Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
4 1 /(r 2 1 − r 2 0 ) − r 4 2 /(r 2 2 − r 2 0 )]. 11.5.20. v 1 = v, v 2 = 3v, если mv 2 < B 2 lSs 2 /[4µ 0 (2S − s)(S − s)]; v 1 = 3v, v 2 = v, если mv 2 > B 2 lSs 2 /[4µ 0 (2S − s)(S − s)]. 11.5.21. v 1 = v 1 , v 2 = v 2 , если (v 2 − v 1 ) 2 1/m 1 + 1/m 2 > B 2 lSs 2 2µ 0 (2S − s)(S − s) ; v 1 = 2m 2 v 2 + (m 1 − m 2 )v 1 m 1 + m 2 , v 2 = 2m 1 v 1 + (m 2 − m 1 )v 2 m 1 + m 2 , если (v 2 − v 1 ) 2 1/m 1 + 1/m 2 < B 2 Ss 2 2µ 0 (2S − s)(S − s) 11.5.23 ∗ . T = T / 1 + B 2 r 4 T 2 /(4LJ ). 11.5.24 ∗ . ω = 2i µ 0 ah/[m(l − d)]. 11.5.25 ∗ . v = v 0 (1 + 1 + LxI 2 0 /(mv 2 0 ) ). 11.5.26 ∗ . B = B 0 + 2µ 0 ρv 2 ∆/(Br 0 ) ≈ 500 Тл, P = B 2 (2µ 0 ) ≈ 10 11 Па. 11.5.27 ∗ . Уравнение движения электрона в трубке m e dv dt = eE = e r 2 d(B − B ) dt , 347 где B и B — индукции внешнего магнитного поля и поля, создаваемого движущимися элек- тронами. Поэтому m e v = er(B − B )/2. С другой стороны, en e vh = j, B = µ 0 j, где j — линейная плотность тока. Из последних уравнений получаем j = e 2 hB/(2m e + e 2 rµ 0 n e h), а затем B − B = m e B m e + e 2 rµ 0 n e h/2 = 5,7 · 10 −5 Тл. 11.5.28 ∗ . B = 2m e ω/e. § 11.6. Связь переменного электрического поля с магнитным 11.6.1. C B = 1 c dN dt (в СГС); C B = µ 0 ε 0 dN dt (в СИ). C B — циркуляция индукции магнит- ного поля, N — поток электрического смещения, c — скорость света, ε 0 и µ 0 — электрическая и магнитная постоянные. 11.6.2. а. dN dt = vlE, C B = µ 0 ε 0 vlE, C B = µ 0 ε 0 dN dt (в СИ), C B = 1 c dN dt (в СГС). 11.6.3. N = 9 · 10 5 В · м. 11.6.4 ∗ . По закону Гаусса поток электрического смещения внутри конденсатора N = Q/ε 0 , где Q — заряд конденсатора, а скорость изменения потока dN dt = 1 ε 0 dQ dt = 1 ε 0 I, где I — ток в цепи. Поэтому циркуляция индукции магнитного поля C B = µ 0 ε 0 DN dt = µ 0 I совпадает с циркуляцией индукции магнитного поля, которую бы создал ток I. 11.6.5. B = 2,5 · 10 −6 Тл. 11.6.6. n = 2πN r/L. 11.6.7. B = µ 0 ε 0 Ev cos α. 11.6.8. σ = B/(µ 0 v). 11.6.9. а. B = µ 0 ε 0 vV /h внутри проводника, B = −µ 0 ε 0 vV /h между проводником и об- кладками конденсатора. б. Уменьшится в (ε + 1)/(ε − 1) раз. ♦ 11.6.10 ∗ . См. рис. В первом случае из-за тока поляризации, протекающего через контур abb a , циркуляция вектора индукции магнитного поля через этот контур будет в ε раз боль- ше, чем во втором случае. Поэтому движение среды вместе с контуром уменьшает индукцию магнитного поля в ε раз. 11.6.11 ∗ . а. Индукция магнитного поля, вызываемая переменным электрическим полем, B 1 = πr 2 αµ 0 ε 0 /(2πr) = µ 0 ε 0 αr/2. Индукция магнитного поля, вызываемого током поляризации диэлектрика, в ε − 1 раз больше: B 2 = (ε − 1)B 1 . Поэтому B = B 1 + B 2 = εB 1 = µ 0 ε 0 εαr/2. б. B 1 = µ 0 εε 0 αV r 2h , B 2 = µ 0 ε 0 αV 2hr 0 [r 2 (ε − 1) + r 2 0 ]. ♦ 11.6.12 ∗ . См. рис. B 0 = µ 0 Ir/(2πr 2 0 ). При x < r величина B = µ 0 Ix 2πr 2 0 , при r 0 > r > r величина B = µ 0 Ir 2 (r 2 0 − x 2 ) 2πx 2 r 0 (r 0 − r 2 ) , при x > r 0 величина B = 0. 348 Глава 12 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ § 12.1. Свойства, излучение и отражение электромагнитных волн 12.1.1. В направлении оси z. 12.1.2. а), б) Изменится на противоположное. 12.1.3. E = E 0 sin 2π λ (z − ct) . 12.1.4. E 0 = E 2 1 + E 2 2 + 2E 1 E 2 cos(ϕ 1 − ϕ 2 ), ϕ = ω t − z c + arctg E 1 sin ϕ 1 + E 2 sin ϕ 2 E 1 cos ϕ 1 + E 2 cos ϕ 2 12.1.5. E = 2E 0 , w = 1 2π E 2 0 cos 2 t − z c ∆ + ϕ . 12.1.6. B = E/c (в СИ), B = E (в СГС). 12.1.7 ∗ . B = E √ e/c (в СИ), B = E √ ε (в СГС). 12.1.9 ∗ . B = E √ εµ/c (в СИ), B = E √ εµ (в СГС). ♦ 12.1.10. См. рис. 1/2, 1/2; 1,0; 1/2, 1/2. 12.1.11. а. Две плоские волны, бегущие в противоположных направлениях. Длина волн d, напряженность электрического поля в волне E/2. б. На две плоские волны, распространяющиеся перпендикулярно плоскостям AB и A B в противоположных направлениях. Индукция электрического поля в волне cB/2. 12.1.12. а. E изл = 1 2 v c E. ♦ б ∗ . При остановке сферы в энергию излучения перейдет вся энергия магнитного поля. В любой точке индукция магнитного поля движущегося заряда равна в СГС напряженности электрического поля, умноженной на (v/c) sin θ. Поэтому энергия, перешедшая в излучение, была бы равна энергии электрического поля Q 2 /(2r), умноженной на (v/c) 2 , если бы не было 349 множителя sin θ. Из-за этого множителя энергия магнитного поля уменьшается еще в полтора раза. Таким образом, W = Q 2 3r v c 2 (в СГС), W = Q 2 12πε 0 r v c 2 (в СИ). в. Напряженность «лишних» полей увеличится в два раза. Излучаемая энергия пропорци- ональна квадрату напряженности. Поэтому мощность излучения увеличится в четыре раза. 12.1.13. Интерференцией излучения от разных пластин. ν k = c d k, ν k ≈ c d k + 1 2 , k — целое число. ♦ 12.1.15 ∗ . а. См. рис. В момент времени t в точке A напряженность электрического поля излучения E изл = E 1 + E 2 , где E 1 и E 2 — напряженность поля в волне, излучаемой верхней и нижней пластинами: E 1 = 1 2c Ev t−x/c = 1 2c Ea t − x c , E 2 = − 1 2c Ev t−(x+d)/c = − 1 2c Ea t − x + d c Значит, E изл = E 1 + E 2 = adE/(2c 2 ). б. E изл = µ 0 ci 0 /2 = i 0 /(2cε 0 ) (в СИ); E изл = 2πi 0 /c (в СГС). в. В электрическом поле волны E 0 sin ωt (ω = 2πλ) скорость электронов v = eE 0 m e ω cos ωt. Амплитуда напряженности электрического поля в волне, излучаемой этими электронами, E изл = eE 0 m e ω n e e 2cε 0 . Коэффициент отражения k = (E изл /E 0 ) 2 = [n e e 2 x/(4πm e νε 0 c)] 2 Можно найти также коэффициент отражения, определив, на сколько ослабится волна после прохождения пленки. В этом случае следует учесть вторичное излучение электронов, вызывае- мое их взаимодействием с волной, уже испущенной этими же электронами при взаимодействии с падающей волной. Из-за наложения на волну, прошедшую пленку, вторичного излучения, иду- щего в противофазе, интенсивность волны уменьшается, а из-за наложения на нее первичного излучения, идущего со сдвигом фазы π/2, увеличивается. Первое влияние в два раз сильнее второго. Поэтому интенсивность волны после прохождения пленки уменьшится на величину, равную интенсивности отраженной волны. 12.1.16. λ = 4 · 10 −5 см. 12.1.17. По мере увеличения толщины пленки в отражение излучения вовлекается все большее число электронов и амплитуда отраженной волны линейно растет (область x < x 1 ). Линейная зависимость амплитуды от толщины пленки нарушается в случае, когда доля отра- женного излучения велика. Это имеет место при x > x 2 12.1.18 ∗ . ∆ ≈ 4πm e νε 0 c/(n e e 2 ) ≈ 10 −5 см. 12.1.19. E = 0, B = 2E/c. 12.1.20. λ = 4 · 10 −5 см, x = 2 · 10 −5 см. 12.1.21. j = 2ε 0 cE, P = 2ε 0 E 2 (в СИ); j = cE 0 /(2π), P = E 2 /(2π) (в СГС). 12.1.22. P = c 0 E 2 0 12.1.23. P = 2 мПа, P = 0,5 мПа. 350 12.1.24 ∗ . r ≈ 1 мкм. ♦ 12.1.25. См. рис. а) E = −E, B = B. б) E = E. 12.1.26. E = P ε 0 cos 2 α. 12.1.27 ∗ . Сила, действующая на электрон, движущийся вдоль металлической поверхно- сти, равна в СГС F = e E − v c B = 0. Поэтому E/B = v/c. 12.1.28 ∗ . P = 2ε 0 E 2 0 c + v c − v (в СИ); P = 1 8π E 2 0 c + v c − v (в СГС). 12.1.29. v = c∆/(2ν 0 + ∆). 12.1.30. v = c k − 1 k + 1 ♦ 12.1.31. а. Наведенные на плоской границе заряды создают электрическое поле, перпенди- кулярное плоской границе. Поэтому в ε раз уменьшается лишь перпендикулярная составляющая напряженности электрического поля волны. б. Наведенные поверхностные токи создают магнитное поле, индукция которого парал- лельна поверхности. Поэтому в µ раз увеличивается лишь параллельная составляющая индук- ции магнитного поля волны. 12.1.32. С разных сторон границы раздела напряженность электрического и индукция магнитного полей одинаковы: E − E 0 = E n , B + B 0 = B n , а B = E √ ε 1 /c, B 0 = E 0 √ ε 1 /c, B n = E n √ ε/c (см. задачу 12.1.7 ∗ ). Из этих уравнений следует E 0 /E = ( √ ε 2 − √ ε 1 )/( √ ε 2 + √ ε 1 ). При √ ε 1 < √ ε 2 знаки E 0 и E одинаковы, а при √ ε 1 > √ ε 2 противоположны. Это означает, что в первом случае фаза отраженной волны не меняется, а во втором случае меняется на π. ♦ 12.1.34. См. рис. В СГС W 1 = 7E 2 0 r 3 0 /3, W 2 = 2E 2 0 r 3 0 351 § 12.2. Распространение электромагнитных волн 12.2.2. Длина волны и ее скорость уменьшаются в n раз, частота не меняется. 12.2.4. sin α k = kλ/b, где k — целое число. 12.2.5. В k 2 раз. 12.2.6. ∆α = 13,5 . 12.2.7. l = 2r 2 /λ, l k = 2r 2 /[λ(k + 1)k]. 12.2.8. Увеличится интенсивность излучения в других точках. 12.2.9 ∗ . В четыре раза. ♦ 12.2.10. См. рис. 12.2.11 ∗ . Увеличилась в 100 раз (а) и в 324 раза (б). 12.2.12 ∗ . c = i/λ, a = A∆Si/(rλ) (умножение на i означает сдвиг фазы вторичной волны на π/2). 12.2.13. а. R ≈ 1 км. б. R ≈ 1,5 м. 12.2.14. l ≈ 1 м, 0,5 км, 150 км. 12.2.15. а. Голубая часть спектра излучения нити рассеивается на матовой поверхности сильнее. в. Из-за флуктуации плотности атмосферного воздуха голубая часть спектра рассеивается сильнее. Глава 13 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА. ФОТОМЕТРИЯ. КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА § 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света ♦ 13.1.1. См. рис. ♦ 13.1.2. См. рис. ♦ 13.1.3. См. рис. 352 13.1.4. На стене получается изображение Солнца. В случае, когда размер отверстия будут больше изображения Солнца на стене. 13.1.5. Зеркало не «переворачивает» изображение. Но непрозрачный предмет кажется нам перевернутым справа налево, так как обычно отраженную зеркалом сторону мы видим только в случае, если предмет развернуть на 180 ◦ 13.1.6. H = h/2. 13.1.7. Не меняется. 13.1.8. В результате двойного отражения получается неперевернутое изображение. Из любой точки комнаты. 13.1.9. У к а з а н и е: посмотрите в калейдоскоп. 12.3.10 ∗ . α = 120 ◦ ♦ 13.1.11. Ход лучей показан на рисунке. 13.1.12. x = h/2. 13.1.13. f = R/2. 13.1.15. f = 36 см. 13.1.16. l = 20 см. 13.1.17. f = 48 см. ♦ 13.1.18. См. рис. ♦ 13.1.19. См. рис. 12.3.20 ∗ . Параболоид вращения, если его ось параллельна лучам. § 13.2. Преломление света. Формула линзы 13.2.1. α = 48 ◦ 13.2.2. а. h = 4 м. б. h = 4 км. 13.2.3. Уменьшится в L + l L + l/n раз. 13.2.4. n = 1,13. 13.2.5. а. α а = 24,6 ◦ , α в = 49 ◦ , α а,в = 33,7 ◦ б. Из-за полного внутреннего отражения лучей от пузырей. 13.2.6. Нет. 13.2.7. R = ln/(n − 1). 23 353 13.2.8. При α > arccos(2/3) свет уже при первом отражении частично выйдет из конуса. При α < arccos(2/3) свет сначала будет целиком отражаться от боковой поверхности. После каждого отражения угол между лучом и нормалью к поверхности конуса будет уменьшаться на 2α, и через несколько отражений свет снова будет уходить из конуса через его поверхность. 13.2.9. r = R/2. 13.2.10 ∗ . r = r/n. 13.2.11. sin α = n/k N −1 , если n/k N −1 < 1; проходит всегда, если n/k N −1 > 1. 13.2.12. H = 1 2 n 0 α − R . 13.2.14. в. 1 F = (n − 1) 1 R 1 + 1 R 2 13.2.15. а. F = 0,25 м, D = 1/F = 4 дптр. б. R = 0,6 м. 13.2.16. R = 0,26 м. 13.2.17 ∗ . а) 1 x = 1 nf − n − 1 nr ; б) 1 x = 1 f − n − 1 r 13.2.18. f = − 1 (n − 1) R 2 δ 13.2.19. ∆ = α(n 1 − n 2 )f . 12.2.20 ∗ . Из части боковой поверхности полуцилиндра, ограниченной углом α = 2 arcsin(1/n). 12.2.21 ∗ . n = 4/3. 13.2.22. n = 3/2. 13.2.23. y = x/n. § 13.3. Оптические системы ♦ 13.3.1. См. рис.: а) k = 1/2; б) k = 3/2; в) k = 1/4; г) k = 3/4. ♦ 13.3.2. См. рис. 13.3.3. f = 20 см. 13.3.4. f = 2f . 13.3.5. v = 2ωf . 13.3.6. k = f 2 (a − f ) 2 − l 2 /4 13.3.7. f = 3/7 м. 13.3.8. t = 5 мс. 13.3.9. df dt = vk 1 + k , db dt = vk. 354 13.3.10. К линзе на расстояние l = r 1 − r 2 D/2 + r 2 f . 13.3.11 ∗ . 2,3 м < l 1 < 3,2 м; 1,6 м < l 2 < 8 м. 13.3.12. D 1 = −5 дптр, D 2 = 2 дптр. 13.3.13. Сильно близорукий. 13.3.14. Отверстие ограничивает рабочую площадь хрусталика и позволяет рассматри- вать предметы, удаленные от глаза менее чем на 25 см. Увеличение будет k = 25/x, где x — расстояние. 13.3.15. f = 2,5 см. 13.3.16 ∗ . tg α = (1 − α/f ) tg α. 13.3.17. k = 2. 13.3.18. а. l 1 = f (a − 2f )/(a − f ), l 2 = a − f . б. f = f /2. 13.3.19. f = f 1 f 2 f 1 + f 2 ; 1 f = 1 f 1 + 1 f 2 13.3.20. f ≈ f /2 + 3l/4 от первой линзы. 13.3.21. На расстоянии, превышающем 10 см от ближайшей линзы. 13.3.22. f > 0,6 м. 13.3.23. x 1 = (d − R)f d − R − f , x 2 = df d − f при d > R + f ; x = f d d − F при f < d < R + f ; при d < F решения нет. 13.3.24 ∗ . n = (R − l/2)/(R − l). 13.3.25 ∗ . f 1 = n 2 f ; f 2 = n(n 0 − 1) 2(n 0 − n) f . 13.3.26. h 2 /h 1 = (l − f )f . 13.3.27. Увеличится в a/(a − f ) раз. 13.3.28. На 25l/f 1 f 2 ; уменьшится в k раз. 355 § 13.4. Фотометрия 13.4.1. h = 1 м. 13.4.2. E 1 = 130 лк, E 2 = 71 лк, E 2 = 25 лк. 13.4.3. E = 41 лк. 13.4.4. E = I[h 2 + (h + 2x) 2 ] h 2 (h + 2x) 2 ♦ 13.4.5. См. рис. 13.4.6. В 80 000 раз. 13.4.7. I = I(1 − k)/(1 + k). 13.4.8 ∗ . x ∼ 5 св. лет. 13.4.9. N /N ∼ (R/r) 2 , где R — радиус Венеры, а r — расстояние от Земли до Венеры. 13.4.10. x ∼ R 2 /r, где r — характерный размер автомобиля. 13.4.11. Освещенность изображения уменьшится: верхней части стрелки-предмета — несколько больше чем в два раза, нижней — несколько меньше чем в два раза. 13.4.12. Увеличится в два раза. 13.4.13. E лев /E прав = (R/2l) 2 13.4.14 ∗ . E = E 0 a 2 f 2 [xf − (a − x)(x − f )] 2 . При x = a/2. 13.4.15. L = L 0 D 2 /D 2 0 13.4.16 ∗ . Нет. E макс = BπD 2 /R 2 13.4.17. D = 1,85 м. 13.4.18 ∗ . N ≈ 4x 2 d 2 T T С 4 ≈ 770, где T С ≈ 6 · 10 3 К — температура поверхности Солнца. 13.4.19. Не изменится. 13.4.20. Резко увеличивается световой поток от звезды к глазу. 13.4.21 ∗ . d 2 = 5d 1 /6. 13.4.22 ∗ . t 1 = t 2 k 1 + 1 k 2 + 1 2 13.4.23 ∗ . n ≈ (10πr 2 L) −1 13.4.24 ∗ . ρ = 0,2 г/м 3 13.4.25 ∗ . В восемь раз. § 13.5. Квантовая природа света 13.5.1. E 1 ≈ 10 −6 Вт/м 2 , E 2 ≈ 4 · 10 −6 Вт/м 2 , E 3 ≈ 4 · 10 −5 Вт/м 2 13.5.2. W = hν − eV 0 13.5.3. Скорости электрона и позитрона должны быть равны по модулю и противоположно направлены. ν = 1,24 · 10 20 Гц. 13.5.4. а. v = c ε 1 − ε 2 ε 1 + ε 2 б. v = c sin(θ 1 + θ 2 ) sin θ 1 + sin θ 2 13.5.5. а. m = (1 − cos θ) hν 2 c 2 ∆ν б. ∆ν = (1 − cos θ) hν m e c 2 13.5.6 ∗ . а) При испускании фотона в направлении движения атома mv 2 2 = m(v − ∆v) 2 2 + hv + ε, mv = m(v − ∆v) + hv c (1) При испускании фотона в направлении, противоположном направлению движения атома, mv 2 2 = m(v + ∆ v) 2 2 + hν + ε, mv = m(v + ∆ v) − hν c (2) В (1) и (2) m — масса атома, ∆v и ∆ v — изменение скорости, ε — изменение внутренней энергии атома, ν — искомая частота фотона. При ∆v, ∆ v v из (1) и (2) следует, что ν = ν 1 − v/c 1 + v/c б) ν = ν(1 − v/c). 356 13.5.7. Притяжением фотонов к звезде. 13.5.8. ∆ν = νγM/(Rc 2 ), γ — гравитационная постоянная. ∆ν С ≈ 10 9 Гц. Тепловое движение атомов на поверхности Солнца влияет на частоту излучаемых им фотонов в большей степени, чем гравитационное поле. 13.5.9 ∗ . f ∼ R 2 c 2 /(6γM ) ∼ 10 9 пк. Глава 14 |