Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
Можно точно рассчитать изменение давления. Давление в проходящей волне в первой среде P пр1 = 2ρ 1 c 1 ρ 1 c 1 + ρ 2 c 2 P пад2 , где P пад2 — давление падающей волны во второй среде. При переходе из воды в воздух давление уменьшается примерно в 150 раз. 308 3.9.26 ∗ . M = √ mk ω ctg ω m k Глава 4 МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ § 4.1. Давление в жидкости 4.1.2. F 1 = 2000 √ 2 Н. F 2 = 0. 4.1.3 ∗ . P = 4 √ 3 F a 2 4.1.4. Да. 4.1.5. F = 2πr 2 P . 4.1.6. F = π(R 2 − r 2 )P . 4.1.7 ∗ . σ = (R − ∆) 2 R 2 − (R − ∆) 2 P . ♦ 4.1.8 ∗ . Сила F 1 , действующая на единицу длины окружности поперечного сечения сосис- ки, меньше силы F 2 , действующей на единицу длины периметра ее продольного сечения. 4.1.9. На расстоянии l = d 2 1 − d 2 3 d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 a влево от центра палки. 4.1.10. h = 727 см. 4.1.11. F н = 4392 Н; F в = 4314 Н; F б = 4353 Н; F = 78 Н. 4.1.12 ∗ . F = (1/12)ρga 2 (3 √ 3 h − √ 2 a) + (1/4)P a 2 √ 3. 4.1.13 ∗ . Составляющие силы, параллельная и перпендикулярная дну сосуда: F = a 3 (ρ − ρ 0 )g sin α, F ⊥ = a 3 ρ 0 g ρ ρ 0 cos α + 1 2 sin α + h a + P a 2 4.1.14. x = H − (R 2 /r 2 )(1 + a/r)(ρ/ρ 0 − 1)h. 4.1.15. h = 85 см. 4.1.16. h = 10,1 м. 4.1.17 ∗ . m = πR 3 ρ/3. 4.1.19 ∗ . A = πr 2 h + 1 2 l r 2 R 2 ρgl. ♦ 4.1.20 ∗ . Давление P r можно найти из условия равновесия выделенного на рисунке тонко- го цилиндрического объема: сила притяжения этого объема к центру планеты, равная произ- ведению массы объема на ускорение поля тяжести в центре объема, уравновешивается силой давления, действующей на нижнее сечение, P r = 2 3 πγρ 2 (R 2 − r 2 ), P 0 = 2 3 πγρ 2 R 2 4.1.21. В направлении ускорения сосуда. 4.1.22. β = α − arctg µ. ♦ 4.1.23 ∗ . Давление P (x) можно найти из условия, что сила давления на внутреннее основа- ние выделенного на рисунке тонкого цилиндрического объема равна mω 2 y, где y — расстояние от центра цилиндра до оси вращения, m — масса выделенного объема: P (x) = ρω 2 [(R − x) 2 − R 2 /4]/2. ♦ 4.1.24. y = 1 2 ω 2 g x 2 20 ∗ 309 § 4.2. Плавание. Закон Архимеда 4.2.1. P = mg/S + P 0 4.2.2. h = H(ρ − ρ 1 )/(ρ 2 − ρ 1 ). 4.2.3. H = (m − ρ 1 hS)/[S(ρ 2 − ρ 1 )]. ♦ 4.2.4 ∗ . Если при малом повороте параллелепипеда вокруг оси, проходящей через точку O, момент сил, действующих на параллелепипед, будет направлен в сторону, противоположную направлению поворота, его положение устойчиво. Это условие выполняется при a b > 6 ρ ρ 0 (1 − ρ/ρ 0 ). 4.2.5. A = 34. 4.2.6. V = 147 см 3 4.2.7. ρ = 1,5 г/см 3 4.2.8. ρ 1 /ρ 2 = ρ 1 /ρ 2 4.2.9 ∗ . x = 4m/[π(d 2 1 + d 2 2 )]. 4.2.10. F = 0,8 · 10 −3 Н. 4.2.11. F = (2/3)πr 3 ρg(1 + 2r/l). 4.2.12. F = 1,2 · 10 −2 Н. 4.2.13. ρ = 2/3 г/см 3 4.2.14. F = mg/ √ 3. 4.2.15 ∗ . а. F = ρgR(H + L/2) 2 б. F = ρgL(H + R) 2 /2. 4.2.17. m = 520 г. 4.2.18 ∗ . m = (4/3)π(R 2 + r 2 ) 3/2 ρ. 4.2.19 ∗ . m 1 = ρa 3 (6 + 5 tg α + tg 3 α)/24; m 2 = ρa 3 (6 − 5 tg α − tg 3 α)/24. 4.2.20 ∗ . T = √ 3 mg/72. 4.2.21. а. Q = 1 кДж. б ∗ . Q = πr 2 ρghH 1 + 1 2 h H ρ ρ 0 1 − r 2 R 2 4.2.22. Q = (4/3)πR 3 ρgH = 410 Дж, ρ — плотность воды. 4.2.23. A = 2,5 · 10 6 Дж. 4.2.24 ∗ . а. Сможет. ρ[г/см 3 ] = 1 + ∆ 2R − 2H − 2∆ + l 1 − ∆ l 4.2.25 ∗ . F = (4/3)πr 3 (R − r)ρω 2 4.2.26. ω = (g tg α)/[R − (l + r) sin α]. 4.2.27. F ≈ (m 1 − m 2 )ω 2 R/2. § 4.3. Движение идеальной жидкости 4.3.1. 28,5; 27,0; 25,6 м/с. На двенадцатый этаж. 310 4.3.2. ∆T = 2ghρS. 4.3.3. N = ρV [gh + V 2 /(2S 2 )]. 4.3.4. а. Из-за разницы давлений в сечениях 1 и 2 на жидкость, находящуюся между этими сечениями, в направлении ее движения действует результирующая сила давления, б´ ольшая силы, действующей со стороны участка A. б. F = ρv 2 S 1 (1 − S 2 /S 1 ) 2 /2. ♦ 4.3.5. Давление в сосуде P с = P 0 + ρgx, давление в трубке P т = P 0 + ρg(x − H). 4.3.6. F = √ 2 (P + pv 2 )S. 4.3.7. v = 2F S/[ρ(S 2 − s 2 )]. 4.3.8. x = 5l. 4.3.9. h = 1 2g v 2 − mg ρvSN 2 4.3.10 ∗ . a = ρ − ρ 0 ρ + ρ 0 r 2 /(R 2 − r 2 ) g, ∆P = ρR 2 ρ(R 2 − r 2 ) + ρ 0 r 2 ρ 0 gh. 4.3.11 ∗ . Размеры продольного сечения струи увеличатся в 2 раза. Скорость подобных участков в струе увеличится в √ 2 раз. Поэтому сброс увеличится в 2 √ 2 раза. 4.3.12 ∗ . Струи будут подобны. Все размеры струи при понижении уровня воды уменьшат- ся в H/h раз, скорость подобных участков в струе уменьшится в H/h раз. Поэтому скорость понижения уровня уменьшится в (H/h) 2 H/h = (H/h) 5/2 раз. ♦ 4.3.13. Из закона сохранения энергии следует, что скорость выделенных на рисунке участ- ков 2, 3 струи на плоскости будет равна скорости участка 1 v, а из закона сохранения импульса следует, что h 1 = h(1 + cos α)/2, h 2 = h(1 − cos α)/2. ♦ 4.3.14 ∗ . Нужно перейти в систему отсчета, в которой пластины движутся вдоль своих плоскостей. В этой системе пластины будут двигаться как две встречные струи, изображенные на рисунке а. Их движение над и под плоскостью OO повторяет движение струи, рассмотренной в задаче 4.3.13. Затем нужно вернуться в прежнюю систему отсчета (б). v 1 = v tg α 2 , v 2 = v ctg α 2 311 ♦ 4.3.15 ∗ . Конус; cos α = (R 2 − r 2 )/(R 2 + r 2 ). 4.3.16 ∗ . Задача сводится к задаче 4.3.15, если перейти в систему отсчета, в которой встречные скорости брони и струи металла будут равны по модулю. v = 1 км/с. ♦ 4.3.17 ∗ . h = l cos(t g/l ). P = xρg/2 в вертикальной части трубки. P = yρg/2 в горизон- тальной части трубки. 4.3.18 ∗ . a = g(s/S) 2 4.3.19. E = P V . 4.3.20 ∗ . v = 2 3 P ρ (R 3 /r 3 − 1), ρ — плотность воды. 4.3.21 ∗ . Если атмосферное давление не в состоянии сообщить воде скорость, равную ско- рости кромки винта v, то за кромкой может появиться полость; v > 14 м/с. § 4.4. Течение вязкой жидкости ♦ 4.4.1. Сила, с которой слои жидкости действуют друг на друга через единицу площади поверхности раздела AA , F = η dv dx . При стационарном течении результирующая сила, дей- ствующая на слой жидкости между любыми поверхностями раздела AA и BB , равна нулю. Поэтому градиент скорости везде одинаков и равен v 0 /h, а скорость на расстоянии x от непо- движной плоскости равна v 0 x/h, 0 < x < h, F = ηv 0 /h. 4.4.2. v = P 2η x(h − x), 0 < x < h; Q = P 12η h 3 4.4.3 ∗ . а. Q = h 3 ρg 3η sin α. б. α ≈ 8 · 10 −8 рад. 4.4.4 ∗ . v = 2mg∆ 2 /(πr 2 hη). ♦ 4.4.5. а) Результирующая сила давления на торцы выделенного цилиндрического объема жидкости P · πx 2 уравновешивается силой вязкого трения 2πxlη dv dx . Поэтому dv dx = − xP 2lη , 0 < x < R. б ∗ ). v = P 4ηl (R 2 − x 2 ). Объем жидкости, перетекающей в единицу времени, Q = πR 4 P 2 /(8ηl). 312 4.4.6. t = T . 4.4.7 ∗ . t = 32ηl/(ρgd 2 sin α). ♦ 4.4.8. а) Момент сил, действующих по цилиндрической границе раздела между слоями жидкости, не зависит от радиуса цилиндра x, так как только в этом случае результирующий момент сил, действующих на жидкость между двумя цилиндрическими поверхностями, равен нулю и жидкость движется стационарно. Поэтому M x = −x · 2πx · ηx dω ж dx = M, dω ж dx = − M 2πηx 3 , r < x < R. б ∗ . ω ж M 4πη 1 x 2 − 1 R 2 , ω M 4πη 1 r 2 − 1 R 2 4.4.9. F = P 2 S 2 − P 1 S 1 − ρv 2 1 S 1 (1 − S 1 /S 2 ). § 4.5. Поверхностное натяжение жидкости 4.5.3. r ≈ 0,5 см. 4.5.4. F = 2(σ 1 − σ 2 )l. 4.5.5. σ = k(2πR − l)/(2R). 4.5.6. а. A ≈ 2V σ/∆. б. n ≈ 4. 4.5.7. a = 2,1 см. 4.5.8. σ = rρgh/2. 4.5.9. Меньше 0,2 см/с 2 ♦ 4.5.10 ∗ . На рисунке изображены силы, действующие на участок пластины единичной дли- ны (двойные стрелки), и силы, действующие на участки боковой поверхности жидкости еди- ничной длины (жирные стрелки): F x — искомая сила, mg — сила тяжести, действующая на пластину, F 0 = ρgxl и F = ρgx 2 /2 — силы, вызываемые отрицательным давлением жидкости, σ — поверхностное натяжение. Из условия равновесия боковой поверхности жидкости следует, что F = ρgx 2 /2 = σ − σ cos θ, cos θ = 1 − ρgx 2 /(2σ). Из условия равновесия пластины имеем F x = F 0 + mg + 2σ sin θ = mg + ρgx(l + 2 σ/ρg − x 2 /4 ). 313 4.5.11. m = 0,55 г/см 2 4.5.12. а. h = 2σ(1 − sin θ)/(ρg). б. h = 3,9 мм. 4.5.13. а. x = 2 sin θ 2 σ/(ρg). б. x = 5,4 мм. 4.5.14 ∗ . а. x = 2ρ ж (σ м + σ ж.м. − σ ж ) ρ м (ρ ж − ρ м )g , если σ ж σ м + σ ж.м. ; x = 0, если σ ж σ м + σ ж.м. . Около 2,5 км 2 4.5.15 ∗ . Вертикальная составляющая силы поверхностного натяжения равна периметру поперечного сечения палочки, умноженному на σ cos ϑ. Поэтому объем жидкости, поднятой по- верхностным натяжением, не зависит от формы поперечного сечения палочки, а зависит от его периметра. 4.5.17. P макс = 2σ/R + ρg(h + R), P мин = 2σ/R + ρg(h − R). 4.5.18. R = σ/(ρgx). 4.5.19. P = P 0 + 2σ[1/R + 1/(R − h)]. 4.5.20. Около 3 л. 4.5.22 ∗ . h = 2r σ 1 + σ 2 − σ σ 1 + σ 2 + σ σ 2 σ 2 − (σ 1 − σ 2 ) 2 4.5.23. R = rR 0 /(R 0 − r). α = 120 ◦ 4.5.24 ∗ . m = πr 2 (ρh + 2σ/Rg). 4.5.25. h = 0,14 мм. 4.5.26. A = 1,4 · 10 −5 Дж. 4.5.27 ∗ . В тонкой струе сумма ρv 2 /2+ρgh+σ/r (здесь ρ, σ и v — плотность, поверхностное натяжение и скорость струи, а r и h — радиус струи и расстояние до крана) не изменяется. h ≈ 2 см. § 4.6. Капиллярные явления 4.6.1. б. Изнутри. 4.6.2. h = 2σ/(ρgR); A = 4πσ 2 /(ρg); U = 2πσ 2 /(ρg). Часть энергии переходит в тепло. 4.6.3. r = 1,5 мкм. 4.6.4 ∗ . а. V = πr 3 σ/(4ηh). б. V = 1,1 см 3 /с. 4.6.5. ∆ = 0,4 %. 4.6.6. r 2 = −1,5 мм, r 4 = 1,5 мм. 4.6.7. ∆x = 2σ/(ρgr), если 0 < x < h − 2σ/(ρgr); ∆x = h − x, если h − 2σ/(ρgr) < x < h + 2σ/(ρgr); x 0 = h + 2σ/(ρgr). 4.6.8. r x = 2r/ cos θ. 4.6.9 ∗ . ω = 2 l σ/(rρ). 4.6.10. x = 2h, если l > h; x = l + h, если l < h. 4.6.11 ∗ . t = 17 ◦ C. 4.6.12. Смачивающая жидкость будет двигаться в сторону узкой части капилляра, несма- чивающая — в сторону его широкой части. 4.6.13 ∗ . x = 1 2 H 1 − 1 − 16σ ρgαH 2 , α > 16σ ρgH 2 ; x = H, α < 16σ ρdH 2 4.6.14. x = σ ρg∆ (cos θ 1 + cos θ 2 ). 4.6.15. F = aσ(1 − cos θ). 4.6.16 ∗ . F = 2aσ 2 /(ρg∆ 2 ). 4.6.17 ∗ . h = σl/(Sρg), T = 2π h/g. 314 Глава 5 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА § 5.1. Тепловое движение частиц 5.1.1. K ≈ 5,8 · 10 −21 Дж, v 2 ≈ 1,5 · 10 −4 м/с. 5.1.2. В два раза. 5.1.3. m 0,01 мг. 5.1.4. x 2 ≈ 6,4 · 10 −8 м. 5.1.5 ∗ . ∆r ≈ 7 см. При T = 100 К d ≈ 4 см. 5.1.6. Легкие, т. е. более подвижные частицы, быстрее проходят сквозь перегородку. По- этому сначала выравнивается число легких частиц в единице объема, и давление в секции, где находились тяжелые частицы, увеличивается. 5.1.7. P He /P H 2 = 1/ √ 2. 5.1.8 ∗ . N 1 /N 2 = (µ 2 /µ 1 ) (n−1)/2 5.1.9 ∗ . τ = nτ . 5.1.10. В L 2 /R 2 раз. 5.1.11 ∗ . N 1 = N √ T 2 /( √ T 2 + √ T 1 ), N 2 = N √ T 1 /( √ T 2 + √ T 1 ). В сторону первого объема. § 5.2. Распределение молекул газа по скоростям 5.2.1. а. N = 1,3 · 10 15 л −1 б. N 1 = 1,3 · 10 17 м −3 ; N 2 = 1,3 · 10 19 м −3 5.2.2. N 1 = 6,2 · 10 4 см −3 , N 2 = 1,2 · 10 4 см −3 5.2.3. а) N 1 ≈ 10 16 см −3 , б) N 2 ≈ 2 · 10 22 м −3 5.2.4. T = 21 К. 5.2.5. n = 0,13. 5.2.6. n = 6 · 10 −3 5.2.7 ∗ . Температура будет уменьшаться. 5.2.8 ∗ . L = l τ t 0 1 + 2t t 0 + 2τ 5.2.9. v = 300 м/с. 5.2.10. v = hω/(2π). 5.2.11. а. f = 1 l f v l б. f = 1 kl f v kl 5.2.12. f (v) = 1/v 0 при v 0 v 2v 0 , f (v) = 0 в остальной области значений v. Функция распределения f (v) сдвинется на ∆v = F τ /m в область б´ ольших скоростей. 5.2.13 ∗ . а. v мин = v + F r m , v макс = v + F r m + ∆v, n = n. б. v мин = v 1 + 2 F l mv 2 , v макс = (v + ∆v) 1 + 2 F l m(v + ∆v) 2 ≈ v 1 + F l mv 2 + ∆v 1 + 2 F l mv 2 , n = n 1 + 2 F l mv 2 5.2.14 ∗ . а. Уменьшится в exp(2F lα/m) раз. б. ρ = ρ 0 exp(−mgh/kT ); не изменится. 5.2.15. m = 10 −24 кг, r = 10 −9 м. 5.2.16. h 1 ≈ 111 км, h 2 ≈ 123 км. 5.2.17 ∗ . а. n ≈ n 0 exp (−q/kT ). б. n = 10 15 см −3 § 5.3. Столкновения молекул. Процессы переноса 5.3.1. d ≈ 0,3 нм. 5.3.2. l ≈ 60 нм. 5.3.3. ν 1 ≈ 6 · 10 28 с −1 · см −3 ; ν 2 ≈ 3 · 10 28 с −1 · см −3 5.3.4. Увеличилось в 1,5 раза. 5.3.5. l 1 ∼ π −1 [4R 2 1 n 1 + (R 1 + R 2 ) 2 n 2 ] −1 ; l 2 ∼ π −1 [4R 2 2 n 2 + (R 1 + R 2 ) 2 n 1 ] −1 5.3.6 ∗ . t ≈ 30 пс. 5.3.7 ∗ . n = 2 √ 2 r AB /(r A + r B ). 315 ♦ 5.3.8. а. Горизонтальную единичную площадку AB, находящуюся на высоте h, пересе- кает сверху вниз поток радиоактивных атомов, плотность которого оценивается по форму- ле W 1 ≈ ¯ v z n h+λ /2, где ¯ v z — скорость, близкая к среднеквадратичной (¯ v 2 z ) = kT /m, а n h+λ = α(h + λ) — число атомов в единице объема на высоте h + λ. Плотность же потока ато- мов, идущего снизу, W 2 = ¯ v z n h−λ /2 ≈ kT /m α(h − λ)/2. Результирующая плотность потока радиоактивных атомов на Землю W = W 1 − W 2 ≈ αλ kT /m. б. D ≈ 12 мкм/с. 5.3.9. D = nD 1 D 2 /(n 1 D 2 + n 2 D 1 ). 5.3.10 ∗ . t ≈ L/D; m = DSρ/L. 5.3.11. а. Решение аналогично решению задачи 5.3.8а: W ≈ nαλk kT 0 /m. Не изменится. б. В 6,2 раза. 5.3.12. W ≈ 12 Вт, t ≈ 2 ч. Из-за конвекции воздуха. 5.3.13 ∗ . κ = κ 1 1 + 1 4α 1 + κ 1 κ 2 µ 1 /µ 2 1/2 2 + κ 2 1 + α 4 1 + κ 2 κ 1 µ 2 /µ 1 1/2 2 5.3.14. t = nt. § 5.4. Разреженные газы. Взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела 5.4.1. ν ≈ 10 24 с −1 · см −2 , ∆p/∆t ≈ 10 Н. 5.4.2. Уменьшится в 1 − k/2 раз. 5.4.3. F ≈ πr 2 nmv 2 5.4.5. F ≈ 4πr 2 P v µ/(RT ), где R — газовая постоянная. 5.4.6. F = P s/2. 5.4.7. F ≈ P Sv µ/(RT ). 5.4.8. Пока длина свободного пробега молекул газа больше расстояния между дисками, момент силы вязкого трения зависит от давления. ϕ = (ϕ 1 /P 1 )P . 5.4.9. ω = ω(r 1 /r 2 ) 2 5.4.10 ∗ . При освещении пластин температура зачерненной поверхности становится выше, чем зеркальной. Поэтому в разреженном газе давление на нее несколько выше. Вертушка будет вращаться в сторону зеркальной поверхности. 5.4.11 ∗ . F ≈ 10 −2 Н. 5.4.12. v ≈ 1 м/с. 5.4.13 ∗ . P ≈ F T 1 /[S(T 2 − T 1 )]. 5.4.14 ∗ . P 0 = P T 0 /T . 5.4.15 ∗ . P = P (1 + √ 2 ) · 2 −5/4 , T = T √ 2. 5.4.16 ∗ . w = 1,5kn∆T 3kT /µ. 5.4.17. Цену деления температурной шкалы нужно уменьшить в √ 14 раз. 5.4.18. m ≈ 0,1 кг. 5.4.19 ∗ . r ≈ (W 1 /W 2 πnδ) 1/2 5.4.20. В случае а теплопроводность не меняется: в случае б — уменьшается в N раз. 316 § 5.5. Уравнение состояния идеального газа 5.5.1. В три раза. 5.5.2. V = (P 2 V 2 − P 1 V 1 )/(P 2 − P 1 ). 5.5.3. ∆m = m(k − 1)n/(n − 1). 5.5.4 ∗ . P = P 0 + mgh/(2πr 2 L). 5.5.5. V = 885 л. 5.5.6. x = L(1 + ρgL/2P )/2. 5.5.7. P = 1,166 МПа. 5.5.8. ∆t = 140 ◦ C. 5.5.9. В рабочем режиме, когда газ в баллоне нагрет, его давление не должно превышать атмосферное. 5.5.10 ∗ . T = 9T 0 /8. 5.5.11. n = (P − P 0 )V 0 /P 0 V . 5.5.12. n = ln (P 0 /P ) ln (1 + V /V 0 ) 5.5.13. Не зависит. 5.5.14. Горелка коптит из-за недостатка кислорода. Вертикальная стеклянная трубка вы- зывает приток кислорода к пламени горелки. 5.5.15 ∗ . ∆P = 137 Па. 5.5.16. T = T 0 2V 0 + S(l + 2x) 2V 0 |