Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
, если однородное магнитное поле перпендикулярно их скоро- сти? 10.1.5. Через какое время после первой встречи произойдет встреча двух за- ряженных частиц, движущихся перпендикулярно магнитному полю индукции B? Заряд частиц q, масса m. Взаимодействием пренебречь. 10.1.6. С помощью камеры Вильсона, помещенной в магнитное поле индук- ции B, наблюдают упругое рассеяние α-частиц на ядрах дейтерия. Найдите на- чальную энергию α-частицы, если радиус кривизны начальных участков траек- торий ядра и α-частицы после расссеяния оказался равным R. Обе траектории лежат в плоскости, перпендикулярной индукции магнитного поля. ♦ 10.1.7. Электрон влетает в область магнитного поля ширины l. Скорость электрона v перпендикулярна как индукции поля B, так и границам области. Под каким углом к границе области электрон вылетит из магнитного поля? ♦ 10.1.8. На рисунке изображен простейший масс-спектрометр, индукция маг- нитного поля в котором 0,1 Тл. В ионизаторе A образуются ионы, которые уско- ряются напряжением 10 кВ. После поворота в магнитном поле ионы попадают на фотопластинку и вызывают ее почернение. На каком расстоянии от щели будут находиться на фотопластинке полосы ионов 1 H + , 2 H + , 3 H + , 4 He + ? Какой должна быть ширина щели, чтобы полосы ионов 16 O + и 15 N + разделились? 14 ∗ 213 ♦ 10.1.9. В устройстве для определения изотопного состава ионы калия 39 K + и 41 K + сначала ускоряются в электрическом поле, а затем попадают в однород- ное магнитное поле индукции B, перпендикулярное направлению их движения. В процессе опыта из-за несовершенства аппаратуры ускоряющее напряжение ме- няется около своего среднего значения на величину ±∆V . С какой относительной погрешностью ∆V /V 0 нужно поддерживать постоянным значение ускоряющего напряжения, чтобы следы пучков изотопов калия на фотопластинке Φ не пере- крывались? ♦ 10.1.10 ∗ . Из точки A со скоростью v вылетают частицы, имея малый уг- ловой разброс δα, и далее движутся в однородном магнитном поле индукции B перпендикулярно ему. Определите, на каком расстоянии от точки A соберется пучок, и оцените в этом месте его поперечный размер. Масса частиц m, заряд q. 10.1.11. В однородное магнитное поле индукции B влетает под углом α к полю со скоростью v частица массы m с зарядом q. Найдите радиус и шаг винтовой линии, по которой движется частица. 10.1.12 ∗ . Вдоль однородного магнитного поля индукции B из одной точки со скоростью v вылетают электроны, имея малый угловой разброс δα. Опреде- лите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер, и оцените его. ♦ 10.1.13. а. Вакуумное устройство состоит из соосных цилиндра радиуса R и проволочки, помещенных в продольное магнитное поле индукции B. При на- гревании проволочки с ее поверхности вылетают электроны с кинетической энер- гией K; при этом во внешней цепи между цилиндром и проволочкой протекает ток I. Нарисуйте зависимость I от B. Найдите значения B, при которых ток в вакууме равен нулю. б. На рисунке изображены две зависимости I от B при различном давле- нии P 1 и P 2 остаточных газов. Какое давление больше? 10.1.14. Два электрона движутся с одинаковой по модулю скоростью v в однородном магнитном поле. В некоторый момент расстояние между ними рав- но 2R, а скорости электронов перпендикулярны магнитному полю и прямой, со- 214 единяющей электроны. При какой индукции магнитного поля расстояние между электронами останется неизменным? 10.1.15. По орбите радиуса R вокруг протона вращается электрон. Как из- менится частота обращения электрона по этой же орбите, если система будет помещена в слабое магнитное поле индукции B, направленное вдоль оси враще- ния? ♦ 10.1.16. Какое напряжение нужно приложить между обкладками цилиндри- ческого конденсатора, чтобы он «захватил на орбиту» электроны, прошедшие ускоряющую разность потенциалов V ? Конденсатор находится в однородном маг- нитном поле индукции B, направленном вдоль оси конденсатора. Расстояние меж- ду обкладками h много меньше среднего радиуса конденсатора R. ♦ 10.1.17. а. В плоском конденсаторе длины l напряженность электрического поля равна E, а индукция магнитного поля, направленного вдоль E, равна B. У входа в конденсатор имеется радиоактивный источник, испускающий электро- ны с разными скоростями. Из них формируют тонкий пучок, который проходит через конденсатор, а затем попадает на фотопластинку, расположенную на рас- стоянии L l. Какую линию-след «вычертят» электроны на фотопластинке, если отклонения их от прямолинейной траектории малы? б. Найдите линию-след электронов на фотопластинке для B = 1 Тл, E = 5 · 10 5 В/м, l = 5 см, L = 50 см. в. При большой скорости электрона его масса заметно изменяется; согласно формуле Лоренца m = m e / 1 − β 2 , где β — отношение скорости электрона к скорости света, m ε — масса покоя электрона. Решите задачу 10.1.17а с учетом эффекта изменения массы электрона. 10.1.18. Определите время ускорения протона, входящего в центр ускори- теля с кинетической энергией K, если ускоряющее напряжение на дуантах цик- лотрона V , индукция магнитного поля ускорителя B, его радиус R. Временем движения протона между дуантами ускорителя пренебречь. ♦ 10.1.19. Пластины плоского конденсатора с шириной зазора между ними d расположены перпендикулярно магнитному полю индукции B. Около катода рас- положен источник медленных электронов, вылетающих в разных направлениях 215 к пластинам. При каком напряжении на конденсаторе электроны будут фокуси- роваться на аноде? Чем определяется размер пятна? ♦ 10.1.20. Определите, какую максимальную скорость разовьет заряженное тело, скользящее по наклонной плоскости в магнитном поле индукции B и в поле тяжести. Масса и заряд тела m и q. Магнитное поле параллельно наклонной плос- кости и перпендикулярно полю тяжести. Угол наклона плоскости к горизонту α. Коэффициент трения о плоскость µ. ♦ 10.1.21. Равномерно заряженное кольцо радиуса R, линейная плотность за- ряда которого ρ, движется соосно аксиально-симметричному магнитному полю со скоростью v. Радиальная составляющая индукции магнитного поля на рассто- янии R от оси равна B R . Определите момент сил, действующих на кольцо. 10.1.22 ∗ . Докажите, что приращение момента импульса ∆M кольца в за- даче 10.1.21 пропорционально приращению потока магнитной индукции через кольцо ∆Φ: ∆M = (1/2π)Q∆Φ, где Q — электрический заряд кольца. Для до- казательства воспользуйтесь тем, что поток магнитной индукции через боковую поверхность цилиндра равен разности потоков через его торцы. 10.1.23 ∗ . Какую минимальную скорость нужно сообщить равномерно заря- женному непроводящему кольцу, расположенному соосно аксиально-симметрич- ному полю, вдоль оси этого поля, чтобы кольцо переместилось из области одно- родного магнитного поля B 1 в область однородного поля B 2 , B 2 > B 1 ? Радиус кольца R, заряд Q, масса m. ♦ 10.1.24. а. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружно- сти. Через него проводят любую другую окружность, ось OO которой направле- на вдоль магнитного поля. Покажите, что сумма M + (1/2π)eΦ, где Φ — поток магнитного поля через эту окружность, а M — момент импульса электрона от- носительно оси OO , не зависит от положения электрона. б. Покажите, что сумма M + (1/2π)eΦ не меняется в случае движения элек- трона в однородном магнитном поле по винтовой линии. 216 ♦ 10.1.25. Области I и II двух однородных однонаправленных магнитных по- лей с индукцией B 1 и B 2 имеют осесимметричный тонкий переход AA , в ко- тором магнитное поле имеет большую радиальную составляющую. Электрон в области I движется вдоль магнитного поля на расстоянии R от оси симмет- рии перехода. Какой момент импульса относительно оси симметрии приобретает электрон при переходе из области I в область II? Сохраняется ли при движении этой частицы постоянной сумма M +(1/2π)eΦ (см. обозначения в задаче 10.1.24)? ♦ 10.1.26 ∗ . Докажите, что изменение момента импульса электрона при дви- жении его от точки A до точки C в аксиально-симметричном магнитном поле относительно оси поля равно разности магнитных потоков через сечения S 1 и S 2 , умноженной на e/2π. ♦ 10.1.27 ∗ . Какая часть электронов, испущенных во все стороны радиоактив- ной пылинкой, расположенной на оси магнитной ловушки, останется внутри этой ловушки? Индукция магнитного поля внутри ловушки B 1 , вне ее B 2 > B 1 10.1.28 ∗ . Определите минимальный радиус, который может иметь пучок электронов при переходе из поля с индукцией B 1 в поле с индукцией B 2 . Оси симметрии переходного поля и пучка совпадают. Радиус пучка в поле B 1 равен R, скорость пучка в поле B 1 параллельна индукции. ♦ 10.1.29 ∗ . В сильных магнитных полях электрон движется по винтовой ли- нии, «навитой» на линию магнитного поля. Докажите, что в случае, когда радиус винтовой линии настолько мал, что поле внутри нее можно считать однородным, произведение квадрата радиуса винтовой линии на индукцию магнитного поля не меняется. 217 § 10.2. Дрейфовое движение частиц ♦ 10.2.1. Пространство разделено на две области плоскостью. В одной обла- сти создано магнитное поле индукции B 1 , в другой — индукции B 2 , причем поля однородны и параллельны друг другу. С плоскости раздела перпендикулярно ей стартует электрон со скоростью v в сторону области с индукцией поля B 1 Опишите дальнейшее движение электрона. Определите среднюю (дрейфовую) скорость перемещения электрона вдоль границы раздела магнитных полей, про- ницаемой для него. ♦ 10.2.2 ∗ . Оцените скорость дрейфа электрона поперек неоднородного маг- нитного поля, компоненты индукции которого B x = 0, B y = 0, B z = B 0 (1 + αx). Скорость электрона v, v eB 0 /(αm e ). ♦ 10.2.3. Области однородных магнитного и электрического полей разделены границей — плоскостью. Магнитное поле индукции B параллельно плоскости раздела. Электрическое поле напряженности E перпендикулярно плоскости раз- дела. В электрическом поле на расстоянии l от границы помешается частица массы m с зарядом q. Нарисуйте траекторию этой частицы. Найдите скорость дрейфа частицы вдоль проницаемой для нее границы раздела полей. 10.2.4. Взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля называ- ются скрещенными. Какую начальную скорость должна иметь заряженная части- ца в направлении, перпендикулярном обоим полям, чтобы ее движение в скрещен- ных полях оставалось прямолинейным? Напряженность электрического поля E, индукция магнитного поля B. ♦ 10.2.5. В скрещенных электрическом и магнитном полях E и B частица «дрейфует» поперек обоих полей. Чему равна дрейфовая скорость частицы? 10.2.6. Чему равна дрейфовая скорость заряженной частицы, движущейся поперек электрического и магнитного полей, если угол между E и B равен α? ♦ 10.2.7. Докажите, что заряженная частица в скрещенных электрическом и магнитном полях обращается с частотой ω = qB/m вокруг центра, который движется с дрейфовой скоростью (и поэтому скорость частицы в любой момент времени равна векторной сумме линейной скорости вращения вокруг мгновенного центра и дрейфовой скорости). ♦ 10.2.8. Плоский конденсатор помещен в однородное магнитное поле индук- ции B, параллельное пластинам. Из точки A вылетают электроны в направлении, 218 перпендикулярном магнитному полю. Напряжение, приложенное к пластинам, равно V . При каком условии электроны будут проходить через конденсатор? ♦ 10.2.9. На плоские анод и катод, расстояние между которыми d, подается высокое напряжение. Система находится в магнитном поле индукции B, парал- лельном плоскости электродов. Определите, при каком напряжении электроны достигнут анода. Найдите это напряжение, если B = 0,1 Тл, d = 2 см. ♦ 10.2.10. Электрон движется со скоростью v поперек однородного магнитного поля с индукцией B. Включается электрическое поле напряженности E, которое перпендикулярно магнитному полю и направлено под углом α к скорости элек- трона. Определите дальнейшее движение электрона. 10.2.11. Найдите скорость дрейфа частицы с зарядом q в перпендикулярных друг другу магнитном поле индукции B и поле постоянной силы F . 10.2.12. Найдите дрейфовую скорость электрона и протона в поле тяжести и магнитном поле Земли, индукция которого равна 0,7 · 10 −4 Тл. Магнитное поле перпендикулярно полю тяжести. 219 Глава 11 Электромагнитная индукция § 11.1. Движение проводников в постоянном магнитном поле. Электродвигатели 11.1.1. Между какими частями самолета возникает максимальное напряже- ние электрического поля из-за его движения в магнитном поле Земли? ♦ 11.1.2. Поперек магнитного поля индукции 0,1 Тл движется со скоростью 1 м/с прямой провод длины 0,3 м. Чему равно напряжение электрического поля между концами проводника? ♦ 11.1.3. Металлический брусок, размеры которого a×b×c (b a, c), движется со скоростью v в магнитном поле индукции B так, как показано на рисунке. Най- дите разность потенциалов между боковыми сторонами бруска и поверхностную плотность зарядов на них. 11.1.4 ∗ . Предположим, что атом можно представить как шар радиуса r с равномерно распределенным отрицательным зарядом, в центре которого нахо- дится точечное ядро с положительным зарядом Ze. Найдите, с какой скоростью может, не распадаясь, двигаться такой атом поперек магнитного поля с индук- цией B. 11.1.5 ∗ . Отрицательные ионы водорода H − влетают после ускорения их элек- трическим полем в поперечное магнитное поле индукции 40 Тл. Оцените, при какой разности потенциалов, ускоряющей эти ионы, они еще не разрушаются магнитным полем. Энергия связи внешнего электрона в отрицательном ионе во- дорода 0,72 эВ ≈ 10 −19 Дж. ♦ 11.1.6. Магнитная индукция B перпендикулярна плоскости проволочной квадратной рамки. Найдите распределение напряженности электрического поля вдоль провода рамки, если она движется поперек поля с постоянной скоростью v. ♦ 11.1.7. Индукция постоянного магнитного поля измеряется с помощью квад- ратной рамки, размеры которой a × a, вращающейся с угловой скоростью ω. Ось 220 ее вращения перпендикулярна направлению магнитного поля. Амплитуда элек- трического напряжения, снимаемого с рамки, равна V . Найдите индукцию маг- нитного поля ∗) ♦ 11.1.8. Прямоугольная рамка, размеры которой a × b, помещена в магнитное поле индукции B, причем в начальный момент времени плоскость рамки перпен- дикулярна линиям поля. Рамка вращается с угловой скоростью ω. а. Постройте график зависимости тока, текущего в рамке, от времени. Со- противление рамки R. б. Как зависит от времени момент сил, необходимый для поддержания по- стоянной скорости вращения рамки? ♦ 11.1.9. Квадратный замкнутый виток проволоки, длина стороны которого b, а сопротивление единицы длины ρ, проходит с постоянной скоростью v зазор элек- тромагнита. Магнитное поле в зазоре однородное, его индукция равна B. Считая поле вне этого зазора равным нулю, определите энергию, превратившуюся в теп- ло, для случаев, когда протяженность зазора a в направлении движения витка меньше b и больше b, а в перпендикулярном направлении — больше b. ♦ 11.1.10 ∗ . Металлический стержень AB, сопротивление единицы длины ко- торого ρ, движется с постоянной скоростью v, перпендикулярной AB, замыкая два идеальных проводника OC и OD, образующих друг с другом угол α. Дли- на OC равна l и AB ⊥ OC. Вся система находится в однородном постоянном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости системы. Найдите полное количество теплоты, которое выделится в цепи за время движения прута от точки O до точки C. 11.1.11. В одном из фантастических романов предлагался проект электро- станции, использующей энергию морских течений и магнитное поле Земли. В оке- ан погружены две горизонтальные металлические пластины площади S = 1 км 2 , расположенные на расстоянии L = 100 м одна над другой. Морская вода, обла- дающая удельным сопротивлением ρ = 0,25 Ом · м, течет с востока на запад со скоростью v = 1 м/с. Магнитное поле Земли в данном месте однородно, направ- лено с юга на север, а индукция этого поля B = 10 −4 Тл. В результате между пластинами появляется напряжение, а если их соединить проводами с внешней ∗) В § 11.1, 11.2 индукцией магнитного поля тока в проводах пренебречь. 221 нагрузкой, то в ней выделяется мощность. Определите максимальную мощность, которую можно получить таким образом. ♦ 11.1.12 ∗ . В магнитогидродинамическом генераторе между плоскими парал- лельными электродами, расположенными на расстоянии h = 10 см друг от друга движется раскаленный газ, проводимость которого пропорциональна плотности. Площадь каждого электрода S = 1 м 2 . Магнитное поле генератора параллельно пластинам и перпендикулярно газовому потоку, индукция этого поля B = 1 Тл. При входе в генератор скорость газа v = 2000 м/с, проводимость λ = 50 См/м. Определите максимальный ток и максимальное напряжение генератора. ♦ 11.1.13. По проводящей ленте ширины d течет ток I. Лента находится в магнитном поле индукции B. Направление поля перпендикулярно ее плоскости. Найдите разность потенциалов между точками 1 и 2 ленты, если ее толщина равна h, а объемная плотность заряда носителей тока на ней равна ρ. ♦ 11.1.14. а. Ускоритель плазмы (рельсотрон) состоит из двух параллельных массивных проводников (рельсов), лежащих в плоскости, перпендикулярной маг- нитному полю индукции B. Между точками A и C в водороде поджигают элек- трический разряд. Ток I в разряде поддерживается постоянным. Под действием магнитного поля область разряда (плазменный сгусток) перемещается, разгоня- ясь к концам рельсов и срываясь с них. Чему равна скорость плазменного сгуст- ка, если его масса m? Расстояние между рельсами l. Длина участка, на котором происходит ускорение плазмы, равна L. б. Решите задачу для случая B = 1 Тл, l = 0,1 м, L = 1 м, I = 10 А; в плазменном сгустке содержится 10 13 ионов водорода. ♦ 11.1.15. В трубе прямоугольного сечения a × b находится газ плотности ρ. Вертикальные стенки трубы — изоляторы, горизонтальные — электроды. В од- ном из концов трубы зажигают разряд, после чего ток I поддерживается посто- янным. Возникшая область горения разряда магнитными силами вталкивается внутрь трубы, «сгребая» перед собой газ. Определите установившуюся скорость плазменной «пробки», считая, что она все время больше скорости звука в газе. Магнитное поле индукции B перпендикулярно вертикальным стенкам трубы. 11.1.16. Тонкое проводящее кольцо помещено в магнитное поле B, перпен- дикулярное плоскости кольца. Радиус кольца увеличивается с постоянной ско- ростью v. Определите зависимость тока в кольце от времени, если в начальный момент сопротивление кольца R 0 , а радиус кольца r 0 . Плотность и проводимость материала кольца при растяжении не меняются. 222 ♦ 11.1.17. Виток площади S расположен перпендикулярно магнитному полю индукции B. Он замкнут через гальванометр с сопротивлением R. Какой заряд протечет через этот гальванометр, если виток повернуть параллельно полю? ♦ 11.1.18 ∗ . Катушка датчика магнитного поля изготовлена из медного провода диаметра 0,2 мм. Радиус катушки 1 см. Удельное сопротивление 1,7 · 10 −8 Ом · м. Датчик определяет индукцию магнитного поля по заряду, ко- торый протекает через катушку, замкнутую на гальванометр, когда ее вносят в магнитное поле так, что ось катушки совпадает с направлением поля. Определи- те индукцию магнитного поля, если через гальванометр, когда катушку внесли в поле, протек заряд 10 −4 Кл. ♦ 11.1.19. В однородном магнитном поле индукции B находятся две верти- кальные рейки, расположенные в плоскости, перпендикулярной линиям поля. По рейкам, расстояние между которыми равно l, может скользить проводник мас- сы m. Определите установившуюся скорость этого проводника, если верхние кон- цы реек замкнуты на сопротивление R. В какие виды энергии переходит работа силы тяжести? 11.1.20 ∗ . Определите в задаче 11.1.19 зависимость скорости проводника от времени при нулевой начальной скорости в случае, когда верхние концы реек замкнуты: а) на сопротивление R; б) на емкость C. ♦ 11.1.21. В осесимметричном магнитном поле тело можно ускорять, поддер- живая в витке, связанном с телом и ориентированном перпендикулярно оси сим- метрии поля, постоянный ток I. Докажите, что приращение кинетической энер- 223 гии тела вместе с витком пропорционально приращению магнитного потока через виток, и найдите коэффициент пропорциональности. 11.1.22 ∗ . В магнитном поле с большой высоты падает кольцо радиуса a и массы m. Сопротивление кольца R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найдите установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составля- ющая индукции магнитного поля изменяется с высотой по закону B = B 0 (1+αh). ♦ 11.1.23 ∗ . В поле тяжести помещено вертикально металлическое кольцо. Ме- таллический стержень длины L и массы m шарнирно закреплен в центре кольца и касается его другим концом. Однородное магнитное поле индукции B перпенди- кулярно плоскости кольца. По какому закону надо менять ток в стержне, чтобы стержень вращался равномерно с угловой скоростью ω, если в начальный момент стержень находился в верхнем положении? Трением пренебречь. ♦ 11.1.24. На рисунке изображена модель двигателя постоянного тока. ЭДС батареи E, индукция магнитного поля B, сопротивление цепи R, длина перемыч- ки L. а. Определите установившуюся угловую скорость перемычки и ток в цепи, если сила трения в подвижном контакте F . б ∗ . Найдите зависимость угловой скорости перемычки от времени, если ее начальная скорость равна нулю, а трением можно пренебречь. ♦ 11.1.25 ∗ . Проводящий диск вращается с угловой скоростью ω в однородном магнитном поле индукции B, перпендикулярном плоскости диска. Что покажет амперметр, включенный через сопротивление R? Найдите ток, если R = 1 Ом, радиус диска r = 0,05 м, ω = 2π · 50 рад/с, B = 1 Тл. ♦ 11.1.26 ∗ . На оси O шарнирно закреплена одной стороной квадратная проволочная рамка, размеры ко- торой a × a. Вокруг этой же оси вращается с угловой скоростью ω 0 магнит, создающий в области, где рас- положена рамка, радиальное магнитное поле. Опре- делите угловую скорость рамки, если сопротивление единицы ее длины ρ, момент силы трения M , а ин- дукция магнитного поля у свободного края рамки B. |