Е. М. Четыркин финансовая математика

• Название: Е. М. Четыркин финансовая математика
• Анкор: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Дата: 22.04.2017
• Размер: 4.63 Mb.
• Имя файла: chetyrkin_e_m_finansovaya_matematika.doc
• Тип: Учебник; #4971
• страница: 28 из 58

§17.5. Страховые пенсионные схемы

Пенсионное страхование по существу представляет собой по­следовательно повторяемое страхование на дожитие. Пусть пен­сия выплачивается с 60 лет. Тогда стоимость страхования разо­вой выплаты пенсии, равной 5, определяется стоимостью стра­хования на дожитие до 60 лет (см. (17.1)). Аналогично можно последовательно определить стоимость страхования на дожитие и до других возрастов. В итоге стоимость страхования составит:

_{Е_Х+ ₂Е_Х+ ... + ^.^yEj

где w — максимальный возраст, учитываемый в расчете.

Проще, однако, воспользоваться страховыми аннуитетами, о которых речь шла в гл. 16.

Необходимость в расчете нетто-тарифов (нетто-премий в ра-чете на 1 руб. установленной пенсии) возникает при использо­вании схемы, в которой за исходную принимается величина пенсии. Тариф может быть определен для единовременного взноса (покупка пенсии разовым платежом) или при условии, что премия выплачивается в рассрочку. Обсудим оба варианта, но только для пенсионных схем индивидуального страхования. Актуарные расчеты в групповом пенсионном страховании тре­буют более обширной информационной базы, расширенных таблиц смертности (где учитывается выход из состава группы участников в связи с увольнением и выходом на пенсию по ин­валидности).

359

Единовременный взнос. Поскольку речь идет о разовом взно­се, то нетто-тариф, очевидно, равен стоимости аннуитета, соот­ветствующего условиям выплат пенсии, а нетто-премия — про­изведению нетто-тарифа на размер пенсии. Например, для го­довых пенсий пренумерандо имеем

Е_х= Rxa_x=R-jt,(17.10)

X

где а_х— стоимость немедленного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.18)), R — размер годовой пенсии.

В свою очередь для отложенной на п лет пенсии получим

^-Лх^-Л-^*-, (17.11)

где ^а_х— стоимость отложенного годового аннуитета пренуме­рандо (см. (16.20)).

Таким же способом получим суммы единовременных взно­сов и для других условий выплаты пенсий. Формулы для расче­та стоимости страховых аннуитетов приведены в табл. 16.3.

ПРИМЕР 17.6. Необходимо определить единовременную нетто-премию, выплачиваемую при заключении страхового пенсионного контракта с мужчиной 40 лет. Размер годовой пенсии 1 тыс. руб., выплаты пренумерандо с 60 лет пожизненно. В этом случае име­ем отложенный, пожизненный аннуитет пренумерандо. Норматив доходности равен 9%. Для приведенных данных получим

N₆o 3082,2 _аллосс 20|*<о - ц^ «-55J - ¹'⁰⁴⁸⁵⁵' ^0ТКУ^да

^40 ^{= 1 х} 1.0*855 • 1,04855 тыс. руб.

Если бы пенсия страховалась не пожизненно, а на срок 15 лет, то ее стоимость в момент выхода на пенсию составила (см. (16.22)):

_сл^Neo - ^N75 3082,2 - 684,24

5,0 = 1 * "6015! ⁼ Б ⁼ 389J7 ^{= 6}'^{16173 ТЫС}* ^РУ6"

В свою очередь для страхователя 40 лет получим (см. (16.24)):

360

_сл^60 - ^75 3082,2 - 684,24 _ло„_с„

^Е4о = ^{1 х} 201*60:151 = —q = ^^ = 0,81577 тыс. руб.

Заметим, что чем выше процентная ставка (норматив доход­ности), тем ниже тариф страхования и оно более привлекатель­но для клиента. Однако при этом повышается риск для страхов­щика — он обязан обеспечить указанный уровень доходности аккумулируемых средств.

Нетрудно найти и стоимость сберегательно-страховой пен­сионной схемы. Пусть до пенсионного возраста применяется сберегательная схема, после — страховая. Если пенсия выпла­чивается с 60 лет, а единовременный взнос в х лет, то стоимость для пожизненной пенсии пренумерандо равна

^Ех = ^Rх *<ю ^{х v6}°"^x = Я-lf-v⁶⁰-*.

ПРИМЕР 17.7. Вернемся к примеру 17.6 (вариант с выплатой пенсий в течение 15 лет).

Стоимость смешанной пенсионной схемы в возрасте 40 лет составит

^Е4о = ^{1 х} "60:151 * ^v2°⁼ 6,16173 х 1,09-²⁰ - 1,099 тыс.руб.

Размеры единовременных взносов (выплаты пенсий в течение 15 лет) для трех вариантов пенсионных схем приведены в следу­ющей таблице.

Таблица 17.1 Стоимости страхования по трем пенсионным схемам

Возраст застра-	Пенсионные схемы
хованного	Сберегательная	Страховая	Смешанная
60 лет 40 лет	8061 1438	6162 816	6162 1099

Страховая схема оказывается более дешевой по сравнению со сберегательной, смешанная схема занимает промежуточное мес­то по размеру единовременного взноса для сорокалетнего за­страхованного. Однако, нельзя забывать, что страховые схемы не предусматривают наследования остатков средств на счете участ­ника. Сберегательная схема, наоборот, предполагает это.

Совместим три кривые, характеризующие динамику накопле­ния для трех видов пенсионных схем (см. рис. 17.3).

361

8061 j
	/•6162\
1438
1099
816 4				W
	0 60		75	^ Возраст1
	Рис. 17.3

Рассрочка взносов. В практике страхования премии часто вы­плачиваются в виде ряда последовательных платежей, иными словами, в рассрочку. При расчете нетто-тарифов с рассрочкой для описания взносов можно воспользоваться ограниченными (на период рассрочки) аннуитетами. С другой стороны, пенсии также представляют собой страховые аннуитеты. В силу экви­валентности финансовых обязательств обоих участников стои­мости соответствующих аннуитетов должны быть равны друг другу. Например, в случае, когда один аннуитет (взносы) явля­ется немедленным, ограниченным, второй (Пенсии) — пожиз­ненным, отсроченным, причем оба предусматривают ежегод­ные платежи постнумерандо, получим следующее равенство:

^Pax.t] = ^R n^a*

(17.12)

где Р — годовая сумма взносов (нетто-премии), R — годовая сумма пенсии.

Откуда

_D _ _rn^ax_ _D "x+n+\ N_x+{/Vjc+z+i

^ах-А

Z)

(17.13)



N.
= R

х+я+1

^Yjc+1 Wjc+/+I

Например, если первая выплата пенсии производится, допу­стим, в 60 лет (х + п + 1 = 60), возраст при заключении стра­хового контракта 40 лет, а рассрочка равна 10 годам, то

362

УУ₆₀

^p-^R_N_ _N•

/v₄, /v_5I

Выражения, аналогичные (17.12), могут уравнивать стоимо­сти различных видов аннуитета. Например, если оба аннуитета предусматривают годовые выплаты пренумерандо, то вместо (17.12) получим

^П *x:t]

„a* N,

^p=R_f ^=R_Y^lT-<sup>(,7И)

a</sup>x:t] ^1Ух ^1УхН

ПРИМЕР 17.8. Определим размер премии для следующих усло­вий. Сорокалетний мужчина вносит премию в течение 5 лет, пен­сия годовая, пожизненная, в размере 10 тыс. руб. Оба потока платежей (премии и выплаты) пренумерандо. В этом случае на основе (17.14) получим

р =	innnn 6° innnn 3082,2
	10 000 х л. — 10 000 х ЛЛЛ__ Л ^ЛЛЛ^ , ^40 ^45 30375,6 18086,4
	= 2508,1 руб.

Чем больше период рассрочки, тем, очевидно, меньше сумма взноса. Так, при рассрочке в 10 лет получим для тех же условий

Чо 3082,2

Р = 10 000 х ——=77- = 10 000 х -

ⁿao'ⁿso 30375,6 - 10465,3

= 1548,0 руб.

Расчет размера пенсии по сумме взносов. Пусть на счет застра­хованного ежегодно поступают взносы. Эти взносы, разумеет­ся, должны быть "очищены" от нагрузки, которая поступает в пользу страховой организации. Очевидно, что каждый взнос обеспечивает некоторую сумму пенсии. Для начала положим, что пенсия обеспечивается единовременным взносом Е. Тогда из соотношений типа Е = Ra_xнаходим размеры пенсий R. Так, для немедленной пенсии пренумерандо имеем R = Е/а_х, для от­ложенной пенсии R = Е/_па_хи т.д.

363

Пусть теперь постоянная премия выплачивается в рассрочку в течение / лет, причем взносы одинаковы. Размер пенсии без корректировки на инфляцию определяется элементарно — дос­таточно решить уравнение (17.12) или аналогичные выражения относительно R. Например, для отложенной годовой пенсии пренумерандо с ограниченным периодом взносов получим

R= Р

^ax:t\

Перейдем теперь к ситуации, когда взносы производятся по­следовательно в течение некоторого срока и изменяются по времени. Первый взнос Р_{можно рассматривать как единовре­менную премию, обеспечивающую пенсию в сумме Л,, и т.д. Пусть взносы и пенсии выплачиваются в начале года. Пенсия выплачивается с 60 лет. Тогда для каждого взноса можно напи­сать равенство

*| = Л

60
_к

, Л₂ - Р₂

60
К

^ух+\

... , R_k- Л*

60

М

*>x+k-l

Общая сумма пенсии

^p-l^pJ-^—

У-1 ^60

(17.15)

ПРИМЕР 17.9. Пусть на пенсионный счет участника (мужчины) по­ступают в течение 5 лет взносы пренумерандо. Первый взнос 150 руб. сделан в возрасте 40 лет, второй взнос — 200 руб. и т.д. Пенсия выплачивается с 60 лет, Л/₆₀ = 3082,2. В последней графе табл. 17.2 показаны размеры пенсий, обеспеченные каждым оче­редным взносом и размер пенсии, обеспеченной всеми взносами.

Таблица 17.2

Расчет размера пенсии

X	°«fi	",	*y*Vi	р,
40	2939,5	150	440 925	143,05
41	2677,7	200	535 540	174,75
42	2437,7	400	975 080	316,36
43	2217.8	300	665 340	215,86
44	2016,6	800	1 613 280	523,42
Итого			4 230 165	1372,45

364