Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 7 из 58

Глава 5

ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто пред­полагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задол­женности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последователь­ность, или ряд платежей, называют потоком платежей, (В за­падной финансовой литературе в аналогичном смысле приме­няется термин cash flows stream — буквально, потоки налично­сти, хотя речь идет о потоке денег в любом виде.) Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока (cash flow)¹. Введение понятия поток платежей в финансовый коли­чественный анализ, что произошло сравнительно недавно, за­метно расширило рамки и возможности последнего.

Классификация потоков. В практике встречаются разнообраз­ные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций. Поэтому в этой и следующей главах основное вни­мание уделяется формальным соотношениям, а не конкретным экономическим показателям, связанным с этими операциями.

Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусмат­ривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярны­ми. Члены потоков могут быть как положительными (поступле­ния), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого — положительные ве­личины, а временные интервалы между платежами одинаковы,

¹ В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.

94

называют финансовой рентой, или просто рентой (rent). Напри­мер, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода по­ток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго гово­ря, применимо только к ежегодным выплатам.

Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, сущест­венно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений многих, необходимых для финансовых расчетов коэффициентов.

Рента описывается следующими параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последова­тельными платежами, срок ренты (term) — время от начала пер­вого периода ренты до конца последнего, процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях фи­нансовой операции. Однако, как будет показано далее, этот па­раметр крайне необходим для ее анализа. При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные ус­ловия и параметры. Например, число платежей в году, способ и частота начислений процентов, параметры, характеризующие закономерность изменения размеров члена ренты во времени.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р — количество выплат в году). В анализе производственных инве­стиций иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В фи­нансовой практике встречаются и с такими последовательно­стями платежей, которые производятся так часто, что их прак­тически можно рассматривать как непрерывные.

По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат чле­нов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упро­щаются, если два указанных момента совпадают.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены пе-

95

ременных рент изменяют свои размеры во времени, следуя ка­кому-либо закону, например арифметической или геометриче­ской прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). По­стоянные ренты — наиболее рапространенный вид ренты.

По вероятности выплат ренты делятся на верные {annuity cer­tain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат без­условной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некото­рого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты — пос­ледовательные платежи в имущественном и личном страхова­нии. Типичным примером страхового аннуитета является по­жизненная выплата пенсии.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные ренты {perpetuity). С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не огова­ривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логич­но рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облига­ционным займам.

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момен­та времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные {deffered annu­ity). Пример отсроченной ренты: погашение долга в рассрочку после льготного периода.

Очень важным является различие по моменту выплат плате­жей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо {ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пре-нумерандо {annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого по­лугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет, Таким образом, предусматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная рента постну­мерандо.

96

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предпола­гает расчет одной из двух обобщающих характеристик: нара­щенной суммы или современной стоимости потока. Наращен­ная сумма {amount of cash flows) — сумма всех членов потока пла­тежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под современной стоимостью потока платежей {present value of cash flows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент вре­мени. (В старой русской финансовой литературе аналогичный по содержанию показатель назывался настоящей ценой плате­жей.) Конкретный смысл этих характеристик определяется со­держанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной за­долженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, на­копленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современ­ная стоимость характеризует приведенные к началу осуществле­ния проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализи­рованный доход или чистую приведенную прибыль от реализа­ции проекта и т. п.

Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная стоимость, широко применяются в различных фи­нансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разра­ботать план последовательного погашения задолженности, из­мерить финансовую эффективность проекта, осуществить срав­нение или безубыточное изменение условий контрактов, ре­шать многие другие практические задачи. В связи со сказанным основное внимание в данной главе уделено методам расчета на­ращенных сумм и современных стоимостей постоянных финан­совых рент. Однако, до этого необходимо обсудить более общие подходы, применяемые при определении упомянутых парамет­ров в анализе любых видов потоков платежей.

Прямой метод расчета наращенной суммы и современной сто­имости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей /?,, выплачиваемых спустя вре­мя n_tпосле некоторого начального момента времени. Общий срок выплат п лет. Необходимо определить наращенную на ко­нец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляют­ся раз в году по сложной ставке /, то, обозначив искомую вели­чину через 5, получим по определению

97

S-lR_t(l₊i)"-

(5.1)

Современную стоимость такого потока также находим пря­мым счетом как сумму дисконтированных платежей:

_2^

(5.2)

где А — современная стоимость потока платежей, v ' — дис­контный множитель по ставке /.

Как уже отмечено выше, современная стоимость потока пла­тежей представляет собой обобщающую оценку, приуроченную к некоторому предшествующему моменту времени (у немедлен­ной ренты — к началу срока). Наращенная сумма также явля­ется обобщением всех членов потока в виде одного числа, од­нако эта оценка приурочена к концу срока. Нетрудно обнару­жить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируем сумму S с помощью дисконтного множителя v", получим

Наращивая сумму А по той же ставке, получим А(\ + *)^Л = S.

(5.3)

ПРИМЕР 5.1. График предусматривает следующий порядок вы­дачи ссуды во времени: 1 июля 2000 г. — 5 млн руб., 1 января 2001 г. — 15 млн руб., 1 января 2003 г. — 18 млн руб. Необходи­мо определить сумму задолженности на начало 2004 г. при усло­вии, что проценты начисляются по ставке 20%. Схематично усло­вия задачи показаны на рис. 5.1.

15

18

S = ?


1 июля 1 января 2000 г. 2001 г.

1 января 1 января 2003 г. 2004 г.


98

Рис. 5.1

Находим

S = 5 х 1,2³'⁵ + 15 х 1,2³ + 18 х 1,2 = 56,985 млн руб.

По этим же данным определим современную стоимость пото­ка на момент выплаты первой суммы, При прямом счете получим

А= 5 + 15 х 1,2-°-⁵ + 18 х 1,2-²'⁵ = 30,104 млн руб.,

а по формуле (5.3)

А= 56,985 х 1.2"³'⁵ = 30,104 млн руб.

В частном, но распространенном случае, когда размеры чле­нов потока произвольны, но выплаты постнумерандо произво­дятся через равные интервалы времени, а их количество боль­ше 5—7, есть смысл для расчета величины А применить про­грамму НПЗ (NPV) пакета Excel

Порядок действий при использовании программы НПЗ

1. 
   Последовательно вызвать: £, "финансовые функции", НПЗ.
   
2. 
   В строке Норма показать ставку начисляемых процентов за период.
   
3. 
   В строках Значения последовательно показать данные, ха­рактеризующие поток платежей, не более 29 членов потока.
   

После выполнения действий 1—3 в итоговой строке окна ав­томатически показывается расчетная величина современной стоимости потока платежей. После нажатия ОК эта величина показывается в выделенной ячейке таблицы Excel

Примечание. Пользователь может изменять размеры процент­ной ставки и/или членов потока платежей, не выходя из окошка.

ПРИМЕР 5.2. Определим современную стоимость потока, члены которого 40, 50, 45, 70 выплачиваются постнумерандо по полуго­диям. Процентная ставка 12% за полугодие. Вызвав программу НПЗ, введем данные:

Норма: 12% Значение 1: 40 Значение 2: 50 Значение 3: 45 Значение 4: 70 Ответ: 152,09

99

§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета, как это было показано в § 5.1, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользо­ваться более компактными формулами. Поскольку обобщаю­щие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания суще­ства дела, вероятно, достаточно разобраться с расчетом соот­ветствующих характеристик лишь для некоторых из них. В этом и следующем параграфах анализируются ренты постну­мерандо.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годо­вой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в кон­це каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке / % годовых. Таким образом, име­ется рента, член которой равен R , а срок — п. Все члены рен­ты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п — 1 год, на второй п — 2 и т.д. На по­следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Л(1 + /Г"¹, Л(1 + 0^я"², ..., ЛО + 0, Л

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедить­ся в том, что он представляет собой геометрическую прогрес­сию со знаменателем (1 + I) и первым членом Л. Число членов прогрессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

Откуда

(1+/Г-1(И-У-1
^SR(l + 0-l / ⁽⁵"⁴⁾

Обозначим множитель, на который умножается Л, через s_n4, нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и ве­личину процентной ставки (часто в литературе можно встретить

100

обозначение s_ny). В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты. Данный коэффициент пред­ставляет собой наращенную сумму ренты, член которой равен 1:

^пА< \/ (i + 'T-i

г-о '

Таким образом,

S=Rs_n;i.(5.6)

Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увели­чением значения каждого из этих параметров его величина рас­тет. При / = О имеем S= Rn. Значения коэффициента легко та­булировать (см. табл. 6 Приложения).

ПРИМЕР 5.3. Для обеспечения некоторых будущих расходов со­здается фонд. Средства в фонд поступают в виде постоянной го­довой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер разового платежа 4 млн руб. На поступившие взносы начисляются процен­ты по ставке 18,5% годовых. Поскольку в таблице коэффициентов наращения Приложения нет такого значения ставки, то необходи­мую величину определим по формуле (5.4). Величина фонда на конец срока составит

о лл 0+0,185)⁵-1 _ООЛ

^s = ^{4 х S}5;18,5 = ^{4 х} ^85 ^{= МЛН РУ}

Для расчета наращенной суммы можно воспользоваться па­кетом Excel БЗ (FV), который следует применять только в тех случаях, когда р = т. Последовательность действий и пример применения этой программы показаны ниже — там, где речь идет о таких рентах.

Полезно проследить взаимосвязь коэффициентов наращения, относящихся к последовательным интервалам времени. Для слу­чая, когда общий срок определяется как п = /i, + n_vполучим

Годовая рента, начисление процентов т раз в году. Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако

101

проценты теперь начисляются т раз в году. Число членов ренты равно пт. Члены ренты с начисленными к концу сро­ка процентами образуют ряд (перепишем его в обратном по­рядке):

Л, Л(1 +y//w)^w, Л(1 +у/т)^2/я, ..., Л(1 +y//w)<'^|-^,>^/w,

где у — номинальная ставка процентов (см. § 3.3).

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической профессией. Первый член про­грессии равен Л, знаменатель — (1 +_<///w)^w. Сумма членов этой прогрессии составляет

(1 + j/m)^mn- 1
⁵" ^Л(1+у/т)--1 " **«*"⁽⁵⁸⁾

ПРИМЕР 5.4. Несколько изменим условия примера 5.3. Пусть те­перь проценты начисляются поквартально, а не раз в году. Име­ем j/m = 18,5/4, тп= 20:

(1 + 0,185 /4)²⁰- 1

S = 4- ¹ '—Ч = 29,663 млн руб.

(1 + 0,185 / 4)⁴ - 1 ' ^му

Как видим, переход от годового начисления процентов к по­квартальному несколько увеличил наращенную сумму.

Рассмотрим теперь методы расчета наращенной суммы для вариантов /ьсрочной ренты постнумерандо при условии, что /и = 1,/и=/>и/и*/>.

Рента /^-срочная (т = 1). Пусть рента выплачивается р раз в году равными суммами, процент начисляется раз в конце года. Если годовая сумма платежей равна /?, то каждый раз выпла­чивается R/p. Общее число членов ренты равно пр. Последова­тельность членов ренты с начисленными процентами предста­вляет собой геометрическую прогрессию. Первый член ее ра­вен R/p , знаменатель — (1 + i)^{/p. Сумма членов этой прогрес­сии

^sр ^х о + о'/>-1 ^R_P[(i + ,y/>- и Ki- ⁽⁵⁹⁾

102

ПРИМЕР 5.5. Вернемся к условиям примера 5.3. Допустим, пла­тежи выплачиваются поквартально: Я/р=1 млн руб., общее число платежей равно 20. Наращенная сумма составит

1.185⁵- 1 S = ⁴ 4(1,18514-1) ^{= 30}'^{834 МЛН РУб}*

Рента ^-срочная (р = т). На практике наиболее часто встре­чаются случаи, когда число выплат в году равно числу начисле­ний процентов: р = т. Для получения необходимой формулы воспользуемся (5.4), в которой / заменено нау//и , а вместо чис­ла лет берется число периодов выплат ренты пр, член ренты ра­вен R/p. Поскольку р = /и, то в итоге получим

R (1 + 7/т)™-1 (1 +7//ЯГ-1

о = — х " = К : . (5.10)

т j/m j

Полученные выше формулы (5.4) и (5.5) могут применяться и для определения наращенной суммы /ьсрочной ренты. В этом случае переменная п означает число периодов, в свою очередь / является ставкой за период. Например, пусть рента постнуме-рандо выплачивается по полугодиям. Тогда в формуле (5.4) под п следует понимать число полугодий, а под / — сложную став­ку за полугодие.

Для расчета наращенной суммы для этого случая можно вос­пользоваться программой БЗ (FV) пакета Excel Эта программа помимо потока постоянных платежей учитывает единовремен­ный взнос (имеющиеся средства) в начале срока. Расчет произ­водится по формуле

S = Rs_ml+ Н3(1 + О",

где R — член ренты, НЗ — единовременный взнос, s_n;i— коэф­фициент наращения постоянной ренты, п — число' периодов выплаты ренты и начисления процентов, / — процентная став­ка за период.

Порядок действий при использовании программы БЗ

1. 
   Последовательно вызвать:/^, "финансовые функции", БЗ.
   

1. 
   В окошке указать параметры и условия ренты: Норма — ставка начисляемых процентов за период,
   

юз

Число периодов,

Выплата — член ренты; показывается с отрицательным знаком,

НЗ — единовременный взнос в начале срока; показывает­ся с отрицательным знаком. Если эта величина не указы­вается, то результат — наращенная сумма постоянной ренты,

Тип — вид ренты: 0 — для ренты постнумерандо и 1 — для ренты пренумерандо. Если вид ренты не указывается, то расчет ведется для ренты постнумерандо.

После выполнения действий 1—2 в итоговой строке Значе­ние автоматически показывается расчетная величина. После на­жатия кнопки ОК эта величина показывается в выделенной ячейке Таблицы Excel.

ПРИМЕР 5.6. Продолжим наш сквозной пример 5.3—5.5. Пусть выплата членов ренты и начисление процентов производится по­квартально. По формуле (5.10) получим

(1 + 0,185 /4)⁴*⁵- 1

S = 4 х —— = 31,785 млн руб.

0,185

или по формуле (5.4)

(1 + 0,185/4)²⁰- 1

S = ¹ * ^S20;18,5/4 = ¹ * 0,185/4 ^{= 31,?85 МЛН РУб>}

Применим программу БЗ. Для этого введем данные:

Норма: 4,625%, Число периодов: 20, Выплата: -1,

НЗ и Тип не указываются, так как НЗ = 0 выплаты постнуме­рандо.

Ответ: 31,785

Рента р-срочная (р * /и). Определим теперь наращенную сум­му для наиболее общего случая — /ьсрочная рента с начисле­нием процентов т раз в году. Общее количество членов ренты равно пр, величина члена ренты R/p. Члены ренты с начислен­ными процентами образуют ряд, соответствующий геометриче­ской прогрессии с первым членом R/p и знаменателем (1 + + j/m)^mtP. Сумма членов такой прогрессии составит

104

_R (1 +j/mTtP"»P - 1 _ (1 + J/m)™ - 1

/> ^X (l+y/w)^-l p[(l +y/m)^-l]' ⁽* '

ПРИМЕР 5.7. Если в ренте, наращенная сумма которой опреде­лялась в предыдущем примере, начисление процентов произво­дится ежемесячно, то

(1 +0.185/12)¹²*⁵- 1 ^{S = 4}4[(1+ 0,185/12)12/4-1] * ³²'^{025 МЛН р}У^б-

Непрерывное начисление процентов. Обсуждение методов оп­ределения наращенных сумм дискретных рент будет неполным, если не охватить ренты с непрерывным начислением процен­тов. Перепишем в обратном порядке ряд платежей с начислен­ными непрерывными процентами. Пусть это будут ежегодные платежи постнумерандо. Получим: R, Re^b, Re^2b, ..., Rel"^{)^b. Сумма членов профессии равна

е⁶"- 1
S- *-jZJ = *'**>(5-12)

где е — основание натуральных логарифмов. Аналогично для /ьсрочной ренты находим

5= /? , л_/п \_ч =Rs<*>(5.13)

р(е№- 1) ^п>⁶

ПРИМЕР 5.8. Если бы в условиях примера 5.2 вместо ежегодно­го начисления процентов предусматривалось непрерывное их на­числение, причем сила роста равна 18,5%, то

_е0,185x5 _ -J

S ^{= 4 х} —0 185 _ ^{= 29}»955 млн руб. При ежеквартальной выплате членов ренты получим

_е0,185x5 _ -J

^s = ⁴ * 4(e°.i85/4-D = ³²'^{150 млн} РУ^б-

Заметим, что непрерывное начисление процентов членов дис­кретной ренты дает в итоге такую же сумму, что и наращение по дискретной ставке / или у, если сила роста эквивалентна этим

105

ставкам. Продемонстрируем сказанное на примере. Сила роста, эквивалентная годовой ставке 18,5%, согласно (3.27) составит 6 = 1п(1 + 0,185) = 0,16974. Для годовой ренты получим (см. пример 5.3)

_е0,16974х5 _ -J
^{S = 4 Х} 0,16974 _ ^{= 28}'^{900 МЛН} РУ^б-

Сравнение результатов наращения годовых и ^-срочных рент постнумерандо с разными условиями выплат и наращения процен­тов. Как видно из приведенных выше примеров, частота плате­жей и наращения процентов заметно влияют на размер нара­щенной суммы. Для практика, очевидно, представляет опреде­ленный интерес соотношения этих сумм.

Обозначим сравниваемые суммы как S{p;m): так, 5(1 ;1) озна­чает наращенную сумму годовой ренты с ежегодным начисле­нием процентов, S(\;m) — аналогичную характеристику для ренты с начислением процентов т раз в году, наконец, S(pp>) — наращенную сумму /ьсрочной ренты с непрерывным начис­лением процентов.

Для одних и тех же сумм годовых выплат, продолжительно­сти рент и размеров процентных ставок (/ =у = б) получим сле­дующие соотношения:

S(l;\);oo)
/и>1 р>\ р>т>\ р=т>1 т>р>\

Приведенные неравенства могут быть использованы при выборе условий контрактов, так как позволяют заранее (до расчета) получить представление о результатах, связанных с конкретными условиями. Например, можно заранее сказать, что рента с условиями: р = 2 и т = 4 дает меньшую наращен­ную сумму, чем с/> = 4и/и = 2 при равенстве всех прочих ус­ловий.

В качестве иллюстрации приведем значения S(p;m) для рен­ты с параметрами п = 10, R = 10, / =7=6 = 6%:

	/я- 1	тш1	л-4	ж-12	т «■ <*>
р = \ />=4	131,81 134,74	132,37 135,35	132,65 135,67	132,85 135,88	132,95 135,99

106