Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
C, пользуясь приведенной таблицей. Чем объяснить получившийся результат? Металлы κ, Вт/(м·K) λ, 10 7 См/м Металлы κ, Вт/(м · K) λ, 10 7 См/м Медь 385 6,0 Железо 60 0,9 Цинк 111 1,7 Свинец 34 0,5 ♦ 8.2.7. Определите напряженность электрического поля и разность потенци- алов между точками A и B проводника, если ток в нем идет под углом α к на- правлению прямой AB. Найдите разность потенциалов между точками A и B, ес- ли линия тока, соединяющая эти точки, является полуокружностью. Расстояние от A до B равно l. Плотность тока в проводнике j, его удельная проводимость λ. 8.2.8. Плотность тока j перпендикулярна плоскости раздела двух сред с удельной проводимостью λ 1 и λ 2 . Найдите поверхностную плотность заряда на этой плоскости. ♦ 8.2.9. На плоскость раздела двух сред, удельная проводимость которых λ 1 и λ 2 , из первой среды идут линии тока, образуя угол α 1 с нормалью к плоско- сти. Какой угол образуют с этой нормалью линии тока во второй среде? Чему равна поверхностная плотность заряда на границе раздела сред? В первой среде плотность тока j. 8.2.10. Удельная проводимость среды зависит от координаты x: λ = λ 0 a/(a+ x). Как зависит от x плотность заряда при стационарной плотности тока j, направленной вдоль оси x? 8.2.11. В центре проводящего шара с удельным сопротивлением ρ оказался избыточный заряд Q 0 а. Как зависит от Q 0 ток, текущий из центра шара к его поверхности? б ∗ . Как будет меняться заряд в центре шара со временем? ♦ 8.2.12. Пластины заряженного конден- сатора соединены тонким изогнутым провод- ником. Как направлен ток между точками A и B? Как это согласовать с направлением по- ля в конденсаторе? 187 8.2.13. Цилиндр из проводящего вещества с удельной проводимостью λ име- ет длину l и поперечное сечение S. Разность потенциалов между его торцами равна V . Определите ток через сечение цилиндра. Каково сопротивление этого цилиндра? ♦ 8.2.14. Из металлов с удельной проводимостью λ 1 и λ 2 изготовили длинные стержни и соединили их так, как показано на рисунке. На крайних торцах под- держивается разность потенциалов V . Определите сопротивление соединенных стержней и токи в них. ♦ 8.2.15. Экспериментатор хочет приготовить слой алюминия толщины 500 нм, напыляя его в вакууме на чистую поверхность стеклянной пластинки. Сначала он наносит два довольно толстых слоя алюминия, оставляя в центре пластинки полоску чистой поверхности, закрытую маской. Потом, используя дру- гую маску, он напыляет на стекло в поперечном направлении полоску алюминия той же ширины, что и чистая полоска. При этом толстые слои используются как выводы для измерения сопротивления напыляемого слоя. При каком сопротивле- нии слоя напыление следует остановить, если удельное сопротивление алюминия при комнатной температуре равно 2,83 · 10 −8 Ом · м? 8.2.16 ∗ . Длинная цилиндрическая трубка из изолятора покрыта тонким про- водящим слоем. Сопротивление между торцами трубки R 0 . Проводящий слой прорезают тонким резцом по винтовой линии, идущей под углом α к образующей трубке. После этого подсоединяют контакты и наносят изолирующее покрытие. Определите сопротивление получившегося резистора. 8.2.17 ∗ . В среде с малой удельной проводимостью λ находится металличе- ский шар радиуса r. Определите ток, стекающий с шара, если его потенциал равен V . Если такой шар подсоединить изолированным проводом к громоотводу, то каким будет сопротивление заземления? 8.2.18 ∗ . Два электрода — металлические шары диаметра 30 см — висят в море на изолированных кабелях на глубине 60 м. Расстояние между шарами 300 м. Удельная проводимость морской воды 4 См/м. Оцените сопротивление воды между шарами. 8.2.19 ∗ . На медные электроды, погруженные в большой сосуд с подсолен- ной водой, подается постоянное напряжение. С помощью зонда, подсоединенно- го к высокоомному вольтметру, можно получить «карту» эквипотенциалей. Как по данным этой карты определить направление линий тока и плотность тока? Почему электрическое поле в воде такое же, как и для электродов в вакууме при том же напряжении между ними? ♦ 8.2.20. Радиусы обкладок сферического конденсатора соответственно r 1 и r 2 , заряд ±q. Найдите сопротивление и ток утечки в этом конденсаторе, если между обкладками находится вещество с диэлектрической проницаемостью ε и удельной проводимостью λ. 188 8.2.21 ∗ . После заполнения конденсатора средой с удельной проводимостью λ и диэлектрической проницаемостью ε сопротивление между его зажимами ока- залось равным R. Найдите емкость конденсатора. Зависит ли результат от кон- струкции конденсатора? 8.2.22 ∗ . Где на нижней и верхней поверхностях круглой проводящей пласти- ны нужно расположить электрические контакты, чтобы сопротивление между ними было минимальным? 8.2.23. Почему при рассмотрении электрического тока в веществе кинетиче- скую энергию носителей тока, связанную с их упорядоченным движением, не учи- тывают? Оцените кинетическую энергию одного электрона (в электрон-вольтах) при токе I = 100 А в проволочке из натрия сечения S = 1 мм 2 . Число электронов проводимости в единице объема проволочки n e = 2,5 · 10 22 см −3 ♦ 8.2.24 ∗ . Лента состоит из узких проводящих полосок с еще более узкими изолирующими зазорами. Она соприкасается с одной пластиной конденсатора и с небольшим контактом, между которыми включено сопротивление R. До этого лента не была заряжена, а заряд пластин конденсатора был ±q. Длина пластин l, а их ширина совпадает с шириной ленты. Ленту вытягивают из конденсатора с силой F . Найдите ток через сопротивление и установившуюся скорость ленты. Расстояние от края пластин конденсатора до контакта много больше расстояния между ними и много меньше их длины. ♦ 8.2.25. В генераторе Ван де Граафа носители заряда, «приклеившиеся» к непроводящей ленте, переносятся против поля. Внутри шара заряды снимаются с ленты сильным полем, локализованным на контактной щетке. Необходимую для движения ленты энергию может поставлять электродвигатель, бензиновый мотор или рука человека. Полный заряд на ленте q, ее длина l, сопротивление между шаром и землей R. Определите установившийся потенциал шара в двух случаях: а) лента движется с постоянной скоростью v; б) ленту двигают, прикладывая к ней постоянную силу F . ♦ 8.2.26. Электрическая «атомная» батарея представляет собой металличе- скую сферу с изолированным от нее кусочком β-радиоактивного вещества. Чис- ло атомов, распадающихся в единицу времени, равно ν. Энергия вылетевших 189 электронов W . Определите напряжение на разомкнутых клеммах батареи. Какой наибольший ток может давать эта батарея? При каком сопротивлении нагрузки батарею можно считать генератором тока? ♦ 8.2.27 ∗ . Источник тока состоит из тонкой пластины радиоактивного веще- ства, окруженной проводящим корпусом. Ширина зазора между корпусом и пла- стиной много меньше линейных размеров пластины. Как зависит ток от напряже- ния между корпусом и радиоактивной пластиной, если ток при положительном напряжении равен I 0 ? Энергия вылетающих из пластин электронов eV 0 . Элек- троны вылетают во все стороны равномерно. ♦ 8.2.28. Не углубляясь в вопрос о происхождении сторонних сил, построй- те график потенциала разомкнутой и замкнутой цепи с сопротивлением R. На участке цепи длины l сторонняя сила, отнесенная к единице заряда, равна E с , вне этого участка — нулю. Какую энергию на единицу заряда передает источ- ник сторонних сил на участке l? ♦ 8.2.29. В химическом элементе идут реакции: Ag + Cl − = AgCl + e на отрицательном серебряном электроде и (1/2)Cl 2 +e = Cl − на положительном платиновом элек- троде (платина в реакцию не вступает). При очень ма- лом токе на каждый моль образующегося AgCl внутри элемента выделяется 3280 кал тепла. При протекании реакции Ag + (1/2)Cl 2 = AgCl на каждый моль обра- зующегося AgCl выделяется 29 380 кал. Найдите ЭДС элемента, т. е. энергию, сообщаемую элементом едини- це прошедшего заряда (1 кал ≈ 2,6 · 10 19 эВ). 8.2.30. При растворении цинка в H 2 SO 4 выделяется 4,40 · 10 5 Дж/моль тепла, на выделение меди из CuSO 4 требуется затратить энергии 2,34 · 10 5 Дж/моль. Каза- лось бы, ЭДС элемента Даниэля можно рассчитать, при- равнивая разность этих значений энергий протекшему заряду, умноженному на ЭДС. Вычислите ЭДС таким образом с точностью до 1 %. Однако истинное значение ЭДС оказывается б´ольшим (при нормальной темпера- туре оно равно 1,09 В.). В чем дело? Откуда берется энергия? 8.2.31. Элемент Даниэля дает ток 0,1 А в течение 8 ч. Найдите расход цинка и медного купороса CuSO 4 · 5H 2 O (в молях). 8.2.32 ∗ . При разрядке конденсатора, заряд которого q, через электролити- ческую ванну с подкисленной водой выделяется масса m гремучего газа. Масса выделяющегося при электролизе вещества зависит только от прошедшего заря- да. Значит, разрядив конденсатор через k последовательно соединенных ванн, получим массу km гремучего газа. Сжигая этот газ, получим много энергии. 190 При достаточно большом k эта энергия превзойдет первоначальную энергию за- ряженного конденсатора! Следовательно, в чем-то наши рассуждения ошибочны. Найдите эту ошибку. 8.2.33. Полная плотность тока в электролитах является суммой плотности тока положительных ионов и плотности тока отрицательных ионов: j = e + n + v + + e − n − v − , где e ± , v ± и n ± — заряд, скорость положительных и отрицательных ионов и их число в единице объема. Почему масса вещества, выделившегося на катоде, пропорциональна полному току, а не току только положительных ионов? 8.2.34 ∗ . Противо-ЭДС одной электролитической ванны E. Имеется конден- сатор, заряженный до напряжения V E. Сколько одинаковых ванн нужно со- единить последовательно, чтобы, разрядив конденсатор, выделить на них макси- мальную массу металла из раствора соли? § 8.3. Электрические цепи ♦ 8.3.1. Шкала вольтметра имеет 150 делений. Вольтметр имеет четыре клеммы, рассчитанные на измерение напряжения до 3, 15 и 150 В. Стрелка прибора отклоняется на 50 делений при прохо- ждении через него тока 1 мА.Каково внутрен- нее сопротивление прибора при включении его на различные диапазоны? 8.3.2. Какой шунт нужно присоединить к гальванометру, имеющему шкалу на 100 деле- ний с ценой деления 1 мкА и внутреннее сопро- тивление 180 Ом, чтобы им можно было изме- рять ток до 1 мА? 8.3.3. Вольтметр со шкалой на 100 В имеет внутренее сопротивление 10 кОм. Какую наибольшую разность потенциалов можно измерить этим при- бором, если присоединить к нему добавочное сопротивление 90 кОм? ♦ 8.3.4. Как будут реагировать приборы на перемещение движка реостатов в направлении стрелок на схемах а–в и на замыкание ключей в схеме г–е? Внут- реннее сопротивление генератора очень мало ∗) 8.3.5. а. Требуется определить падение напряжения на сопротивлении R. Для этого к концам сопротивления подключают вольтметр. Какая относитель- ная погрешность будет допущена при измерениях, если показания вольтметра ∗) Кружком со стрелкой на схемах обозначен генератор. Стрелка указывает направление тока генератора. 191 принять за то, которое имело место до его подключения? Сила тока в цепи под- держивается постоянной. Сопротивление вольтметра r. б. Для измерения тока в цепи с сопротивлением R включен амперметр. Какая относительная ошибка будет допущена, если считать, что включение ампермет- ра не изменило тока? Напряжение на концах цепи поддерживается постоянным. Сопротивление амперметра r. ♦ 8.3.6. Вольтметр включен параллельно со- противлению 4 кОм и показывает 36 В. Напряже- ние на клеммах источника тока поддерживается постоянным и равным 100 В. Найдите отношение тока, идущего через вольтметр, к току, идуще- му через сопротивление 6 кОм. Что покажет этот вольтметр, если заменить сопротивления соответ- ственно на 4 и 6 Ом? 8.3.7. Для нормальной работы прибора необходимо напряжение 20 В, а на- пряжение в сети 120 В. Экспериментатор подключил к цепи делитель напряжения с сопротивлением плеч 5 и 1 кОм и до подключения прибора высокоомным вольт- метром проверил, что на втором сопротивлении напряжение действительно 20 В. Однако подключенный прибор не заработал. Экспериментатор сообразил в чем дело и добился нормальной работы прибора, подключив его к делителю напряже- ния с сопротивлением плеч 250 и 100 Ом. Найдите сопротивление прибора, если и в этом случае он подключен ко второму сопротивлению делителя. 8.3.8. Переключая вольтметр на измерение вдвое большего диапазона напря- жения (со 100 на 200 В), ожидали отклонения стрелки на вдвое меньшее число делений. Однако этого не произошло, хотя в остальной части цепи ничего не изменяли. Большее или меньшее напряжение покажет вольтметр после переклю- чения? ♦ 8.3.9. Чему равна разность потенциалов между клеммами в схеме на рисун- ке? Что покажет амперметр, если его подключить к клеммам ∗) ? ♦ 8.3.10. В мосте Уитстона сопротивления подбирают таким образом, что чув- ствительный гальванометр, подключенный к точкам A и B, показывает нуль. Считая сопротивления R 1 , R 2 , r известными, определите сопротивление r x . Если поменять местами батарею и гальванометр, то снова получится мостовая схема. Сохраняется ли баланс в новой схеме? ♦ 8.3.11. Одни и те же приборы при присоединении их по трем разным схе- мам дают следующие показания: V 1 , I 1 ; V 2 , I 2 ; V 3 , I 3 . Найдите сопротивление вольтметра, резистора и амперметра. Напряжение, подаваемое на эти схемы, не обязательно одинаково. ∗) Сопротивления на рисунках здесь и далее приведены в омах без указания единиц на схемах. Если характеристики измерительных приборов не упомянуты, то сопротивление ампер- метра считайте много меньшим сопротивлений схемы, а сопротивление вольтметра — много б´ ольшим. 192 ♦ 8.3.12 ∗ . Участок схемы состоит из неизвестных сопротивлений. Как, имея амперметры, вольтметр, батарею и соединительные провода, измерить сопро- тивление R, не разрывая ни одного контакта в схеме? ♦ 8.3.13. Чему равно сопротивление между клеммами в схеме, изображенной на рисунке? ♦ 8.3.14. а. Каким должно быть сопротивление r, чтобы входное сопротивле- ние между клеммами было равно тоже r? ♦ б ∗ . Какое сопротивление r нужно присоединить к клеммам C и D, чтобы сопротивление всей цепочки между клеммами A и B не зависело от числа эле- ментарных ячеек? в. Полный ток в цепи равен I. Определите токи в n-й ячейке, если цепочка сопротивлений бесконечна. Чему равно сопротивление такой цепочки? ♦ 8.3.15 ∗ . Аттенюатор представляет собой делитель напряжения, схема ко- торого представлена на рисунке. Каковы должны быть сопротивления R 1 и R 2 , чтобы на каждом следующем сопротивлении R 1 напряжение было в десять раз меньше, чем на предыдущем? 13 193 ♦ 8.3.16. В сопротивлении R на единицу прошедшего заряда рассеивается энергия IR независимо от направления тока I. Генератор на единицу прошедшего через него заряда передает в цепь энергию (ЭДС) E, если направление тока совпа- дает с направлением напряженности сторонних сил (сторонней силы, отнесенной к единице заряда), и забирает энергию E, если их направления противоположны. При прохождении тока через генератор на его внутреннем сопротивлении тоже происходит рассеяние энергии. Используя энергетические соображения, опреде- лите разность потенциалов на участках цепей, приведенных на рисунке. 8.3.17. Батарея, замкнутая на сопротивлении 10 Ом, дает ток 3 А; замкну- тая на сопротивление 20 Ом, она дает ток 1,6 А. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление батареи. ♦ 8.3.18. К ящику с двумя клеммами подключили амперметр, сопротивление 1 Ом и источник постоянного напряжения 5 В. Амперметр показал ток 1 А. Когда включили другой источник напряжения 20 В, амперметр показал ток 2А. Что находится внутри ящика? 8.3.19. Идеальным генератором напряжения называется такой генератор, напряжение на котором при любой нагрузке одинаково. Идеальным генератором тока называется генератор, создающий одинаковый ток при любой нагрузке. Ка- кой смысл имеет утверждение: «У идеального генератора тока бесконечное со- противление, а у идеального генератора напряжение нулевое»? Реальный генера- тор напряжения теряет энергию на внутреннем сопротивлении, он эквивалентен идеальному генератору напряжения с последовательно присоединенным сопро- тивлением. Реальный генератор тока имеет конечное сопротивление утечки, он эквивалентен идеальному генератору тока с параллельно присоединенным сопро- тивлением (шунтом). Изобразите схему генератора тока с внутренним шунтом, эквивалентного генератору с напряжением 120 В и внутренним сопротивлением 20 Ом ∗) 8.3.20. Генератор с одной нагрузкой дает ток 4 А при напряжении 120 В, а с другой нагрузкой — ток 2 А при напряжении 160 В. Найдите параметры эквивалентных схем генератора тока и генератора напряжения. 8.3.21. Через аккумулятор под конец его зарядки течет ток 4 А. При этом напряжение на его клеммах 12,6 В. При разрядке того же аккумулятора током 6 А напряжение составляет 11,1 В. Найдите ток короткого замыкания. 8.3.22. При исследовании зависимости тока фотоэлемента от его освещен- ности используют микроамперметр, шкалы которого для измерений не хватает. Чтобы увеличить вдвое пределы измерения токов, к микроамперметру подсоеди- няют соответствующий шунт. После этого при том же освещении фотоэлемента изменилось не только отклонение стрелки прибора, но и сама сила тока. Объяс- ните почему, и подтвердите свое объяснение расчетом. Фотоэлемент при посто- ∗) Напряжением генератора называют разность потенциалов на разомкнутом выходе генера- тора. 194 янном освещении можно считать генератором напряжения или генератором тока с фиксированными параметрами. ♦ 8.3.23. Сопротивления R 1 , R 2 , R 3 в схеме, изображенной на рисунке, и ток I 3 , протекающий через сопротивление R 3 , известны. Определите токи через сопро- тивление R 1 и R 2 и напряжение на батарее. ♦ 8.3.24. В схеме, изображенной на рисунке, указаны сопротивления и ток через одно из сопротивлений. Определите токи через все сопротивления и напря- жение генератора. ♦ 8.3.25. Используя симметрию схем, решите следующие задачи. а. Ребра проволочного куба имеют одинаковое сопротивление r. Ток в одном ребре i. Определите разность потенциалов между узлами A и B, сопротивление между этими узлами и полный ток от A к B. б. Определите токи в каждой стороне ячейки, полный ток от узла A к узлу B и полное сопротивление между этими узлами. Сторона каждой ячейки имеет со- противление r, и ток, протекающий по одной из сторон, равен i. в. Каждая сторона квадрата имеет сопротивление r. Определите сопротив- ление между узлами A и B. Чему равно сопротивление между узлами C и D? ♦ 8.3.26. При решении задач с несколькими источниками ЭДС можно снача- ла рассчитать токи, создаваемые каждым источником ЭДС, потом найти полный ток как сумму этих токов. Этот способ вполне законен, если при расчетах прини- мать во внимание внутреннее сопротивление источников, и называется методом суперпозиции. Определите, используя этот метод, ток между узлами A и B. ♦ 8.3.27 ∗ . а. Если в бесконечной схеме, состоящей из квадратных ячеек, через один узел A подводят ток i, а через соседний узел B отводят ток i, то какой ток идет по сопротивлению, соединяющему узлы A и B? Каково эквивалентное сопротивление цепи между этими узлами, если сопротивление стороны ячейки r? ♦ |