Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 7 из 44

. На какой наибольший угол может отклониться тяжелая части- ца в результате упругого удара?
2.5.18
∗
. Частица массы m
1
налетела со скоростью v на неподвижную ча- стицу массы m
2
, которая после упругого удара полетела под углом α к перво- начальному направлению движения налетающей частицы. Определите скорость частицы массы m
2
после удара.
2.5.19. Космический корабль массы m
1
пролетал с выключенными двигате- лями вблизи первоначально неподвижного космического тела. При этом импульс корабля, вначале равный p
0
, стал равным p, а направление его движения изме- нилось на угол α. Определите массу космического тела.
♦
2.5.20. Для изменения скорости и направления полета космического аппара- та без затраты топлива можно воспользоваться «гравитационным ударом» при движении его вблизи какой-либо планеты. При начальной скорости аппарата u
0
вдали от планеты, скорость которой v имеет встречное направление, аппарат пролетает в такой близости от планеты, что в системе отсчета этой планеты направление его движения изменяется на 90
◦∗)
. Какова скорость аппарата по- сле ухода от планеты? Как меняется направление полета аппарата относительно

Солнца?
♦
2.5.21
∗
. По горизонтальной плоскости может скользить без трения гладкая
«горка» высоты h и массы m
1
. Горка плавно переходит в плоскость. При ка- кой наименьшей скорости горки небольшое тело массы m
2

, неподвижно лежащее вначале на ее пути, перевалит через вершину?
∗)
Значения скорости космических тел, если это не оговорено, даются относительно Солнца.
4
∗
53

2.5.22. Тело массы m
2
наезжает со скоростью v на неподвижную первона- чально горку, описанную в предыдущей задаче. Найдите скорость этого тела и горки, если оно снова окажется на горизонтальной плоскости.
♦
2.5.23
∗
. Подставка массы m
1
с полусферической выемкой радиуса R стоит на гладком столе. Тело массы m
2
кладут на край выемки и отпускают. Найдите скорость тела и подставки в момент, когда тело проходит нижнюю точку полу- сферы. С какой силой оно давит на подставку в этой точке? Трением пренебречь.
2.5.24. Тела массы m
1
и m
2
связаны недеформированной пружиной жест- кости k. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы m
1
чтобы пружина сжалась на величину x. Какими будут скорости тел,

когда пружина снова окажется недеформированной?
♦
2.5.25. Два шарика массы m
1
и m
2
висят на длинных одинаковых нитях.
Между ними находится сжатая пружина, которая удерживается в сжатом состо- янии связывающей ее нитью. Потенциальная энергия деформации пружины U .
Нить, связывающую пружину, пережигают. Найдите максимальную высоту, на которую поднимутся шарики.
♦
2.5.26. Частица массы 2m налетает на неподвижную частицу массы m. По- сле столкновения частицы разлетаются симметрично под углом 45
◦

к направ- лению начальной скорости. Во сколько раз возросла суммарная кинетическая энергия после столкновения?
2.5.27. Нейтрон с энергией 250 кэВ налетает на ядро
6
Li. При этом обра- зуется возбужденное ядро
7
Li. Найдите кинетическую энергию образовавшегося ядра.
2.5.28. Атом массы m в возбужденном состоянии имеет внутреннюю энер- гию, б´ольшую чем в основном состоянии, на E. При какой наименьшей энергии электрон с массой m e

может возбудить первоначально покоящийся атом?
2.5.29. Электрон может ионизовать покоящийся атом водорода, обладая энергией, не меньшей 13,6 эВ. Какой минимальной энергией должен обладать протон, чтобы ионизовать также покоящийся атом водорода? Масса протона m
p
= 1836m e
, где m e
— масса электрона.
2.5.30. Неподвижное атомное ядро распадается на два осколка массы m
1
и m
2
. Определите скорость осколков, если при распаде ядра выделяется энер- гия E.
2.5.31. В результате распада движущегося ядра появились два осколка мас- сы m
1
и m
2
с импульсами p
1
и p
2
, разлетающиеся под углом θ. Определите вы- делившуюся при распаде ядра энергию.
54

♦
2.5.32. При двухчастичном распаде частиц с кинетической энергией K обра- зуются частицы двух видов. Наибольший угол, под которым продукты распада вылетают из пучка первичных частиц, равен соответственно α
1
и α
2

. Какая энер- гия выделяется при распаде первичной частицы?
2.5.33. Реакцию слияния тяжелых изотопов водорода с образованием сверх- тяжелого изотопа и протона (
2
H +
2
H →
3
H +
1
H) изучают, направляя ускоренные до энергии 1,8 МэВ ионы дейтерия на дейтериевую же мишень. Энергию обра- зовавшихся ядер трития измерить затруднительно, и ее не измеряют. Измеряют только энергию протонов, вылетевших перпендикулярно пучку дейтронов, она равна 3,5 МэВ. Определите выделившуюся в реакции энергию.
2.5.34
∗
. Частица массы m с импульсом p распадается на две одинаковые частицы. Каков максимальный угол разлета вторичных частиц, если при распаде выделяется энергия E?
2.5.35. Два тела массы m
1
и m
2
прикреплены к нитям одинаковой длины с общей точкой подвеса и отклонены — одно влево, другое вправо — на один и тот же угол. Тела одновременно отпускают. При ударе друг о друга они слипаются.
Определите отношение высоты, на которую тела поднимаются после слипания,
к высоте, с которой они начали свое движение вниз.
2.5.36. Пуля массы m
1
, имеющая начальную скорость v пробивает подве- шенный на нити свинцовый шар массы m
2

и вылетает из него с половинной скоростью. Какая часть кинетической энергии пули перешла в тепло?
♦
2.5.37. Пуля массы m, имеющая начальную скорость v, пробивает подвешен- ный на нити груз той же массы m и застревает во втором таком же. Найдите вы- делившееся в первом грузе количество теплоты, если во втором грузе выделилось количество теплоты Q
2
. Временем взаимодействия пули с грузом пренебречь.
♦
2.5.38
∗
. По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равны- ми промежутками расположены бруски массы m каждый. К первому из брусков прикладывают постоянную горизонтальную силу F . Определите скорость брус- ков перед n-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение скорости при n, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между брусками равна l. Удары брусков абсолютно неупругие.
2.5.39. Тело налетает на неподвижную стенку под углом α к нормали. Ко- эффициент трения о стенку µ. Под каким углом тело отлетит от этой стенки?
55

§ 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера
2.6.1. Почему состояние невесомости на борту орбитальной станции свиде- тельствует о пропорциональности силы земного тяготения массе притягиваемых тел?
2.6.2. Некоторые планеты Солнечной системы имеют орбиту, близкую к кру- говой, с центром в Солнце, причем обращаются они вокруг Солнца почти равно- мерно. Как направлено ускорение этих планет? Как оно зависит от расстояния между ними и Солнцем, если установлено, что квадрат периода обращения пла- нет пропорционален кубу радиуса их орбиты? (Представьте себе, что вы еще не знаете закона всемирного тяготения.)
2.6.3. При сферически симметричном распределении массы шар притягива- ет тела, находящиеся вне его так, будто вся его масса сосредоточена в его центре.

На какой высоте над Землей сила тяжести составляет 81% от ее значения на по- верхности Земли?
2.6.4. Ускорение Луны можно найти исходя из кинематических соображе- ний, зная, что средний радиус ее орбиты 385 000 км, а период ее обращения во- круг Земли 27,3 сут. Сравните полученное таким образом значение ускорения с ускорением, создаваемым на лунной орбите земным тяготением. Радиус Земли
6370 км, ускорение свободного падения на ее поверхности 9,8 м/с
2 2.6.5. Предлагается метод определения гравитационной постоянной. По гео- логическим образцам пород и по распространенности этих пород на Земле на- ходят среднюю плотность вещества. Умножая эту плотность на объем Земли,
находят ее массу. Зная же радиус Земли и ускорение свободного падения на ее поверхности, находят гравитационную постоянную. В чем коренной недостаток этого метода?
♦
2.6.6. Рассмотрим установку Кавендиша для измерения гравитационной постоянной (так называемые крутильные весы). Легкий стер- жень (коромысло), на концах которого закрепле- ны два одинаковых шара массы m, подвешен на тонкой и длинной нити. К шарам можно при- близить два шара массы M , значительно боль- шей m. Коромысло снабжено зеркальцем, от- брасывающим световой «зайчик» на удаленную шкалу и потому позволяющим измерять очень малые углы поворота коромысла вокруг вертикальной оси. (При длине коромыс- ла 10 см и расстоянии 40 м зеркальца до шкалы смещение «зайчика» в 1600 раз превышает смещение шаров.)
Измерение проводят следующим образом. Шары массы M располагают сим- метрично возле шаров массы m. При этом коромысло поворачивается и нить закручивается на некоторый угол. Затем, когда после прекращения крутильных колебаний большие шары переводят в новое симметричное положение, измеряют угол поворота коромысла. Зная упругие свойства нити, определяют максималь- ное ускорение легких шариков.
Вычислите гравитационную постоянную на основе данных, полученных на установке Кавендиша (крутильные весы): расстояние между шарами массы m и M равно 2r = 10 см, масса тяжелых шаров M = 7,0 кг, максимальное ускорение легких шариков a = 2,8 · 10
−7
м/с
2 2.6.7. Свой эксперимент по измерению гравитационной постоянной Кавен- диш назвал «взвешиванием Земли». Определите массу Земли, если на ее поверх- ности ускорение свободного падения g = 9,8 м/с
2
, а радиус Земли R = 6370 км.
56

2.6.8. Найдите массу Солнца. Радиус орбиты Земли равен 1,5·10 8
км, в году содержится примерно 3,14 · 10 7
с.
2.6.9. Найдите силу гравитационного притяжения, действующего на вас со стороны Земли, Луны, Солнца.
2.6.10. Спутник Марса Фобос обращается вокруг него по орбите радиуса
9400
км с периодом 7 ч 39 мин. Во сколько раз масса Марса меньше массы
Земли?
2.6.11. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны 1700 км.
Во сколько раз ускорение свободного падения вблизи лунной поверхности меньше,

чем вблизи земной?
2.6.12. Определите радиус круговой орбиты астероида, если угловая ско- рость обращения его вокруг Солнца ω, а масса Солнца m .
2.6.13. Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы мас- са Земли сравнялась с массой Солнца, а расстояние между ними осталось бы прежним?
2.6.14
∗
. Две звезды массы m
1
и m
2

образуют двойную систему с неизменным расстоянием между звездами R. Каков период обращения звезд вокруг общего центра масс?
2.6.15. В астрономии часто измеряют расстояние в радиусах земной орби- ты, периоды — в земных годах, а массы звезд — в массах Солнца. Определите суммарную массу двойной системы, если в этих единицах расстояние между звез- дами постоянно и равно r, а период их обращения равен T .
2.6.16. Три звезды массы m каждая сохраняют в своем движении конфигу- рацию равностороннего треугольника со стороной L. С какой угловой скоростью вращается этот треугольник?
2.6.17. Найдите первую космическую скорость для Земли и Луны, а также и периоды обращения по околоземной и окололунной орбитам.
2.6.18. Спутник массы m
0
движется по круговой орбите радиуса R вокруг планеты массы m. Какой импульс нужно мгновенно сообщить спутнику, чтобы плоскость его орбиты повернулась на угол α, а радиус не изменился?
2.6.19. Космический корабль движется по круговой орбите радиуса R вокруг
Земли со скоростью v, вдвое большей скорости свободного движения по той же орбите. Какую силу тяги развивают двигатели корабля, если его масса m?
2.6.20. Два одинаковых поезда массы 1000 т каждый движутся по экватору навстречу друг другу со скоростями 30 м/с. На сколько отличаются силы, с которыми они давят на рельсы?
2.6.21. а. Каков радиус орбиты спутника, лежащей в экваториальной плос- кости, если тот все время находится в зените над одной и той же точкой земной поверхности?
б. Опишите качественно трассу спутника, если при том же радиусе орби- ты ее плоскость образует угол 60
◦
с плоскостью экватора. (Трассой спутника называется линия, соединяющая точки на Земле, из которых спутник виден в зените.)
2.6.22. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия небольшо- го тела массы m с Землей U = −γM m/r, где M — масса Земли, r — расстояние от тела до центра Земли. Найдите приращение потенциальной энергии ∆U при подъеме тела на высоту h с поверхности Земли. Какая относительная ошибка возникает при использовании приближенного выражения mgh вместо ∆U ? Уско- рение свободного падения на поверхности Земли g, радиус Земли R.
2.6.23
∗
. Тело запустили вдоль экватора с востока на запад с такой скоро- стью, что очень далеко от Земли его скорость стала равной нулю. Какую ско- рость относительно Земли будет иметь вдали от нее тело, запущенное с той же начальной скоростью вдоль экватора, но с запада на восток?
57

2.6.24. Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет ско- рость v
0
. Падая на планету, он приобретает вблизи ее поверхности скорость v.
При какой наименьшей скорости вблизи поверхности этой планеты космический корабль покинет ее безвозвратно? (Такая скорость называется второй космиче- ской.)
2.6.25. На поверхности планеты телу сообщили скорость, превышающую вторую космическую скорость на 0,5%. Во сколько раз скорость тела вдали от планеты будет меньше второй космической скорости?
2.6.26. Найдите вторую космическую скорость для Земли и Луны. Враще- нием планет вокруг собственной оси пренебречь.
2.6.27. Спутник движется со скоростью v по круговой орбите вокруг Земли.

Какую наименьшую добавочную скорость надо сообщить спутнику, чтобы он мог безвозвратно уйти от Земли?
2.6.28. Космический корабль приближается к Луне. На большом расстоянии от Луны его скорость относительно нее была нулевая. На какой высоте нужно включить тормозной двигатель, создающий пятикратную перегрузку (5g), что- бы посадка была мягкой? Изменением массы корабля пренебречь. Радиус Луны около 1700 км, ускорение свободного падения на ее поверхности в 6 раз меньше,
чем на поверхности Земли.
♦
2.6.29. Скорость пылинок однородного шаро- вого облака направлена радиально и пропорцио- нальна расстоянию до центра: v = Hr; это отно- сится к начальному моменту. При какой наиболь- шей начальной плотности облако будет неограни- ченно расширяться? (Для тела внутри однородной сферической оболочки суммарная гравитационная сила со стороны оболочки нулевая.)
2.6.30
∗
. Какую скорость нужно сообщить те- лу небольшой массы в центре астероида массы m и радиуса R, чтобы оно через радиальную шахту ушло от астероида бесконечно далеко? Астероид можно считать однородным.
2.6.31. Космический аппарат вдалеке от Земли находится на том же рассто- янии от Солнца, что и Земля. При какой минимальной его скорости он покинет

Солнечную систему?
2.6.32
∗
. Наименьшая скорость тела на поверхности Земли, обеспечивающая его выход за пределы Солнечной системы, называется третьей космической ско- ростью. Найдите ее, если известно, что скорость орбитального движения Земли
30 км/с.
2.6.33
∗
. В фантастическом рассказе описывается, как из-за небольшой оши- бки в выборе начальной скорости при старте с поверхности Земли межпланетный корабль падает на Солнце. При какой наименьшей скорости на поверхности Зем- ли это возможно?

2.6.34. Кинетическая энергия спутника на круговой орбите равна K. Чему равна его потенциальная энергия?
2.6.35
∗
. Спускаясь по спирали с круговой орбиты на поверхность плане- ты в разреженных слоях атмосферы спутник совершает почти круговые витки уменьшающегося радиуса. При этом его скорость увеличивается так, будто сила сопротивления атмосферы толкает спутник вперед, в направлении его полета!
Объясните качественно и количественно такое парадоксальное поведение спут- ника.
♦
2.6.36
∗
. В случае действия на тело центральной силы радиус-вектор, прове- денный к нему из центра, описывает в равные промежутки времени равные пло- щади. (В этом, собственно, и состоит по отношению к движению планет второй
58

закон Кеплера.) Какую площадь опишет за время t радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, если в начальный момент расстояние от нее до Солнца r,

скорость v, а угол между скоростью планеты и радиус-вектором α?
♦
2.6.37. Спутник связи «Молния–1» имеет перигей над южным полушарием
Земли на высоте около 500 км, а апогей — на высоте около 40 000 км над северным полушарием. Каково отношение угловых скоростей обращения этого спутника в перигее и апогее?
♦
2.6.38
∗
. К планете радиуса R и массы M издалека движется со скоростью v относительно нее космический зонд. При каком прицельном параметре ρ зонд пролетит ближе всего к планете, не разбившись?
2.6.39
∗
. Скорость спутника в перигее равна v при расстоянии до центра

Земли, равном r. Какова скорость спутника в апогее? Каково расстояние от него до центра Земли в апогее?
2.6.40
∗
. Космический зонд массы m движется вокруг планеты массы M по орбите с наибольшим удалением r а
от центра планеты (в апоцентре) и наимень- шим — r п
(в перицентре). Какую минимальную энергию нужно сообщить зонду,

чтобы он покинул планету?
2.6.41
∗
. С орбитальной станции, движущейся со скоростью u по круговой орбите вокруг планеты, запускают два зонда. Начальная скорость зондов отно- сительно планеты равна v (
√
2 u > v > u). Один зонд движется по направлению радиуса планеты; начальная скорость другого зонда перпендикулярна ее радиу- су. Найдите отношение максимально возможных расстояний от зондов до центра планеты.
♦
2.6.42
∗
. Плоскость орбиты спутника разбита на секторы с общей верши- ной в центре планеты массы M и одинаковыми малыми углами раствора dϕ.
Найдите изменение скорости спутника при прохождении каждого сектора, если его скорость в перицентре v п
, а расстояние от спутника до центра планеты в перицентре r п
♦
2.6.43
∗
. С орбитальной станции, имеющей круговую орбиту радиуса R и скорость u, запустили зонд, сообщив ему мгновенно в радиальном направлении дополнительную скорость V . Докажите, что когда зонд и станция видны из цен- тра планеты под одинаковым углом к направлению на точку старта, их скорости отличаются по-прежнему на величину V . На каком расстоянии от центра плане- ты находится зонд, когда этот угол наблюдения равен α?
59

♦
2.6.44
∗
. При какой скорости V орбита зонда из предыдущей задачи замкнута? Найдите ее перицентр и апоцентр. В случае же незамкнутой орби- ты найдите предельный угол с направлением от центра планеты к точке старта,
который образует скорость зонда при его безграничном удалении от планеты.
2.6.45
∗
. Отрезок, соединяющий перицентр и апоцентр эллиптической орби- ты, называется большой осью. Относительно нее эллипс симметричен. Отрезок,
соединяющий наиболее удаленные от большой оси точки орбиты, называется ма- лой осью. Она перпендикулярна большой оси и тоже является осью симметрии эллипса. Используя условия задачи 2.6.43, найдите скорость зонда в вершинах малой оси. Выразите эту скорость через длину большой полуоси a и массу пла- неты M .
♦
2.6.46
∗
. Спутник движется вокруг планеты мас- сы M по эллипсу
∗)
с большой и малой полуосями a и b.
Определите площадь, которую радиус-вектор, прове- денный из центра планеты к спутнику, «заметает» в единицу времени. Найдите период обращения спутни- ка.
2.6.47. Наибольшее расстояние от Солнца до ко- меты Галлея составляет 35,4 радиуса земной орбиты,