Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
+ S(l − 2x) 5.5.17. P = 1146 гПа. 5.5.18. V в /V н = 1,9. 5.5.19. x = 1 2 l + H + P 0 ρg − l + H + P 0 ρg 2 − 4lH 5.5.20. x = (H 0 − H) 1 − ρgh 0 P 0 + ρgH 5.5.21. а. H = h 2 1 + 2ρgh 2P 0 + ρgh б. H = h 2 + P 0 ρg 5.5.22. x = √ 33 − 5 2 a. 5.5.23 ∗ . P = P 0 + ρgH. 5.5.24 ∗ . P 1 = 0,17 МПа, P 2 = 0,18 МПа. 5.5.25. N 2 O 3 5.5.26 ∗ . m = 210 г/м 3 5.5.27. F He /F H 2 = 25/27. 5.5.28. M = 13,5m 5.5.29. r = 15 см. 5.5.30. m = µP 0 V (T − T 0 )/(RT T 0 ). 5.5.31. V = 15 м 3 5.5.32. N = 0,28. 5.5.33. T = T 0 µ(P 0 r + 4σ) µP 0 r − 3δRT 0 ρ , где R — газовая постоянная. 5.5.34. σ = P 4 r 3 1 + r 3 2 − r 3 r 2 − r 2 1 − r 2 2 5.5.35. T = 2π ml/(2P 0 S). ♦ 5.5.36. V 3 = V 2 2 /V 1 § 5.6. Первое начало термодинамики. Теплоемкость 5.6.1. ¯ ε H 2 = ¯ ε N 2 = (5/2)kT , ¯ ε H 2 O = ε CH 4 = 3kT . 5.6.2. U 1 = 0,25 Дж, U 2 = 0,2 МДж. 5.6.3. Не изменилась. 317 5.6.4. P = P 1 V 1 + P 2 V 2 V 1 + V 2 , T = T 1 T 2 P 1 V 1 + P 2 V 2 P 1 V 1 T 2 + P 2 V 2 T 1 5.6.5. В два раза. 5.6.6. v 1макс ≈ 3P 0 V 0 m 2 m 1 (m 1 + m 2 ) , v 2макс ≈ 3P 0 V 0 m 1 m 2 (m 1 + m 2 ) 5.6.7. T макс = T 0 + 2mv 2 /(3R), где R — газовая постоянная. 5.6.8. v ≈ 10 м/с. 5.6.9. При расширении без подведения тепла газ совершает работу и охлаждается. 5.6.10. При изобарическом расширении. 5.6.12. а) A = P V ; б) A = 3P V /2. 5.6.13. A = 460 Дж. 5.6.14. Q = (c/R)(P 2 V 2 − P 1 V 1 ) + P 2 (V 2 − V 1 ), где R — газовая постоянная. 5.6.15. A = 2,6 кДж. 5.6.16. A = 240 Дж. 5.6.17. Q ≈ 7,94 кДж. A ≈ 2,27 кДж. 5.6.18. A ≈ R( √ T 3 − √ T 1 ) 2 5.6.19. T = T 0 1 + M u 2 3P 0 V 0 , V = V 0 3P 0 V 0 3P 0 V 0 + M u 2 3/2 5.6.20. A = 7νR(T 1 − T 2 )/2. 5.6.21. ∆t ≈ 10 ◦ C. 5.6.22 ∗ . u макс = 2gH 1 − P S M g + P S M g ln P S M g ; u макс = 2gH 1 − 5 2 P S M g 3/5 + 3 2 P S M g 5.6.23 ∗ . V 1 = √ V 0 V 2 , A мин = 5P 0 V 0 [(V 0 /V 2 ) 1/5 −1]. Каждый компрессор совершает работу A мин /2. 5.6.24. Q = 450 кДж. ∆U = 321 кДж. 5.6.25. Кислород. 5.6.26 ∗ . T = T 0 + Q/c при Q Q 1 = cT 0 F /P 0 S; T = Q + cT 0 + RT 0 (1 + F /2P 0 S) c(1 + F /P 0 S) + R(1 + F /2P 0 S) 1 + F P 0 S при Q Q 1 5.6.27. Q = 10ρgSh 2 5.6.28 ∗ . c = (1/(1 − n) + 3/2)R, n = 5/3; n = 1. 5.6.29. Охлаждается. 5.6.30 ∗ . c = 2P 0 V 0 /T 0 5.6.31 ∗ . x = 3H(1 − P S/M g)/5. § 5.7. Истечение газа 5.7.1. v = 2c P T /µ. 5.7.2 ∗ . v = 7(k + 1)RT /(kµ 1 + µ 2 ). 5.7.3 ∗ . а. T ≈ 3150 К. б. v ≈ 3 км/с. 5.7.4. а) v ≈ 5,2 км/с; б) v ≈ 5,7 км/с; v ≈ 7 км/с. 5.7.5. m = M g/ 2c P T /µ ≈ 3,8 т/с. 5.7.6 ∗ . v = 2γRT 1 µ(γ − 1) 1 − P 2 P 1 (γ−1)/γ 1/2 5.7.7 ∗ . T ≈ 120 К, v ≈ 1370 м/с. 5.7.8 ∗ . T ≈ 193 К. P ≈ 0,33 МПа. 5.7.9 ∗ . v = v 1 1 + γ 1 − P ρv 2 + γ + P ρv 2 2 − 2(γ 2 − 1)q ρSv 3 . F = ρSv(v − v), где ρ = P µ/(RT ). 318 § 5.8. Вероятность термодинамического состояния 5.8.1. а. t = τ /4. б. t = τ /8. в. t = τ /2 N 5.8.2. а. p 1 = 1/4, p 2 = 1/2. б. p = 1/2. в. p 2 = 3/8, p 0 = 1/8. 5.8.3. а. p = (1 − V /V 0 ) N б. V = V 0 (1 − 10 −2/N ). 5.8.4 ∗ . p ∼ 10 −10 15 , V ∼ 10 −17 − 10 −18 см 3 ♦ 5.8.5. а. На рисунке движение по траектории развернуто зеркальными отображениями в движение между двумя параллельными прямыми. Соответствующие точки траекторий отме- чены одинаковыми буквами. Из этого рисунка следует: v ≈ x 2A B v ≈ v∆ √ 2; ∆ ≈ 1 2 tg π 4 + ∆ − 1 = k 2n , где k и n — целые числа, не имеющие общего делителя, tg(π/4 + ∆) − 1 = k/n; h 1 ≈ 2a∆/k, h 2 = 0. б. Невероятно, чтобы tg(π/4 + ∆) − 1 был точно равен простой дроби, например 0,03, так как вблизи этого числа может быть сколько угодно других чисел, например чисел типа 0,03 + √ 2/n, n — целое число, которые сколько угодно мало отличаются от 0,03. Эти числа называются иррациональными, и в математике доказывается, что множество этих чисел более мощно, чем множество простых дробей. Если число иррационально, то траектория не замкнута. p = S/a 2 в ∗ . p = V /a 3 5.8.6 ∗ . а. v ≈ v∆ 1 − 1/m 2 ; tg α = m, tg(α + ∆) − 1 = k/n, h 1 = 2α∆/k, h 2 = 0. б. p = S/a 2 в. p = V /a 3 5.8.7. τ ≈ R/v∆; τ ∼ τ H/R при H R, τ ∼ τ R/H при H R и τ ∼ τ при H ∼ R. 5.8.9. p = (V /V 0 ) N 5.8.10. A = 200 кДж. 5.8.12 ∗ . В (1 − V 2 /V 2 0 ) N раз. 5.8.13 ∗ . В 10 4,8·10 22 раз. ♦ 5.8.14. а. Вероятность состояний, которые отличаются только потенциальной энергией, одинакова. На рис. а и в приведены два состояния идеального газа, наполовину заполняющего одинаковый объем и имеющие одинаковую вероятность. Перейдем из состояния а в состояние в 319 при постоянной температуре, пользуясь двумя поршнями так, как это изображено на рисунках. Изменением логарифма вероятности состояния при таком переходе ∆S = N U/T + N k ln c, где N — число молекул газа, c — отношение значений давления газа над и под штриховой линией, разделяющей области с разным потенциалом. Но ∆S равно нулю. Значит, c = exp (−U/kT ). 5.8.15. Нереален. 5.8.16. Нереален. Реален. § 5.9. Второе начало термодинамики 5.9.2. ∆S = 1,2 кДж/К. 5.9.3. ∆S = 7 кДж/К. 5.9.4. а, б. ∆S = (m/µ)R ln 2. 5.9.5. а–в. ∆S = m µ R ln V 2 V 1 T 2 T 1 3/2 5.9.6 ∗ . ∆S ≈ 20 Дж/К. 5.9.7 ∗ . ∆S ≈ 60 Дж/К. 5.9.8. ∆S = (P V /T ) ln 2. 5.9.9 ∗ . а. ∆S = − Q 1 T 1 + Q 2 T 2 = 5 2 R (T 1 − T 2 ) 2 T 1 T 2 , где −Q 1 и Q 2 — количество теплоты, переданное нагревателю и холодильнику за один цикл. б. ∆S = R 2 3 P 2 V 2 P 1 V 1 + 3 P 1 V 1 P 2 V 2 + 2 V 2 V 1 + 2 V 1 V 2 − 10 . 5.9.10 ∗ . а. η = 1 − V 1 V 2 2/3 . б. η = 2(T 2 − T 1 ) ln(P 2 /P 1 ) 5(T 2 − T 1 ) + 2T 2 ln(P 2 /P 1 ) 5.9.11. Не существует. 5.9.12. Можно. 5.9.13. η ≈ 10,8 %, η = 30 %. 5.9.14. Для любого теплового циклического процесса −Q н /T н + Q х /T х 0, Q н − Q х = A, η = A/Q н , где T н и T х — температура соответственно нагревателя и холодильников, −Q н и Q х — коли- чество теплоты, переданное нагревателю и холодильнику за один цикл, A — работа за один цикл. Из приведенных соотношений следует, что КПД η (T н − T х )/T х , причем знак равенства имеет место в случае Q н /T н − Q х /T х = 0, т. е. когда энтропия не меняется. 5.9.15. При детонации возрастает энтропия системы. 5.9.16. A ≈ 33 кДж. 5.9.17. A ≈ 3 · 10 16 Дж, t ≈ 60 сут. 5.9.18 ∗ . A = C[T − T 0 − T 0 ln(T /T 0 )]. 5.9.19 ∗ . A = C 1 T 1 + C 2 T 2 − (C 1 + C 2 )T C 1 /(C 1 +C 2 ) 1 T C 2 /(C 1 +C 2 ) 2 ≈ 32 кДж. 5.9.20. Повысится. 5.9.21. Q макс = A(1 − η)/η. 5.9.22. N = 0,29 МВт, N = 0,11 Вт. 5.9.23. m = 5 кг. 5.9.24 ∗ . N = 138 Вт. 5.9.25 ∗ . A = 46 кДж. 5.9.26. Нет. Процесс длится до тех пор, пока не произойдет насыщение окружающей среды водяным паром. § 5.10. Фазовые переходы 5.10.1. t ≈ 1 ч. 5.10.2. Нет. 5.10.3. В сосуде без крышки вода с поверхности испаряется, для чего требуется дополни- тельное количество теплоты. 5.10.4. ∆p ≈ 10 −8 Па. 320 5.10.5. 13 % воды. 5.10.6. Смесь 100,5 г воды и 30,5 г льда при 0 ◦ C. 5.10.7. m = 98 г/с. 5.10.8 ∗ . x ≈ 0,11 м. 5.10.9. а. Пока в кастрюле есть вода, температура дна порядка 100 ◦ C. б. Можно. 5.10.11. Между поверхностью раскаленной плиты и каплей образуется прослойка пара, затрудняющая подвод тепла к воде. 5.10.12. Низкая температура воздуха в сосуде Дьюара поддерживается кипением воздуха, а низкая температура твердой углекислоты — сильным испарением ее с поверхности. 5.10.13. Происходит испарение льда в сухом воздухе. 5.10.14. v ≈ 8 м/с. 5.10.15 ∗ . Четыреххлористый углерод выкипает в 25 раз быстрее. 5.10.16. Чтобы предотвратить конденсацию пара. 5.10.17. Нельзя. 5.10.18. При критической температуре жидкость и пар неразличимы. 5.10.19. Быстрее. 5.10.20. m = 11,7 г. 5.10.21. P = 0,2 МПа, A = 35 кДж. 5.10.22. P = 0,37P 0 5.10.23. ∆v = mλRT /[P 0 (µq + RT )]. A = mλRT /(µq + RT ). 5.10.24 ∗ . h ≈ 580 м. 5.10.25. 5 % воды. 5.10.26. 6 % льда. 5.10.27. а. n = exp(mgh/RT ) = exp(2mσ/ρr). б. ∆h = 15 см. 5.10.28. ∆t = 2ϕλµ H 2 O P н /(7RP ) = 23 ◦ C. 5.10.29. Уменьшится в два раза. 5.10.30. P = P 0 (R/r) 2 5.10.31 ∗ . P = 2P 0 (R/L) 2 5.10.32. а. В m √ n раз. б. P = 200P 0 5.10.33. a = 1,0 м/с 2 5.10.34. m 1 = 1,7 кг/с, m 2 = 170 кг/с. 5.10.35 ∗ . T ≈ 1720 К. § 5.11. Тепловое излучение 5.11.1. а. Φ ≈ 0,2 кВт. б. ϕ = 89 МВт/м 2 5.11.2. T 1 ≈ 600 ◦ C, T 2 ≈ 2000 ◦ C. 5.11.3 ∗ . w = 7,56 · 10 −16 T 4 Дж/м 3 5.11.5. а. Кварц, в отличие от стали, почти не поглощает видимый свет, поэтому при нагревании он в видимой области излучает значительно слабее. б. В отличие от черного угля, почти полностью поглощающего видимый свет, белый мел этот свет отражает. Поэтому при нагревании мел излучает значительно меньше света и вы- глядит на фоне сильно излучающего угля темным. 5.11.6 ∗ . а. T = T 0 / 4 √ 2. б. T = 4 (T 4 1 + T 4 2 )/2. 5.11.7. а. T = T 0 ε(R/2L) 2 б. ϕ = 1,7 кВт/м 2 5.11.8. а. T = 200, 70, −35 ◦ C. б. Φ ≈ 4 · 10 26 Вт. в. T = 140 ◦ C. 5.11.9. T = 2,4 К. 5.11.10. T = 20 ◦ C. 5.11.11 ∗ . Φ = ε 1 ε 2 ε 1 + ε 2 − ε 1 ε 2 σS(T 4 1 − T 4 2 ). 5.11.12. а. T = T / 4 √ 2. б. n = 32. 5.11.13 ∗ . T = T 0 4 6,5 + 4R/r 5.11.14 ∗ . T = 4 T 4 1 − T 4 2 + T 1 + ε 2 − ε (T 4 1 − T 4 2 ) h κ 4 21 321 5.11.16. а. a = SΦ 2πR 2 mc б ∗ . v = 1 R 1 − 1 R 2 SΦ πmc 5.11.17. а. На хвост кометы действует давление солнечных лучей. б. r ≈ 1 мкм. Глава 6 ЭЛЕКТРОСТАТИКА § 6.1. Закон Кулона. Напряженность электрического поля 6.1.1. а. F = 1,8 · 10 4 Н. б. F = 2,3 · 10 −8 Н. В 4,17 · 10 42 раз. 6.1.2. q ≈ 1,05 · 10 −5 Кл ≈ 3,16 · 10 4 СГС. 6.1.3. а. E = 1 В/м = 3,3 · 10 −5 СГС. б. E = 3 · 10 5 В/м = 10 СГС. 6.1.4. На расстоянии 1 м E 1 = 9 · 10 10 В/м = 3 · 10 6 СГС; на расстоянии 20 м E 2 = 2,25 · 10 8 В/м = 7,5 · 10 3 СГС. На заряд 0,001 Кл F 1 = 9 · 10 7 Н, F 2 = 2,25 · 10 5 Н; на заряд 1000 СГС F 1 = 3 · 10 9 дин, F 2 = 7,5 · 10 6 дин. 6.1.5. F = 2,56 · 10 9 Н. 6.1.6. q = 3,5 · 10 3 Кл. 6.1.7. T 12 = q 1 (4q 2 + q 3 ) 16πε 0 l 2 , T 23 = q 3 (4q 2 + q 1 ) 16πε 0 l 2 6.1.8. На расстоянии x = l √ q 1 /( √ q 1 + √ q 2 ) от заряда q 1 . Да. Нет. 6.1.9. q = l √ 8πε 0 mg. 6.1.10. T = 1 4πε 0 l 2 Q 2 − q 2 3 √ 3 6.1.11. β = 2 arctg(q/Q) 2/3 , α = π − β. 6.1.12. r = 1,4 · 10 −8 см. 6.1.13. ω = q (3 √ 2 − 4)/(8πε 0 ml 3 ). 6.1.14 ∗ . q мин = 32πε 0 mgR 2 /Q. 6.1.15. k = q 2 √ a 2 + l 2 32πε 0 a 3 ( √ a 2 + l 2 − l) 6.1.16 ∗ . T = q 2 8πε 0 l 2 9 4 + √ 3 3 6.1.17. E 1 = 0, E 2 = Qh/[(4πε 0 (R 2 + h 2 ) 3/2 ]. 6.1.18 ∗ . E = ρl/[4πε 0 x(l + x)]. 6.1.19. а) E = σ/(6ε 0 ); б) E = (σ 1 − σ 2 )/(4ε 0 ); в) E = σ/(2ε 0 ); г) E = σ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 3 − σ 1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 1 σ 3 /(3ε 0 ); д ∗ ) E = ρh(1 − cos α)/(2ε 0 ); е ∗ ) E = √ 3 lρ/(12ε 0 ). 6.1.20. б. Да. 6.1.21. а. q = √ 10 Q. б. q = 9Q. § 6.2. Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса 6.2.1. а. Φ = El 2 /2. б. Φ = −Eh 2 , Φ = Eh 2 6.2.2. Φ = E cos α · π(R 2 − r 2 ). 6.2.4. F = σΦ. 6.2.5. а. F 1 = F 2 = qσ/(2ε 0 ), E = σ/(2ε 0 ). б. F = σq/(4ε 0 ). ♦ 6.2.6. а) E = 0 при r < R, E = Q/(4ε 0 r 2 ) при r > R; б) E = ρ/(2πε 0 r); в) E = σ/(2ε 0 ); г) E = ρr/(3ε 0 ) при r R; E = ρR 3 /(3ε 0 r 2 ) при r R; д) E = ρr/(2ε 0 ) при r R; E = ρR 2 /(2ε 0 r) при r R; е) E = ρx/ε 0 при x h/2 (x — расстояние от центральной плоскости пластины); E = ρh/(2ε 0 ) при x h/2. 322 6.2.7. а) ρ = 2E 0 ε 0 /r; б) ρ = E 0 ε 0 /r. 6.2.8 ∗ . Сила, действующая на выделенную грань куба, F = σ E n ds, где E n ds — поток через эту грань напряженности электрического поля, создаваемый остальными пятью гранями. В качестве замкнутой поверхности построим куб, немного б´ ольший данного. Тогда все шесть заряженных граней дают поток напряженности электрического поля через все шесть сторон построенной поверхности Φ = q/ε 0 = 6σl 2 /ε 0 , а через одну грань Φ = σl 2 /ε 0 . Но Φ = E n dS от пяти граней + σl 2 /(2ε 0 ), от выделенной грани следовательно, E n ds = σl 2 ε 0 − σl 2 2ε 0 = σl 2 2ε 0 Значит, сила F = σ 2 l 2 /(2ε 0 ). Аналогично рассуждая, для тетраэдра получим F = √ 3 σ 2 l 2 /(8ε 0 ). 6.2.9. Между плоскостями E 1 = σ/ε 0 , E 2 = 0. Вне плоскостей E 1 = 0, E 2 = σ/ε 0 6.2.10. E 1 = (σ/ε 0 ) sin(α/2), E 2 = (σ/ε 0 ) cos(α/2). 6.2.11. E макс = ρh/ε 0 6.2.12. E A = ρh/(6ε 0 ), E B = ρh/(3ε 0 ), E(r) = ρr/(3ε 0 ). 6.2.13 ∗ . В любой точке внутри полости напряженность поля направлена вдоль прямой, соединяющей центры шара и полости, и E = ρl/(3ε 0 ). Вне полости E = ρ 3ε 0 x + r 3 (l − x) 2 при 0 < x < l − r; E = ρ 3ε 0 x − r 3 (x − l) 2 при l + r < x < R; E = ρ 3ε 0 R 2 x 2 − r 2 (x − l) 2 при x > R. 6.2.14 ∗ . а. E = ρl/(3ε 0 ). б. σ = 3ε 0 E cos α, где α — угол между направлением поля и радиусом, проведенным в точку на сфере. σ макс = 3ε 0 E. 323 § 6.3. Потенциал электрического поля. Проводники в постоянном электрическом поле 6.3.1. а. v = 10 7 м/с. б. v = 1,25 · 10 6 м/с. 6.3.2. а. ∆ϕ = 850 В. v = √ 3 · 10 7 м/с. б. v = 8,8 · 10 6 м/с. 6.3.3. ϕ = 2,7 · 10 8 В. 6.3.4. ϕ = √ 2 q/(πε 0 l). 6.3.5. ∆ϕ ≈ −11,9 В. 6.3.6. ϕ = 13,5 кВ = 45 СГС. 6.3.7. ϕ = Q/(4πε 0 R). Нет. Да. 6.3.10. б. E макс = nQ/(4πε 0 R 2 ), E мин = Q/(4πε 0 R 2 ). в. E = ρ(2πb). 6.3.11. σ 1 = (σ 1 + σ 2 )/2, σ 1 = (σ 1 − σ 2 )/2, σ 2 = −(σ 1 − σ 2 )/2, σ 2 = (σ 1 + σ 2 )/2. 6.3.12. а. ∆ϕ = 37,7 СГС = 11,3 кВ. б. ϕ = 18,8 СГС = 5,65 кВ. 6.3.13. ϕ 3 − ϕ 1 = [(σ 3 − σ 1 )(h 1 + h 2 ) + σ 2 (h 1 − h 2 )]/(2ε 0 ). 6.3.14. E 12 = ϕ/a; E 23 = ϕ/b. 6.3.15. а. Напряженность поля вблизи верхней пластины E в = σb/[ε 0 (a + b)], вблизи нижней E н = σa/[ε 0 (a + b)]. Соответственно поверхностная плотность σ в = −σb/(a + b), σ н = −σa/(a + b). б. q a = −qb/(a + b); q b = −qa/(a + b). 6.3.16. Q = −Q, σ = Q/(4πR 2 ), E = (Q + q)/(4πε 0 L 2 ). Нет. Нет. 6.3.17 ∗ . Поверхность полости имеет заряд −q, а поверхность проводника имеет заряд q, который (за исключением области вблизи концов проводника) равномерно распределяется по поверхности проводника. Поэтому E = 0 при 0 < x < r, E ≈ q/(2πε 0 xL) при r < x < R, E = 0 при x > R; x — расстояние от оси. 6.3.18. Поверхностная плотность заряда на соответствующих участках поверхности про- водника останется прежней. ♦ 6.3.19. См. рис. 6.3.20. ϕ 1 = q/(4πε 0 r), ϕ 2 = q/(8πε 0 r), ϕ 3 = 0. 6.3.21. q r = −8πε |