Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
. Длительность приема отраженного от дна импульса τ . Скорость звука в воде c. С какой скоростью погружается подводная лодка? ♦ 1.1.8. Лента транспортера имеет скорость w. Над лентой движется автомат, выбрасывающий ν шариков в единицу времени. Шарики прилипают к ленте. Счетчик шариков с фотоэлементом считает только шарики, прошедшие непо- средственно под ним. Сколько шариков сосчитает счетчик за единицу времени, если скорость автомата v < w, скорость счетчика u < w? 1.1.9. а. Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины l. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна v, а скорость разлета продуктов взрыва u < v. Как изменяется со временем область, занятая продуктами взрыва, если стержень подрывается с одного из концов? Сделайте рисунок. ♦ б ∗ . Из этого же взрывчатого вещества нужно изготовить такую тонкостен- ную коническую оболочку, чтобы при подрыве ее с вершины продукты взрыва одновременно ударили по плите. Какой угол между осью конуса и образующей нужно выбрать? 10 ♦ 1.1.10 ∗ . По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью v. Вы за- метили автобус, когда тот находился в некоторой точке A. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега u < v? Нарисуйте эту область для u = v/2. 1.1.11 ∗ . Сверхзвуковой самолет летит горизонтально. Два микрофона, нахо- дящиеся на одной вертикали на расстоянии l друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолета, пролетающего над микрофонами, с запаздыванием времени ∆t. Скорость звука в воздухе c. Какова скорость самолета? ♦ 1.1.12. Два стержня пересекаются под углом 2α и движутся с равными скоростями v перпендикулярно самим себе. Какова скорость точки пересечения стержней? ♦ 1.1.13. По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени. 1.1.14. Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени и место соударения частиц, движущихся по одной прямой. Ско- рость первой частицы v, скорость второй v/2. Первая частица в момент времени t = 0 имела координату x = 0, вторая в момент времени t 1 — координату x = a. ♦ 1.1.15. По графикам зависимости скорости от времени постройте графики зависимости координаты от времени. Найдите в случаях б и в среднюю скорость за большое время. ♦ 1.1.16. Частица движется в одной плоскости. По графикам зависимости от времени проекций v x и v y скорости постройте траекторию частицы, если x(0) = 2 м, y(0) = 1 м. 11 ♦ 1.1.17. Движение луча по экрану осциллографа описывается графиками за- висимости координат x и y от времени. Какая картина возникнет на экране при τ y = τ x , τ x /3, 3τ x ? Рассмотрите два случая (см. рисунок). В случае а горизон- тальные линии на экране почти не видны. Почему? При каком соотношении τ x и τ y в случае б траектория луча на экране будет замкнутой? ♦ 1.1.18 ∗ . Автомобиль удаляется со скоростью v от длинной стены, двигаясь под углом α к ней. В момент, когда расстояние до стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента, когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе c. ♦ 1.1.19. На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен α? Как полетит шар, если угол α = π/2? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стен- кам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения. ♦ 1.1.20 ∗ . По биллиардному столу со сторонами а и б пускают шар от сере- дины стороны b. Под каким углом к борту стола должен начать двигаться шар, чтобы вернуться в ту же точку, из которой он начал свое движение? 12 ♦ 1.1.21. Уголковый отражатель, установленный на луноходе, представляет собой три взаимно перпендикулярных зеркала. Если на отражатель падает свет, скорость которого c = (c x , c y , c z ), то какие составляющие будет иметь скорость света после отражения от зеркала, находящегося в плоскости yOz? после отра- жения от всех трех зеркал? ♦ 1.1.22. Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса R летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное рассто- яние от него до оси цилиндра равно h. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем r, но большем h? ♦ 1.1.23 ∗ . Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью так быстро, что за ним нельзя уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попада- ния пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой. Выстрелы производятся на высоте R от пола перпендикулярно направлению дви- жения диска. В какой точке прицеливания вероятность попадания наименьшая? наибольшая? Чему они равны? Разберите случаи L > 4R, 4R > L > 2R, где L — расстояние между стенками. § 1.2. Движение с переменной скоростью ♦ 1.2.1. На рисунке изображена траектория электрона, который дрейфует вдоль плоскости раздела областей с различными магнитными полями. Его тра- ектория состоит из чередующихся полуокружностей радиуса R и r. Скорость электрона постоянна по модулю и равна v. Найдите среднюю скорость электрона за большой промежуток времени. ♦ 1.2.2. Две частицы в момент времени t = 0 вышли из одной точки. По гра- фикам зависимости скорости от времени определите координаты и время новой встречи частиц. 13 ♦ 1.2.3. Тело в течение времени t 0 движется с постоянной скоростью v 0 . Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t 0 она равна 2v 0 . Определите путь, пройденный телом за время t > t 0 1.2.4. Нарисуйте график зависимости координаты от времени для прямоли- нейного движения, удовлетворяющего одновременно двум условиям: а) средняя скорость в промежутке времени от 2 до 6 с равна 5 м/с; б) максимальная ско- рость в том же промежутке равна 15 м/с. 1.2.5 Въезжая на поврежденный участок шоссе, каждый автомобиль в ко- лонне уменьшает скорость от v 1 до v 2 . Какой должна быть дистанция между автомобилями, чтобы они не сталкивались? Длина каждого автомобиля l. ♦ 1.2.6. График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокруж- ности. Максимальная скорость тела v 0 , время движения t 0 . Определите путь, пройденный телом. 1.2.7. Автобус движется в течение 20 с по прямой до остановки, проходя при этом расстояние 310 м. Его начальная скорость 15 м/с. Докажите, что ускорение автобуса меняется по направлению. 1.2.8 ∗ . Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью рас- стояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим? 1.2.9. Мигрирующие рыбы, накопив в море запас жира, заходят в устья рек. В пресной воде они не питаются, поэтому им важно добраться до нерестилищ в верховьях реки с наименьшими потерями массы. Расход жира на поддержание основного обмена веществ в организме рыбы за единицу времени равен N , а до- бавочный расход bv 2 тратится на движение со скоростью v. С какой скоростью должны двигаться рыбы, чтобы затраты жира на пути до нерестилища были минимальны? (Рыбы прекрасно чувствуют эту скорость.) 1.2.10. Из полусферического аквариума радиуса R, наполненного водой, с единицы поверхности воды в единицу времени испаряется объем жидкости q. Через какое время вода испарится? 14 ♦ 1.2.11 ∗ . а. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной ско- ростью v 0 . Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст. б. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круг- лым пятном толщины h. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла q? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю. 1.2.12. Мальчик надувает воздушный шарик. При радиусе шарика 10 см скорость увеличения радиуса равна 1 мм/с. Какой объем воздуха ежесекундно выдыхает мальчик? 1.2.13. «Корабль шел на пределе, дальнейший разгон не предусматривался инструкциями космофлота. Через час скорость возросла на тысячу километров в секунду» (Кир Булычев. Агент КФ // Химия и жизнь. 1984. № 12. С. 111). Най- дите ускорение корабля. Во сколько раз оно превосходит ускорение свободного падения на Земле? ♦ 1.2.14. По графику зависимости ускорения от времени установите скорость в моменты времени 4 и 15 с, если в момент времени 1 c скорость равна 3 м/с. 1.2.15. Ускорение ракетной тележки от старта до остановки в течение пер- вых 6 с составляет 100 м/с 2 , затем в течение 7 с она двигается без ускорения, а последние 3 с тележка имеет отрицательное ускорение −200 м/с 2 . Построй- те графики зависимости от времени ускорения, скорости и координаты. Какого наибольшего значения достигла скорость тележки? На каком отрезке пути проис- ходило торможение? Какое полное расстояние прошла тележка? Как по графику зависимости ускорения от времени проверить, действительно ли тележка оста- новилась? ♦ 1.2.16. Графики зависимости координаты от времени, построенные в раз- личном масштабе времени для двух частиц, оказались одинаковыми. Одно де- ление оси времени t для графика первой частицы отвечает 4 с, а для графика второй — 1 с. Найдите отношение скоростей и отношение ускорений частиц для точки A графика. ♦ 1.2.17. Часть графика зависимости координаты от времени, расположенная ниже оси t, подобна той части графика, которая выше этой оси. Постройте гра- фики зависимости от времени скорости и ускорения. Сравните ускорения при наибольшем и наименьшем значениях x. ♦ 1.2.18. По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости от времени координаты и ускорения, если x(0) = 0. ♦ 1.2.19. Длина шкалы спидометра 15 см; он измеряет скорость автомобиля в пределах от нуля до 150 км/ч. Найдите скорость указателя спидометра, если автомобиль движется с ускорением 2 м/с 2 15 1.2.20 ∗ . Тело начинает движение из точки A и движется сначала равноуско- ренно в течение времени t 0 , затем с тем же по модулю ускорением — равноза- медленно. Через какое время от начала движения тело вернется в точку A? 1.2.21 ∗ . Время отправления электрички по расписанию 12.00. На ваших ча- сах 12.00, но мимо вас уже начинает проезжать предпоследний вагон, который движется мимо вас в течение времени t 1 . Последний вагон проходит мимо вас в течение t 2 . Электричка отправилась вовремя и движется равноускоренно. На какое время отстают ваши часы? § 1.3. Движение в поле тяжести ∗) . Криволинейное движение ♦ 1.3.1. Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени ∆t выброшены два шарика со скоростью v. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся? ♦ 1.3.2. а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом ϕ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр D? ♦ б. Из точки A по спицам с разным наклоном одновременно начинают сколь- зить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени t? ∗) Если на рисунке к задаче указано ускорение свободного падения g, необходим учет поля тяжести. 16 ♦ 1.3.3 ∗ . Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки A гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время? 1.3.4. Свободно падающее тело пролетело мимо точки A со скоростью v A . С какой скоростью оно про- летит мимо точки B, находящейся на h ниже A? 1.3.5. Камень бросают со скоростью v под углом ϕ к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол α с горизонтом? 1.3.6. Из орудия произведен выстрел под углом ϕ к горизонту. Начальная скорость снаряда v. Поверхность земли горизонтальна. Найдите: а) горизонталь- ную и вертикальную проекции скорости как функции времени; б) зависимость координат x и y от времени; в) уравнение траектории, т. е. зависимость y от x; г) время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда. ♦ 1.3.7. По гладкой наклонной плоскости со скоростью v пускают шарик. Ка- кое расстояние по горизонтали он пройдет, прежде чем скатится с плоскости? Плоскость наклонена к горизонту под углом 45 ◦ . Начальная скорость шарика образует угол 45 ◦ с горизонтальным краем плоскости. ♦ 1.3.8. Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если их начальная скорость v, угол наклона горы α и угол стрельбы по отношению к горизонту β? 1.3.9. С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением a? Расстояние от пушки до места старта ракеты равно L, пушка стреляет под уг- лом 45 ◦ к горизонту. ♦ 1.3.10. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u. В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упре- ждения, т. е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом α к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень все же попал в нее? 2 17 ♦ 1.3.11. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под уг- лом α и β к горизонту с одинаковой начальной скоростью v. На каком расстоянии от отверствия по горизонтали струи пересекутся? 1.3.12 ∗ . Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 45 ◦ к горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверствия шланга 5 см 2 Определите массу струи, находящейся в воздухе. 1.3.13 ∗ . Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами x по го- ризонтали и y по вертикали. Начальная скорость снаряда v. Найдите: а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; б) границу области возможного попадания снаряда; в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами x, y. Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством 1/ cos 2 ϕ = tg 2 ϕ + 1. 1.3.14. С одного и того же места с интервалом времени ∆t брошены два тела с одной и той же начальной скоростью v под углом ϕ к горизонту. Как движет- ся первое тело относительно второго? Почему относительная скорость зависит только от ∆t? 1.3.15. По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра ради- уса R под углом α к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку? ♦ 1.3.16 ∗ . В трубу длины l, наклоненную под углом α к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью v. Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о ее стенки упругие. ♦ 1.3.17. В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен ∆t. Дно коробки образует угол α с горизонтом. Найдите скорости шарика сразу после ударов. ♦ 1.3.18 ∗ . В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен T 1 , а при движении справа налево — T 2 = T 1 . Определите радиус лунки. 1.3.19 ∗ . Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты H и длины L, если бросок соверша- ется с высоты h и для броска мальчик может выбрать любое место? 18 1.3.20. Определите скорость и ускорение, которыми обладают точки зем- ной поверхности на экваторе и в Санкт-Петербурге из-за участия Земли в су- точном вращении. Радиус Земли принять равным 6400 км. Широта Санкт- Петербурга 60 ◦ 1.3.21. С какой скоростью должен лететь спутник, чтобы, все время «падая» на Землю с ускорением g, двигаться по окружности? Принять радиус орбиты R = 6400 км, а g = 10 м/с 2 ♦ 1.3.22 ∗ . Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одина- ковой скоростью v. Предельная дальность обнаружения ими друг друга l. Один самолет после обнаружения другого совершает разворот, не меняя модуля скоро- сти, и летит параллельно второму самолету. При каком постоянном ускорении самолеты потеряют друг друга из вида в конце разворота? ♦ 1.3.23. Небольшое тело движется с постоянной скоростью v по траектории, состоящей из двух плавно соединенных дуг окружностей радиуса R и R/3. По- стройте векторы ускорения в отмеченных точках траектории. 1.3.24. В момент времени, когда скорость частицы равна 10 6 м/с, ее уско- рение составляет 10 4 м/с 2 и направлено под углом 30 ◦ к скорости. На сколько увеличится скорость за 10 −2 с? На какой угол изменится направление скорости? Какова в этот момент угловая скорость вращения вектора скорости? 1.3.25. Небольшое тело движется по окружности радиуса r со скоростью, ко- торая линейно увеличивается во времени по закону v = kt. Найдите зависимость полного ускорения тела от времени. ♦ 1.3.26. Край гладкого горизонтального стола скруглен по окружности радиуса r. С какой наи- меньшей скоростью нужно пустить по столу ма- лое тело, чтобы оно, достигнув скругления, сразу полетело по параболе? 1.3.27 ∗ . Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины? 1.3.28. Снаряды вылетают с начальной скоростью 600 м/с под углом 30 ◦ , 45 ◦ , 60 ◦ к горизонту. Определите радиус кривизны траектории снарядов в их наивысшей и начальной точках. 1.3.29. Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиуса R. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью. Каково ускорение автомобиля, |