Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 9 из 58

Глава 6

ПЕРЕМЕННЫЕ

И НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ.

КОНВЕРСИЯ РЕНТ

§6.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда размеры членов пото­ка платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продук­ции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем та­кого потока является переменная рента. Члены переменной рен­ты изменяются по каким-то установленным (принятым, огово­ренным и т.д.) законам или условиям развития.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены посто­янные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчет­ные формулы для любых конкретных видов переменных рент.

Ренты с постоянным абсолютным изменением членов во време­ни. Изменения размеров членов ренты происходят здесь соглас­но арифметической прогрессии с первым членом R и разностью а, иначе говоря, они образуют последовательность

Л, R + a, R + 2а,..., Л + (л - \)а.

Величина /-го члена ренты равна R + (/ - \)а. Определим наращенную сумму такой ренты. Для ренты го­довой постнумерандо получим¹:

/ а\ navⁿ
Л = [*⁺7]⁰»;< Г' ⁽⁶¹⁾

где v — дисконтный множитель по ставке /.

¹ Доказательство приведено в Математическом приложении к главе. 126

Напомним, что a_tri— современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что в приведенной записи результат представляет собой современ­ную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за выче­том поправочной величины nav" / /.

Наращенную сумму ренты легко получить, умножив форму­лу (6.1) на (1 + /)^л. После чего

па

^j_-»⁺_tN-t

(6.2)

Определим теперь влияние на современную стоимость рен­ты абсолютного прироста платежей. Для этого преобразуем (6.1):

А = Ra ... +

^an-i ^nv"

-а.

(6.3)

Данная формула показывает, что А линейно зависит от а. Аналогичным образом на основе (6.2) получим линейную зави­симость для S:

(s.., - п) S= Rs .+ "''. а.

(6.4)

Формулы (6.1) и (6.2) и их преобразования (6.3) и (6.4) по­лучены для рент постнумерандо. В свою очередь для рент пре­нумерандо находим

(1 + 0 =

п-\

/ па

(1 + /).


LV
А =

navⁿ

/ I ^л»'

nav

= l* + 7i*«/


^SnJ
S=\R+-

(6.5)

(6.6)

Напомним, что а_л;/, i"_ir/ — коэффициенты приведения и нара­щения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. § 5.5).

ПРИМЕР 6.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн руб. После­дующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн руб. Начис-

127

ление процентов производится по 20% годовых. Срок выплат — 10 лет.

По условиям задачи Я = 15, а = 2, / = 20%, п = 10. Табличные значения коэффициентов а_10;20 = 4,192472, V^ю= 0,161505.

Применив (6.1), получим

2 10 х 2 х 0,161505
А= (15 + у)4,192472 - — '= 88,661 млн руб.

Используя взаимозависимость Аи S, находим

S = 88,661 х 1,2¹⁰ = 548,965 млн руб. Или применяя (6.3) и (6.4):

^аю20- Ю* ¹.²"^10
А= ¹5а_10:2о + ' _0>2 2 = 62,887 + 25,774 =

= 88,661 млн руб.,

^s = ^15sio;2o ^{+ Sl}°^: о 2 ^{2 = 389}«^{380 +} 159,585 =

= 548,965 млн руб.

Влияние динамики платежей здесь очевидно. Например, по­стоянная рента с Я = 15 дает накопление в сумме около 390 млн руб., "вклад" прироста платежей в наращенную сумму составил почти 160 млн руб., или примерно 20%.

Продолжим пример . Пусть теперь рента предполагает сокра­щение платежей по 1 млн в год. Тогда

^я10;20 _

0,2

а_1О:2О-10х1,2-<sup>10

А</sup>= ¹5а_10:2о + ' по (-D = 62,887 - 12,887 =

= 50 млн руб.

0,2
^s = ^15sio;20 ^{+ 10:}п о (-D = 389,380 - 79,793 =

= 309,557 млн руб.

Иногда при анализе переменных рент может возникнуть об­ратная задача: определение первого члена ренты R или ее при­роста а по всем остальным заданным параметрам ренты. На­пример, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать

128

за п лет, и необходимо разработать конкретный план реализа­ции этой задачи. Получив R из (6.1) и (6.2), находим для годо­вых рент постнумерандо:

А +

R =

(6.7)

а_ Г

и;/

па

а_

i'

R =

(6.8)

S +

^SnJ

В свою очередь, если определяется размер прироста при за­данном R, то

_ (А - Ra_mi)i ^аa„._s - nv" '

(6.9)


а =

(S-Rs_nU)i

^Sn;i - »

(6.10)

Переменная /?-срочная рента с постоянным абсолютным приро­стом. Пусть R — базовая величина разовой выплаты, а — годо­вой прирост выплат. В этом случае последовательные выплаты равны

R, R + —, R + 2—,..., /?+(/>/!- 1)-.
РРР

Отдельный член этого ряда находится как

R = Л+ (/- 1)—, /= 1, .... ₉рп. Р

По определению для ренты постнумерандо при начислении процентов р раз в году получим

_1И)**-

(6.П)


рп

/-1

*♦£(,-■)(,♦,)

n-tlp

(6.12) 129

ПРИМЕР 6.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличивать­ся в течение двух лет — каждый квартал на 25 млн руб. Первона­чальный объем сбыта за квартал 500 млн руб. Определим нара­щенную сумму к концу срока при условии, что деньги за продук­цию поступают постнумерандо.

По условиям задачи Я = 500, а/р=25, / = 20%, п = 2, рп= 8. Наращенная сумма к концу двух лет составит

S « У[500 + 25(f - 1)] х 1,2²"^f/4 « 4865 млн руб.

§6.2. Ренты

с постоянным относительным

приростом платежей

Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои разме­ры во времени с постоянным относительным ростом, т.е. сле­дуют геометрической прогрессии. Поток таких платежей состо­ит из членов Л, Rq, /?^²,..., Rq^nx (q — знаменатель прогрессии или темп роста). Пусть этот ряд представляет собой ренту по­стнумерандо. Тогда ряд дисконтированных платежей состоит из величин Rv, Rqv¹, ..., Rq^nxvⁿ. Получена геометрическая про­грессия с первым членом Rv и знаменателем qv . Сумма членов этой прогрессии равна

q"v" — 1 (qv)" — 1

_А= _Rv* - = _Rw >_(6л3)

qv 1 q- (1 + i)

Пусть теперь q = 1 + к, где к — темп прироста платежей. После простых преобразований получим

_,1 + к)"

A = R :_ _к .(6.14)

Заметим, что прирост может быть как положительным (к > 0), так и отрицательным (к < 0).

Наращенная сумма ренты находится как

а" - (1 + i)"

130

_ „о+*>-_<■+.г ₍₆₁₅₎

1\> I

ПРИМЕР 6.3. Несколько изменим условия примера 6.1. Пусть те­перь члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (/с = 0,12). В этом случае

(0,9У°

'-■Л2 А= 15 х _Q2_₀₁₂ = 93,448 млн руб.,

1,12¹⁰- 1,2¹⁰
S = 15 х — = 578,604 млн руб.

I, it ■" I ,^

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с тем­пом прироста минус 10% в год (к= -0,1), тогда

_<-(С

А= 15 х Q2-/-Q ц⁼ 47,184 млн руб., S = 47,184 х 1,2¹⁰ - 292,151 млн руб.

Для годовых рент пренумерандо получим

/1 + к)"

(qv)" - 1 U ⁺ '>

А = *^W; . (1 + 0 = R 1 Н-(1 + 0. (6-16)

qv — 1 л — /

(ov)" 1 V1 + ',

5 = R———(1 + 0^я = R т =-Hl + 0^я+|. (6.17)

qv — 1 Ас — /

Рента р-срочная с постоянными опюопельными изменениями членов. Пусть платежи производятся не один, а р раз в году пост-нумерандо, проценты начисляются раз в году по ставке /. В этом случае последовательность платежей представляет собой геомет­рическую прогрессию Я, Rq, ..., Rq"?"¹, где q — темп роста за пе­риод. Начислим проценты и суммируем результат, получим

_qnp - Л + /)^я

131

Для современной величины такой ренты находим

_Qnp_vn _ J

ПРИМЕР 6.4. Пусть Я = 15 млн руб., п= 10, / = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Тогда наращенная сумма и современная стоимость ренты постнумеран-до составят:

1.06²⁰- 1,2¹⁰ S = 15 х ₁ QQ , _{1 2}о,5 = 1263,052 млн руб.,

^Об^х 1,2"¹⁰- 1
А= 15 х ₁ QQ . ₁ 20,5 ⁼ 203,990 млн руб.

§6.3. Постоянная непрерывная рента

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксиро­ванные интервалы времени (периоды ренты). Вместе с тем ино­гда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предполо­жение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно при анализе сложных производственных долгосрочных инвестиций.

Обсудим методы расчета наращенной суммы и современной стоимости, а также некоторых параметров, характеризующих постоянную непрерывную ренту, при условии, что применяет­ся годовая дискретная процентная ставка. По определению у непрерывной ренты р -* ». Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его как а_п._гДля этого необходимо найти предел коэффициента приведения /ьсрочной ренты при р —* »:

а „., = lim а^\ = lim _f/l , _ч|/я —

Непосредственная подстановка р = » в знаменатель приво­дит к неопределенности:

132

1

оо [(1 + /)■/•- I]'

Раскроем неопределенность, применив правило Лопиталя. Получим

г*р[(\ + l)^i/p- 1] 1п(1 + /)' Таким образом,

1 - (1 + /Г"

*«- |_П(1,₉ ■ <«°>

Аналогичным путем получим коэффициент наращения не­прерывной ренты

(1 + 0^я - 1

'*" и1 + о ' ^(62,)

Очевидно, что переход от дискретных платежей постнуме-рандо к непрерывным увеличивает коэффициенты приведения и наращения в / / 1п(1 +0 раз. Таким образом,

i #

"^л;/ " 1п(1 + 0 *^w;/' *«* " 1п(1 + 0 *^я;/ ■

ПРИМЕР 6.5. Ожидается, что доходы от эксплуатации месторож­дения полезных ископаемых составят 1 млрд руб. в год, продол­жительность разработки 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохо­да при дисконтировании по ставке 10% составит:

1 - 1,1-м А= 1000—гт-j— = 6446,91 млн руб.

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) предполагают непрерыв­ное поступление платежей и дискретное начисление процентов. Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса (поступление денег и наращение процентов) непре­рывны. Для получения формул соответствующих коэффициен­тов воспользуемся формулами эквивалентности между непре­рывными и дискретными ставками: 6 = 1п(1 + /); / = е^ь— 1, где,

133

напомним, 6 — сила роста. Перепишем формулы (6.20) и (6.21), использовав эти соотношения. Получим:

1 - _е-ъп

*** = ——' <⁶-²²>

^=—т- ⁽⁶²³⁾

Заметим, что формулы (6.20), (6.21) и (6.22), (6.23) дают оди­наковые результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными (см. § 4.2).

В табл. 5 и 8 Приложения содержатся значения коэффици­ентов наращения и приведения непрерывной ренты.

ПРИМЕР 6.6. Пусть в примере 6.5 дисконтирование осуществля­ется по силе роста 10%, тогда

оТ
^{А= Rd}n,b ^{= 100}° < ⁼ 6321,21 млн руб.

Эквивалентная дискретной ставке 10% (которая была приме­нена в примере 6.5) сила роста составит 6 = 1п1,1 = 0,09531, или 9,531%. Откуда

А= 1000 51)9531 ^{= 6446}'^{91 млн руб}-

Формулы (6.22) и (6.23) можно получить и с помощью ин­тегрирования. Например, коэффициент приведения находим следующим образом:

о

I 6
,-6х/^ ' _л-6х/

\-е

-6х/|

Остановимся теперь на одном частном, но практически важ­ном вопросе. Определим величину коэффициента наращения непрерывной ренты для одного годового интервала времени. Обозначим коэффициент наращения р-срочной ренты для это­го интервала как 1_{. Его предел при р -* » составит

^S{1п(1 + /)'

134

Разложим эту функцию в степенной ряд, ограничившись первыми тремя членами:

1 1 ,

*,-i + 7''-7T^/2-

Близкий к этому результат дают и первые три члена разло­жения бинома:

(1 +/)'/>= l+i-z-i-Я. В итоге имеем

f, - (1 + /)"/2.

Аналогично находим коэффициент приведения непрерыв­ной ренты за годовой период:

а_х (1 4- /)-'/2.

Иначе говоря, равномерная и непрерывная выплата годовой суммы Р примерно равнозначна разовой выплате этой суммы в се­редине года,

Определение срока и размера ставки для постоянных непре­рывных рент. Начнем с определения срока для случая, когда ис­ходной является современная стоимость данного потока плате­жей. Решим (6.20) относительно п , принимая во внимание, что А = Ra_n;i:

п = ^Х—_ь '-.(6.24)

Аналогично для случая, когда исходной является наращен­ная сумма ренты, получим:

1п(|б₊1
п ^— -. (6.25)

135

ПРИМЕР 6.7. За какой срок наращенная сумма ренты вырастет в 5 раз по сравнению с годовой суммой взносов, если последние осуществляются непрерывно и равномерно в пределах года? На взносы начисляются проценты, сила роста 8%. Здесь S/R = 5, 6 = 0,08, отсюда согласно (6.25)

Ш(5х 0,08 + 1) _лг%4

^п= 7Г^ = 4»^{21 г}°Д^а-

0,08

Что касается определения силы роста по всем остальным за­данным параметрам ренты, то здесь возникают те же затрудне­ния, с которыми мы встретились при решении аналогичной зада­чи для дискретной ренты. Наиболее простым выходом является интерполяция и метод Ньютона—Рафсона. С помощью метода Ньютона—Рафсона получим следующую рекуррентную¹ формулу:

\-е* о_к

R

ПРИМЕР 6.8. Какова доходность инвестиций, измеренная в виде силы роста, если затрачено 1000 млн руб., годовая отдача ожи­дается в размере 200 млн руб., посупающих равномерно в пре­делах года, срок отдачи — 8 лет.

Применим формулу (6.26). Пусть начальное значение 6₀ = 0,12, тогда

1 -в"⁰-¹²*⁸- 5 х0,12
⁶1⁼⁰'¹²- _8в-о,12х8.-5 ⁼⁰'¹²⁸⁸'

Проверка: <*_{8;12 88} = 4,992. Очевидно, нет необходимости в сле­дующей итерации.

§6.4. Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные постоян­ные потоки платежей. Там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единствен­но возможным. На практике, особенно при анализе производст-

¹ Доказательство см. в Математическом приложении к главе.

136

венных инвестиций, поток платежей может существенно изме­няться во времени, в том числе следуя какому-либо закону.

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Л, =/(')> то общая сумма поступлений за время п рав­на ff[t]dt. В этом случае наращенная сумма (при начислении

о процентов используется процентная ставка в виде силы роста 6) находится как

5-//(/)е"Мл.

О

Современная стоимость такого потока определяется как

Л-//(')^е"^5х'^Л-о

Для того чтобы рассчитать величины А и 5, необходимо оп­ределить конкретный вид функции изменения платежей и зна­чения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить, исходя из соотношения

S = А&™.(6.27)

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функ­ция потока:

R_t= Rq + at,(6.28)

где /^ — начальный размер платежа, выплачиваемого в едини­цу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современная стоимость получена с помощью интегрирова­ния функции потока платежей:

A «jf(/io +at)e-^bytdt « В^е'^шЛ + ajte'^bxt-

О 0 0

(6.29)

Я_{0 +} -)а_к6--пе-^ЬхП

Rodъъ + - (а „_;5 - пе^Ьхп)а 5

137

где а_п.₆— коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

В последней записи наглядно представлено влияние началь­ного размера платежа и приростов.

ПРИМЕР 6.9. Намечается в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млн руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска — 10 млн руб. Необходимо определить суммарный объем выпуска с начисленными процентами. Сила роста 8%. Определим коэффициент приведения

•J _ _в-0,08 х 3

0,08
*3;8 = ^^ = 2.66715.

Современная стоимость ренты

^А= 1¹<> + "^Г1².66715 - -г-гг-Зе⁰-⁰⁸ *³ = 30,5 млн руб.
[ 0.08J 0,08

Искомая наращенная сумма S = 30,5 х 1,08³ = 38,4 млн руб.

Экспоненциальный рост платежей. Функция потока платежей

R_t= Re<*\(6.30)

где q — непрерывный темп прироста платежей.

Современная величина такой ренты определяется следую­щим образом:

^{п п} i л. Л^я"^ь\

Rfei'e^'dt- RCe^ > dt - R

У⁶)" _ 1
-R- -.

Разность q — Ь определим следующим образом: где к — дискретный темп прироста.

138

А.ЯСе"'е-^ыЛ.ЯСе^'- -«

(6.31)

ПРИМЕР 6.10. Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если Я = 100, / = 7%, п= 3 года. Из условий задачи сле­дует:

1 + 0,05 Таким образом,

_в-0,01887x3 - «J

^А= ¹0° па«_Мт—=291,5,

-0,01887

S = А(1 + /)³ = 291,5 х 1,07³ = 357,1.

§6.5. Конверсии рент

Виды конверсии. В практике иногда сталкиваются со случая-ми, когда на этапе разработки условий контракта или даже в хо­де его выполнения необходимо в силу каких-либо причин из­менить условия выплаты ренты. Иначе говоря, речь идет о кон­вертировании условий, предусматриваемых при выплате финансо­вой ренты. Простейшими случаями конверсии являются: заме­на ренты разовым платежом (выкуп ренты), или наоборот, за­мена разового платежа рентой (рассрочка платежа). К более сложному случаю относится объединение нескольких рент с разными характеристиками в одну — консолидация рент. Общий случай конверсии — замена ренты с одними условиями на рен­ту с другими условиями, например, немедленной ренты на от­ложенную, годовой — на ежеквартальную и т.д. Ясно, что все перечисленные изменения не могут быть произвольными. Если предполагается, что конверсия не должна приводить к измене­нию финансовых последствий для каждой из участвующих сто­рон, то конверсия должна основываться на принципе финансо­вой эквивалентности (см. гл. 4).

Конверсия рент широко применяется при реструктурирова­нии задолженности. Как известно, при этом нередко условия погашения долга смягчаются, однако принцип эквивалентности соблюдается и в этих случаях, обычно, правда, в урезанном, ес­ли так можно сказать, виде. Подробнее о реструктурировании долга будет сказано в гл. 9. Здесь же обсудим несколько основ­ных случаев конверсии рент.

139

Выкуп ренты. Этот вид конверсии сводится к замене ренты единовременным платежом. Решение проблемы здесь очень простое. Искомый размер выкупа должен быть равен современ­ной стоимости выкупаемой ренты. Для решения задачи в зави­симости от условий погашения задолженности выбирается та или иная формула расчета современной стоимости потока пла­тежей. Естественно, что применяемая при расчете современной стоимости процентная ставка должна удовлетворять обе участ­вующие стороны.

Рассрочка платежей. Обсудим теперь задачу, обратную выку­пу ренты. Если есть обязательство уплатить некоторую крупную сумму и стороны согласились, что задолженность будет погаше­на частями — в рассрочку, то последнюю удобно осуществить в виде выплаты постоянной ренты. (В.М. Третьяков, например, предлагал В. В. Верещагину оплатить несколько его картин пу­тем выплаты соответствующего аннуитета.)

Для решения задачи приравниваем современную стоимость ренты, с помощью которой производится рассрочка, сумме дол­га. Задача обычно заключается в определении одного из пара­метров этой ренты — члена ренты или ее срока — при условии, что остальные параметры заданы. Подобного рода задачи под­робно обсуждались в § 5.4, поэтому здесь нет смысла останав­ливаться на них.

Объединение (консолидация) рент. Объединение рент, оче­видно, заключается в замене нескольких рент одной, парамет­ры которой необходимо определить. В этом случае из принци­па финансовой эквивалентности следует равенство современ­ных стоимостей заменяющей и заменяемых (консолидирован­ных) рент, что соответствует равенству

Л = 2Л_Щ,(6.32)

где А — современная стоимость заменяющей ренты, А — сов­ременная стоимость ?-й заменяемой ренты.

Объединяемые ренты могут быть любыми: немедленными и отсроченными, годовыми и /ьсрочными и т.д. Что касается за­меняющей ренты, то следует четко определить ее вид и все па­раметры, кроме одного. Далее, для получения строгого баланса условий, необходимо рассчитать размер неизвестного парамет-

140

pa исходя из равенства (6.32). Обычно в качестве неизвестного параметра принимается член ренты или ее срок. Так, если за­меняющая рента постнумерандо является немедленной и задан ее срок я, то из (6.32) следует

R = -_т^±.(6.33)

я;/

В свою очередь, если задается сумма платежа (размер члена заменяющей ренты) и его периодичность, то отыскивается срок новой ренты. Обычно задача сводится к расчету п по заданно­му значению а_нЧ(см. § 5.4 и табл. 5.1). Необходимая для расче­та величина коэффициента приведения определяется условия­ми задачи. Для немедленной ренты постнумерандо имеем:

-»;/ ; _R
а„., = : = -^JL-r-.(6.34)

Если 2, A_qизвестно, то, определив на основе (6.34) величину

ч п, получим

«|+* • <"⁵⁾

Как видим, для того чтобы задача имела решение, необходи­мо соблюдать условие:

< 1.

R

ПРИМЕР 6.11. Три ренты постнумерандо — немедленные, годо­вые — заменяются одной отложенной на три года рентой постну­мерандо. Согласно договоренности заменяющая рента имеет срок 10 лет, включая отсрочку. Характеристики заменяемых рент: R_q= 100; 120; 300 тыс. руб., сроки этих рент: 6; 11 и 8 лет. Если в расчете принять ставку сложных процентов, равную 20%, то сумма современных стоимостей этих рент составит немного бо­лее 2002,9 тыс. руб. (см. табл. 6.1).

Размер члена заменяющей ренты равен

141

3,60459 x 1,2"³
ff =

2002,946

^а7;20^³

2002,946

зг = 960,189 тыс. руб.

Если бы заменяющая рента была немедленной, то

2002,946 ^{Я =} 1^^" ^{= 555}'^{665ТЫСРУ6}-

Таблица 6.1

	Определение члена		заменяющей ренты
Рента (q)	"я	"я	/	вл,-Я»	Яап,-20
1	100	6	20	3,32551	332,551
2	120	11	20	4,32706	519,472
3	300	8	20	3,83716	1151,148
Итого	520				2002,946

Продолжим пример. Пусть теперь заданным является не срок, а сумма годового платежа, скажем 1500 тыс., и необходимо най­ти срок заменяющей ренты. Ход решения: определяется совре­менная стоимость немедленной ренты, затем рассчитывается ее срок.

А= 2002,946 х 1.2³ = 3461,091 тыс. руб. По формуле (6.35) получим

п=-

, ,₄3461,091 _ЛМ

-^,n(1 l^o-°-²⁾

In 1,2

= 3,395 года.

Округляем ответ до 3 или 4 лет и компенсируем нехватку по­крытия долга или излишки (см. пояснения в § 5.4.) при определе­нии срока ренты.

Рассмотрим один частный случай. Пусть член заменяющей ренты равен сумме членов заменяемых рент: R = Z А?^. Все рен­ты годовые, постнумерандо. Если процентная ставка у всех рент одинаковая, то в силу (6.32) получим

i-(u/)-" sif'-M""]

/J . _ш . L_?

142

где п — срок заменяющей ренты. После преобразований находим

1пЛ-1пУ Л(l+ i)""^f

ПРИМЕР 6.12. Консолидируются ренты, предусматривающие го­довые платежи в суммах 0,5; 1,5 и 3 тыс. руб.; сроки этих рент 10, 15 и 12 лет, процентная ставка у заменяющей ренты 5% годовых. Если выплаты определены в размере R = 5 тыс. руб., то

In 5
^П In 1,05

In (0,5 х 1.05-¹⁰ + 1,5 х 1,05"¹⁵ + 3 х 1,05'¹²) In 1,05

= 12,64 года.

Рассмотренные варианты объединения рент, естественно, не охватывают все возможные случаи, с которыми можно столк­нуться на практике. Да в этом и нет необходимости. Отправля­ясь от равенства современных стоимостей консолидируемых и заменяющей рент, легко вывести соответствующую формулу для решения конкретной задачи.

§6.6. Изменение параметров рент

Изменение хотя бы одного условия ренты по существу озна­чает замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, та­кая замена должна базироваться на принципе финансовой эк­вивалентности. Из этого следует равенство современных стои­мостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она мо­жет быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличе­ния. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно опреде­лить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.

Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется не­медленная рента постнумерандо с параметрами Л,, п_{9процент­ная ставка равна /. Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с

143

параметрами R_vя₂, t (t не входит в срок ренты). Здесь возмож­ны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется Л₂, и наобо­рот. Рассмотрим первую задачу при условии, что п₂= л, = я. Для этого случая справедливо следующее равенство:

Откуда

Л₂=Л_|(1+/У. (6.37)

Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за вре­мя t члену заменяемой ренты.

В общем случае, когда п₂*я,, из равенства А_х= А₂следует

R₂. ^^-(l+i)', (6.38)

^an₂\i

где / — продолжительность отсрочки.

ПРИМЕР 6.13. Пусть немедленная рента постнумерандо с усло­виями Я₁ = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых. Согласно (6.37) получим

Я₂ = 2 х 1,2² = 2,88 млн руб.

Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увели­чивает ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновремен­но со сдвигом начала выплат срок ренты увеличивается, скажем, до 11 лет вместо 8 (л = 11), то по формуле (6.38) находим

*2 = ^Т^ ^{х 1}'^{22 = 2 х} !'!от^ ^{х 1}'^{22 = 2}'^{55393 млн} РУ⁶'

^а11;20 4,32706

Определим теперь срок новой ренты при условии, что раз­мер члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на / лет. Тогда из равенства

Я**,;/ - ^Кап₂-У находим 144

-In{l -[!-(!+ /Г1(1 + т₍, ,_оч

"2⁼ щПЦ ■ ⁽⁶³⁹⁾

ПРИМЕР 6.14. Рента с условиями Я = 2 млн руб., п= 5 лет, / = 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим

-1п[1 -(1 - 1,08-⁵)1,08³]

п₀= ■ ■ ——- = 6,689 года.

² In 1,08 ' ^д

Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обой­дется в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжитель­ность новой ренты (без учета отсрочки) равна 6 годам. Современ­ная стоимость такой ренты с учетом отсрочки равна

А₂= Ra_ssv3 = 2000 х 4,6288 х 1.08"³ = 7339,58 тыс. руб.

Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уп­латить в начале действия контракта или с соответствующим нара­щением в любой иной момент.

Замена годовой ренты на /^-срочную. Пусть годовая немедлен­ная рента с параметрами Л,, п_{заменяется на р-срочную с па­раметрами R₂, n₂, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то

*2-*i%. (6.40)

_а(Р)

Причем, если п₂= п_{= я, то

«*/ />[(!+О'/'-1]

*«

Откуда

R₂- Л,— J Ц (6.41)

ПРИМЕР 6.15. Пусть Я₁ = 2, п₁ = п₂= п. Если годовая рента по-стнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неиз-

145

менности срока ренты эквивалентность замены достигается толь­ко за счет корректировки размера выплат. При условии, что / = = 20%, находим

4(1 2^1/4 - 1)
Я₂ = 2 х '₀₂ ^L = 1,86541.

Продолжим пример. Пусть теперь п₁ = 3, а п₂= 4 года. Соглас­но (6.40) получим

^аз;20 2,10648

^{Я2 = 2}^^=2Х^^^=1,51791'

Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществле­на и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого сначала нахо­дим

"*# R, R, "^i;i"

>),. Л -£*,:, (6-42)

2 ^К2

Далее по формуле (5.31) определим п₂.

Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной заме­ны рент рассматривались применительно к постоянным дис­кретным рентам. Однако переход от одного вида к другому воз­можен для любых потоков платежей. В каждом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих со­временных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей R_nвыплачиваемых спустя n_tлет после на­чала действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, п . Исходное уравнение эквивалентно­сти имеет вид

Данное равенство дает возможность определить один из па­раметров ренты: R или п. Решение обратной задачи — опреде­ление членов нерегулярного потока платежей — достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих этому равенству.

146

Математическое приложение к главе

1. Доказательство формулы (6.1)

Имеется ряд платежей: R, R + a, R + 2а, ..., R + (п - 1)я. Определим современную стоимость данного потока плате­жей.

А = Rv + (R + 2 + ... + [Л + (л - l)a]vⁿ.(1)

Умножим это равенство на (1 + /) и вычтем из обеих частей выражения соответствующие части равенства (1), получим

iA = R + 0v + av²+ ... + от*"¹ - [Л + (л - 1)]яу^л = = Л(1 - v") + а 2 v' - /шу^л + avⁿ.

После чего имеем

1 — у^Л\ яд».,"" ляу^л
Л-Я1 " / 1+ *'

Напомним, что

1 vⁿ

**/'

В итоге

/ I ^й;' /
А= Л + т д., г-

2. Метод Ньютона—Рафсона

С помощью этого метода последовательным приближением определяется нелинейная функция f(x) = 0. Общий вид рекур­рентного соотношения:

_л**)

^Хк + \ ^Хк *" \ » О

где Л — номер итерации, х_к— значение х после Л-й итерации, /Ч*_Л) — значение производной функции/^/

147

Основная задача заключается в разработке функции f(x), удобной для дальнейших преобразований. Применим метод для вывода формулы (6.26).

В качестве заданной принимается величина Л. Исходная функция Л = Ra_nb. Таким образом,

1 - е^Ьп

/(6) = R -Л = 0. (2)

о

Разделим это выражение на Л и умножим на 6:

/(6)= 1 -*-*«-^6 = 0. (3)

Отношение A/R определяется условиями задачи. Преобразу­ем полученную функцию и найдем ее производную:

Г(ь)шпе-**"^я-±.(4)

Подставим в общую запись рекуррентного соотношения (1) полученные значения функции и ее производной. Можно на­писать искомую итерационную формулу (6.26):

пе'^Ьхп- -R

Очевидно, что, чем ближе начальное значение ставки (<$₀) к истинному, тем меньше потребуется итераций.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М, 1997. Гл. 3.
   
2. 
   Четыркин ЕМ. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. §5.5.
   
3. 
   Четыркин Е.М., Васильева И. Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­нансы и статистика, 1990. Гл. 4.
   
4. 
   Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.