Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
2.6.11. В 6 раз. 2.6.12. R = (γm /ω 2 ) 1/3 2.6.13. T 1 ≈ 0,7 года. 2.6.14 ∗ . T = 2π R 3 /γ(m 1 + m 2 ). 2.6.15. m/m = µ = r 3 /T 2 2.6.16. ω 2 = 3γm/l 3 2.6.17. v 1 ≈ 7,9 км/с; v 2 ≈ 1,7 км/с. T 1 = 84 мин; T 2 ≈ 105 мин. 2.6.18. p = 2m 0 γm/R sin α 2 2.6.19. F = 3mv 2 /(4R). 2.6.20. ∆N ≈ 9 · 10 3 Н. ♦ 2.6.21. а. R ≈ 42 · 10 3 км. б. «Восьмерка», «касающаяся» 60-х параллелей с точкой самопересечения на экваторе. 2.6.22. ∆U = γ M mh R(R + h) ; mgh − ∆U ∆U = h R 2.6.23 ∗ . v = 4,6 км/с. 2.6.24. u = v 2 − v 2 0 2.6.25. В 10 раз меньше. 2.6.26. v 1 ≈ 11,2 км/с; v 2 ≈ 2,4 км/с. 2.6.27. ∆v = ( √ 2 − 1)v. 2.6.28. h = 59 км. 2.6.29. ρ макс = 3H 2 /(8πγ). 2.6.30 ∗ . v = 3γm/R. 2.6.31. v ≈ 42 км/с. 292 2.6.32 ∗ . v ≈ 16,7 км/с. 2.6.33 ∗ . v мин = 29 км/с. 2.6.34. U = −2K. 2.6.36 ∗ . S = (1/2)vrt sin α. 2.6.37. ω п /ω а ≈ 45. 2.6.38 ∗ . ρ = R 1 + 2γM/(Rv 2 ). 2.6.39 ∗ . V = v 2γM rv 2 − 1 ; R = r 2γM/rv 2 − 1 , M — масса Земли. 2.6.40 ∗ . E = γM m/(r а + r п ). 2.6.41 ∗ . R 1 /R 2 = 2u 2 /v 2 2.6.42 ∗ . dv = γM dϕ/(v п r п ). Вектор dv направлен к центру планеты. 2.6.43 ∗ . Момент скорости (векторное произведение скорости на радиус-вектор, проведен- ный из центра орбиты) зонда такой же, как и момент скорости станции; при повороте зонда и станции на одинаковый угол одинаково изменятся и векторы скоростей. Из неизменности мо- мента скорости зонда: up = (v − V sin α)r следует, что r = p/(1 − ε sin α), где ε = V /u. При ε < 1 траектория зонда — эллипс, при ε = 1 — парабола, при ε > 1 — гипербола. 2.6.44 ∗ . При V < u; r п = pu u + V , r а = pu u − V ; α пр = arcsin u V ♦ 2.6.45 ∗ . Эта скорость параллельна большой оси и перпендикулярна вектору V , поэтому V 0 = √ u 2 − V 2 . Так как a = 1 2 (r а + r п ) = pu 2 u 2 − V 2 , то a = γM/V 2 0 (из уравнения u 2 /p = γM/p 2 для круговой орбиты следует, что pu 2 = γM ). Окончательно V 0 = γM/a. ♦ 2.6.46 ∗ . Скорость «заметания» площади dS dt = 1 2 bV 0 = 1 2 b γM/a. (См. решение задачи 2.6.45.) Период обращения спутника T = 2πab/(bV 0 ) = 2πa 3/2 / √ γM . Можно решить эту задачу, не обращаясь к решению задачи 2.6.45. Радиус кривизны ор- биты в вершине большой оси эллипса R = a/k 2 = b 2 /a. Поэтому v 2 R = v 2 a b 2 = γ M r 2 → vr = γ M b 2 a , dS dt = 1 2 vr = 1 2 b γM a Период обращения спутника T = 2π ab dS/dt = 2π a 3/2 √ γM 2.6.47. В 1910 г. 2.6.48 ∗ . t = π R/g [(1 + R c /R)/2] 3/2 2.6.49 ∗ . t ≈ 65 суток. 2.6.50 ∗ . ∆v ≈ 70 м/с. 2.6.51. F = γM m(R 3 2 − R 3 1 ) (R 1 + R 2 )R 2 1 R 2 2 2.6.52 ∗ . N = γm 2 4r 2 − γmM (3R 2 r + r 3 ) R(R 2 − r 2 ) 2 ; R = 3 √ 12 R 0 2.6.53 ∗ . σ ≈ 1,8 · 10 12 Па. 19 ∗ 293 § 2.7. Вращение твердого тела 2.7.1. K 2 /K 1 = 32. 2.7.2. K = mR 2 ω 2 /2. У диска энергия меньше. 2.7.3. M = mR 2 ω/t; M = mR 2 ω 2 /(4πN ). 2.7.4. t = ωR/(µg), n = ω 2 R/(4πµg). 2.7.5 ∗ . J = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 2.7.6. n = ω 2 R(1 + µ 2 )/[4πgµ(1 + µ)]. 2.7.7. n = ω 2 R(1 + µ 2 )/[8πgµ(1 + µ)]. 2.7.9 ∗ . w = |m 1 − m 2 |gR/(J + m 1 R 2 + m 2 R 2 ). 2.7.10. P 1 = mg/2 − J w/l; P 2 = mg/2 + J w/l. 2.7.11. a = F /(m 1 + m 2 ); w = F /(m 2 R). 2.7.12. a = (1/2)g sin α. F тр = (1/2)mg sin α. 2.7.13 ∗ . T = (1/7)mg sin α. 2.7.14 ∗ . v = gl(sin α − 2µ cos α). 2.7.15. a = 2m 2 g/(2m 2 + m 1 ). 2.7.16. J = mr 2 [gt 2 /(2h) − 1]. 2.7.17. a 1 = g (m 1 R 1 − m 2 R 2 )R 1 J + mR 2 1 + m 2 R 2 2 , a 2 = −g (m 1 R 1 − m 2 R 2 )R 2 J + m 1 R 2 1 + m 2 R 2 2 ; T 1 = m 1 g J + m 2 R 2 (R 2 + R 1 ) J + m 1 R 2 1 + m 2 R 2 2 T 2 = m 2 g J + m 1 R 1 (R 2 + R 1 ) J + m 1 R 2 1 + m 2 R 2 2 2.7.18. a = g 1 + J/mr 2 ; T = 1 2 mg 1 + mr 2 /J 2.7.19 ∗ . a = g/2. 2.7.20 ∗ . cos α > r/R. ♦ 2.7.21 ∗ . См. рис. t = ω 0 R/(2µg). Q/E = 1/2. 2.7.22 ∗ . t = v 0 (3µg). Q/E = 1/3. 2.7.23 ∗ . t = v/(µg). 2.7.24. ω 3v/R. 2.7.25. ω 1 = ω 3 = ω/3; ω 2 = −ω/3. 2.7.26. α = 60 ◦ . Меньше. 2.7.27 ∗ . N = 4m 1 m 2 g/(m 1 + m 2 ). 2.7.28 ∗ . N = mgl 2 /(l 2 + 3a 2 ). 2.7.29. cos α = 2g(m 1 − m 2 ) ω 2 l(m 1 + m 2 ) при 2g(m 1 − m 2 ) ω 2 l(m 1 + m 2 ) < 1; в противном случае α = 0 или π. 2.7.30. ω = J 1 ω 1 + J 2 ω 2 J 1 + J 2 Q = J 1 J 2 (ω 2 − ω 1 ) 2 2(J 1 + J 2 ) 2.7.31 ∗ . ω = v/(2R). 2.7.32 ∗ . ω 1 = (3ω 1 − ω 2 )/4; ω 2 = (3ω 2 − ω 1 )/4. 2.7.33. u ≈ m 2 v/m 1 ; ω = 2m 2 vh/(m 1 R 2 ). 2.7.34. ω = 2m 2 vr/(m 1 R 2 + 2m 2 r 2 ). 2.7.35. ∆ω = ωmR 2 /J . Возрастает в (1 + mR 2 /J ) раз. 2.7.36. n = 33/8 ч −1 2.7.37. На запад. Такой ветер в северном полушарии называется северо-восточным пас- сатом. 2.7.38 ∗ . m ≈ 4 · 10 16 кг. 2.7.39 ∗ . а. «Горбы» приливных деформаций Земли и приливов в ее океанах запаздывают относительно прохождения Луной или Солнцем зенита и «антизенита». б. Прилив в атмосфере Земли приводит к появлению момента сил, ускоряющих суточное вращение. 2.7.40 ∗ . v = √ 3gL. 2.7.41. Q = 1 / 10 mv 2 294 2.7.42. cos α = 1 − 3m 2 2 v 2 gl(4m 1 + 3m 2 )(m 1 + m 2 ) 2.7.43 ∗ . На расстоянии 2l/3 от руки. 2.7.44. F = F (mRx/J − 1). При x = J/(mR) F = 0. 2.7.45. После первого удара скорость центров гантелей равна (v 1 − v 2 )/2, при этом они вращаются в противоположные стороны с угловой скоростью (v 1 +v 2 )/l. Спустя время πl/2(v 1 + v 2 ) произойдет второй удар; вращение прекратится и гантели полетят с теми же скоростями, что и до первого удара. 2.7.46 ∗ . h = H 3m 2 m 1 + 6m 2 2 2.7.47 ∗ . M = µ(u − ωR)R. 2.7.48 ∗ . N = µ(u − ωR)Rω. ω = u/R − M/(µR 2 ). § 2.8. Статика 2.8.1. T = 98 Н, F = 138 Н. 2.8.2. F = 0,98 Н. 2.8.3. h ≈ 700 м. 2.8.4. Соседние нити образуют угол 120 ◦ 2.8.5. m 2 = m 1 sin α/ sin(l/R − α). 2.8.6. T ≈ 2,6 Н; α = arctg(3 √ 3 ). 2.8.7. x = 5F /k. 2.8.8. l 0 = 2l 2 − l 1 2.8.9. T = mg/(2 tg α); T = mg/(2 sin α). 2.8.10. F A = mg sin β/ sin(β − α); F B = mg sin α/ sin(β − α). 2.8.11. F A = mg tg α; F B = mg cos 2α/ cos α. 2.8.12. µ = tg(α мин /2). 2.8.13. d макс = d 0 + 2R(1 − 1/ 1 + µ 2 ). 2.8.14 ∗ . tg α = (µ 1 − µ 2 )/(1 + µ 1 µ 2 ). 2.8.15. µ = 1/ √ 3. 2.8.16 ∗ . f n = F (f /F ) n 2.8.17 ∗ . F = F 0 e −µθ 2.8.18. а. F 1 = F 2 = 98 Н; б. F 1 = 24,5 Н, F 2 = 171,5 Н. 2.8.19. m 7,5 г. 2.8.20. m = √ m 1 m 2 2.8.21. ∆m = (h/L)m 0 tg α. 2.8.22. ∆m ± = µ(M + 2m)r/(L µr), возможны «избыток» и «недостача». 2.8.23. α = arctg (1/3). 2.8.24. T = mgL/2h; P = mg 1 + (L/2h) 2 2.8.25 ∗ . T n = (2n − 1)mg/ √ 3. 2.8.26. P = (1/4)mg ctg α. 2.8.27. µ 1/3. 2.8.28. l < L < l 1 + µ 2 2.8.29. α arctg 2µ. 2.8.30. α > π/3. 2.8.31 ∗ . cos ϕ = ctg α/ √ 3, считаем µ > tg α. 2.8.32. tg α 1/µ. 2.8.33 ∗ . F = mg/2, α = 0 при µ 1/2; F = mg 2µ 5µ 2 − 4µ + 1, tg α = 1 − 2µ µ при µ = 1/2. 2.8.34. tg α (1 − µ 1 µ 2 )/(2µ 1 ). 2.8.35 ∗ . F = F (l + µh)/(l − µh). 2.8.36. sin α = µR (l + R) 1 + µ 2 2.8.37 ∗ . ω = vh/R 2 2.8.38. Разумно. 295 2.8.39. F ось = mg; F пр = mg/4, одна пружина сжата, другая растянута. 2.8.40. m = M r/(R − r). 2.8.41. T = 3mg. 2.8.42 ∗ . ∆S = (N l/µ)α(t 2 − t 1 ) tg ϕ. 2.8.44. F = µmg( √ 2 − 1). Глава 3 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ § 3.1. Малые отклонения от равновесия 3.1.1. f = −2F x/l. U = F x 2 /l. v = x 0 2F /(ml). 3.1.2. F = −kx. U = kx 2 /2. 3.1.3. а. k = mv 2 0 /x 2 0 б. F = −kx, U = kx 2 /2, k = m(v 0 /x 0 ) 2 Нет, не зависит. 3.1.5. F = −mgx/l. U = mgx 2 /(2l). 3.1.6. v = x 0 g/l. 3.1.7. n = R/r. 3.1.8 ∗ . m = 2qEx 2 0 /(lv 2 0 ). 3.1.9. U = mg R − r x 2 2 3.1.10 ∗ . U = 1 4πε 0 L + x + L − x − 2qQ L ≈ 2πε 0 L 3 x 2 l = v πε 0 L 3 m/(qQ). 3.1.11. m = 2(k cos 2 α)x/g. 3.1.12. а. F = − 2mg R x. б. R = R √ 3 F = − 6mg R x. 3.1.13. v = ∆m m gR/2. 3.1.14 ∗ . Ω = ϕ 0 l L g/h. 3.1.15. v 1 = x 0 (1 + y 0 /x 0 ) g l , v 2 = y 0 (1 + x 0 /y 0 ) g l 3.1.16. mg(1 + x 2 0 /l 2 ) > F > mg(1 − x 2 0 /2l 2 ). 3.1.17. x 0 = R 2∆/(3N ). § 3.2. Период и частота свободных колебаний 3.2.1. а. Положение равновесия груза находится на уровне центра колеса, F = −mΩ 2 x. T = 2π/Ω. Скорость будет той же по модулю, но изменит направление на противоположное, смещение изменит знак. б. Ω = k/m, R = x 0 3.2.2. T = 2π ∆l/g. 3.2.3. Период уменьшится вдвое. 3.2.4. Для случаев а, в: T = 2π m/(k 1 + k 2 ); для б: T = 2π m(1/k 1 + 1/k 2 ). От расстояния между стенками не зависит. 3.2.5. l = 24,4 см. 3.2.6. T = 2π l/(g sin α). 296 ♦ 3.2.7. а. F = mg[(T 0 /T ) 2 − 1]. ♦ б. F = mg (T 0 /T ) 4 − 1, cos ϕ = (T /T 0 ) 2 , здесь ϕ — угол отклонения от вертикали нового положения равновесия. 3.2.8. r ≈ 30 км. 3.2.9. ∆t 1 = 2 мин; ∆t 2 ≈ 7 с. 3.2.10. F = mω 2 l/2. 3.2.11. ω = qQ/(πε 0 ml 3 ). 3.2.12. t = 42 мин. 3.2.13. t = 42 мин. 3.2.14. ω = 2µg/l. 3.2.15 ∗ . t = 22 с. 3.2.16 ∗ . T = 2π l 2 g 2 + a 2 − 2ag cos α 1/4 3.2.17 ∗ . T = 2π Ω l/(R + l). 3.2.18. ω = k/m − Ω 2 3.2.19. ω = g(M l − mx)/(M l 2 + mx 2 ). 3.2.20. ω 2 = g/l + k/4m. Квадрат частоты возрастает на k/4m. 3.2.21. M = m(g/ω 2 R − 1). 3.2.22. а) ω 2 ⊥ = g/ √ R 2 − l 2 , б ∗ ). ω 2 = g √ R 2 − l 2 /R 2 3.2.23. ω = k/(2m). 3.2.24. ω = g/(2R). 3.2.25. ω = k/µ, где µ = m 1 m 2 /(m 1 + m 2 ). 3.2.26. ω HD /ω H 2 = √ 3/2. 3.2.27 ∗ . ω 2 /ω 1 = 11/3. 3.2.28. T = 2π l(M + m)/(M g). 3.2.29. а) t = π 2 m/(2k). б) t = 3π 2 m/(2k). 3.2.30. I = I 0 [(T /T 0 ) 2 − 1]. 3.2.31 ∗ . ω = 6k/m. 3.2.32 ∗ . ω 1 = M g/(ml), ω 2 = 2ω 1 = 2 M g/(ml). 3.2.33. T = 2π l/(2g). 3.2.34 ∗ . T = 2π H/g. 3.2.35. ω = g/H. 3.2.36 ∗ . ω = k/[m + πρlR 4 /r 2 ]. 3.2.37 ∗ . m ≈ 900 т. § 3.3. Гармоническое движение 3.3.1. v = −Aω sin ωt, a = −Aω 2 cos ωt, F = −mω 2 x = −Amω 2 cos ωt, k = mω 2 3.3.2. а) x = 5 sin(3,13t). б) x = 5 cos(3,13t). Смещение измеряется в миллиметрах, вре- мя — в секундах. 3.3.3. T = 0,06 с. 3.3.4. t = π/(4ω). 3.3.5. T = π l/g (1 + 1/ √ 2 ). 3.3.6. T = π( R/g + r/g ). 3.3.7 ∗ . t = π/2 l/g; не изменится. 3.3.8 ∗ . t = π m/(2πR∆p). 3.3.9. Фокусируются на расстояниях l = π(n + 1/2)v 0 m/k, где n — целое число. 297 3.3.10. Число пересечений равно целой части величины l πv 0 g/R. 3.3.11. T = (4/3)π l/g. 3.3.12. l = A cos[π(1 − T /T 0 )]. 3.3.13. t = π + 2 arctg mg 2k(H − h) m/k. 3.3.14. t = π 2 l/(µg) при v = √ µgl, t = v µg + l/(µg) arccos v v при v > √ µgl, где v = v 2 − µgl. 3.3.15 ∗ . w = 2R/(πA) при A R, w = 1/3 при A = 2R. Увеличится. 3.3.16. u = d 2πn k/m, где n — целое число. 3.3.17. t = T /4 + τ /2. 3.3.18. а) x = mg k (cos ωt − 1). б) x = mg k + l (cos ωt − 1). Ось x направлена верти- кально вверх, начало отсчета — в начальном положении. 3.3.19. v = mv m + M cos k m + M t, x = mv k(M + m) sin k m + M t. 3.3.20. С момента первого удара шарика о стенку в течение полупериода происходит сжатие и возвращение пружины в недеформированное состояние. Затем происходит второй удар в момент, когда пружина не деформирована, после чего шарики начинают двигаться с постоянной скоростью v. Период T = 2π m/(2k). 3.3.21 ∗ . v 1 = m 1 m 1 + m 2 v 1 + m 2 m 1 cos ωt , v 2 = m 1 m 1 + m 2 v(1 − cos ωt). 3.3.22. F макс = 2F ; τ = T /2. 3.3.24 ∗ . A = A 2 0 + F 2 k 2 − 2A 0 F k cos ωt 0 . При t 0 = π(2n + 1)ω, где n — целое число, амплитуда наибольшая; при t = 2πn/ω — наименьшая. 3.3.25 ∗ . x 0 = u m/k. 3.3.26 ∗ . При u µg m/k сразу начнутся гармонические колебания с амплитудой A = µmg/k, при меньших u установятся колебания с амплитудой A = u m/k. 3.3.27 ∗ . µ = kl/(4M gn). 3.3.28. BC = g(M + m)/(M ω 2 ). 3.3.29. F = −mω 2 x = −mω 2 A cos(ωt + ϕ), наибольшее по модулю значение силы mω 2 A достигается в момент времени t = (πn − ϕ)/ω, где n — целое число. 3.3.30. При ω 2 A > g груз подскакивает, а его отрыв от поверхности мембраны происходит выше ее среднего положения. 3.3.31. A = F /(mω 2 ). 3.3.32. h = A + g/(2ω 2 ) + ω 2 A 2 /(2g) при ω 2 A > g. 3.3.33 ∗ . A = (g/ω 2 ) √ π 2 n 2 + 1, где n — целое число. 3.3.34 ∗ . При амплитуде A 10 −11 см ускорение торца пластинки много больше уско- рения g = 0,8 м/с, которое может обеспечить трение, поэтому груз практически остается на месте, почти не влияя на частоту. При амплитуде A < 10 −11 см груз движется вместе с торцом и влияет на частоту заметным образом. v макс = πg/(2ω) ≈ 1,57 · 10 −6 м/с. 3.3.36 ∗ . u ср = πv 0 tg α/(2µ). § 3.4. Наложение колебаний 3.4.1. Будет происходить наложение гармонических колебаний по горизонтали и вертика- ли с частотами ω 1 = 2k 1 /m и ω 2 = 2k 2 /m. При k 1 = k 2 прямолинейное движение возможно только по вертикали и горизонтали. 298 3.4.2. Телу. отклоненному от положения равновесия на расстояние r, нужно в направле- нии, перпендикулярном направлению отклонения, сообщить скорость v = ωr, где ω = k/m. T = 2π/ω. 3.4.3. а. Траектория — эллипс с полуосями A и v/ω. Пределы изменения расстояния от v/ω до A. б ∗ . Траектория — эллипс с полуосями 1 2 A 2 + v 2 ω 2 ± (A 2 + v 2 /ω 2 ) 2 − 4(xv/ω) 2 3.4.4. 2ϕ = π/6. 3.4.5 ∗ . При 2ϕ = πn, где n — целое число, на экране виден отрезок; при 2ϕ = ±π/2+2πn — окружность. Длина полуосей эллипса равна A √ 2 cos ϕ и A √ 2 sin ϕ. 3.4.6. Эллипс с осями по вертикали и горизонтали. 3.4.7. Отрезок, расположенный по диагонали экрана, превратится в вытянутый по этой диагонали эллипс, полуоси которого постепенно сравняются по длине. Затем появится окруж- ность, которая начнет превращаться в эллипс, вытянутый вдоль другой диагонали экрана, и т. д. Через время 2π/Ω весь цикл повторится. 3.4.8. T x : T y = 1 : 2, за исключением случая г, когда T x : T y = 2 : 1. 3.4.9. Если T x : T y = p : q, где p и q — целые числа, то за время pT y = qT x точка вернется в свое начальное положение. При T y = T x траектория точки — эллипс. 3.4.10. ω y : ω x = p : q = 3 : 4. 3.4.11 ∗ . µ мин = 2F /(M + m 1 + m 2 ), за исключением случая m 1 /m 2 = p/q, где p и q — целые нечетные числа. 3.4.12 ∗ . F = k[A 2 cos(ωt+ϕ 2 )−A 1 cos(ωt+ϕ 1 )]. E макс = k 2 [A 2 1 +A 2 2 −2A 1 A 2 cos(ϕ 2 −ϕ 1 )]. E ср = k 4 [A 2 1 + A 2 2 −2A 1 A 2 cos(ϕ 2 −ϕ 1 )]. При ϕ 2 −ϕ 1 = π средняя энергия принимает наибольшее значение, при ϕ 2 − ϕ 1 = 0 — наименьшее. ♦ 3.4.13 ∗ . F = 2kA sin ω 2 − ω 1 2 t sin ω 2 + ω 1 2 t . |