Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 44 из 44

Но проводник движется без ускорения. Это означает, что сила со стороны электрического по- ля E компенсируется силой, действующей со стороны магнитного поля: IB/c + β
2
γρE = 0,
I = −γρβc — ток в проводнике после преобразования, B — магнитное поле, перпендикуляр- ное как проводнику, так и напряженности электрического поля. Из последней формулы следует,
что в преобразованной системе появляется магнитное поле B, связанное с электрическим полем соотношением B = [β × E].
б. В преобразованной системе (см задачу а) магнитное поле определяется формулой B =
[β × E ], где E — электрическое поле в преобразованной системе. При малых скоростях сноса
E близко к E. Поэтому B
[β × E].
14.3.9. а) Увеличится в 1/
1 − β
2
раз;
б) уменьшится в 1/
1 − β
2
раз.
14.3.10. Увеличится в 1/
1 − β
2
раз.
14.3.11. E
max
= Q/(R
2 1 − β
2
),
σ
max
= Q/(4πR
2 1 − β
2
),
σ
min
= Q/(4πR
2
).
♦
14.3.12
∗
. На рисунке изображена сфера вокруг неподвижного заряда и эллипсоид, воз- никший из этой сферы при сносе ее вместе с зарядом со скоростью βc. Малая ось эллипсоида в
γ = 1/
1 − β
2
раз меньше сферы. На поверхности этого эллипсоида находится электрическое поле, которое раньше находилось на поверхности сферы. Поперечная составляющая этого поля
E
⊥
увеличивается в γ раз, продольная же составляющая E не изменится. Поэтому тангенс уг- ла между новой напряженностью поля и направлением сноса увеличится в γ раз. Во столько же раз увеличится и тангенс угла радиус-вектора. Поэтому электрическое поле по-прежнему будет направлено по радиус-вектору. Однако напряженность нового поля будет зависеть не только от расстояния до заряда r, но и от угла α между направлением скорости βc и радиус-вектором r.
Например, если сравнивать эту напряженность с напряженностью неподвижного заряда, она увеличится в поперечном направлении в γ
2
раз, а в продольном направлении уменьшится в γ
3
раз. Для других направлений напряженность будет определяться формулой
E =
q r
3
·
1 − β
2
(1 − β
2
sin
2
α)
3/2
· r.
В начальном состоянии магнитного поля не было. Поэтому индукция магнитного поля опреде- ляется формулой B = [β × E].
14.3.13
∗
. При движении системы со скоростью −βc диэлектрическая пластина остано- вится, а обкладки конденсатора будут двигаться со скоростью −βc. Плотности поверхностных зарядов на обкладках увеличатся в γ = 1/
1 − β
2
раз и будут равны ±γσ, где ±σ — плотности поверхностного заряда обкладок неподвижного конденсатора. Кроме того, появится ток с ли- нейной плотностью ±γσβc. Эти поверхностные заряды и токи создадут внутри неподвижного диэлектрика электрическую напряженность E = 4πγσ/ε и магнитную индукцию B = +4πγβσ.
Движение новой системы со скоростью βc возвращает ее в первоначальное состояние. Электри- ческое и магнитное поля внутри диэлектрика определяются по формулам преобразования полей,
приведенным в условии задачи 14.3.8.а:
E = 4πσγ
2
(1/ε − β
2
),
B = 4πσγ
2
β(1 − 1/ε).
365

14.3.14
∗
. Движение состояния со скоростью −βc приводит к состоянию, в котором непо- движный диэлектрик находится в магнитном поле индукции γB, γ = 1/
1 − β
2
и в электриче- ском поле напряженности γβB. Магнитное поле на диэлектрик не действует, а электрическое поле, которое перпендикулярно пластине, ослабляется в ε раз: E = γβB/ε. Движение нового состояния со скоростью βc возвращает старое состояние, электрическое поле в котором нахо- дится по формуле преобразования электрического поля, приведенной в условии задачи 14.3.8.а:
E = γ
2
β(1 − 1/ε)B. Потенциал, вызываемый этим полем, равен U = Eh = γ
2
βhB(1 − 1/ε).
14.3.15. Увеличится в
(1 + β)/(1 − β) раз.
14.3.16
∗
. Увеличится в (1 + β/n)/
(1 − β
2
) раз.
14.3.17. Увеличится в (1 + β)/(1 − β) раз.
14.3.18
∗
. Увеличится в (1 + β sin α)/(1 − β sin α) раз.
14.3.19. Увеличится в (1 + ββ
1
)/
1 − β
2 1
) раз.
14.3.20. Увеличится в 1/
1 − β
2
раз; ρ = βγj/c.
14.3.21
∗
. Нет.
14.3.22. E = 4πγ[σ − j(t − x β/c)] = 4π[γσ − jt + l βγ
2
/c].
14.3.23
∗
. Продольное поле при движении не меняется. Меняется лишь место и время его появления. Электрическое поле в неподвижном конденсаторе E = 4π(σ − jt). Электрическое поле в конденсаторе, движущемся со скоростью βc,
E = 4π σ − j t −
x β
c
= 4π
σ −
j
γ
t +
l βγ
c
,
где l — расстояние от передней пластины, γ = 1/
1 − β
2 14.3.24. P = vM .
14.3.25
∗
. P = vM .
14.3.26. F
±
= 2µev/R
3
±
, R
±
= e
2
/(2γm e
v
2
).
♦
14.3.28
∗
. Нет. В движущемся конденсаторе составляющие силы F , действующей на пер- вую пластину вдоль и поперек скорости, равны
F = QE cos α,
F
⊥
= QE sin α(1 − β
2
),
а составляющие ускорения равны a = k cos α,
a
⊥
= k sin α,
k = QE
1 − β/M,
где Q, M , E — соответственно заряд, масса покоя и электрическое поле внутри конденсатора.
Это ускорение перпендикулярно пластине, равно по величине ускорению второй пластины и противоположно ему направлено. Поэтому конденсатор не будет поворачиваться.
§ 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом и магнитном полях
14.4.1. а) В движущейся со скоростью βc системе промежуток времени между двумя событиями — пересечением электроном границы поля — будет в γ = 1/
1 − β
2
длиннее:
T = γτ .
366

б) В первом случае за время τ импульс электрона изменился на величину 2γm e
cβ, по- этому τ = 2γm e
cβ/(eE), где E — электрическая напряженность. Во втором случае за время движения T импульс электрона изменился на величину γ
1
m e
cβ/(eE), где β
1
c = 2βc(1 + β
2
) —
скорость электрона после действия на него поля. Поэтому T = γτ .
14.4.2
∗
. В системе отсчета, в которой поле неподвижно,
τ
1
=
2m e
v
1
eE
1 − v
2 1
/c
2
= τ
1 − u
2
/c
2
,
а скорость электрона v
1
= (v + u)/(1 + vu/c
2
). Поэтому
E = 2m e
(v + u)/[eτ (1 − u
2
/c
2
)
1 − v
2
/c
2
].
14.4.3. E = m e
v/(eτ
1 − v
2
/c
2
).
14.4.4. а) Увеличится в 1 1 − u
2
/c
2
раз.
v =
v
2
+ u
2
− v
2
u
2
/c
2
б) Увеличится в
1 1 − u
2
/c
2 1 +
u v
(1 −
1 − v
2
/c
2
)
раз.
v = (v + u)/(1 + vu/c
2
).
14.4.5. τ =
m e
e v
E
1 1 − 4v
2
/c
2
−
1 1 − v
2
/c
2 14.4.6.
∗
x =
m e
c
2
eE
14.4.7. p = p. В 1/
1 − β
2
раз.
14.4.8. v = c/
1 +
m e
c
2
R
e
2
z
2 14.4.9
∗
. В 1/(1 − β
2
) раз. В
sin
2
α +
cos
2
α
(1 − β
2
)
2
раз.
14.4.10
∗
. v =
c
1 + (mcω/2qE)
2 14.4.11. а) В движущейся со скоростью βc системе расстояния сокращаются в 1/
1 − β
2
раз. l = l
1 − β
2
б) В первом случае c
2
∆m =
m e
1 − β
2
− m e
c
2
= eEl,
l =
m e
eE
1 1 − β
2
− 1
Во втором случае первоначально неподвижный электрон, набирая скорость βc, проходит рас- стояние l
1
=
m e
c
2
eE
1 1 − β
2
− 1
,
двигаясь в направлении поля. За это время поле перемещается на расстояние ∆l = cβτ , где
τ = m e
cβ/(eE
1 − β
2
— время набора электроном скорости βc. Поэтому l = l
1
+ ∆l =
m e
eE
(1 −
1 − β
2
) = l
1 − β
2 367

14.4.12
∗
. E =
m e
c
2 1 − v
2
/c
2 1 + uv/c
2 1 − v
2
/c
2
−
1 − u
2
/c
2 14.4.13. τ =
(2 − lEl/m e
c
2
)m e
l/eE.
14.4.14. l =
E
eE
= 1 км. τ =
1
eE
m
π
0
E(2 + E/m
π
0
c
2
) = 0,34 мс.
14.4.15. В 2N
2
= 1 = 2 · 10 6
раз больше m e
c
2
. В k = 2N − (1/N )
2000 раз больше энергии электронов при встречных столкновениях.
14.4.16. tg α
e
=
m e
c
2
+ E
2m e
c
2
+ E
·
2m p
c
2
+ E
m p
c
2
+ E
tg α
p при α
p
1, α
e m
e c
2
+ E
2m e
c
2
+ E
·
2m p
c
2
+ E
m p
c
2
+ E
α
p
=
0,075 рад.
14.4.17. v
1
=
v sin
2
α
+
v
2
cos
2
α
sin
4
α
+
m e
c
2
l
2
−
m e
c
2
e
14.4.18. E =
(m p
c
2
)
2
+ (eBR)
2
− m p
c
2
= 4,3 МэВ. E
e
= 80,5 МэВ.
14.4.19. B =
sin α
el
E(E − m e
c
2
) = 0,04 Тл, N
4 %.
14.4.20. R
p
=
1
eB
E
2
− (m p
c
2
)
2
=
1 3
км; R
e
=
1 3
км.
14.4.21. ω =
eB
m e
c(1 + eU/m e
c
2
)
14.4.22. B = m e
c
2
/(eR
√
N
2
− 1 = 0,28 Тл.
14.4.23. T = πm e
c
2
/(eB
1 − β
2 14.4.24. T =
πm e
c
2
(1 + ββ
1
)
eB(1 + β
2 1
)
1 − β
2 14.4.25. E =
(m e
c
2
)
2
+ (eBh)
2
− m e
c
2
= 8,5 МэВ.
14.4.26. l =
m e
vc eB
1 − v
2
/c
2 14.4.27. E =
(m e
c
2
)
2
+ (eBR)
2
[1 + (h/2πR)
2
] − m e
c
2 14.4.28. v др
= c
E
B
14.4.29
∗
. Если постоянное однородное магнитное поле с индукцией B =
√
1 − k
2
,
k = E/B, в котором вращается электрон, будет двигаться со скоростью дрейфа kc, то получим скрещенное поле с магнитной индукцией B и электрической напряженностью E, в котором электрон совершает дрейфовое движение. Максимальная и минимальная скорости электрона определяются формулами v
max
= c
β
1
+ k
1 + β
1
k
,
v min
= βc = c
β
1
− k
1 − β
1
k
,
где β
1
c — скорость электрона в первоначальном состоянии. Из приведенных уравнений находим v
max
= c[2k + (1 + k
2
)β]/(1 + k
2
+ 2kβ).
14.4.30
∗
. ev =
(m e
c
2
)
2
+ (hH)
2
− m e
c
2 14.4.31
∗
. Скорость электрона βc в момент включения поля перпендикулярна E и является суммой вращательной скорости β
1
c и скорости дрейфа kc. k = E/B (см. решение задачи 14.4.12).
Поэтому β
1
=
β
2
(1 − k
2
) + k
2
, а v max
= c(β
1
+ k)/(1 + β
1
k).
§ 14.5. Закон сохранения массы и импульса
14.5.1. m = M/2.
14.5.2.m = W/c
2
= 4,4 т/с.
14.5.3. m
1
= m/2, m
0
= m
1 − β
2
/2, E = mc
2
(1 −
1 − β
2
)/2.
368

14.5.4. m = (k + 1)m p
, v = c
1 − 1/k
2 14.5.5. E
1
= c
2
(m p
− m e
) = 938 МэВ, E
2
= c
2
(m
π
0
− m e
)/2 = 67 МэВ.
14.5.6. M
1
= M + m, p = mc.
14.5.7
∗
. v = cm/(M − m).
14.5.8. v = c ˙
mt/(M − ˙
mt), m
0
=
˙
mt(M − 2 ˙
mt), t < M/(2m).
14.5.9. M = m
1
+ m
2
, v =
(m
1
v
1
)
2
+ (m
2
v
2
)
2
+ 2m
1
m
2
v
1
v
2
cos α /(m
1
+ m
2
).
14.5.10. m e
= 0,51 МэВ, m p
= 939 МэВ, m
π
0
= 135 МэВ, m
ψ
= 2820 МэВ.
14.5.11. E
K
= (E − m
π
0
c
2
/2)/E = 152 МэВ.
14.5.12
∗
. E
K
< 2m e
c
2
m
π
0 4m e
− 1 2
14.5.13. E
K
= M c
2
−
(M c
2
)
2
− E
e
(E
e
+ 2m e
c
2
) − E
2
ν
14.5.15. v = c · cos
α
2 14.5.16. E
1
= c
2
m
π
0
(m
π
0
+ 4m p
)/(2m p
),
E
2
= c
2
m
ψ
(m
ψ
+ 4m p
)/(2m p
E
3
) = 6m p
c
2 14.5.17. E = 2c
2
(m
2
p
− m
2
e
)/m e
, N = 2(m p
/m e
− 1) = 3,7 · 10 3
14.5.18. E = m p
c
2 1 + (1 − m
2
e
/m
2
p
) ctg
2
α
2 14.5.19. а. v =
m
M
c, ∆m = m.
б. u >
m
M
c.
14.5.20. E
max
= E 1 −
(m
µ
+ m e
)
2
m
2
π
0 1 +
1 − (m
π
0
c
2
/E)
2
= 4,4 ГэВ;
E
min
= 0.
14.5.21. Диапазон энергий нейтрино от нуля до
1 2
m
µ
−
2m
2
e m
µ
c
2
, диапазон кинетических энергий электрона от нуля до (m
µ
− m e
)
2
c
2
/(2m
µ
).
14.5.22. E
max
= E
E +
E
2
e
+ (m e
c
2
)
2 2E + E
e
−
E
2
e
− (m e
c
2
)
2 14.5.23. m
γ
=
m
1 +
m m
e
(1 − cos α)
,
m e
= m e
+ m − m
γ
24 369

учебное издание
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
Воробьев Иван Игнатьевич
Зубков Павел Иванович
Кутузова Галина Александровна
Савченко Оливер Яковлевич
Трубач¨ев Анатолий Михайлович
Харитонов Владимир Григорьевич
Подписано в печать 25.11.2007 г.
Формат 70 × 100/16
Заказ №
Усл. печ. л. 30,4
Уч.-изд. л. 32,4
Тираж 100 экз.
Редакционно-издательский центр НГУ
630090 Новосибирск, ул. Пирогова, 2