Е. М. Четыркин финансовая математика
 Скачать 4.63 Mb.
|
|
Е.М.ЧЕТЫРКИН ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА РЕКОМЕНДОВАНО В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ОБЪЕДИНЕНИЕМ ВУЗОВ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТЯМ •ФИНАНСЫ И КРЕДИТ', 'БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ' И 'МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА' АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИПРАВИТЕЛЬСТВЕРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ ИЗДАТЕЛЬСТВО'ПЕЛО* МОСКВА 2000 УДК 336.6(075.8) ББК 65.26я73 454 Четыркин Б.М. 454 Финансовая математика: Учеб. — М.: Дело, 2000. — 400 с. ISBN 5-7749-0193-9 Учебник содержит последовательное и систематизированное изложение проверенных практикой методов количественного анализа финансовых и кредитных операций. Охвачены как традиционные методы разнообразных расчетов, так и методы, вошедшие в практику в последнее десятилетие. Подробно обсуждаются различные методы начисления процентов, обобщающие характеристики потоков платежей, методики определения эффективности краткосрочных инструментов и дол1х>сроч-ных финансовых операций, включая производственные инвестиции и облигации. Книга предназначена студентам экономических вузов и лицам, применяющим финансовые вычисления в своей работе, — сотрудникам банков, инвестиционных организаций, пенсионных фондов и страховых компаний. УДК 336.6(075.8) ББК 65.26я73 ISBN 5-7749-0193-9 © Издательство "Дело", 2000 ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 6 Глава 1. ПРЕДМЕТ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ 11 §1.1. Финансовая математика — основа количественного анализа финансовых операций 11 §1.2. Время как фактор в финансовых расчетах 15 §1.3. Проценты, виды процентных ставок 17 Глава 2. НАРАЩЕНИЕ И ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО ПРОСТЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ 20 §2.1. Формула наращения 20 §2.2. Погашение задолженности частями 26 §2.3. Наращение процентов в потребительском кредите 30 §2.4. Дисконтирование по простым процентным ставкам. Наращение по учетной ставке 31 §2.5. Прямые и обратные задачи при начислении процентов и дисконтировании по простым ставкам 34 §2.6. Определение срока ссуды и величины процентной ставки 36 §2.7. Конверсия валюты и наращение процентов 38 Глава 3. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ 43 §3.1. Начисление сложных годовых процентов 43 §3.2. Сравнение роста по сложным и простым процентам 48 §3.3. Наращение процентов траз в году. Номинальная и эффективная ставки 49 §3.4. Дисконтирование по сложной ставке 53 §3.5. Операция со сложной учетной ставкой §3.6. Сравнение интенсивности процессов наращения и дисконтирования по разным видам процентных ставок 57 §3.7. Определение срока ссуды и размера процентной ставки 59 §3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты 61 Математическое приложение к главе 65 Глава 4. ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ РАСЧЕТЫ. КРИВЫЕ ДОХОДНОСТИ 66 §4.1. Средние процентные ставки 66 §4.2. Эквивалентность процентных ставок 68 §4.3. Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей ... 73 §4.4. Общая постановка задачи изменения условий контракта 79 §4.5. Налоги и инфляция 82 §4.6. Кривые доходности 89 3 Глава 5. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ 94 §5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры 94 §5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо 100 §5.3. Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо 107 §5.4. Определение параметров постоянных рент постнумерандо 113 §5.5. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент 119 Глава б. ПЕРЕМЕННЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ. КОНВЕРСИЯ РЕНТ 126 §6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей 126 §6.2. Ренты с постоянным относительным приростом платежей 130 §6.3. Постоянная непрерывная рента 132 §6.4. Непрерывные переменные потоки платежей 136 §6.5. Конверсии рент 139 §6.6. Изменение параметров рент 143 Математическое приложение к главе 147 Глава 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 149 §7.1. Общая постановка задачи. Линейная модель 149 §7.2. Нелинейные модели 153 §7.3. Барьерные показатели в финансовом анализе 156 §7.4. Влияние неопределенности в исходных данных на положение барьерной точки 159 §7.5. Барьерные точки выпуска — финансовый подход к их определе нию 161 Математическое приложение к главе 166 Глава 8. РИСК И ДИВЕРСИФИКАЦИЯ 168 §8.1. Риск 168 §8.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода 171 §8.3. Минимизация дисперсии дохода 178 Математическое приложение к главе 182 Глава 9. ПЛАНИРОВАНИЕ ПОГАШЕНИЯ ДОЛГОСРОЧНОЙ ЗАДОЛ ЖЕННОСТИ 184 §9.1. Расходы по обслуживанию долга 184 §9.2. Создание погасительного фонда 185 §9.3. Погашение долга в рассрочку 189 §9.4. Льготные займы и кредиты 196 §9.5. Реструктурирование займа 200 §9.6. Ипотечные ссуды 201 §9.7. Расчеты по ипотечным ссудам 204 Математическое приложение к главе 208 Глава 10. ИЗМЕРЕНИЕ ДОХОДНОСТИ 209 §10.1. Полная доходность 209 §10.2. Уравнение эквивалентности 211 §10.3. Доходность ссудных и учетных операций с удержанием комиссион ных 213 §10.4. Доходность купли-продажи финансовых инструментов 216 §10.5. Долгосрочные ссуды 223 §10.6. Упрощенные методы измерения доходности (долгосрочные ссуды) 225 4 Глава 11. ОБЛИГАЦИИ 229 §11.1. Виды облигаций и их рейтинг 229 §11.2. Измерение доходности облигаций 233 §11.3. Дополнительные сведения по измерению доходности облигаций . . . 239 §11.4. Характеристики сроков поступлений средств и измерение риска ... 243 §11.5. Оценивание займов и облигаций 248 Глава 12. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ИНВЕСТИЦИИ. ИЗМЕРИТЕЛИ ФИНАНСОВОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ 253 §12.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций ... 253 §12.2. Чистый приведенный доход 260 §12.3. Свойства чистого приведенного дохода 263 §12.4. Внутренняя норма доходности 267 §12.5. Срок окупаемости 273 §12.6. Индекс доходности 277 §12.7. Соотношения относительных измерителей эффективности 278 §12.8. Сравнение результатов оценки эффективности 280 §12.9. Моделирование инвестиционного процесса 281 §12.10. Анализ отзывчивости 285 Математическое приложение к главе 287 Глава 13. ЛИЗИНГ 289 §13.1. Финансовый и оперативный лизинг 289 §13.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту 292 §13.3. Методы расчета лизинговых платежей 295 Глава 14. ФОРФЕЙТНАЯ ОПЕРАЦИЯ 305 §14.1. Сущность операции а форфэ 305 §14.2. Анализ позиции продавца 306 §14.3. Анализ позиций покупателя и банка 313 Математическое приложение к главе 318 Глава 15. КОРОТКО ОБ ОПЦИОНАХ 319 §15.1. Сущность опциона, основные понятия 319 §15.2. Цена опциона 325 §15.3. Модель Блека—Шоулза 327 Глава 16. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ 331 §16.1. Финансовая эквивалентность в страховании 331 §16.2. Таблицы смертности и страховые вероятности 333 §16.3. Коммутационные функции 339 §16.4. Стоимость страхового аннуитета 342 Глава 17. ЛИЧНОЕ СТРАХОВАНИЕ 349 §17.1. Нетто-премии в личном страховании 349 §17.2. Страхование жизни 352 §17.3. Пенсионное страхование. Виды пенсионных схем 354 §17.4. Расчет премий и пенсий. Сберегательные схемы 356 §17.5. Страховые пенсионные схемы 359 §17.6. Страховые резервы в личном страховании 365 ПРИЛОЖЕНИЕ 376 Таблицы 376 ПРЕДИСЛОВИЕ Высшие финансовые вычисления — так называлась дисциплина, в рамках которой в высших коммерческих учебных заведениях дореволюционной России1 изучались методы финансовых расчетов, применяемых в финансовых операциях. Вряд ли есть необходимость в сохранении данного названия в современных условиях. Общепринято именовать эту дисциплину финансовая математика. Оно и принято для настоящего учебника. Потребность в овладении методикой финансовых расчетов осознанна и в современной России. В связи с этим во многих экономических вузах страны в рамках различных дисциплин изучаются отдельные темы и проблемы, которые можно отнести к высшим финансовым вычислениям. В частности, некоторые расчетные методы рассматриваются в курсах "Кредит", "Финансовый менеджмент", "Операции с ценными бумагами" и т. п. Однако полного, систематизированного курса финансовых вычислений, базирующегося на общей методологии, еще нет. Настоящий учебник нацелен на восполнение отмеченного пробела. Он содержит последовательную характеристику современных методов финансовых вычислений. Автор ограничился основными методами и той степенью детальности, которая представлялась целесообразной в рамках учебника. Вместе с тем, учебник позволяет ознакомиться с основными направлениями количественного финансового анализа, с применяемым при этом математическим аппаратом, понять важность и необ- 1 В Московском коммерческом училище (ныне Российская экономическая академия им. Г.В. Плеханова) функционировала соответствующая кафедра. Руководитель этой кафедры Н.С. Лунский опубликовал фундаментальный для своего времени учебник "Высшие финансовые вычисления". М., 1916. Нельзя не упомянуть и о замечательной книге Б.Ф.Малешевского "Теория и практика пенсионных касс". СПб., 1890, первый том которой "Теория долгосрочных финансовых вычислений" посвящен основам высших финансовых вычислений. 6 ходимость строгого аналитического решения соответствующих проблем. Основой здесь является, так сказать, "техническая" сторона — методы расчетов, измерение влияния отдельных факторов на финансовые параметры, взаимозависимости этих параметров. Поведенческая сторона участников финансовых операций, которая безусловно играет важную роль, не затрагивается. Учебник можно условно разделить на четыре раздела, различающиеся по своему назначению. В первом (гл. 1—4) рассматриваются основные понятия, которые применяются в финансовых вычислениях, — проценты, система процентных ставок, наращение процентов, дисконтирование платежей и т.д. в случаях, когда предусматриваются разовые выплаты. Обсуждаются здесь и важные в практическом отношении "сопутствующие" проблемы, в частности, — учет инфляции, конверсия валюты и наращение процентов, сбалансированные изменения условий контрактов и т.д. Во втором разделе (гл. 5—6) обсуждаются проблемы, относящиеся к количественному анализу разнообразных потоков (последовательностей) платежей и, в частности, финансовых рент. С потоками платежей в практике встречаются каждый раз, когда по условиям операции платежи распределены во времени. Без знания количественных соотношений между показателями, характеризующими потоки платежей, нельзя понять механизм любой долгосрочной финансовой операции. Материал первых двух разделов учебника представляет собой основу, которая за редкими исключениями используется в анализе любых конкретных финансово-кредитных операций. В практических расчетах часто сталкиваются с ситуациями, когда некоторые параметры операций нельзя заранее однозначно определить и возникает необходимость в расчете некоторых крайних значений результирующих показателей. В связи с этим в третий раздел учебника включены гл. 7 и 8, имеющие в основном общий методологический характер. В первой из них рассматриваются способы определения барьерных или критических значений экономических, в том числе финансовых, параметров. Во второй — в теоретическом плане обсуждается проблема измерения риска в финансовых расчетах и влияния диверсификации на его величину. Характеристика методов количественного анализа, применяемых при решении конкретных практических задач, сосредото- 7 чена в четвертом разделе учебника (гл. 9—17). Объектами анализа здесь являются проблемы из самых различных областей финансово-кредитной деятельности. Так, гл. 9 посвящена разработке планов погашения долгосрочных займов, реструктурированию задолженности и ипотекам. Методология измерения доходности различных кратко- и долгосрочных финансовых инструментов обсуждается в гл. 10. Много внимания уделено производственным инвестициям — методам расчета параметров их экономической эффективности, факторам, влияющим на эти параметры (гл. 12). Особое место в этом разделе занимают последние две главы, в которых потоки платежей используются в страховых (актуарных) расчетах, главным образом в расчетах по личному страхованию. В учебнике рассматриваются как теория, так и практика расчетов. Приводятся доказательства ряда соотношений финансовых параметров, часть из которых вынесены в Математические приложения к соответствующим главам. Уместно в связи с этим отметить, что в ряде опубликованных учебных пособий по финансовым вычислениям указывается, что для экономиста важны готовые формулы и нет необходимости знать, как они получены. Это заблуждение. Доказательства важны как для осознанного применения формул, так и для самостоятельного вывода необходимых соотношений, не охваченных учебником. Большое количество примеров, как надеется автор, позволит читателю овладеть соответствующими навыками. В ряде случаев примеры содержат дополнительные методические сведения и имеют самостоятельную познавательную ценность. Как известно, для наиболее распространенных видов финансовых расчетов имеются стандартные программы, в частности, раздел "финансовые функции" в известном программном продукте Excel. В учебнике, там, где это представляется полезным, приводятся комментарии и рекомендации по применению соответствующих программ данного пакета. Необходимость в этом вызвана главным образом тем, что перевод инструкций для данного продукта на русский язык выполнен крайне неаккуратно. Зачастую трудно даже понять, о каком финансовом показателе идет речь. В ряде случаев программы Excelпредусматривают лишь частные постановки задач. Для овладения большинством тем высших финансовых вычислений достаточно знания школьного курса алгебры, и в особенности, прогрессий. Там, где речь идет о непрерывных про- 8 цессах, необходимы начальные знания анализа (производные и интегралы некоторых несложных функций). Разделы, связанные с измерением риска и страховыми расчетами, требуют знакомства с основными понятиями теории вероятностей, параметрами стандартных распределений случайных величин и некоторыми свойствами дисперсий в пределах обычного курса статистики экономического вуза. При написании двух первых разделов учебника по возможности полно использована принятая в дореволюционной России финансовая терминология. Правда, не все термины той поры были сохранены. Например, вместо бытовавшего словосочетания "настоящая цена" (имелась в виду сумма дисконтированных членов ренты) в учебнике используются термины "современная стоимость" или "современная величина". В ходе написания остальных разделов автор неоднократно сталкивался с отсутствием в русском языке адекватных и устоявшихся современных экономических и финансовых терминов. В этих случаях он старался избегать буквальных "калек" с английского, если только они не укоренились в отечественной литературе, как, например, лизинг или опцион, и подбирал наиболее близкие по смыслу русские слова и словосочетания. Следует заметить, что в финансовой литературе, вероятно для придания "научности", такие кальки стали появляться сравнительно часто. Добро бы они содержались только в переводной литературе. Увы, с большой скоростью англицизмы распространяются и в публикациях российских авторов. Примерами такого, прямо скажем, неприличного заимствования могут служить появившиеся в финансовой литературе термины "компаундинг" (калька с compounding) вместо — наращение процентов, или расчет наращенной суммы, волатильность {volatility) вместо изменчивость, или колеблемость. И уж совсем непристойно применять термин "перпетуитет" {perpetuity) вместо давно принятого — вечная рента. Без таких заимствований вполне можно обойтись. Что касается сравнительно недавно появившегося в переводной и оригинальной литературе по инвестициям термина "дюрация" {duration), то он режет слух. Вполне можно подобрать русский эквивалент для обозначения данного финансового параметра. Уместно упомянуть о том, что во Франции, где бережно относятся к родному языку, принят закон, согласно которому применение англицизмов в тех случаях, когда существуют адекватные французские термины, является наказуемым. 9 Учебник написан на основе курса лекций, которые автор в свое время прочитал в Московском финансовом институте (ныне Финансовая академия при Правительстве РФ) и в Международном университете в Москве. При подготовке рукописи использованы методические материалы, разработанные им для ряда страховых организаций, пенсионных фондов, в том числе пенсионного фонда ООН, членом Комитета актуариев которого автор был в течение 25 лет, и некоторых финансово-кредитных институтов, а также выпущенные им монографии1. 1 См.: "Методы финансовых и коммерческих расчетов". 2-е изд. М.: Дело, 1995; "Финансовый анализ производственных инвестиций". М.: Дело, 1998; "Актуарные расчеты в негосударственном медицинском страховании". 2-е изд. М.: Дело, 2000. |