Главная страница

Е. М. Четыркин финансовая математика


Скачать 4.63 Mb.
НазваниеЕ. М. Четыркин финансовая математика
Анкорchetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
Дата22.04.2017
Размер4.63 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файлаchetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
ТипУчебник
#4971
страница28 из 58
1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   58

§17.5. Страховые пенсионные схемы

Пенсионное страхование по существу представляет собой по­следовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пен­сия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разо­вой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью стра­хования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

{ЕХ+ 2ЕХ+ ... + ^.^yEj

где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использо­вании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании тре­буют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по ин­валидности).

359

Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взно­се, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соот­ветствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — про­изведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для го­довых пенсий пренумерандо имеем

Ех= Rxax=R-jt,(17.10)

X

где ах— стоимость немедленного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии.

В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим

^-Лх^-Л-^*-, (17.11)

где х— стоимость отложенного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.20)).

Таким же способом получим суммы единовременных взно­сов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расче­та стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае име­ем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим

N6o 3082,2 аллосс 20|*<о - ц^ «-55J - 1'04855' 0ТКУда

^40 = 1 х 1.0*855 • 1,04855 тыс. руб.

Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):

слNeo - N75 3082,2 - 684,24

5,0 = 1 * "6015! = Б = 389J7 = 6'16173 ТЫС* РУ6"

В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)):

360

сл^60 - ^75 3082,2 - 684,24 лос

Е4о = 1 х 201*60:151 = —q = ^^ = 0,81577 тыс. руб.

Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доход­ности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекатель­но для клиента. Однако при этом повышается риск для страхов­щика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пен­сионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выпла­чивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

Ех = Rх *<ю х v6°"x = Я-lf-v60-*.

ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).

Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит

Е4о = 1 х "60:151 * v2°= 6,16173 х 1,09-20 - 1,099 тыс.руб.

Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следу­ющей таблице.

Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам

Возраст застра-

Пенсионные схемы

хованного

Сберегательная

Страховая

Смешанная

60 лет 40 лет

8061 1438

6162 816

6162 1099

Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное мес­то по размеру единовременного взноса для сорокалетнего за­страхованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участ­ника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

Совместим три кривые, характеризующие динамику накопле­ния для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).

361

8061 j













/•6162\







1438













1099













816 4










W

0 60

75

^ Возраст1




Рис. 17.3







Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто вы­плачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу экви­валентности финансовых обязательств обоих участников стои­мости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) явля­ется немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожиз­ненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегод­ные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

Pax.t] = R na*

(17.12)

где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии.

Откуда

D _ rnax_ D "x+n+\ Nx+{/Vjc+z+i

ах-А

Z)

(17.13)



N.
= R

х+я+1

^Yjc+1 Wjc+/+I

Например, если первая выплата пенсии производится, допу­стим, в 60 лет + п + 1 = 60), возраст при заключении стра­хового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то

362

УУ60

p-RN_ N

/v4, /v5I

Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимо­сти различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

П *x:t]

„a* N,

p=Rf

=RY^lT-(,7И)

ax:t] х хН

ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих усло­вий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пен­сия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим

р =

innnn 6° innnn 3082,2

10 000 х л. — 10 000 х ЛЛЛ__ Л ^ЛЛЛ^ , ^40 ^45 30375,6 18086,4




= 2508,1 руб.

Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

Чо 3082,2

Р = 10 000 х ——=77- = 10 000 х -

nao'nso 30375,6 - 10465,3

= 1548,0 руб.

Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застра­хованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеет­ся, должны быть "очищены" от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Raxнаходим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/ах, для от­ложенной пенсии R = Е/пахи т.д.

363

Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — дос­таточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

R= Р

ax:t\

Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся по­следовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р{можно рассматривать как единовре­менную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л,, и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно напи­сать равенство

*| = Л

60
к

, Л2 - Р2

60
К

ух+\

... , Rk- Л*


60

М

*>x+k-l

Общая сумма пенсии

p-lpJ-^

У-1 ^60

(17.15)

ПРИМЕР 17.9. Пусть на пенсионный счет участника (мужчины) по­ступают в течение 5 лет взносы пренумерандо. Первый взнос 150 руб. сделан в возрасте 40 лет, второй взнос — 200 руб. и т.д. Пенсия выплачивается с 60 лет, Л/60 = 3082,2. В последней графе табл. 17.2 показаны размеры пенсий, обеспеченные каждым оче­редным взносом и размер пенсии, обеспеченной всеми взносами.

Таблица 17.2

Расчет размера пенсии

X

°«fi

",

*y*Vi

р,

40

2939,5

150

440 925

143,05

41

2677,7

200

535 540

174,75

42

2437,7

400

975 080

316,36

43

2217.8

300

665 340

215,86

44

2016,6

800

1 613 280

523,42

Итого







4 230 165

1372,45

364

1   ...   24   25   26   27   28   29   30   31   ...   58


написать администратору сайта