Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 12 из 58

Глава 9

ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛЖЕННОСТИ

§9.1. Расходы по обслуживанию долга

Можно выделить, по крайней мере, три цели для количест­венного анализа долгосрочной задолженности (далее для крат­кости любой вид долгосрочного долга будем называть займом или долгом):

• 
  разработка плана погашения займа, адекватного условиям финансового соглашения;
  
• 
  оценка стоимости долга с учетом всех поступлений для его погашения и состояния денежного рынка на момент оценивания;
  
• 
  анализ эффективности (доходности) финансовой опера­ции для кредитора.
  

Основное внимание в данной главе уделяется первой из по­ставленных задач. Остальные проблемы, в том числе связанные с облигационными займами, обсуждаются в следующих главах.

Разработка плана погашения займа заключается в составле­нии графика (расписания) периодических платежей должника. Такие расходы должника обычно называют расходами по обслу­живанию долга (debt service) или, более кратко, срочными упла­тами, расходами по займу. Расходы по обслуживанию долга включают как текущие процентные платежи, так и средства, предназначенные для погашения основного долга.

Методы определения размера срочных уплат существенно зависят от условий погашения долга, которые предусматривают: срок займа, продолжительность льготного периода (grace period), уровень и вид процентной ставки, методы уплаты процентов и способы погашения основной суммы долга. В льготном перио­де основной долг не погашается, обычно выплачиваются про­центы. Впрочем, не исключается возможность присоединения процентов к сумме основного долга.

184

В долгосрочных займах проценты обычно выплачиваются на протяжении всего срока займа. Значительно реже они начисля­ются и присоединяются к основной сумме долга. Основная сумма долга иногда погашается одним платежом, чаще она вы­плачивается частями — в рассрочку.

Каждый из рассмотренных ниже методов планирования по­гашения долга в той или иной степени, но обязательно исполь­зует результаты, полученные выше при анализе финансовых рент.

При определении срочных уплат используем следующие ос­новные обозначения:

D — сумма задолженности;

Y — срочная уплата;

/ — проценты по займу;

R -— расходы по погашению основного долга;

g — ставка процента по займу;

п — общий срок займа;

L — продолжительность льготного периода.

По определению расходы по обслуживанию долга (срочная уплата) находятся как Y = / + R. Если в льготном периоде вы­плачиваются проценты, то расходы по долгу в этом периоде со­кращаются до К=/.

§9.2. Создание погасительного фонда

Если по условиям займа должник обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этого. При значительной сумме долга обычная мера заключается в создании погаситель­ного фонда (sinking fund). Необходимость формирования такого фонда иногда оговаривается в договоре выдачи займа в качест­ве гарантии его погашения. Разумеется, создание фонда необя­зательно надо связывать с погашением долга. На практике воз­никает необходимость накопления средств и по другим причи­нам, например, для накопления амортизационных отчислений на закупку изношенного оборудования и т.п.

Погасительный фонд создается из последовательных взносов должника (например, на специальный счет в банке), на кото­рые начисляются проценты. Таким образом, должник имеет возможность последовательно инвестировать средства для пога­шения долга. Сумма взносов в фонд вместе с начисленными

185

процентами, накопленная в погасительном фонде к концу сро­ка, должна быть равна его сумме. Взносы могут быть как посто­янными, так и переменными во времени.

Постоянные взносы в фонд. Как было сказано выше, задача разработки способа погашения долга, в том числе и в виде пла­на создания погасительного фонда, заключается в определении размеров срочных уплат и составляющих их элементов в зави­симости от конкретных условий займа.

Итак, пусть накопление производится путем регулярных ежегодных взносов Л, на которые начисляются сложные про­центы по ставке /. Одновременно происходит выплата процен­тов за долг по ставке g. В этом случае срочная уплата составит

r=Z)g+ R.(9.1)

Обе составляющие срочной уплаты постоянны во времени. Как видим, первая определяется величиной долга и процентной ставкой по займу. Найдем вторую составляющую. Пусть фонд должен быть накоплен за N лет. Тогда соответствующие взносы образуют постоянную ренту с параметрами: R, N, L Допустим, что речь идет о ренте постнумерандо, тогда

D

где s_N;i— коэффициент наращения постоянной ренты со сро­ком N.

В целом срочная уплата находится как:

Y=Dg + Y.(9.2)

^SN;i

Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата опреде­ляется следующим образом:

(1 + Z)^N
Y= D^y*'. (9.3)

^SN;i

ПРИМЕР 9.1. Долг в сумме 100 млн руб. выдан на 5 лет под 20% годовых. Для его погашения создается погасительный фонд. На инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке

186

22%. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд фор­мируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года рав­ными суммами.

Таким образом, имеем D = 100, п= N = 5, д= 20%, / = 22%. Находим s_5;22 = 7,7395826 и, следовательно,

100 У= 100 х 0,2 + -гзгггггг = 20 + 12,92059 = 32,92687 млн руб. 7,7о9оо2о

Пусть теперь условия контракта предусматривают присоеди­нение процентов к основной сумме долга, тогда согласно (9.3)

100 х 1,2^{5 Y=}7,735826 = 32,16618 млн руб.

При создании погасительного фонда используются две про­центные ставки — / и g. Первая определяет темп роста погаси­тельного фонда, вторая — сумму выплачиваемых за заем процен­тов. Нетрудно догадаться, что рассматриваемый способ погаше­ния долга — создание фонда — выгодна должнику только тогда, когда i > g, так как в этом случае должник на аккумулируемые в погасительном фонде средства получает больше процентов, чем сам выплачивает за заем. Чем больше разность / — g, тем, оче­видно, больше экономия средств должника, направляемая на по­крытие долга. В случае, когда / =g, преимущества создания фон­да пропадают — финансовые результаты для должника оказыва­ются такими же, как и при погашении долга частями (о чем речь пойдет ниже).

Накопленные за / лет средства фонда определяются по зна­комым нам формулам наращенных сумм постоянных рент или рекуррентно:

5_ж«5,(1+/) + Л <⁹-⁴>

ПРИМЕР 9.2. Продолжим пример 9.1 (срочные уплаты включают процентные платежи). Пусть средства в фонд вносятся только по­следние четыре года, остальные условия сохраняются. Тогда

_ 100 100 _4Q4M

^я=^⁼^^"⁼¹⁸'^{102млнруб}-

План формирования такого фонда (в тыс. руб.) представлен в таблице.

187

Год	Проценты	Взносы	Расходы по займу	Накопления (на конец срока)1
1 2 3 4 5	10 000 10 000 10 000 10 000 10 000	18 102 18 102 18 102 18 102	10 000 28 102 28 102 28 102 28 102	32 871 26 943 22 084 18 102
1 Сумма взноса с процентами		на конец срока.		100 000

Формулы (9.2) и (9.3) получены для ежегодных взносов и на­числений процентов. Если это не так, то применяются соответ­ствующие методы расчета процентов и сумм взносов в фонд (см. следующий пример).

ПРИМЕР 9.3. Внесем еще одно изменение в условия примера 9.1. Пусть взносы вносятся не ежегодно, а в конце каждого меся­ца, т.е. р = 12. Проценты выплачиваются кредитору ежегодно. Ко­эффициент наращения в этом случае равен s^fcM. 5.8). Годовая сумма взносов в фонд составит

R =

100

-(12) ^S5;22

100

8,49199

= 11,7758 млн руб.

Изменяющиеся взносы. Равные взносы в фонд — простое, но далеко не единственное решение проблемы накопления необ­ходимой суммы денег. В зависимости от конкретных условий могут оказаться предпочтительными изменяющиеся во времени суммы взносов. В таких случаях следует воспользоваться ре­зультатами, полученными для переменных рент (см. гл. 6). Ог­раничимся примером, когда взносы в фонд следуют арифмети­ческой прогрессии. Срочные уплаты в рассматриваемых усло­виях изменяются во времени:

Y_t=Dg+R_r

где R_t= R+ a(t- 1), / = 1,..., N.

Разность прогрессии равна а, первый член — R. Последняя величина определяется следующим образом:

^J-i^a + o'-o + M)

*N:i

(9.5)

188

ПРИМЕР 9.4. В фонд погашения долга средства поступают в ви­де ежегодной ренты постнумерандо в течение 5 лет (срок пога­шения долга). Платежи каждый раз увеличиваются на 500 тыс. руб. Пусть размер долга на момент его погашения равен 10 млн руб., на взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Для разработки плана создания фонда определим величину пер­вого взноса. Предварительно находим s_5;10 = 6,2051;

Я =

1

6,1051

10000 - 500

1,1⁵-(1 +5x0,1)

0,1²

= 732,91 тыс. руб.

Откуда

Я,= 731,91 +500U- 1); f= 1

Динамика расходов должника при условии, что кредитору вы­плачивается 9,5%, показана в таблице. В ней, в отличие от табли­цы примера 9.2, в последней графе показаны суммарные (куму­лятивные) накопления, которые определены по рекуррентной формуле (9.4).

Год	Проценты	Взносы	Расходы по займу	Накопления на конец года
1	950	732,91	1682,91	732,91
2	950	1232,91	2182,91	2039,11
3	950	1732,91	2682,91	3975,93
4	950	2232,91	3182,91	6606,44
5	950	2732,91	3682,91	10000,00

Если взносы в данном примере представляют собой убываю­щую арифметическую прогрессию, допустим а = -500, то первый взнос составит

Я =

1

6,1051

10000 + 500

1,1⁵-(1 +5x0,1)

0,01

= 2543,04 тыс. руб.

§9.3. Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашает­ся в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называ­ют амортизацией долга. Он осуществляется различными спосо­бами:

— погашением основного долга равными суммами (равными долями),

189

— погашением всей задолженности равными или перемен­ными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение п лет. В этом случае сумма, еже­годно идущая на его погашение, составит

D

d=—. п

Размер долга последовательно сокращается: Д D— d, D—2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачивае­мые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они рав­ны Dgj (D — d)g, (D - 2d)g и т.д. Процентные платежи, как ви­дим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с пер­вым членом Dg и разностью —dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Y_x= Dg + d.

Для конца года / находим

r_t-D_Mg+d₉t= 1,..., л, (9.6)

где D_t— остаток долга на конец года /.

Остаток долга можно определять последовательно:

о,= о_ы-—.

' ^' п

Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

^г'=^-+-£•"*• ■■■■""■ <⁹⁷>

Остаток задолженности на конец года t в этом случае соста­вит

_ рп - 1
D_t= 0_М- .

' ^' рп

190

ПРИМЕР 9.5. Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить последовательными равными суммами за 5 лет платежами пост-нумерандо. За заем выплачиваются проценты по ставке 10% годо­вых.

Размер погашения основного долга 1000 : 5 = 200 тыс. руб. в год. Ежегодные процентные платежи составят: 1000x0,1 = 100; (1000 - 200) х 0,1 = 80 и т.д. План погашения представлен в следующей таблице.

Год	Остаток долга	Расходы	Погашение	Проценты
	на начало года	по займу	долга
1	1000	300	200	100
2	800	280	200	80
3	600	260	200	60
4	400	240	200	40
5	200	220	200	20

Как видим, со временем уменьшаются не только суммы расхо­дов по займу, но и соотношения процентов и сумм погашения ос­новного долга.

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, как мы только что убедились, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежела­тельным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга по­стоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процен­тов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

К= D^g* Л, = const.

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более ред­ким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана пога­шения — определение размера срочной уплаты. Далее получен-

191

ная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы У равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к со­временной величине этой ренты, находим

D
У=—>(9.8)

где а„._а— коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком я.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины К и данных финансового конт­ракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По оп­ределению

Dg.

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во вре­мени:

rf,»rf_M(l+*), (9.9)

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд d_v d_x{\ +g), ..., d_x(\ +£)"-'.

По этим данным легко определить сумму погашенной задол­женности на конец года / после очередной выплаты:

Wt-'id^l + gf -d_{s_t;g,(9.10)

где s_tg— коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.

ПРИМЕР 9.6. Условия погашения займа те же, что и в примере 9.5. Однако погашение производится равными срочными уплата­ми, т.е. рентой постнумерандо с параметрами: У (неизвестная ве­личина), п= 5, д= 10%.

Находим: а_5;10 = 3,790787. После чего

1000 ^Y= V^^T = 263,797 тыс. руб. 3,79079

192

Далее определим

d, = 263,797 - 1000 х 0,1 = 163,797 тыс. руб. и остаток долга после первого погашения

D₁ = 1000 - 163,797 = 836,203 тыс. руб. План погашения долга представлен в таблице.

Гад	Остаток долга	Расходы	Проценты	Погашение
	на начало года	по займу		долга
1	1000,000	263,797	100,000	163,797
2	836,203	263,797	83,620	80,177
3	656,026	263,797	65,603	198,195
4	457,831	263,797	45,783	218,014
5	239,816	263,797	23,982	239,816

Процентные платежи уменьшаются во времени, а суммы пога­шения основного долга систематически увеличиваются.

Продолжим пример. Допустим, необходимо найти сумму пога­шенного долга на конец третьего года погашения при условии, что план погашения не разработан. Для решения воспользуемся формулой (9.10). Находим s_3;10 = 3,31, сумма первого платежа определена выше — cf₁ = 163,794, таким образом,

W₃= 163,794 х 3,31 = 542,169 тыс. руб.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка за­дачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погаше­ния долга и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Эта проблема подробно обсуждалась в § 5.4 (см. формулы (5.28)— (5.37)), поэтому не будем останавливаться на ней. Ограничим­ся лишь одной иллюстрацией. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда применим (5.29), где символ R за­менен на К, а / — на g:

я =■

1п(1 + g)

(9.11)

193

Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Ра­счетное значение п в общем случае оказывается дробным.

ПРИМЕР 9.7. Долг равен 1000 тыс. руб. и выдан под 10% годо­вых. Для его погашения предполагается выделять сумму порядка 200 тыс. руб. в год. Оценим величину срока, необходимого для погашения задолженности;

-In

200

ⁿ⁼ i^n =⁷'^27r<*^a-

Округлим расчетный срок до 7 лет. Для того чтобы полностью рассчитаться, необходимо несколько повысить срочные уплаты, а именно:

_v 1000 1000 _ОЛС„_ле

V = — = -ГТ7777Г = 205,405 тыс. руб.

^a7,io 4,868418

Альтернативой является адекватная компенсация недостающе­го покрытия долга при выплате ренты с членом 200 тыс. руб. и сроком 7 лет.

Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее (график погашения), либо следуют какому-либо формальному закону (прогрессии, заданной функции). Остановимся только на одном варианте — изменении расходов по геометрической прогрессии.

Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометри­ческую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно за­писать в виде членов переменной ренты К, Yq, Yep-, ..., Yq"^l. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первона­чального долга, находим;

Q - (1 + я)
Y= D ; \ *^}, (9.12)

- 1

где q — заданный годовой темп роста платежей, g — процент­ная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается деталь­ный план погашения.

194

ПРИМЕР 9.8. Пусть расходы по займу (сумма долга — 1000 тыс. руб.) уменьшаются каждый год на 10%; общий срок по­гашения 5 лет, ставка процента по долгу — 6% годовых. По усло­виям задачи: D₀ = 1000, п= 5, д= 0,06, q = 0,9. Согласно (9.12) первая срочная уплата составит:

0,9 - 1,06
Y. = 1000— ■ = 286,353 тыс. руб.

(0,9 V» 11,06 J

Процентные платежи в первом периоде 1000 х 0,06 = = 60 тыс. руб., соответственно, сумма погашения долга равна 286,353 - 60 = 226,353 тыс. руб., остаток задолженности на на­чало второго года 1000 - 226,353 = 773,647 тыс. руб. Срочные уп­латы находятся как Y_tx 0,9^м. План погашения долга представлен в таблице.

Год	Остаток долга	Расходы	Проценты	Погашение
	на начало года	по займу		долга
1	1000,000	286,353	60,000	226,353
2	773,647	257,717	46,419	211,298
3	562,349	231,946	33,741	198,205
4	364,144	208,751	21,849	186,902
5	177,241	187,875	10,634	177,241

В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожи­даемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде гра­фика погашения. Размер последней срочной уплаты не задает­ся. Она определяется как сумма остатка долга на начало пос­леднего периода.

ПРИМЕР 9.9. Долг в размере 100 000 руб. решено погасить по специальному графику за четыре года — суммы расходов по по­гашению долга по годам: 40, 20 и 30 тыс. руб. Остаток выплачи­вается в конце четвертого года.

План погашения имеет следующий вид при условии, что ставка процента по долгу установлена на уровне 10% (см. таб­лицу).

Год	Остаток долга	Расходы	Проценты	Погашение
	на начало года	по займу		долга
1	100 000	40 000	10 000	30 000
2	70 000	20 000	7000	13 000
3	57 000	30 000	5700	24 300
4	32 700	35 970	3270	32 700

195