Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
связаны пружиной жесткости k. Какова частота свободных колебаний такой системы, если вращения нет? ♦ 3.2.26. Найдите отношение частот колебаний молекулы H 2 и молекулы HD (D — атом дейтерия). ♦ 3.2.27 ∗ . Возможны два типа линейных колебаний молекулы углекислого га- за: а) ядра кислорода движутся в противоположные стороны, а ядро углерода остается на месте; б) ядра кислорода движутся с одинаковыми скоростями в на- правлении, противоположном направлению движения ядра углерода. Определите отношение частот этих колебаний. ♦ 3.2.28. На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка массы M с установленным на ней математическим маятником длины l и массы m. Найдите период колебаний системы. ♦ 3.2.29. Четыре одинаковых шарика массы m каждый, соединенные одина- ковыми пружинами жесткости k, образуют квадрат. Одновременно всем четы- рем шарикам сообщили одинаковые по модулю скорости, направленные к центру квадрата. Через какое время после этого пружины будут: а) сильнее всего сжаты; б) сильнее всего растянуты? ♦ 3.2.30. Момент инерции чашки, подвешенной на проволоке, относительно оси кручения этой проволоки, равен I 0 . Период крутильных колебаний системы равен T 0 . На чашку положили груз. При этом период крутильных колебаний из- менился и стал равным T . Каков момент инерции груза относительно той же оси кручения? Момент сил, возникающих при закручивании проволоки, пропорцио- нален углу закручивания. ♦ 3.2.31 ∗ . Легкие стержни соединены шарнирами в виде ромба. Две проти- воположные вершины ромба связаны пружиной жесткости k, а к двум другим вершинам прикреплены шарики одинаковой массы m. Найдите частоту колеба- ний системы, если длина пружины в недеформированном состоянии совпадает с длиной стержня. ♦ 3.2.32 ∗ . К муфте массы m, надетой на гладкую горизонтальную неподвиж- ную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии l от спицы. На другом конце нити привязан груз массы M . При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту колебаний груза. 3.2.33. Найдите период колебаний жидкости в ∪-образном сосуде постоян- ного сечения. Общая длина части сосуда, занятого жидкостью, равна l. ♦ 3.2.34 ∗ . Вертикальная перегородка в высоком сосуде разделяет его на две сообщающиеся части с разными сечениями. Найдите период малых колебаний 80 жидкости, считая, что свободная поверхность ее в каждой части сосуда остается горизонтальной. Глубина жидкости в состоянии равновесия равна H. 3.2.35. Определите частоту вертикальных колебаний длинного цилиндриче- ского ареометра, погруженного в жидкость, налитую в цилиндрический стакан, если радиус стакана много меньше глубины H, на которой ареометр находится в состоянии равновесия. ♦ 3.2.36 ∗ . В цилиндрическом сосуде ра- диуса R находится поршень длины l, соеди- ненный пружиной жесткости k со стенкой сосуда. По оси поршня имеется сквозной ка- нал радиуса r. Все свободное пространство в сосуде заполнено жидкостью плотности ρ. Найдите частоту колебаний поршня, если l R и масса поршня равна m. 3.2.37 ∗ . После загрузки корабля период колебаний его по вертикали уве- личится с 7 до 7,5 с. Какова масса груза? Сечение по ватерлинии S = 500 м 2 Характер вовлечения воды в движение считать не изменившимся при загрузке. § 3.3. Гармоническое движение 3.3.1. Тело массы m, прикрепленное к пружине, свободно колеблется. Сме- щение тела зависит от времени по закону x = A cos ωt. Как меняются со временем скорость и ускорение? Как зависит сила, действующая на тело, от его смещения и от времени? Чему равна жесткость пружины? 3.3.2. Амплитуда колебаний математического маятника 5 мм, длина его ни- ти 1 м. Как зависит смещение шарика от времени? За начало отсчета времени принять: а) момент прохождения положения равновесия слева направо; б) момент прохождения крайнего правого положения. 3.3.3. Груз, свободно колеблющийся на пружине, за время 0,01 с сместился с расстояния 0,5 см от положения равновесия до наибольшего, равного 1 см. Каков период его колебаний? 3.3.4. Частота свободных колебаний тела равна ω. Через какое наименьшее время его кинетическая энергия уменьшается вдвое по сравнению со своим наи- большим значением? 3.3.5. Найдите период колебаний математического маятника длины l, если на пути нити на расстоянии l/2 вниз по вертикали от точки подвеса вбит гвоздь. 3.3.6. Найдите период колебаний тела в задаче 3.1.7. 6 81 ♦ 3.3.7 ∗ . Гладкую однородную веревку длины l удерживают в вертикальном колене изогнутой трубы так, что нижний конец ее касается горизонтальной части трубы. Веревку отпускают. Через какое время она полностью окажется в гори- зонтальном колене? Трением пренебречь. Как изменится это время, если вначале часть веревки уже находилась в горизонтальном колене? ♦ 3.3.8 ∗ . Воздушный шарик при слабом ударе о стенку деформируется, как показано на рисунке. При этом максимальная деформация шарика x много мень- ше его радиуса R. Пренебрегая изменением избыточного давления ∆p воздуха в шарике и упругостью оболочки, оцените время соударения со стенкой. Масса шарика m. ♦ 3.3.9. Докажите, что пучок частиц будет собираться (фокусироваться) в некоторых определенных точках оси OO , если скорость каждой частицы пучка в сечении OO равна v 0 , а сила, действующая на частицу, F = −kr, где r — расстояние от частицы до оси пучка. На каком расстоянии от сечения OO фо- кусируются частицы, если масса каждой из них равна m? ♦ 3.3.10. Из нижней точки гладкого горизонтального цилиндрического жело- ба радиуса R под небольшим углом к его образующей выскальзывает со скоро- стью v 0 маленький шарик. Сколько раз на длине l он пересечет нижнюю образу- ющую желоба? ♦ 3.3.11. К наклонной стене подвешен маятник длины l. Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вер- тикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. ♦ 3.3.12. Один конец пружины прикреплен к стене, на втором — шарик, ко- леблющийся с амплитудой A и периодом T 0 . На каком расстоянии от положения равновесия шарика нужно поставить плиту, чтобы период его колебаний стал равным T ? Удары шарика о плиту абсолютно упругие. ♦ 3.3.13. Груз массы m падает с высоты H на пружину жесткости k и длины h, нижний конец которой прикреплен к полу. Определите время контакта груза с пружиной, если mg < 2k(H − h). ♦ 3.3.14. По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v скользит тон- кий однородный брусок длины l. Брусок наезжает на обширный шероховатый 82 участок плоскости. Через какое время брусок остановится, если коэффициент трения равен µ? ♦ 3.3.15 ∗ . Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который колеблется гармонически так быстро, что стрелок не может за ним уследить. Тогда он це- лится в центр области движения диска. С какой вероятностью стрелок попадет в диск, если амплитуда колебаний диска a R? Если A = 2R? Увеличится ли вероятность попадания, если стрелок будет целиться в точку на расстоянии R от края области? ♦ 3.3.16. К одному концу первоначально недеформированной и неподвиж- ной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пру- жины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, пока он не переместился на расстояние d. Затем его резко остановили. При какой скорости этого конца пружины груз после остановки не будет колебаться? Сформулируйте ана- логичную задачу для математического ма- ятника. 3.3.17. Два одинаковых маятника имеют общую точку подвеса. Одному ма- ятнику толчком сообщили некоторую скорость, затем через время τ другому ма- ятнику тоже толчком сообщили такую же скорость. Через какое время после начала движения первого маятника оба маятника встретятся, если период их колебаний равен T , а τ < T /2? ♦ 3.3.18. Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на под- ставке. Подставку мгновенно убирают. Опишите движение тела, если первона- чально пружина: а) не деформирована; б) сжата и ее деформация равна l. ♦ 3.3.19. Пуля массы m, летящая со скоростью v, попадает в тело массы M , связанное со стенкой пружиной жесткости k, и застревает в нем. Выбрав мо- мент попадания пули за начало отсчета времени, найдите зависимость скорости и координаты тела от времени. ♦ 3.3.20. По горизонтальной плоскости со скоростью v скользят два шари- ка одинаковой массы m, связанные недеформированной пружиной жесткости k. Шарики налетают на вертикальную упругую стенку. Опишите последующее дви- жение шариков. Произойдет ли повторный удар их о стенку? 83 3.3.21 ∗ . Тела массы m 1 и m 2 связаны первоначально недеформированной пружиной. Телу массы m 1 сообщают ударом скорость v, направленную вдоль пружины. Как с течением времени станут меняться скорости этих тел, если ча- стота свободных колебаний тел равна ω? 3.3.22. На тело, связанное со стенкой пружиной и находящееся в равновесии, начала действовать вдоль пружины постоянная сила F . Чему равно наибольшее значение силы натяжения пружины и через какое время после включения начала действия на тело силы F оно достигается? Период свободных колебаний тела T . 3.3.23 ∗ . В момент времени t 0 координата тела, совершающего колебания с частотой ω, равна x 0 , а скорость равна v 0 . Докажите, что зависимость коорди- наты тела от времени можно представить в виде x = x 0 cos ω(t − t 0 ) + (v 0 /ω) sin ω(t − t 0 ). 3.3.24 ∗ . Тело массы m, подвешенное на пружине, колеблется по закону x = A 0 cos ωt. С момента времени t 0 на тело начинает действовать вдоль пружи- ны постоянная сила F . Определите амплитуду колебаний относительно нового положения равновесия. При каком t 0 эта амплитуда наибольшая? наименьшая? ♦ 3.3.25 ∗ . На горизонтальной ленте транспор- тера, движущейся со скоростью u, находится груз массы m, связанный пружиной жесткости k с неподвижной стенкой. Пусть в начальный момент пружина не деформирована и груз из-за трения движется вместе с лентой. Определите амплиту- ду возникших колебаний. 3.3.26 ∗ . Пусть в условии задачи 3.3.25 ∗ начальная скорость груза нулевая, а коэффициент трения равен µ. При какой скорости ленты движение груза будет гармоническим колебанием? Как зависит амплитуда установившихся колебаний от скорости ленты u? 3.3.27 ∗ . На горизонтальной плоскости лежит тело массы M , связанное пру- жиной жесткости k с неподвижной стенкой. Тело оттянули на расстояние l от положения равновесия и отпустили. Совершив n колебаний, тело остановилось. Чему равен коэффициент трения между телом и плоскостью, если после останов- ки тела пружина оказалась недеформированной? ♦ 3.3.28. К маятнику AB с шариком массы M подвешен маятник BC с ша- риком массы m. Точка A совершает гармонические колебания по горизонтали с частотой ω. Найдите длину нити BC, если известно, что нить AB все время остается вертикальной. 3.3.29. Тело массы m колеблется по закону x = A cos (ωt + ϕ). Найдите зависимость силы, действующей на тело, от времени. Чему равно ее наибольшее значение? В какие моменты сила принимает наибольшее по модулю значение? 3.3.30. Горизонтальная мембрана совершает гармонические колебания по вертикали с частотой ω и амплитудой A. На мембране лежит маленький груз. 84 При каком условии он будет колебаться вместе с мембраной, а при каком — начнет отскакивать? Ниже или выше среднего положения мембраны происходит отрыв груза от ее поверхности? ♦ 3.3.31. Для измерения малых амплитуд колебаний мембраны, совершающей гармонические колебания высокой частоты ω, применяется «молоточек», вклю- ченный в электрическую цепь с мембраной и телефоном. Молоточек массы m прижимается к мембране с силой, которая регулируется микрометрическим вин- том. Когда контакт молоточка с мембраной прерывается, прерывается ток в цепи и в телефоне слышно дребезжание. Определите амплитуду колебаний, если дре- безжание началось с момента, когда сила, с которой молоточек прижимается к мембране, достигла значения F . 3.3.32. На горизонтальной плите лежит груз. Плита начинает двигаться вверх, совершая по вертикали гармонические колебания с частотой ω и амплиту- дой A. На какую высоту от начального положения плиты подскочит груз после своего отрыва от ее поверхности? 3.3.33 ∗ . С какой амплитудой должна колебаться плита (см. задачу 3.3.32), чтобы наступил своеобразный резонанс: груз, подбрасываемый плитой, после каждого удара увеличивал бы высоту своего подъема? Удары считать абсолютно упругими. ♦ 3.3.34 ∗ . Пьезокварцевая пластинка колеблется с частотой ω = 10 7 с −1 . На торец пластинки положили тело массы, сравнимой с массой пластинки. Коэффи- циент трения между телом и пластинкой µ = 1. Оцените, при какой амплитуде колебаний наличие этого тела существенно влияет на частоту колебаний пла- стинки. Оцените наибольшую скорость тела в установившемся колебательном режиме в случае, когда амплитуда колебаний пластинки A = 10 −6 см. 6 ∗ 85 3.3.35. Поверхность тел, колеблющихся с ультразвуковой частотой, кажется скользкой на ощупь, а предметы, помещенные на эту поверхность, «плывут» по ней от малейшего приложенного к ним усилия. Объясните это. ♦ 3.3.36 ∗ . Наклонная плоскость совершает гармонические колебания с боль- шой частотой вдоль своей поверхности. Каково установившееся движение тела, находящегося на ней? Какова средняя скорость этого тела за большое время, ес- ли tg α µ, где α — угол наклона плоскости, µ — коэффициент трения, v 0 — амплитуда скорости наклонной плоскости? § 3.4. Наложение колебаний ♦ 3.4.1. Концы пружин могут скользить без трения по неподвижной вер- тикальной рамке, другими концами они прикреплены к телу массы m. Какой характер носит движение тела в общем случае, когда k 1 = k 2 ? В каких направлениях возможно прямоли- нейное движение и как его возбудить? 3.4.2. Пусть в условиях задачи 3.4.1 k 1 = k 2 = k/2. Убедитесь, что в плоскости рамки возмож- ны прямолинейные колебания в любом направлении. Каким способом нужно возбуждать колебания, чтобы движение тела происходило по окружности? Докажи- те, что при любом способе возбуждения траектория движения тела замкнутая. Найдите период движения тела. 3.4.3. а. Математический маятник совершает малые колебания в одной плос- кости. Амплитуда его колебаний A, частота ω. В момент максимального откло- нения шарику маятника сообщили небольшую скорость v, направленную перпен- дикулярно плоскости колебаний. По какой траектории будет двигаться шарик маятника после этого? В каких пределах будет изменяться расстояние от шари- ка до положения равновесия? б ∗ . Ответьте на первый вопрос для случая, когда скорость v сообщена ша- рику в момент, когда он находится на расстоянии x от положения равновесия. ♦ 3.4.4. Движение электронного луча по экрану ос- циллографа описывается уравнениями x = A cos (ωt − ϕ), y = A cos (ωt + ϕ). Для удобства измерений перед экраном помещена квад- ратная сетка. Определите по рисунку сдвиг фаз обоих колебаний. 3.4.5 ∗ . В условиях задачи 3.4.4 определите, при ка- ком сдвиге фаз на экране виден отрезок; окружность. За время 2π/ω след луча на экране не успевает погаснуть. Докажите, что в случае произвольного постоянного ϕ след луча на экране представляет собой эллипс с полуосями, лежащими на диа- гоналях квадрата. Найдите эти полуоси. 3.4.6. При изучении гармонических колебаний осциллятора электрическое напряжение, пропорциональное смещению осциллятора, подается на x-пластины осциллографа, а напряжение, пропорциональное скорости, — на y-пластины. Ка- кую картину мы увидим на экране? 3.4.7. Отклонение луча осциллографа описывается уравнениями x = A cos [(ω − Ω/2)t], y = A cos[(ω + Ω/2)t], 86 где Ω ω, причем след луча на экране гаснет за время, много меньшее 2π/Ω. Какую картину мы увидим на экране осциллографа? ♦ 3.4.8. На x- и y-пластины осциллографа подают гармонические сигналы, и на экране появляются картины, изображенные на рисунке. Как относятся пери- оды колебаний по x и y в случаях а–г? 3.4.9. Точка, совершающая гармонические колебания в двух взаимно пер- пендикулярных направлениях x, y, движется по траектории, которая называется фигурой Лиссажу. Докажите, что если частоты колебаний относятся как целые числа, то эта фигура — замкнутая кривая. Какой вид имеет фигура Лиссажу при равных частотах? 3.4.10. Докажите, что если амплитуда гармонических колебаний точки по оси x равна A, а по оси y равна B, то фигура Лиссажу вписывается в прямо- угольник со сторонами 2A по оси x и 2B по оси y. Пусть фигура касается го- ризонтальных сторон этого прямоугольника в p = 3 точках, а вертикальных — в q = 4 точках. Как относятся частоты этих колебаний? ♦ 3.4.11 ∗ . Два шарика массы m 1 и m 2 , при- крепленные к одинаковым пружинам, могут ко- лебаться, скользя по бруску массы M без трения. Брусок лежит на горизонтальной плоскости. Ша- рики связаны нитью, сила натяжения которой F . Нить пережигают. При каком наименьшем коэф- фициенте трения между плоскостью и бруском тот не сдвинется с места? 3.4.12 ∗ . Концы пружины жесткости k перемещают в продольном направле- нии по гармоническому закону: x 1 = A 1 cos (ωt + ϕ 1 ), x 2 = A 2 cos (ωt + ϕ 2 ); при этом средняя за период сила натяжения пружины равна нулю. Как меняется эта сила со временем? Определите наибольшую и среднюю за большое время энергию пружины. При какой разности фаз ϕ 2 − ϕ 1 средняя энергия пружины наибольшая? наименьшая? 3.4.13 ∗ . Пусть концы пружины (см. задачу 3.4.12) перемещаются с разной частотой: x 1 = A cos ω 1 t, x 2 = A cos ω 2 t. Как в этом случае меняется сила натяжения пружины со временем? Постройте график зависимости силы натяжения от времени в случае близких частот. Поче- му здесь можно говорить о биениях? Определите в случае неравных амплитуд и частот среднюю энергию пружины за большое время. 3.4.14. Частица при действии на нее силы F = F 0 |