Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
3.9.17. При какой глубине океана в нем могут «раскачаться» физиологиче- ски опасные инфразвуковые колебания с частотой 7 Гц? 3.9.18. Первая резонансная частота открытой с обеих сторон органной тру- бы равна 300 Гц. Чему равна первая резонансная частота такой же, но закрытой с обеих сторон органной трубы? закрытой с одной стороны? 3.9.19. Зачем полый корпус скрипки и виолончели делают фигурным? Как от его размеров зависит тон звучания? 3.9.20. В барокамере, наполненной смесью гелия и кислорода, скорость звука намного больше скорости звука в воздухе. Как изменится звучание голосов людей, разговаривающих в барокамере? Изменится ли там тон камертона? 3.9.21. С какой силой нужно натянуть гитарную струну длины l = 60 см и линейной плотности µ = 0,1 г/см, чтобы она звучала с частотой ν = 100 Гц на первой гармонике, т. е. на первой резонансной частоте? ♦ 3.9.22. Колебания в струне возбуждают, пропуская по ней переменный ток так, что магнитная сила со стороны небольшого магнита M меняется гармони- чески. Частота тока отвечает третьей гармонике струны. Длина струны l. Где нужно поместить магнит, чтобы амплитуда колебаний была наибольшей? 3.9.23. Если звучащий на первой гармонике стержень взять рукой, он почти сразу перестает звучать. Объясните почему. В каком месте нужно взять стер- жень, чтобы этот эффект проявился наиболее слабо? наиболее сильно? 3.9.24 ∗ . У монокристалла сапфира при низких температурах и соответству- ющей подвеске потери энергии при колебаниях в вакууме за период на первой гармонике составляют 10 −8 от энергии колебаний. Во сколько раз увеличатся эти потери при колебаниях в воздухе? Плотность сапфира 3 · 10 3 кг/см 3 , ско- рость звука в воздухе 330 м/с, плотность воздуха 1,3 кг/м 3 104 3.9.25 ∗ . Академик И. В. Обреимов так начал объяснение односторонней слышимости: «. . . Рыболовы терпеть не могут, когда к ним подходят и разго- варивают. И они правы. Рыба в воде отлично слышит разговоры на берегу. А мы, на берегу, не слышим «рыбьего разговора». Дело в том, что при пе- реходе из воздуха в воду и из воды в воздух энергия звукового потока. . . » (Уильям Брэгг. Мир звука. М.: Наука, 1965. С. 333). Продолжите объяснение и подкрепите его количественными оценками, приняв, что человек реагирует на колебания давления начиная примерно с той же амплитуды, что и рыбы. 3.9.26 ∗ . Определите массу тела, связанного через упругую подставку жест- кости k и массы m с жестким полом, если первая резонансная частота продольных колебаний этой системы равна ω. 105 Глава 4 Механика жидкости § 4.1. Давление жидкости 4.1.1. Что такое давление жидкости? Придумайте способ измерения давле- ния. ♦ 4.1.2. В жидкости находится прямоугольная призма, размеры которой по- казаны на рисунке. Найдите сумму сил, действующих на переднюю и нижнюю грани призмы, если давление жидкости равно 2 · 10 5 Па. Чему равна сумма сил, действующих на призму? 4.1.3 ∗ . Результирующая сила, действующая со стороны сжатой жидкости на три грани правильного тетраэдра, равна F . Длина ребра тетраэдра a. Опре- делите давление жидкости. ♦ 4.1.4. В трубе находится поршень, продольное сечение которого показано на рисунке. Давление жидкости с обеих сторон поршня одинаково. Находится ли поршень в равновесии? ♦ 4.1.5. Шар перекрывает отверстие радиуса r в плоской стенке, разделяю- щей жидкости, давление которых 3P и P . С какой силой прижимается шар к отверстию? ♦ 4.1.6. Коническая пробка перекрывает сразу два отверстия в плоском сосуде, заполненном жидкостью при давлении P . Радиус отверстий r и R. Определите силу, действующую на пробку со стороны жидкости. 106 4.1.7 ∗ . Сферический баллон радиуса R со стенками толщины ∆ разрывается внутренним давлением P . Определите предел прочности материала стенок. 4.1.8 ∗ . Почему сосиска в кипятке лопается вдоль, а не поперек? ♦ 4.1.9. Три сообщающихся сосуда с водой прикрыты поршнями. К поршням шарнирно прикреплена на вертикальных стержнях горизонтальная палка. В ка- ком месте нужно приложить к палке силу F , чтобы она осталась горизонтальной? Диаметры сосудов и расстояния между ними указаны на рисунке. 4.1.10. Гидравлический пресс, заполненный водой, имеет поршни, сечение которых 100 и 10 см 2 . На больший поршень ставят груз массы 80 кг. На какую высоту поднимется после этого малый поршень? 4.1.11. Куб, ребро которого 20 см, находится в воде. Нижняя грань куба удалена от поверхности воды на расстояние 1 м. Чему равна сила, действующая со стороны воды на нижнюю грань куба? верхнюю грань? Какая сила действует на боковую грань куба? Найдите векторную сумму сил, действующих со стороны воды на тело. Атмосферное давление 10 5 Па. ♦ 4.1.12 ∗ . Нижняя грань правильного тетраэдра с ребром a, полностью по- груженного в жидкость плотности ρ, находится на глубине h. Определите силу, действующую со стороны жидкости на боковую грань тетраэдра, если атмосфер- ное давление равно P . ♦ 4.1.13 ∗ . В сосуде, дно которого образует угол α с горизонтом, стоит куб с ребром a, сделанный из материала плотности ρ. Верхнее ребро куба находится на глубине h. Жидкость под основание куба не подтекает. Атмосферное давление P , плотность жидкости ρ 0 . Найдите силу, с которой куб действует на дно сосуда. ♦ 4.1.14. Трубка радиуса r закрыта снизу металлическим диском и погружена в жидкость на глубину H. Радиус диска R, высота h. Ось диска отстоит от оси трубки на расстояние a. Плотность жидкости ρ 0 , плотность металла ρ. До какой высоты нужно наливать жидкость в трубку, чтобы диск оторвался от трубки? 107 ♦ 4.1.15. В верхней части сосуда с водой имеется цилиндрическое отверстие, плотно закрытое подвижным поршнем. В поршень вделана вертикальная трубка. Радиус поршня 10 см, радиус трубки 5 см, масса поршня вместе с трубкой 20 кг. Определите высоту столба воды в трубке при равновесии системы. ♦ 4.1.16. Поршень, перекрывающий цилиндрическую трубку внутреннего ра- диуса 10 см, может перемещаться с помощью длинного вертикального штока. Трубка с поршнем, занимающим крайнее нижнее положение, опущена в цилин- дрический сосуд радиуса 1 м на глубину 0,5 м. На какую высоту от первоначаль- ного уровня воды в сосуде можно поднять воду в трубке? Атмосферное давление 10 5 Па. ♦ 4.1.17 ∗ . В полусферический колокол, края которого плотно прилегают к поверхно- сти стола, наливают через отверстие вверху жидкость. Когда жидкость доходит до от- верстия, она приподнимает колокол и начи- нает из-под него течь. Найдите массу коло- кола, если его внутренний радиус равен R, а плотность жидкости ρ. 4.1.18. Докажите, что в двух сообщающихся сосудах жидкость в поле тя- жести имеет минимальную потенциальную энергию, когда уровни жидкости в обоих сосудах находятся на одной высоте. ♦ 4.1.19 ∗ . В цилиндрическом сосуде радиуса R, частично наполненном жидко- стью плотности ρ, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину l? Пробка имеет вид 108 цилиндра радиуса r. Центр отверстия находится на глубине h. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать. 4.1.20 ∗ . Найдите давление на расстоянии r от центра жидкой планеты ради- уса R, если жидкость имеет плотность ρ. Чему равно давление в центре планеты? Гравитационная постоянная γ. 4.1.21. В сосуде с жидкостью находится газовый пузырь. Поля тяжести нет. Сосуд начинает двигаться с постоянным ускорением. Куда начнет двигаться пузырь? 4.1.22. Под каким углом к горизонту расположится поверхность жидкости в сосуде, скользящем по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, если коэффициент трения равен µ? ♦ 4.1.23 ∗ . Закрытый цилиндр радиуса R, заполненный на три четверти своего объема жидкостью плотности ρ, вращается в невесомости вместе с жидкостью с угловой скоростью ω вокруг своей оси. Как меняется давление в жидкости в зависимости от расстояния до стенок цилиндра? 4.1.24. Найдите форму поверхности жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом стакане, который вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси с угловой скоростью ω. § 4.2. Плавание. Закон Архимеда 4.2.1. Определите давление жидкости на нижнюю поверхность плавающей шайбы сечения S и массы m, если атмосферное давление равно P 0 ♦ 4.2.2. На границе раздела двух жидкостей плотности ρ 1 и ρ 2 плавает шайба плотности ρ (ρ 1 < ρ < ρ 2 ). Высота шайбы H. Определите глубину ее погружения во вторую жидкость. ♦ 4.2.3. Тонкостенный стакан массы m вертикально плавает на границе раз- дела жидкостей плотности ρ 1 и ρ 2 . Определите глубину погружения стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину h и площадь S, а сам стакан заполнен жидкостью плотности ρ 1 109 4.2.4 ∗ . В жидкости плотности ρ 0 плавает прямоугольный параллелепипед из материала плотности ρ. Высота параллелепипеда b, ширина и длина a. При каком соотношении a и b его положение устойчиво? 4.2.5. Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две трети свое- го объема погруженный в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью погрузить куб в воду? 4.2.6. Кусок железа весит в воде 9,8 Н. Определите его объем. Плотность железа 7,8 · 10 3 кг/м 3 4.2.7. Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела? 4.2.8. К коромыслу весов подвешены два груза равной массы. Если один из грузов поместить в жидкость плотности ρ 1 , а другой в жидкость плотности ρ 2 , то равновесие сохраняется. Найдите отношение плотностей грузов. 4.2.9 ∗ . В сообщающиеся сосуды диаметра d 1 и d 2 налита жидкость плотно- сти ρ. На сколько поднимется уровень жидкости в сосудах, если в один из сосудов положить тело массы m из материала, плотность которого меньше ρ? ♦ 4.2.10. Определите силу натяжения нижней лески у поплавка, изображенно- го на рисунке, если поплавок погружен в воду на две трети своей длины. Масса поплавка 2 г. ♦ 4.2.11. С какой силой давит тяжелая палочка на дно водоема, если жест- ко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса r погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости ρ, длина палочки l. ♦ 4.2.12. Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объема 10 см 3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего. ♦ 4.2.13. Два одинаковых бревна расположены в воде так, как показано на рисунке. Нижнее бревно привязано к вертикальной стенке тросами, составляю- щими с ней угол 45 ◦ . Верхнее бревно наполовину погружено в воду. Определите плотность древесины. ♦ 4.2.14. Определите силу давления бревен массы m на стенки канала. Верх- нее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Бревна одинаковы. ♦ 4.2.15 ∗ . Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых по- луцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения H, если он пла- вает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа R, длина L, плотность жидкости ρ. ♦ 4.2.16 ∗ . Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающе- го батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения полусфер батискафа, если он полностью погружен в воду. 110 ♦ 4.2.17. Коническая пробка высоты 10 см с уг- лом при вершине 90 ◦ перекрывает в сосуде отвер- стие радиуса 5 см. Чему должна быть равна масса этой пробки, чтобы она не всплывала при измене- нии уровня воды в сосуде? 4.2.18 ∗ . Решите задачу 4.2.17 при условии, что отверстие радиуса r перекрывается шаром ра- диуса R, а плотность жидкости равна ρ. ♦ 4.2.19 ∗ . Наклон кубической коробки, наполо- вину погруженной в жидкость, равен α. Опреде- лите массу каждого из двух противоположных ребер коробки. Массой остальных частей коробки пренебречь. Плотность жидкости ρ, длина ребер коробки a. 111 ♦ 4.2.20 ∗ . Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связыва- ющих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна m. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину. ♦ 4.2.21. а. В водоеме с глубины 1 м всплывает деревянный цилиндр радиу- са 1 м и высоты 0,2 м. Плотность древесины 0,8 · 10 3 кг/м 3 . Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения воды и цилиндра? ♦ б ∗ . В цилиндр радиуса R, частично заполненный жидкостью, падает цилин- дрическая пробка радиуса r и высоты h. Начальная высота нижней поверхности пробки над уровнем жидкости H, начальная скорость равна нулю. Какое коли- чество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и пробки? Плотность пробки ρ, плотность жидкости ρ 0 > ρ. ♦ 4.2.22. Какое количество теплоты выде- лится в водоеме при всплывании в нем воз- душного пузыря радиуса R = 0,1 м с глубины H = 10 м? 4.2.23. Какую минимальную работу нуж- но произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды 1,02 кг/м 3 4.2.24 ∗ . Цилиндрический космический ко- рабль радиуса R вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Бассейн в корабле имеет глубину H, а дном бассейна служит боковая стенка корабля. 112 а. Сможет ли космонавт плавать в этом бассейне? Опишите особенность космического бассейна. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длины l < H, если из воды выступает ее верхняя часть длины ∆. б. В бассейне можно наблюдать следующее интересное явление: два шара разной плотности, связанные нитью, в зависимости от «глубины» движутся или к свободной поверхности, или к стенке космического корабля, если плотность одного шара больше, а другого меньше плотности воды. Объясните это явление. 4.2.25 ∗ . Цилиндрический сосуд радиуса R, за- полненный жидкостью плотности ρ, вращается с угловой скоростью ω вокруг своей оси. В сосуде на- ходится шарик радиуса r и плотности 2ρ. Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку со- суда. ♦ 4.2.26. Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса R, частично заполненный жидкостью, вра- щается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины l привязан воздушный шарик радиуса r; во время вращения нить образует со стенкой угол α. Определите угло- вую скорость вращения сосуда. 4.2.27. Молекула жидкости состоит из двух слабо связанных между собой групп атомов. Объем этих групп одинаков, их массы равны m 1 и m 2 . При вращении жидкости в центрифуге радиуса R с угловой скоростью, большей ω, молекулы начинают распадаться. Оцените силу связи групп атомов в молекуле. § 4.3. Движение идеальной жидкости 4.3.1. Насосная станция города поддерживает в водопроводе на уровне пер- вого этажа давление 5 атм. Определите (пренебрегая трением при течении жид- кости) скорость струи воды, вытекающей из крана на первом, втором и третьем этажах, если краны каждого последующего этажа расположены на 4 м выше кранов предыдущего. На какой этаж вода по водопроводу уже не поднимется? 4.3.2. Сосуд с водой подвешен к потолку. Высота воды в сосуде h. На сколько изменится сила натяжения подвеса, если в дне сосуда открыть маленькое отвер- стие, из которого будет вытекать струя сечения S? Плотность воды ρ. 4.3.3. Насос должен подавать ежесекундно объем воды V на высоту h по трубе постоянного сечения S. Какова должна быть мощность насоса? Плотность воды ρ. ♦ 4.3.4. а. Стационарный поток жидкости, протекающей по трубе переменного сечения, давит на участок трубы A между сечениями 1 и 2, который по третьему закону Ньютона давит на жидкость в противоположном направлении. Следова- тельно, сила, действующая на жидкость со стороны этого участка, направлена против движения жидкости. Почему же жидкость в области справа от сечения 2 имеет б´ольшую скорость, чем в области слева от сечения 1? б. Чему равна сила, действующая на жидкость со стороны участка трубы A? Площадь сечений 1 и 2 равна соответственно S 1 и S 2 . Плотность жидкости ρ. В области справа от сечения 2 скорость жидкости равна v, а давление в ней равно нулю. ♦ 4.3.5. Из широкого сосуда через узкую цилиндрическую трубку в его дне вытекает жидкость плотности ρ. Как распределены по вертикали давление и скорость жидкости в сосуде и трубке? Давление воздуха P 0 8 113 4.3.6. По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения S со ско- ростью v течет жидкость плотности ρ. С какой силой жидкость действует на трубу, если давление жидкости на выходе из трубы P ? Силой тяжести прене- бречь. 4.3.7. Насос представляет собой расположенный горизонтально цилиндр с поршнем площади S и выходным отверстием площади s, расположенным на оси цилиндра. Определите скорость истечения струи жидкости из насоса, если пор- шень под действием силы F перемещается с постоянной скоростью. Плотность жидкости ρ. 4.3.8. По длинной наклонной плоскости стекает широкий поток воды. На протяжении l по течению глубина потока уменьшается вдвое. На протяжении какого пути глубина потока уменьшится в четыре раза? 4.3.9. Плита массы m удерживается на месте в горизонтальном положении N струями жидкости плотности ρ, бьющими вертикально вверх. Площадь каж- дого отверстия S. Скорость жидкости на выходе из отверстий v. На какой высоте над отверстиями удерживается плита, если, достигнув плиты, жидкость разле- тается от нее в горизонтальной плоскости? ♦ 4.3.10 ∗ . С каким ускорением будет двигаться длинное цилиндрическое тело плотности ρ и радиуса r вдоль оси вертикального высокого цилиндрического сосуда радиуса R, заполненного жидкостью плотности ρ 0 ? Чему равна разность давлений на верхнее и нижнее основания тела, если его длина равна h? ♦ 4.3.11 ∗ |