Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 15 из 58

§10.5. Долгосрочные ссуды

Очевидно, что способ погашения долгосрочной задолженно­сти оказывает заметное влияние на эффективность соответству­ющей финансовой операции для кредитора. В данном парагра­фе кратко рассмотрены методы оценивания ПД долгосрочных ссуд для двух случаев: 1) когда проценты погашаются последо­вательными платежами, а основная сумма долга выплачивается в конце срока и 2) когда долг и проценты погашаются последо­вательно на протяжении всего срока ссуды. В обоих случаях предусматривается выплата комиссионных.

Ссуды с периодической выплатой процентов. Если комиссион­ные не выплачиваются, то доходность равна годовой ставке сложных процентов, эквивалентной любым применяемым в сделке процентным ставкам. Ситуация усложняется, если име­ется еще один источник дохода для кредитора — комиссион­ные. Пусть ссуда D погашается через п лет, проценты по про­стой процентной ставке / выплачиваются регулярно в конце го­да: их сумма равна DL Должнику с учетом комиссионных выда­ется ссуда в размере D{\ — g). Уравнение эквивалентности, по­лученное дисконтированием всех платежей по неизвестной ставке /_э, имеет вид

Z)(l-g)-|Z)/2v^/* + Z)v'^,| -0.

Здесь v = (1 + /_э)^н, Zv'³ = я_л;/у Теперь это уравнение мож­но представить в виде функции от /_э следующим образом:

/(/,)-V^я₊ ш_я;,_э-(1-*)-0. Если проценты выплачиваются р раз в году, то

4.)-""*7<'-(^|-^?)-°-

Задача, следовательно, заключается в нахождении корня данной степенной функции. Решить поставленную задачу мож­но методом Ньютона—Рафсона или простым подбором.

223

ПРИМЕР 10.8. На три года выдана ссуда 1 млн руб. под 10% го­довых, проценты выплачиваются ежегодно. При выдаче ссуды сделана скидка в пользу владельца денег в размере 5%. В ре­зультате должник получил 950 тыс. руб. Для расчета искомой ставки /_э напишем функцию

%) = О + У"³ " О.¹ * ^аз;/_э - °.^{95 в} °-

Получим /_э = 1,12088. Таким образом, доходность операции для кредитора и соответственно цена кредита для должника в ви­де годовой ставки сложных процентов равны 12,088%.

Ссуды с периодическими расходами по долгу. Пусть по ссуде периодически выплачиваются проценты и погашается основ­ной долг, причем сумма расходов по обслуживанию долга по­стоянна. Тогда уравнение эквивалентности для случая, когда платежи производятся в конце года, можно представить в виде

D(\ - g) - Ra_ni3= 0,

где R — ежегодная сумма по обслуживанию долга (срочная уп-

D
лата). Поскольку R = (см.§ 5.4), то

/(^/э) = ^;/_э-^;/(¹-8)=0- 0016)

Аналогично для случая, когда погасительные платежи осу­ществляются р раз в году, находим

/(^/э) = ^_э-^(¹-?)⁼⁼0> (Ю-17)

где а^ и а^\ — коэффициенты приведения р-срочной ренты.

ПРИМЕР 10.9. Пусть в примере 10.8 задолженность погашается равными платежами. Все остальные условия не изменяются. В этом случае согласно (10.16)

^аз_:/_э = ^аз;ю<¹ - °.°⁵) = 2,48685 х0,95 = 2,36251.

Расчет /_э по заданному значению а_3;/ = 2,36251 можно легко осуществить с помощью линейной интерполяции. Поскольку /_э > > 10%, то для интерполяции примем: / = 12% и /_в = 13%. Находим следующие табличные значения коэффициентов приведения рен-

224

ты: а_3;12 = 2,38134, а_3;13 = 2,36115. Интерполяционное значение ставки:

2,38134 - 2,36251

'_э = ¹² + Лсяо,—Г^ГТГ <¹3 " 12) = 12,933%.
^э 2,38134 - 2,36115

Нерегулярный поток платежей. Задолженность может быть погашена путем выплаты нерегулярного потока платежей: /?,, ..., R_n. Эффективность кредита при таком способе погаше­ния определим на основе следующего уравнения эквивалентно­сти вложений и отдач:

/(4)-0(i-*)-iv -°> <^1ол8>

7-1

где tj — интервал от начала сделки до момента выплаты у-го по­гасительного платежа. Из условия сбалансированности сделки находим, применяя договорную ставку /, величину последнего взноса:

R_n-Dq^T-JflyA (Ю.19)

7-1

где q = 1 + /_э; Г = Z 7J., Tj — срок от выплаты у-го платежа до конца сделки.

Продемонстрированный выше метод оценки показателя полной доходности на основе функции /(/_э) применяется, в ча­стности, при анализе облигаций и производственных инвести­ций. В следующих главах мы затронем эти проблемы.

§10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды)

Расчет доходности для схем, предусматривающих рассроч­ки платежей, довольно хлопотливое дело. На практике при решении подобных задач иногда прибегают к приближенным методам, которые основаны на замене регулярного потока платежей разовым платежом, отнесенного к середине общего срока погашения. Естественно, что такое упрощение условий скажется на точности результата. Остановимся на двух зада­чах.

225

Условия первой задачи. Пусть некоторое долговое обязатель­ство в сумме D покупается по цене Р. Долг последовательно по­гашается в течение п периодов. Разовое погашение в сумме R = = D/n. Доходность в конечном счете определяется здесь ценой приобретения обязательства

Определим доходность вложения в такое долгосрочное обяза­тельство. Стандартное решение заключается в разработке уравне­ния эквивалентности вида Р = Ra_n.^ и его решения относительно неизвестной ставки /_э. (Как было показано в гл. 5, простого алге­браического решения нет.) В свою очередь упрощенный метод сводится к решению элементарного равенства Р = Dv^T. Отсюда

/э-^-1, (Ю.20)

где Т —средний срок обязательства.

Следует подчеркнуть, что при определении среднего срока самым простым способом в виде

Г₀ = л/2 (10.21)

не учитывается вид ренты, характеризующей поступления. С учетом этого фактора получим следующие средние сроки: для поступлений постнумерандо

Т_{= у + у, (10.22)

для ренты пренумерандо

Т₂= у - у. (10.23)

ПРИМЕР 10.10. Операция характеризуется следующими данны­ми: D = 100, Р = 75, п= 5. Оценим доходность для двух вариан­тов погашения задолженности — постнумерандо и пренумерандо. Средние сроки: Г₀ = 2,5; Г, = 3; Г₂ = 2 года.

Оценки уровня доходности:

при среднем сроке 2,5 года

/о -^гЩ1-0.1220.

226






при выплатах постнумерандо (1^ = 3)

Точное значение для ренты постнумерандо получим на основе

равенства 75--— а_5;/|. Находим /_t = 0,1042. э

В свою очередь для ренты пренумерандо (Г₂ = 2)

Точное значение /₂ = 0,1688.

Как видим из приведенного примера, упрощенная оценка доходности с учетом вида ренты заметно уменьшает погреш­ность. Без учета этого фактора оценки оказываются весьма гру­быми и, вероятно, практически бесполезными.

Условия второй задачи. Пусть долговое обязательство преду­сматривает последовательное погашение и выплату процентов за фиксированный срок без льготного периода. Точное значе­ние доходности находим при решении уравнения эквивалент­ности

Р - J Л/ (10.24)

i

относительно дисконтного множителя v, определенного по ис­комой ставке у.

Приближенную оценку доходности j можно получить как сумму двух показателей доходности

У-/, + /, (Ю.25)

где /_э — оценка доходности, полученная на основе среднего срока по формуле (10.20), / — процентная ставка по кредиту.

В табл. 10.1 приводятся приближенные и точные значения показателей доходности (в %) при условии, что процентная ставка по кредиту равна 10%.

227

Таблица 10.1

р	ПО	100	75	70	60	50
к	-3,886	0	12,20	15,33	22,67	31,95
i	10	10	10	10	10	10
j (прибл.)	6,114	10	22,20	25,33	32,27	41,95
j (точн.)	6,175	10	23,11	26,66	35,27	46,85

Как следует из данных таблицы, чем больше разность D — Р, тем выше погрешность приближенной оценки доходности. За­метим также, что применение среднего срока в виде Г, или Т₂ увеличивает величину погрешности, так как при последователь­ной выплате процентов на остаток долга средний срок ближе к Г₀, чем к Т_{или Т₂.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл.9.

Глава 11 ОБЛИГАЦИИ

§11.1. Виды облигаций и их рейтинг

Наиболее распространенным видом ценных бумаг с фикси­рованным доходом {fixed income securities), как известно, явля­ются облигации {bonds). Поэтому анализ сосредоточим на этом виде бумаг. Заметим, что преобладающее большинство рассмо­тренных ниже методов применимо и при анализе других видов ценных бумаг с фиксированным доходом.

При необходимости привлечения значительных денежных ресурсов (для финансирования крупных проектов, покрытия текущих расходов и т.д.) государство, муниципалитеты, банки и другие финансовые институты, а также отдельные компании или их объединения, часто прибегают к выпуску и продаже об­лигаций. Под облигацией понимается ценная бумага, свиде­тельствующая о том, что ее держатель предоставил заем эмитен­ту этой бумаги.

Облигация обеспечивает ее владельцу некоторый доход — в большинстве случаев он регулярно получает проценты по купо­нам и в конце срока выкупную цену. Доход от облигаций обыч­но ниже, чем от других видов ценных бумаг, в то же время он более надежен, так как в меньшей степени зависит от конъюн­ктурных колебаний и фазы экономического цикла, чем, напри­мер, доход от акций. В связи со сказанным в облигации инве­стируют свободные резервы пенсионные фонды, страховые компании, различного рода инвестиционные фонды и т.д.

Основные параметры облигации: номинальная цена или но­минал {face value), выкупная цена {redemption value) или правило ее определения, если она отличается от номинала, дата погаше­ния {date of maturity), норма доходности или купонная процент-ноя ставка {coupon rate), даты выплат процентов. В современ­ной практике выкуп по номиналу является преобладающим.

229

Выплаты процентов производятся ежегодно, по полугодиям или поквартально, а иногда в конце срока.

Виды облигаций. В практике применяются облигации раз­личных видов. Отсутствие в России достаточного опыта выпус­ка облигаций не позволяет привести развернутую их классифи­кацию. Что касается зарубежных облигаций, то для них можно предложить классификацию по следующим признакам.

1. По методу обеспечения:

• 
  государственные и муниципальные облигации, выплаты по которым обеспечиваются гарантиями государства или муниципалитета;
  
• 
  облигации частных корпораций (corporate bonds) — обес­печиваются залогом имущества, передачей прав на недви­жимость, доходами от различных программ и проектов;
  

—- облигации частных корпораций без специального обеспе­чения (corporate debentures).

2.По сроку:

— облигации с фиксированной датой погашения (term
bonds);

—- без указания даты погашения или бессрочные (perpetu­ities)^ точнее, эмитент не связывает себя конкретным сро­ком, соответственно облигации могут быть выкуплены в любой момент. Примерами таких облигаций могут слу­жить консоли в Великобритании (выпущены во время войны с Наполеоном), французская рента.

3. По способу погашения номинала (выкупа облигации):

—- разовым платежом (bullet bonds);

• 
  распределенными во времени погашениями оговоренных долей номинала;
  
• 
  последовательным погашением доли общего количества облигаций, соответствующие облигации называются се­рийными (serial bonds); часто этот метод погашения осуще­ствляется с помощью лотерей — лотерейные или тираж­ные займы.
  

4. По методу выплаты дохода:

—- выплачиваются только проценты, срок выкупа не огова­ривается (см. бессрочные облигации);

—- выплата процентов не предусматривается; так назваемые облигации с нулевым купоном (zero coupon bonds);

230

• 
  проценты выплачиваются вместе с номиналом в конце срока;
  
• 
  периодически выплачиваются проценты, а в конце срока — номинал или выкупная цена; этот вид облигаций явля­ется преобладающим.
  

Процентная ставка обычно постоянная, правда, иногда вы­пускают облигации с "плавающей" процентной ставкой, уро­вень которой ставится в зависимость от каких-либо внешних условий.

Облигации являются важным объектом долгосрочных инве­стиций. С момента их эмиссии и до погашения они продаются и покупаются на кредитно- денежном рынке по рыночным це­нам. Рыночная цена в момент выпуска может быть равна номи­налу (at par), ниже номинала, или с дисконтом (discount bond), и выше номинала, или с премией (premium bond). Нетрудно до­гадаться, что премия — это "переплата" за будущие высокие до­ходы, а дисконт — скидка с цены, связанная с низкими дохо­дами от облигации.

Различают два вида рыночных цен. Облигации реализуются по так называемой грязной или полной цене (dirty, full, gross price), которая включает не только собственно цену облигации, но и сумму процентов за период после последней их выплаты и до момента продажи (accrued interest). Рыночная цена за выче­том суммы начисленных процентов называется чистой (clean, flat price). Во всех приведенных в главе расчетах фигурирует именно эта цена.

Определенное значение имеет наличие оговорки о запрете досрочного выкупа облигации эмитентом (call protection). Нали­чие права досрочного выкупа, естественно, снижает качество облигации, так как повышает степень неопределенности для инвестора. Более того, в случаях, когда облигация куплена с премией, досрочный ее выкуп заметно сокращает доходность инвестиции.

Поскольку номиналы у разных облигаций существенно раз­личаются между собой (например, в США облигации выпуска­ются с номиналами от 25 до 100 000 долл.), то часто возникает необходимость в сопоставимом измерителе рыночных цен. Та­ким показателем является курс (quote, quoted price). Под курсом понимают цену одной облигации в расчете на 100 денежных единиц номинала:

231

tf — ЮО, (Ц.1)

где К— курс облигации, Р — рыночная цена, N— номинал об­лигации.

Например, если облигация с номиналом 10 000 руб. прода­ется за 9700 руб., то ее курс составит 97.

Доход от облигации состоит из двух основных слагаемых:

• 
  периодически получаемых по купонам процентов;
  
• 
  разности между номиналом и ценой приобретения обли­гации (capital gain), если последняя меньше номинала; ра­зумеется, если облигация куплена с премией, то эта раз­ность отрицательна (capital loss), что, естественно, сокра­щает общий доход.
  

Некоторые аналитики предлагают при оценке общей эффе­ктивности инвестиций в облигации учитывать и доход от воз­можной реинвестиции поступлений по купонам. Однако такой доход весьма условен, так как неизвестно, по какой процентной ставке его включать в расчет, и, строго говоря, в общем случае нет большой необходимости его принимать во внимание.

Количественный анализ облигаций нацелен на:

а) расчет доходности облигаций и ряда дополнительных ха­
рактеристик,

б) определение расчетной цены облигации на любой момент
ее "жизни",

в) измерение динамики дисконта или премии по облигации.

Эти вопросы, а также принципы формирования портфеля облигаций, обсуждаются в следующих параграфах главы.

Рейтинг облигаций. Инвестиции в ценные бумаги сопряжены с определенным риском. Выделим два основных вида риска — кредитный (credit risk) и рыночный (market risk). Под первым по­нимают возможность отказа в выплате процентов и основной суммы долга (выкупной цены). Рыночный риск, который ино­гда называют процентным (interest rate risk), связан с колебани­ями рыночной цены облигации, в значительной мере определя­емыми изменениями процентной ставки на денежно-кредитном рынке. Очевидно, что рыночный, да и кредитный риски в зна­чительной мере связаны со сроком облигации — чем больше

232

срок, тем выше риск. Ниже мы затронем проблему измерения срока облигации под этим углом зрения.

Обратимся к кредитному риску. Очевидно, что он характе­ризует кредитоспособность и надежность самого эмитента. По­этому за рубежом государственные обязательства принято счи­тать наиболее надежными, с наименьшим кредитным риском. Ценные бумаги коммерческих институтов обычно рассматрива­ются как менее надежные, так как всегда остается некоторая ве­роятность их банкротства.

Качество облигаций в отношении кредитного риска оцени­вается специальными агенствами путем отнесения конкретных облигаций к той или другой категории. Такая операция называ­ется рейтингом (raiting). В США рейтинг облигаций осуществ­ляют ряд компаний, в том числе "Стэндарт энд Пурс" (Standart and Poor's) и "Мудис" (Moody's). Облигации по степени надеж­ности выплат процентов и номинала относят к одной из девя­ти категорий; для этого первая из названных компаний приме­няет обозначения: AAA, АА, А, ВВВ, ВВ, В, ССС, СС, С, вто­рая: Ааа, Аа и т.д. Наивысшими по качеству являются облига­ции AAA. К этой категории относят бумаги с предельно высо­кой надежностью как в отношении их выкупа, так и выплат процентов. В других странах для рейтинга облигаций применя­ют иные обозначения и число категорий качества.