Эконометрика. Этапы вероятностностатистического моделирования. 4
 Скачать 338.27 Kb.
|
Классы нелинейных моделей.Значение свойства линейности и связанного с ним принципа суперпозиции отмечено в разд. 4.1. В случае линейной модели знания одной функции времени, характеризующей объект (весовой функции), достаточно для определения выходного сигнала объекта при произвольных входных сигналах. Это обеспечивает преимущества, которые хотелось бы сохранить и при описании нелинейных объектов, а именно: 1) возможность явно записать связь между входом и выходом; 2) простота описания соединений систем; 3) возможность рассмотрения случайных сигналов. Для некоторых классов нелинейных объектов эти требования выполняются при использовании рядов Вольтерра. Разложение Вольтерра Используя ряды Вольтерра, ядра которых представляют собой весовые функции высших порядков, можно получить описание нелинейного объекта, допускающее ясную физическую интерпретацию. Этот метод имеет большое достоинство, связанное с тем, что нелинейная система рассматривается как непосредственное обобщение линейного случая, хотя сам объект может существенно отличаться от лилейного. Иначе говоря, метод с использованием рядов Вольтерра интерпретирует линейные объекты как подкласс нелинейных объектов. Это достоинство вряд ли можно переоценить, так как на временной и спектральный анализ линейных систем затрачено немало времени и усилий, а ряды Вольтерра позволяют использовать накопленные знания для исследования нелинейных систем. Анализ и синтез с помощью рядов Вольтерра является наиболее удобным из существующих методов изучения нелинейных систем. Изложению этого метода посвящена обширная литература. Рассмотрим нелинейный объект с памятью. Пусть и  при  Кроме того, допустим, что память  Фиг. 4.4. конечна, т. е. величина и  при достаточно большом  ничего не добавляет к выходному сигналу  Эти допущения естественно вытекают из требований устойчивости и физической реализуемости объекта (у идеального интегратора бесконечная память). Входной сигнал можно аппроксимировать конечным числом прямоугольных импульсов. Обозначим выборочные значения и  при  взятые с интервалом  через  соответственно (фиг. 4.4). Величина  выбирается достаточно большой, чтобы  при  ничего не добавляло к  Таким образом, выходной сигнал  аппроксимируется функцией  переменных  Используя разложение в ряд Тейлора функции многих переменных [21], получим  Начальные условия предполагаются нулевыми. При выполнении этих условий и если  мало по сравнению с постоянной времени системы,  является хорошей аппроксимацией  Если все  и  положить равными нулю, то останется только один член  аппроксимация интеграла свертки для линейного объекта. Покажем это. Пусть  где  амплитуда,  ширина импульса. Тогда  Учитывая порядок нумерации  (см. фиг. 4.4), покажем, что эта сумма при  стремится к  При подаче на систему двух импульсов вид линейного члена разложения определяется принципом суперпозиции:  Если учесть квадратичные члены или члены более высоких порядков, то становится очевидным взаимодействие двух импульсов. Пусть  тогда сумма двух импульсов даст в квадратичном члене добавку вида  В пределе уквадр принимает вид  Таким образом,  преобразуется в ряд Вольтерра вида   Таким образом, разложение в ряд Вольтерра является непосредственным обобщением модели линейного объекта в форме интеграла свертки. Весовая функция  линейной системы заменяется весовыми функциями (ядрами)  Функция  называется весовой функцией  порядка. Интеграл   называется функционалом  порядка. Ряд Вольтерра известен как функциональный степенной ряд, или функциональное разложение. Если объект не содержит динамических элементов или при периодическом входном сигнале частота сигнала стремится к нулю, то ряд (4.34) превращается в степенной ряд по и. Допустим, что динамические элементы отсутствуют, т. е.  Тогда функциональный ряд принимает вид  Ниже будет показано, что поведение степенного ряда определяет характер нелинейности. В некоторых случаях, используя степенные ряды, можно исследовать сходимость ряда Вольтерра. Если перейти к ряду Вольтерра с бесконечным числом членов, то по теореме Фреше функциональным степенным рядом можно описать связь между входом и выходом произвольного непрерывного нелинейного объекта. Функциональный ряд единствен и сходится при  называется радиусом сходимости. Для функционального ряда редко удается записать замкнутое выражение, обычно используются разложения в ряд с конечным числом членов или разложения, которые дают удовлетворительную оценку по нескольким членам. Ядра рядов Вольтерра для физически реализуемых объектов обладают следующими свойствами:   является симметричной функцией или может быть симметризована. Первые два свойства тривиальны. Выходной сигнал физически реализуемой системы зависит только от предыстории входного сигнала. Все устойчивые объекты имеют конечную память, так что для больших  весовые функции стремятся к нулю. Отметим, что интегратор представляет собой пример объекта с бесконечной памятью, характеристики которого находятся на границе устойчивости. Перейдем к третьему свойству. Ядра являются симметричными или могут быть представлены в симметричном виде циклической перестановкой аргументов несимметричного ядра. Покажем это для двумерного случая на примере  Левое и правое выражения не равны между собой, но если проинтегрировать эти выражения в одних и тех же пределах по первому квадранту плоскости та), то величина интеграла   совпадает с интегралом   Таким образом, в общем случае симметризация проводится по формуле  Определение ядер по дифференциальным уравнениям. В принципе эту задачу можно решить, подставляя ряд Вольтерра для  и его производные в дифференциальное уравнение, как это было сделано в разд. 4.2 при исследовании линейных систем. В работе [19] это проделано для дифференциальных уравнений вида  где  линейный стационарный динамический оператор, например  полином от у и производных у. Производная высшего порядка входит в 0, порядок полинома  не ниже второго. Метод состоит в определении  дифференцированием ряда Вольтерра (4.34) с последующей подстановкой в уравнение (4.37). Полученное выражение должно быть справедливо при произвольных входных воздействиях, поэтому можно приравнять нулю коэффициенты при всех функционалах от  Это приводит к системе уравнений в частных производных, решив которые можно определить ядра Вольтерра. В работе [19] процедура подстановки показана на примере дифференциального уравнения  Эта процедура здесь не воспроизводится, так как она достаточно трудоемка, особенно для более сложных дифференциальных уравнений. Удобнее воспользоваться методом многомерного преобразования Лапласа. Использование преобразования Лапласа. Многомерное преобразование Лапласа определяется следующей формулой:  и называется преобразованием Лапласа  степени. Для того чтобы преобразовать функционал   введем новые переменные  вместо одной переменной  Если  и  то  Теперь функцию  можно найти, применяя обратное преобразование Лапласа к  с последующей подстановкой  Этот прием довольно трудоемок, и лучше воспользоваться методом группировки переменных [22], который устанавливает связь между  Рассмотрим, например,  Положим  Тогда  Следовательно,   можно найти по функции  применяя преобразование (4.44) последовательно к  Способ группировки переменных может подсказать и вид функции  В пространстве  ядра обладают симметрией, определяемой следующим образом:  Объекты с линейными звеньями и множительными устройствами хорошо описываются рядами Вольтерра. Вид ядер можно непосредственно определить из структуры такого нелинейного объекта. Это оказывается полезным при решении задачи определения ядер, удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Кроме того, в этом случае по ядрам легче строить модель объекта. |