Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
Площадь каждой пластины S. На какую высоту поднимется уровень жидкости в конденсаторе, если сообщить ему заряд Q? 6.6.23. Конденсатор емкости C без диэлектрика имеет заряд q. Какое ко- личество теплоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ε? 6.6.24. Конденсатор емкости C подключен к батарее. Какое количество теп- лоты выделится в конденсаторе, если его заполнить веществом с диэлектрической проницаемостью ε? Батарея поддерживает на конденсаторе постоянную разность потенциалов V . 6.6.25 ∗ . Конденсатор емкости C подсоединен к источнику напряжения и за- полнен веществом с диэлектрической проницаемостью ε 1 . При поглощении этим веществом количества теплоты W оно переходит в новое состояние с диэлектри- ческой проницаемостью ε 2 > ε 1 . Какую разность потенциалов нужно создать на 169 обкладках конденсатора, чтобы вещество из первого состояния перешло во вто- рое? Оцените, при какой напряженности электрического поля в плоском конден- саторе произойдет фазовый переход лед — вода. Диэлектрическая проницаемость льда 3,1, воды 88. ♦ 6.6.26. Конденсатор заполнен диэлектриком и заряжен до разности потен- циалов V . Обкладки соединяют друг с другом на очень короткое время. Когда разность потенциалов уменьшилась в три раза, обкладки разъединили. После этого разность потенциалов медленно возрастает до 2/3 своего первоначального значения. Как можно объяснить этот эффект? Найдите диэлектрическую прони- цаемость вещества, заполняющего конденсатор. 6.6.27. Конденсатор (см. задачу 6.6.26), заряженный до разности потенциа- лов V , разрядили, замкнув ключ до нуля за время, в течение которого состояние поляризации диэлектрика не изменилось, а затем ключ разомкнули. а. Какая разность потенциалов установится на конденсаторе, если диэлек- трическая проницаемость среды ε? б. Найдите, на сколько изменится температура диэлектрика (ε = 81) при этом процессе. Удельная теплоемкость диэлектрика c = 4,18 Дж/(кг · К), его плотность ρ = 1·10 3 кг/м 3 , расстояние между пластинами конденсатора d = 1 мм, разность потенциалов V = 300 В. Считать, что диэлектрик не обменивается теплом с окружающей средой. 6.6.28. Диэлектрическая проницаемость аргона при температуре 0 ◦ C и дав- лении 1 атм равна 1,00056. Оцените радиус атома аргона, считая, что заряд элек- тронов распределен равномерно по объему атома, а в центре атома находится его ядро. 6.6.29. Найдите дипольный момент проводящего шарика радиуса r, поме- щенного в однородное электрическое поле напряженности E. Воспользуйтесь ре- шением задачи 6.2.14. 6.6.30. Среда составлена из проводящих шариков радиуса r. Шарики рас- пределены равномерно по всей среде. Их число в единице объема n. Найдите диэлектрическую проницаемость такой среды. 170 Глава 7 Движение заряженных частиц в электрическом поле § 7.1. Движение в постоянном электрическом поле 7.1.1. В каком случае заряженная частица в электрическом поле движется вдоль силовых линий? ♦ 7.1.2. Электрон влетает в область однородного электрического поля напря- женности 200 В/м со скоростью 10 7 м/с. Скорость направлена вдоль электриче- ского поля. В течение какого времени электрон будет находиться в области этого поля? Определите, на каком расстоянии от места входа в поле электрон выйдет из него, если он влетает под углом 45 ◦ к направлению поля. 7.1.3. Частица, заряд которой q, а масса m, пролетает область однородного электрического поля протяженности d за время t. Скорость v частицы на входе в поле направлена вдоль поля. Определите напряженность электрического поля. ♦ 7.1.4. Частица массы m с зарядом q > 0 влетает в плоский конденсатор, об- кладками которого являются металлические сетки. Напряженность поля в кон- денсаторе E, расстояние между сетками d. Начальная скорость v частицы состав- ляет угол α с плоскостью первой сетки. С какой скоростью и под каким углом к плоскости второй сетки вылетит частица из конденсатора? 7.1.5. Протон и α-частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно пластинам. Во сколько раз отклонение прото- на полем конденсатора от прямолинейной траектории будет больше отклонения α-частицы? ♦ 7.1.6. Частицы массы m с зарядом q влетают в плоский конденсатор дли- ны l под углом α к плоскости пластин, а вылетают под углом β. Определите первоначальную кинетическую энергию частиц, если напряженность поля внут- ри конденсатора E. 171 ♦ 7.1.7. Пучок электронов ∗) входит со скоростью v в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Напряжение на конденсаторе V , длина пластин в направлении движения пучка l. Сколько электронов попадает на пластину кон- денсатора в единицу времени, если на входе в конденсатор пучок равномерно заполняет все расстояние между пластинами d и имеет ширину b в направлении, параллельном пластинам? Число электронов в единице объема пучка n. 7.1.8. Пылинка массы 10 −12 кг падает между вертикальными пластинами плоского конденсатора на одинаковом расстоянии от них. Из-за сопротивления воздуха скорость пылинки постоянна и равна 1 мм/с. Конденсатор подключают к источнику напряжения 490 В, и через 10 с пылинка достигает одной из пластин. Определите заряд пылинки. Расстояние между пластинами конденсатора 0,1 м. Силу сопротивления считать пропорциональной скорости пылинки. ♦ 7.1.9. На рисунке изображена схема выделения из пучка частиц отрицатель- ных ионов водорода. Сетки 1 и 4 заземлены. На трубку с сетками 2, 3 подан отрицательный потенциал. Сетка 2 вытягивает из водородной плазмы, которая находится за сеткой 1, протоны. В трубку напускается газ. Протоны, проходя сквозь газ, частично превращаются в нейтральные атомы водорода H 0 , частич- но — в ионы H − . Определите, под каким углом к оси трубки будут двигаться ионы H − за сеткой 4, если угол между плоскостями сеток 3, 4 и осью трубки равен α. ♦ 7.1.10 ∗ . Электрон, движущийся со скоростью v 1 , переходит из области поля с потенциалом ϕ 1 в область с потенциалом ϕ 2 . Под каким углом к границе раздела областей будет двигаться электрон, если он подлетел к ней под углом α? 7.1.11. Оцените, при какой разности потенциалов между плоскими электро- дами зажигается газовая лампа, если энергия ионизации атомов газа 3·10 −16 Дж. Средняя длина пробега электронов в газе 1 мм, расстояние между пластина- ми 1 см. ∗) Если в задаче не требуется числового ответа, обозначайте массу электрона m e , а его заряд −e. 172 ♦ 7.1.12 ∗ . Определите, какова должна быть ускоряющая разность потенциа- лов V , чтобы электроны пошли по пути, указанному на рисунке. Радиусы пластин цилиндрического конденсатора R 1 и R 2 . Разность потенциалов между пластина- ми V 0 ♦ 7.1.13. Электрон, двигаясь прямолинейно, попадает в электрическое поле, потенциал которого имеет вид, показанный на рисунке. В точке B электрон вы- летает из поля. Изменится ли скорость частицы в точке B и время пролета рас- стояния AB, если вместо электрона полетит позитрон? ♦ 7.1.14 ∗ . Между двумя закрепленными зарядами в точке A отпускают части- цу с зарядом q. Расстояние AB эта частица проходит за время t. За какое время пройдет это же расстояние частица с зарядом 3q, если ее отпустить в точке A? Массы частиц одинаковы. ♦ 7.1.15. Начальная скорость ионов в эмиттере (1) равна нулю, а электриче- ское поле между эмиттером и коллектором (2) постоянно. Покажите, что тра- ектория ионов не зависит от их массы. Как относятся времена пролета разных ионов по одинаковой траектории, если заряд ионов одинаков, а отношение их масс равно n? 7.1.16. Две сферы радиуса R имеют одинаковый заряд Q, распределенный равномерно по ее поверхности. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он достиг второй сферы? Рас- стояние между центрами сфер l. 7.1.17 ∗ . В тонкостенной непроводящей равномерно заряженной сфере мас- сы M и радиуса R имеются два небольших диаметрально противоположных от- верстия. Заряд сферы Q. В начальный момент сфера покоится. По прямой, соеди- няющей отверстия, из бесконечности движется со скоростью v частица массы m с зарядом q, одноименным с Q. Найдите время, в течение которого частица будет находиться внутри сферы. 7.1.18. В однородном электрическом поле напряженности E гантель совер- шает колебания так, что в момент, когда она расположена поперек поля, скоро- сти шариков гантели равны нулю. Определите скорость шариков в момент, когда гантель расположена вдоль поля. Масса шариков m, заряд ±q, расстояние между центрами l. 7.1.19. Найдите период малых колебаний гантели длины l с шариками мас- сы m, расположенной вдоль однородного электрического поля напряженностью E. Заряд шариков гантели ±q. 173 7.1.20. Найдите период малых колебаний маятника, состоящего из шарика массы m, имеющего заряд q и подвешенного на нити длины l, если маятник поме- стить в электрическое поле напряженности E, направленное вдоль поля тяжести и под углом π/2 к направлению поля тяжести. 7.1.21. Тело массы m, заряд которого q, находится между двумя закреп- ленными зарядами Q, Qq > 0. Расстояние от тела до каждого из этих зарядов l. Определите частоту малых колебаний тела вдоль линии, соединяющей заряды Q. ♦ 7.1.22 ∗ . Найдите частоту малых колебаний математического маятника от- носительно его нижнего положения равновесия, если непосредственно под равно- весным положением шарика на расстоянии h от него закреплен заряд Q. Длина нити l, масса шарика m, заряд q. ♦ 7.1.23 ∗ . Найдите период малых колебаний тела массы m, заряд которого q, внутри гладкой сферы радиуса R, если в верхней точке сферы закреплен заряд Q. ♦ 7.1.24 ∗ . Электроны, обладающие на бесконечности скоростью v, падают на металлический изолированный шар радиуса R. На сколько повысится темпера- тура шара, если его теплоемкость равна C? ♦ 7.1.25 ∗ . Одна из пластин плоского конденсатора испускает электроны с энер- гией K под углом α к плоскости пластины (угловой разброс электронов ∆α мал). Электроны разворачиваются электрическим полем конденсатора и снова попада- ют на пластину. Каким должен быть угол α, чтобы участок, на который попа- дают электроны, был минимальным? Оцените размер этого участка. 174 ♦ 7.1.26. Электрон, ускоренный разностью потенциалов V 0 , пролетает между пластинами плоского конденсатора и затем попадает на экран. Расстояние между пластинами d много меньше длины пластин l, а расстояние между конденсатором и экраном L много больше l. При разности потенциалов на пластинах конденсато- ра V V 0 отклонение электрона x на экране пропорционально произведению LV и обратно пропорционально V 0 : x ≈ k(V /V 0 )L. Определите коэффициент k. ♦ 7.1.27. а. Электрон влетает в осесимметричное электрическое поле, создан- ное неподвижными зарядами, и движется первоначально параллельно оси поля на расстоянии r от нее. Скорость электрона v. Если скорость электрона и рассто- яние от него до оси меняются при движении в поле незначительно, то импульс, приобретенный электроном, можно оценить по формуле p ⊥ = eq/(2πε 0 vr), где q — суммарный электрический заряд внутри цилиндрической области радиуса r. Выведите, используя теорему Гаусса, эту формулу. б. Определите поперечный импульс, приобретенный зарядом q 1 , который про- летел мимо заряда q 2 . Минимальное расстояние между зарядами r, скорость за- ряда q 1 вначале была равна v и менялась незначительно. в. Оцените минимальное расстояние от ядра атома азота, на котором про- летал ускоренный разностью потенциалов 100 кВ электрон, если он отклонился ядром на угол 10 −3 рад. ♦ 7.1.28 ∗ . Через щель, на которую подана разность потенциалов V , пролета- ют электроны. Емкость единицы длины щели C. При малых значениях V угол отклонения электронов полем щели пропорционален произведению C на V и об- ратно пропорционален V 0 (eV 0 — начальная энергия электронов): α ≈ kCV /V 0 Определите коэффициент k. § 7.2. Фокусировка заряженных частиц 7.2.1. Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциа- лов V 0 , фокусируется на детали в случае, когда на электронную линзу подан потенциал V . Как нужно изменить потенциал линзы в случае, если энергия элек- тронов в пучке увеличилась в два раза? ♦ 7.2.2. Электронный пучок фокусируется положительным объемным зарядом прямого ионного пучка с круглым сечением. На каком расстоянии от входа в ионный пучок фокусируются электроны, если их скорость на входе v, а плотность заряда и длина ионного пучка ρ и l? 175 7.2.3. Во сколько раз изменится фокусное расстояние длиннофокусной тон- кой одиночной линзы, если: а) энергию фокусируемых частиц увеличить в k раз? б) напряжение на линзе увеличить в k раз? При расчете тонких одиночных линз изменением траектории частиц в области линзы, связанным с действием на ча- стицы поля линзы, пренебречь. ♦ 7.2.4. Выведите формулу длиннофокусной тонкой линзы 1 a + 1 b + 1 f , где f — фокусное расстояние, a — расстояние от источника электронов до линзы, b — расстояние от места, где фокусируются электроны, до линзы. ♦ 7.2.5. На каком расстоянии от оси линзы пучок электронов, исходящий из точки A с координатами −x 0 и y 0 , фокусируется длиннофокусной линзой с фо- кусным расстоянием f , расположенной в начале координат? y 0 x 0 , f . ♦ 7.2.6. Для электронов, испускаемых одной обкладкой конденсаторов, круглое отверстие во второй обкладке является одиночной линзой, если радиус отверстия много меньше расстояния между обкладками d. а. Зависит ли фокусное расстояние этой линзы от разности потенциалов меж- ду обкладками? б ∗ . Определите фокусное расстояние этой линзы, используя формулу, приве- денную в задаче 7.1.27а. Начальной скоростью электронов пренебречь. ♦ 7.2.7 ∗ . Параллельный пучок протонов, ускоренных разностью потенциа- лов V 0 , летит вдоль оси двух круглых небольших соосных отверстий в обклад- ках конденсатора. На каком расстоянии от второй обкладки сфокусируется этот пучок, если потенциал второй обкладки равен V ? Первая обкладка заземлена. Расстояние между обкладками d. ♦ 7.2.8 ∗ . Сложная линза состоит из трех параллельных металлических пла- стин, расположенных на расстоянии d друг от друга, в которых сделаны неболь- шие круглые отверстия, имеющую общую ось. Крайние пластины заземлены, 176 на центральную пластину подан потенциал V . Определите фокусное расстояние этой линзы для электронов, ускоренных потенциалом V 0 V . 7.2.9. Тонкий параллельный пучок заряженных частиц, ускоренных разно- стью потенциалов V 0 , проходит через центр равномерно заряженной сферической полости. На каком расстоянии сфокусируется этот пучок, если потенциал в цен- тре сферы V V 0 ? ♦ 7.2.10. Где сфокусируется тонкий параллельный пучок электронов, ускорен- ных разностью потенциалов V 0 , электрическим полем, созданным двумя концен- трическими сферами радиуса R и R − ∆, ∆ R? Внешняя сфера заземлена, потенциал внутренней сферы V V 0 , пучок проходит через центр сфер. 7.2.11 ∗ . Решите задачу 7.2.10 в случае, когда пучок электронов, испускае- мых из точки, расположенной на расстоянии L R от центра сфер, составляет малый угол с нормалью к ее поверхности. 7.2.12. Один электрод плоского конденсатора является эмиттером электро- нов, другой состоит из параллельных проволок, промежутки между которыми существенно меньше расстояния d между электродами. Разность потенциалов между электродами V . Определите разброс электронов, прошедших второй элек- трод, по «поперечной» энергии, если промежуток между проволоками a, а их толщина b. Начальной скоростью электронов пренебречь. 7.2.13. Определите разность потенциалов на обкладках конденсатора, если ленточный пучок протонов, перпендикулярный обкладкам и проше- дший две узкие параллельные щели, сфокусиро- вался на расстоянии l от второй обкладки. Про- тоны были ускорены разностью потенциалов V 0 Расстояние между обкладками конденсатора d. Первая обкладка заземлена, l d. ♦ 7.2.14 ∗ . Докажите, что равномерно заряжен- ные нити сетки с квадратными ячейками фокуси- 12 177 руют параллельный пучок электронов, прошедший через ячейку в точку, если толщина нитей много меньше размеров ячейки и пучок падает перпендикулярно плоскости сетки. Чему равно фокусное расстояние такой ячейки, если электри- ческое поле вдали от плоскости сетки однородно и справа равно E 1 , слева E 2 , а энергия электронов равна eV ? § 7.3. Движение в переменном электрическом поле 7.3.1. Одна из пластин плоского конденсатора (катод) является источни- ком электронов. Электрическое поле напряженности E между пластинами через равные короткие промежутки времени τ меняет знак. За какое время электрон долетит до противоположной пластины (анода)? Расстояние между катодом и анодом l. ♦ 7.3.2. На рисунке изображены электроды трехэлектродной плоской лампы. Электроны вылетают из катода 1 под действием поля плоской сетки 2, на которой поддерживается постоянное напряжение V . Напряжение ∆V между сетками 2 и 3 через равные промежутки времени τ меняет знак на противоположный. Рассто- яние между сетками 2 и 3 равно l. Определите, какой скоростью будут обладать электроны за второй сеткой, если время τ : а) много меньше; б) много больше времени пролета электронами межсеточного промежутка. 7.3.3. В электронном генераторе используется триод, в котором расстояние между катодом и анодом равно 1 мм. Оцените максимальную частоту колебаний, которую можно получить, используя этот генератор, если напряжение между анодом и катодом 200 В. 7.3.4. а. Вычислите чувствительность электронно-лучевой трубки осцилло- графа к напряжению, т. е. смещение пятна на экране, вызванное напряжением 1 В на управляющих пластинах. Длина пластин l, расстояние между ними d l, рас- стояние от конца пластин до экрана L l. Ускоряющее напряжение V . б. Определите чувствительность электронно-лучевой трубки, если V = 10 кВ, L = 30 см, l = 3 см, d = 5 мм. 7.3.5. В осциллографе на горизонтальную пару пластин подано напряжение V 1 = V 0 sin ωt, а на вертикальную V 2 = V 0 cos ωt. Чувствительность осциллографа (в сантиметрах на вольт) 5/V 0 |