уравнение, эквивалентности, балансирующее вложение средств и отдачу от них. Для случая, показанного на рис. 10.1, получим следующие размеры задолженности после уплаты Л, и Л₂:

где D₀— размер кредита, (f = (1 + /)' — множитель наращения, / — ставка процентов по кредиту.

	я,		я2
I >	г__	>	г У	«3
*1		_!l	'э >	Г

Рис. 10.1

211

Очевидно, что баланс кредита и погасительных платежей имеет место в том случае, когда последний платеж замыкает контур. В нашем примере полная сбалансированность означает

D₂q^h- /?₃ - 0.

Определим D₂через D₀и подставим полученный результат в уравнение эквивалентности:

f(A>-Д^-лЛ^-Яз-О

Уравнение становится весьма громоздким, если число вре­менных интервалов больше трех. Поэтому преобразуем найден­ное выражение, после чего

^о/-(Л1?^/2+/з + Л2^³+Лз)-0, (10.1)

где Г=2/_у.

Найденное уравнение для нас ценно прежде всего в методо­логическом плане. Здесь ясно показано, что кредитная опера­ция при применении сложных процентов может быть расчлене­на без какой-либо потери точности на два как бы встречных процесса: наращение первоначальной задолженности за весь период и наращение погасительных платежей за срок от момен­та платежа и до конца срока операции. Назовем такой подход методом "встречных операций". В ряде случаев он существен­но упрощает доказательства, ив дальнейшем мы неоднократно будем его применять.

Умножим (10.1) на дисконтный множитель v^r, получим

A)-(*,v" + *₂v'^,+'² + *₃v^r) -0.

Иначе говоря, сумма современных величин погасительных платежей на момент выдачи кредита равна при полной сбалан­сированности платежей сумме этого кредита. Это положение уже применялось нами, правда, на интуитивном уровне, при планировании погашения задолженности.

Обобщим (ЮЛ) для случая с п погасительными платежами

A)/-2*y/^;-0,y=l,2, ...,ai,

212

где Tj — время от момента платежа Rj до конца срока.

При написании уравнения эквивалентности предполагалось, что процентная ставка постоянна на всем протяжении опера­ции. Принципиально ничего не меняется, если значение став­ки изменяется во времени. Допустим, что изменение происхо­дит на каждом шаге. Тогда можно записать

где Г,- J/_ft, Г₂- £/*....

к-2*-3

Уравнения эквивалентности, о которых только что шла речь, позволяют решить несколько важных в практическом отноше­нии задач, а именно: измерить доходность от операции и рас­пределить получаемый доход по их источникам и периодам, предусматриваемым условиями контракта, или по календарным отрезкам времени. Для этого, однако, надо разработать уравне­ния, в которых наращение (или дисконтирование) производит­ся по неизвестной ставке, характеризующей полную доход­ность. Именно таким путем определяются эти величины в сле­дующих параграфах.

§10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссионных

Ссудные операции. Доходность ссудных операций (без учета комиссионных) измеряется с помощью эквивалентной годовой ставки сложных процентов (см. § 4.2). За открытие кредита, учет векселей и другие операции кредитор часто взимает комис­сионные, которые заметно повышают доходность операций, так как сумма фактически выданной ссуды сокращается.

Пусть ссуда в размере D выдана на срок л. При ее выдаче удерживаются комиссионные за операцию (G). Фактически вы­данная ссуда равна D — G Пусть для начала сделка предусмат­ривает начисление простых процентов по ставке /. При опреде­лении доходности этой операции в виде годовой ставки слож­ных процентов /_э исходя из того, что наращение величины D — — G по этой ставке должно дать тот же результат, что и нара­щение D по ставке /. Разумеется, уменьшение фактической сум­мы кредита связано не только с удержанием комиссионных.

213

Однако для краткости любое удержание денег, сделанное в пользу кредитора, будем в этой главе называть комиссионными. По определению уравнение эквивалентности запишем в виде

(/)- С)(1 + /_э)"=/)(1 + ш).

Графическое изображение данной сделки (контур) показано на рис. 10.2.

Пусть D — G = D{\ — g), где g — относительная величина ко­миссионных в сумме кредита, тогда

\ 1 + nl

/, - 1\

-1.

(Ю.2)

При определении степени корня будем полагать, что времен­ная база всегда равна 365 дням. Полученный показатель доход­ности можно интерпретировать как скорректированную цену кредита.

Ставка /_э не фигурирует в условиях операции, она полностью определяется ставкой процента и относительной величиной ко­миссионных при заданном сроке сделки. Предположим, что не­обходимо охарактеризовать доходность в виде ставки простых процентов /_эп. В этом случае на основе соответствующего урав­нения эквивалентности находим

1 + ni
С = — : 1.

(1-*)"

(Ю.З)




о,

0(1 +w)

D-G

Рис. 10.2

ПРИМЕР 10.1. При выдаче ссуды на 180 дней под 8% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5% суммы кре­дита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? По формуле (10.2) находим

214

		-1-0,0927, или 9,27%.
/' * 180/365 1	L±llx0.08 365
	1-М 100

Если ссуда выдается под сложные проценты, то исходное уравнение для определения /_э имеет вид

(D- G)(l + /_э)" = D{\ + /)".

Следовательно,

^{, + /} -1. (10.4)

_"ч/Ы

ПРИМЕР 10.2. В какой мере удержание комиссионных из расче­та 1% суммы кредита увеличивает эффективность ссуды для кре­дитора при пяти- и десятилетнем сроке? Находим

-7-J 1 - 0,002, или 0,2%; --7=! -1 - 0,001, или 0,1%.

Vl-0,01 4/1-0,01

Учетные операции. Если доход извлекается из операции уче­та по простой учетной ставке, то эффективность сделки без удержания комиссионных определяется по формуле эквива­лентной ставки (4.22). При удержании комиссионных и дис­конта заемщик получает сумму D - Dd - G или Д1 - nd - g). Напомним, что (/означает простую учетную ставку, a g — отно­сительную величину комиссионных в сумме кредита. Уравне­ние эквивалентности в данном случае имеет вид

D(\ -nd-g)(\ + /_э)" = D. Отсюда

Ит^Ьт-^{1, <10}-⁵⁾

где п — срок, определяемый при учете долгового обязательства.

215

Для полного показателя доходности в виде простой ставки

/_эп находим

i-d-j,-»-'- <'°-^б>

ПРИМЕР 10.3. Вексель учтен по ставке d = 10% за 160 дней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,5%. Доходность операции согласно (10.5) при условии, что временная база учета 360 дней, составит

^-Цо.1-0.005 Эффективность без удержания комиссионных — 10,8%.

Во всех рассмотренных случаях искомая ставка /_э представ­ляет собой частный случай упомянутой выше ПД. Заметим, что влияние комиссионных на /_э уменьшается по мере увеличения срока сделки.

Удержание комиссионных — не единственная возможность изменения фактической суммы инвестиций по сравнению с но­миналом. В практике возможны случаи, когда инвестор несет дополнительные расходы, например, приобретая опцион на право купить ценную бумагу. Такие расходы, очевидно, фор­мально можно рассматривать как комиссионные с обратным знаком (—G) и для расчета применять полученные выше фор­мулы (10.2)—(10.6).

§10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов

Краткосрочные финансовые инструменты денежно-кредит­ного рынка — векселя, тратты, различные депозитные сертифи­каты и т.д. — могут быть проданы до наступления срока их оп­латы. Владелец при этом получает некоторый доход, а в небла­гоприятных условиях несет убытки.

Покупка и продажа векселя (простая учетная ставка). Если ве­ксель или другой вид долгового обязательства через некоторое

216

время после его покупки и до наступления срока погашения продан, то эффективность этой операции можно измерить с по­мощью ставок простых или сложных процентов. Финансовая результативность операции здесь связана с разностью цен куп­ли-продажи, которые в свою очередь определяются сроками этих актов до погашения векселя и уровнем учетных ставок. Покажем это. Пусть номинал векселя равен S руб. Он был ку­плен (учтен) по учетной ставке d_xза д, дней до наступления срока.

Цена в момент покупки составила

P,-S

'|-7}Ч1.

где К — временная база учета.

За д₂дней до погашения вексель был продан с дисконтиро-

ванием по ставке d₂

Р₂ = S

1*4

Инвестиции в начале операции составили, таким образом, Р_хруб., отдача от них равна Р₂руб. Операция продолжалась д_{- д₂дней.

Для простой ставки /_эп получим следующее уравнение экви­валентности:

11-; I ₌

к

дг Э-з

^pi ¹⁺-"т-Чп ^=/V (Ю.7)

Отсюда доходность купли-продажи векселя (в виде ставки простых процентов)

Л " Л К

_{±-^1Г*т=г-<}¹⁰_-⁸_>

1-М,/*
Выразив Р_{и Р₂через определяющие эти величины параме­тры, находим

(10.9)

_{. -—,1-*}

эп

^д1 ^д2

217

Для того чтобы операция не была убыточной, необходимо, чтобы

d₂d₂< d_xd_xили Р_х < Р_т

Аналогично поступают и при использовании в качестве ме­ры эффективности годовой сложной ставки. В этом случае, по­лагая К = 365, на основе уравнения эквивалентности

Л(и/_э)^(Л'-^а2)/365-/»:

получим

р

365/(з,-а₂)

/э-1^-1 -1- (ю.ю)

Заметим, что уравнения (10.10) и сходное (10.9) пригодны для оценки /_э или /_эп в ситуациях, когда речь идет о купле-про­даже финансового инструмента (приносящего доход в любой форме) и известны цены и длительность владения (holding peri­od).

Заменив в формуле (10.10) Р₂и Р_{на адекватные выражения, находим

X-W) _,. (10.11)

К - d|*/|

ПРИМЕР 10.4. Вексель куплен за 167 дней до его погашения, учетная ставка — 6%. Через 40 дней его реализовали по учетной ставке 5,75%. Эффективность, измеренная в виде простой годо­вой ставки процентов (временная база учета К= 360, база нара­щения К= 365), составит согласно (10.9):

( 127 \

«-««•

^5-о,07оа

40

Эффективность операции, измеренная в виде эквивалентной ставки сложных процентов, равна:

40 \ 365/40

'^{э =} 1^{1 +} !б5 ^Х °^,07°⁸ " ^{1 = 0,}°⁷³¹ *

218

Эту же величину получим и непосредственно по формуле (10.11):

- 1 =0,0731.

360- 127 х 0,0575 \³⁶⁵/⁴⁰

360 - 167 х 0,06

Продолжим пример. Определим допустимый предел для учет­ной ставки, применимой при продаже векселя (d₂). Находим, что для того, чтобы операция купли-продажи векселя принесла неко­торый доход, учетная ставка d₂должна быть меньше, чем

167

х 0,06 = 0,07889.

127

Покупка и продажа финансовых инструментов, приносящих простые проценты. Если депозитный сертификат или другой по­добного рода краткосрочный инструмент через некоторое вре­мя после его покупки и до наступления срока погашения вновь продан, то эффективность (доходность) такой операции можно измерить в виде ставки простых или сложных процентов. Фи­нансовая эффективность такой операции зависит от сроков ак­тов купли-продажи до погашения инструмента, цен или про­центных ставок, существующих на денежном рынке в моменты покупки и продажи.

Несколько слов о депозитных сертификатах. Они, как из­вестно, выпускаются банками как кратко-, так и среднесрочные финансовые инструменты, продаются эмитентом в момент вы­пуска по номиналу (at par) и предусматривают в качестве дохо­да выплату процентов, начисляемых по простым или сложным ставкам. Проценты чаще всего выплачиваются один раз в кон­це срока. В случае досрочной продажи сертификата эмитенту иногда предусматриваются штрафные санкции. Например, удержание процентов за один-три месяца. Сертификаты явля­ются объектом инвестиций и обычно могут быть проданы на рынке ценных бумаг.

Сертификат обеспечивает владельцу доходность на уровне объявленной процентной ставки в том случае, когда сертифи­кат находится у владельца полный срок. Иное дело, если этот финансовый инструмент продается на рынке ценных бумаг по рыночной цене.

Обратимся к наиболее распространенному виду сертификата — с разовой выплатой процентов — и рассмотрим три возмож-

219

ных варианта операции купли-продажи этого инструмента по срокам:

а) покупается по номиналу, продается за д₂дней до погаше­
ния;

б) покупается после выпуска и погашается в конце срока;

в) покупается и продается в пределах объявленного срока.

Для варианта а получим знакомое равенство (10.7):

л i +

д, дч

*'эп| ^{= />}2-

Однако символы здесь имеют другое содержание, а именно: Р_х— номинал, Р₂— цена при продаже (определяется рыночной ставкой процента), д,, д₂— сроки до погашения.

Доходность владения сертификатом в течение д_{— д₂дней определяется формулой (10.8), если расчет исходит из цен сер­тификата. Если же в качестве исходных параметров берутся процентные ставки #, и /₂ (/, — объявленная ставка сертифика­та, /₂ — ставка рынка в момент продажи), то

1 «i .

-1

d, -d₂

(10.12)

В случае когда измерителем эффективности выступает слож­ная процентная ставка и заданы цены, получим формулу, ана­логичную (10.10). Наконец, если расчет основан на уровнях процентных ставок, то

U + *2'*2 J

(10.13)

Отметим, что доходность операции имеет место только в том случае, когда d_{i_{>d₂i₂.Предельное значение ставки /', при ко­тором инвестор получит доход, равно

/, <

в|/

220

Перейдем теперь к варианту б. Здесь справедливо равенство

_{' = л(1} ⁺ _4ы

-^

^л-1 I = Р11 +

AI +

где Р_х— номинал, Р₂— цена приобретения, / — объявленная процентная ставка.

Время

Контур операции для данного уравнения приведен на рис. 10.3. s

Рис. 10.3

Из приведенного выше равенства получим значение /_эп при заданной величине Р₂:

1 ^д\ • ! + -£'■

-1

(10.14)

Если в качестве измерителя эффективности принята ставка сложных процентов, то


ЛИ + 4/
л.

К

-1.

(10.15)

Рассмотрим вариант в. Здесь покупка производится спустя некоторое время после выпуска сертификата, а его продажа — до момента погашения. В этом случае опять приходим к урав­нению (10.7), в котором Р_{означает цену приобретения (а не номинал). Отсюда для расчета /_эп и /_э пригодны формулы (10.8M10.il).

221

ПРИМЕР 10.5. Операция заключается в покупке сертификата за 1020 тыс. руб. за 160 дней до его выкупа. Инструмент был про­дан за 1060 тыс. руб. через 90 дней. Какова доходность опера­ции, измеренная в виде простой и сложной ставок? Исходные данные Р, = 1020, Р₂= 1060, д^ = 160, д₂= 70, д₁ - д₂= 90.

Пусть временная база простых процентов равна 365 дням, то­гда по формуле (10.8) находим

1060 - 1020 365

90

1020

х -тт = 0,159, или 15,9%.

Эквивалентная сложная ставка равна

1 +

90 365

х 0,159

365/90

- 1 =0,169, или 16,9%.

Величину /_э можно определить и непосредственно по формуле (10.10):

'э =

1060

1020

365/90

- 1 =0,169.

ПРИМЕР 10.6. Финансовый инструмент, приносящий постоян­ный процент, куплен за 200 дней до срока его погашения и про­дан через 100 дней. В момент покупки процентная ставка на рын­ке была равна 10%, в момент продажи — 9,8%. Доходность опе­рации купли-продажи в виде годовой ставки сложных процентов равна согласно (10.13)

_ 365 + 200x0,1 ^365/ioo '^э " I 365 + 100 х 0,098

- 1 =0,103, или 10,3%.

ПРИМЕР 10.7. Сертификат с номиналом 100 тыс. руб. с объяв­ленной доходностью 12% годовых (простые проценты) сроком 720 дней куплен за 110 тыс. руб. за 240 дней до его оплаты. Ка­кова доходность инвестиций в виде /_э?

Если К= 360 дней, то по формуле (10.15) получим

100-

720 1 +—-х0,12 360

110

365/240

- 1 =0,19985, или 19,985%.

222