Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
. Какое изображение возникает на экране осцил- лографа? 7.3.6. Длина пластин осциллографа l, ускоряющее напряжение V . При какой частоте электрического сигнала чувствительность осциллографа уменьшится? 7.3.7. При подаче на пластины осциллографа высокочастотного сигнала с частотой ν 1/τ (τ — время пролета электрона через пластины) на экране ос- циллографа получена полоса ширины δ. Чувствительность осциллографа в обыч- ном режиме работы S. Определите амплитуду сигнала. ♦ 7.3.8. Тонкий пучок электронов, ускоренный напряжением V , проходит по- следовательно электрическое поле двух небольших конденсаторов, отстоящих 178 друг от друга на расстояние l. Конденсаторы соединены параллельно и присоеди- нены к источнику переменного напряжения. При частоте f пучок после выхода из конденсаторов движется в первоначальном направлении. Определите возможные значения отношения заряда электрона к его массе. ♦ 7.3.9 ∗ . Тонкий пучок электронов, ускоренный разностью потенциалов V , входит в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Определите угло- вой разброс электронов, если на пластины конденсатора подается напряжение V 0 sin ωt. Расстояние между пластинами конденсатора d много меньше его дли- ны l. ♦ 7.3.10. Устройство для выделения из электронного пучка электронов с опре- деленной скоростью состоит из плоского конденсатора длины l, перекрытого с двух сторон экранами с входным отверствием A и длинным выходным кана- лом B. На пластины конденсатора подается переменное напряжение с частотой ω и амплитудой V 0 . Расстояние между пластинами d. а. Какова скорость электронов, выделяемых устройством из электронного пучка, влетающего параллельно пластинам? б ∗ . На сколько отверстие A должно быть ´уже канала B, чтобы выделенная группа электронов прошла через канал? 7.3.11. На свободный электрон начиная с момента времени t = 0 действует электрическое поле напряженности E = E 0 sin (ωt + ϕ). Найдите максимальную и среднюю скорость электрона. 7.3.12 ∗ . Какую энергию (в электрон-вольтах) могут приобрести электро- ны в электрическом поле лазерного пучка? Амплитуда напряженности поля 10 11 В/м, частота 3 · 10 15 с −1 7.3.13 ∗ . Разреженная плазма в высокочастотном электрическом поле напря- женности E = E 0 sin ωt приобретает положительный потенциал. Определите этот потенциал, если масса ионов M m e 7.3.14 ∗ . Упруго связанный в молекуле электрон имеет резонансную частоту колебаний ω 0 . Коэффициент затухания колебаний γ. Найдите установившуюся амплитуду вынужденных колебаний электрона в электрическом поле напряжен- ности E = E 0 sin ωt. 7.3.15 ∗ . Определите диэлектрическую проницаемость среды, состоящей из электронов, упруго связанных в молекуле, в электрическом поле напряженности E = E 0 sin ωt. Резонансная частота ω 0 , коэффициент затухания γ ω 0 , число электронов в единице объема среды n e § 7.4. Взаимодействие заряженных частиц 7.4.1. Чему будет равна скорость двух электронов на расстоянии λr друг от друга, если они начали разлетаться, находясь на расстоянии r друг от друга? 7.4.2. В углах правильного квадрата со стороной a поместили четыре элек- трона. Под действием электрических сил электроны разлетаются. Определите их скорости на бесконечности. 179 7.4.3 ∗ . В углах правильного квадрата со стороной a по диагонали поме- стили два протона и два позитрона. Оцените отношение скоростей протонов и позитронов на бесконечности. Масса протона в 1840 раз больше массы позитрона, а заряды одинаковы. 7.4.4. Из бесконечности навстречу друг другу с одинаковой скоростью v движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся. 7.4.5. С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответ- ственно v 1 и v 2 движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся. 7.4.6. По направлению к центру первоначально неподвижно заряженного ша- ра с большого расстояния движется второй заряженный шар. Заряды распре- делены по поверхности шаров равномерно. Какой скоростью должен обладать движущийся шар, чтобы столкнуться с первым? Масса, заряд, радиус первого шара m 1 , q 1 , R 1 . Параметры второго шара m 2 , q 2 , R 2 ♦ 7.4.7. Скорости двух электронов равны v, лежат в одной плоскости и при расстоя- нии d между электронами образуют угол α с прямой, соединяющей электроны. На ка- кое минимальное расстояние сблизятся эле- ктроны? 7.4.8 ∗ . Два электрона находятся на расстоянии r друг от друга, причем скорость одного из них равна нулю, а скорость другого направлена под острым углом к линии, соединяющей электроны. Каким будут угол между скоростями электронов, когда они вновь окажутся на расстоянии r друг от друга? 7.4.9 ∗ . С большого расстояния к металлической плоскости движется тело массы m, имеющее заряд q. Определите скорость тела в тот момент, когда оно будет находиться на расстоянии d от плоскости. Начальная скорость тела равна нулю, его размеры много меньше d. ♦ 7.4.10 ∗ . Скорости трех заряженных частиц массы m изображены на рисунке. Расстояние от каждой частицы до ребра металлического двугран- ного угла d. Заряды первых двух частиц, летящих в противоположных направлениях, равны −q, за- ряд третьей частицы q. Определите скорость этих частиц на большом расстоянии друг от друга. 7.4.11. В одной из моделей иона H + 2 электрон движется по круговой орбите, лежащей в плоскости симметрии иона. Расстояние между протонами R. Найдите скорость, с которой движется электрон по орбите радиуса r. 7.4.12. Вокруг тяжелого ядра с зарядом Ze на расстоянии r вращается по круговой орбите электрон. Какую минимальную энергию нужно сообщить элек- трону, чтобы он оторвался от ядра? 7.4.13 ∗ . Расстояние между электроном и позитроном в позитронии r. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы позитроний распался? 7.4.14 ∗ . Две частицы массы m и M с противоположными зарядами под вли- янием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы m мгновенно увеличивают в n раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном n частицы после этого разлетятся? 7.4.15 ∗ . На покоящийся позитроний налетает пучок таких же частиц. Како- ва должна быть минимальная скорость частиц в пучке, чтобы иногда происходил полный «развал» двух столкнувшихся позитрониев? Скорость орбитального дви- жения электрона и позитрона в позитронии v. 180 7.4.16. Возможен ли безызлучательный захват свободным протоном элек- трона (образование атома водорода)? 7.4.17 ∗ . На покоящийся протон налетает из бесконечности другой протон со скоростью v. Прицельный параметр ρ. Определите, на какое расстояние они сблизятся. ♦ 7.4.18 ∗ . Две одинаковые частицы с зарядом q и скоростями u и v, лежащи- ми в одной плоскости, составляющими соответственно углы α и β с линией, их соединяющей, находятся на расстоянии l друг от друга. Определите массу ча- стиц, если известно, что минимальное расстояние, на которое они сближаются, равно r. 7.4.19 ∗ . Два заряда поместили на расстоянии l друг от друга и отпустили. Через время t 0 расстояние между зарядами удвоилось. Эти же заряды поместили на расстоянии 3l и отпустили. Через какое время расстояние между зарядами удвоится? 7.4.20. Частица массы m, имеющая заряд q, движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакрепленной сферы. Ради- ус сферы R, ее заряд Q, масса M . Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь нее? qQ > 0. 7.4.21. Частица массы m, имеющая заряд q, со скоростью v 0 приближается с большого расстояния к заряженному незакрепленному кольцу, двигаясь по его оси. Радиус кольца R, заряд Q, масса M . Вначале кольцо покоится. Чему будет равна скорость частицы, когда она будет проходить через центр кольца? 7.4.22 ∗ . Частица массы m, имеющая заряд q, приближается с большого рас- стояния к равномерно заряженному незакрепленному шару, двигаясь по направ- лению к центру шара. Радиус шара R, заряд Q, масса M . Вначале шар покоится. Какую наименьшую скорость должна иметь частица на большом расстоянии от шара, чтобы пройти через его центр? ♦ 7.4.23 ∗ . Три одинаковых одноименно заряженных шарика, имеющие заряд q и массу m, соединены невесомыми, нерастяжимыми и непроводящими нитями длины l. Одну из нитей пережигают. Определите максимальную скорость шари- ков. ♦ 7.4.24. Внутри гладкой непроводящей сферы массы M и радиуса R нахо- дятся две одинаковые бусинки массы m, имеющие заряд q. Расстояние между бусинками l. Найдите максимальную скорость сферы, если бусинки освободить. 7.4.25. На горизонтальной плоскости на расстоянии R друг от друга поме- стили два тела массы m, имеющие заряд Q. В результате электрического вза- имодействия тела начинают двигаться по плоскости. Какое расстояние пройдет каждое из тел, если коэффициент трения тел о плоскость равен µ? Какую мак- симальную скорость приобретут тела в процессе движения? 12 ∗ 181 ♦ 7.4.26 ∗ . В конической лунке глубины H и с углом при вершине α на h 0 ниже плоскости основания лунки находятся два небольших заряженных тела, связанных нитью. Нить пережигают, и тела сначала скользят вверх по стенке лунки, а затем вылетают из нее. Коэффициент трения тел о стенку лунки µ, масса и заряд каждого тела m и q. На какую высоту поднимутся тела, вылетевшие из лунки? 7.4.27. Два заряженных шара массы m, имеющих заряд q, соединяют неде- формированной пружиной длины l и отпускают. Спустя некоторое время возник- шие колебания шаров из-за трения в пружине прекратились и шары оказались на расстоянии 2l друг от друга. Определите количество теплоты, которое выде- лилось в пружине. 7.4.28. При колебании двух заряженных шариков, связанных с пружиной, длина пружины меняется от l 1 до l 2 . Длина недеформированной пружины l 0 , заряд каждого шарика q. Определите жесткость пружины. 7.4.29. Сфера массы m, имеющая заряд q, в результате взрыва распадает- ся на большое число одинаковых осколков, скорость которых в момент взрыва равна v и направлена вдоль радиуса сферы. Определите максимальную скорость осколков. 7.4.30. Две одинаковые капли ртути радиуса R летят навстречу друг другу, имея на большом расстоянии скорость v. Происходит столкновение, в результа- те которого капли сливаются в одну. Определите количество выделившейся при столкновении теплоты, если: а) капли имеют разноименные заряды Q и −Q; б) одна капля имеет заряд −q, другая Q. Плотность ртути ρ, поверхностное на- тяжение σ. ♦ 7.4.31. На оси цилиндрического отверстия в металлической плите на неко- тором расстоянии от последней находится точечный заряд q. Заряд отпускают. Опишите качественно его движение. ♦ 7.4.32 ∗ . Между двумя заземленными параллельными горизонтальными ме- таллическими плоскостями на одинаковом расстоянии h от них находится за- ряженная тонкая пластинка. Площадь пластины S, ее масса m, поверхностная плотность заряда σ. Какую минимальную скорость нужно сообщить этой пла- стине, чтобы она долетела до верхней плоскости? Расстояние до плоскостей h много меньше линейных размеров пластины. 182 7.4.33. Внутри закрепленного проводящего незаряженного шара радиуса R имеется сферическая полость радиуса r, центр которой совпадает с центром ша- ра. Какую минимальную скорость необходимо сообщить находящейся в центре частице массы m, имеющей заряд q, чтобы, пройдя через тонкий канал в шаре, она ушла на большое расстояние от него? ♦ 7.4.34 ∗ . Вдоль оси длинного цилиндрического канала, вырезанного в провод- нике, пролетает тонкий стержень, линейная плотность заряда которого ρ. Длина стержня l много больше радиуса R 1 и R 2 . Вдали от области сужения канала справа скорость стержня v 0 . Найдите скорость стержня вдали от области суже- ния канала слева. Масса стержня m. ♦ 7.4.35 ∗ . Чему равен период малых колебаний четырех заряженных тел, свя- занных одинаковыми нитями длины l и движущихся так, как показано на рисун- ке? Масса и заряд тела m и q. 7.4.36 ∗ . Плазма состоит из электронов и тяжелых положительно заряжен- ных ионов. Число электронов и ионов в единице объема одинаково и равно n. В слое плазмы толщины h всем электронам сообщили одинаковую скорость v в направлении, перпендикулярном слою. Через какое время основная масса элек- тронов остановится электрическими силами, если: а) v he n/m e ; б) v he n/m e , где e, m e — заряд и масса электрона? Оцените в обоих случаях ча- стоту колебания электронов. 7.4.37 ∗ . Три заряженных тела одинаковой масссы, разлетаясь, образуют все- гда равнобедренный треугольник с углами α при вершине. Во сколько раз заряд тела, расположенного в вершине треугольника больше заряда тела в его основа- нии. ♦ 7.4.38 ∗ . Тело зарядом q удерживается на столе. Справа от него на рассто- янии l зкреплен одноименный точечный заряд q. Слева на таком же расстоянии покоится брусок массы M , который со столом имеет коэффициент трения µ. Те- ло отпускают, и оно начинает без трения скользить по столу, упруго ударяясь о брусок, не передавая при ударах ему свой заряд. На какое расстояние брусок сдвинется в результате всех ударов тела? 183 Глава 8 Электрический ток § 8.1. Ток. Плотность тока. Ток в вакууме 8.1.1. а. В синхротроне электроны движутся по приблизительно круговой орбите длины l = 240 м. Во время цикла ускорения на орбите находится примерно n = 10 11 электронов, их скорость практически равна скорости света. Чему равен ток? б. Определите ток, создаваемый электроном, движущимся по орбите радиуса r = 0,5 · 10 −10 м в атоме водорода. 8.1.2. В проводе длины l полный движущийся заряд, равномерно распреде- ленный по проводу, равен q. Определите среднюю скорость движения зарядов, если ток равен I. 8.1.3. В генераторе Ван де Граафа прорезиненная лента ширины a = 30 см движется со скоростью v = 20 м/с. Около нижнего шкива ленте сообщается заряд настолько большой, что по обе стороны ленты он создает поле напряженности E = 1,2 · 10 6 В/м. Чему равен ток? 8.1.4. Ток в разреженном газе вызывает движение ионов. Докажите, что соударение одинаковых ионов между собой не меняет тока. 8.1.5. Если предположить, что число электронов проводимости в металле равно числу атомов, то какой будет средняя скорость электронов проводимости в серебряной проволоке диаметра 1 мм, по которой идет ток 30 А? 8.1.6. Листочек фольги, покрытый β-радиоактивным веществом, испускает с единицы площади ν электронов в единицу времени. Их скорость равна v, любое направление скорости равновероятно. Найдите плотность тока. Почему она не зависит от v? 8.1.7. В струе β-радиоактивных пылинок, имеющих скорость u, число элек- тронов в единице объема равно n e . Скорость электрона относительно испустив- шей его пылинки, равна v, а все направления скоростей равновероятны. Опреде- лите плотность электронного тока в струе. ♦ 8.1.8. В рентгеновской трубке пучок электронов с плотностью тока j = 0,2 А/мм 2 попадает на скошенный под углом 30 ◦ то- рец металлического стержня. Площадь это- го торца s = 10 −4 м 2 , а сам стержень рас- положен вдоль оси пучка. Определите ток в стержне. 184 8.1.9. В протонный пучок с плотностью тока j = 1 мкА/см 2 поместили ме- таллический шар радиуса r = 10 см. Определите время, за которое шар зарядится до потенциала V = 220 В. Действием поля шара на пучок пренебречь. 8.1.10. Плотность тока в пучке электронов j, скорость электронов v. Опре- делите плотность заряда в пучке. 8.1.11. В электронном пучке круглого сечения с начальным радиусом r = 3 см скорость электронов v = 10 8 м/с при полном токе в пучке I = 100 А. Оцените начальную напряженность электрического поля на поверхности пучка и расстояние, на котором радиус пучка под действием собственного электрического поля увеличится вдвое. 8.1.12 ∗ . Между двумя параллельными сетками создано тормозящее электри- ческое поле напряженности E. По нормали к передней сетке падает широкий пу- чок электронов, у которого плотность заряда ρ 0 , а скорость v 0 . Пренебрегая взаи- модействием самих электронов, найдите распределение плотности заряда между сетками в случае, если: а) скорость электронов настолько велика, что они прохо- дят сквозь сетки и не возвращаются; б) электроны отражаются полем. Начиная с каких значений ρ 0 во втором случае следует учитывать поле заряда между сетками? ♦ 8.1.13. В вакуумном диоде два электрода: катод, с которого «испаряются» электроны (его специально подогревают), и анод, на который попадают вылетев- шие с катода электроны. Объясните, почему диод можно использовать как вы- прямитель. На рисунке показано, как при постоянном напряжении между анодом и катодом ток в цепи анода зависит от температуры катода. Объясните каче- ственно эту зависимость. ♦ 8.1.14. На рисунке приведены три графика зависимости тока в аноде от напряжения на электродах диода, снятые при разных значениях температуры катода. Какая кривая соответствует низкотемпературному катоду, а какая вы- сокотемпературному? 8.1.15. Когда ток в диоде далек от насыщения, то вблизи поверхности ка- тода образуется тонкий слой электронов, из которого большинство электронов возвращается на катод, притягиваясь к нему, а часть диффундирует в проти- воположную сторону и увлекается полем к аноду. Почему на внешней границе этого слоя поле можно считать нулевым? 8.1.16 ∗ . Катод и анод в вакуумном диоде — две параллельные металличе- ские пластины с зазором d = 0,5 см между ними. Площадь каждой пластины S = 10 см 2 . При напряжении V = 5000 В между катодом и анодом идет ток I = 1 А. Считая электрическое поле между пластинами однородным, определите плотность заряда в зависимости от расстояния до катода. Примите начальную скорость электронов равной нулю. Можно ли в рассматриваемом случае прене- бречь действием на электроны их пространственного заряда? 8.1.17 ∗ . Для учета влияния пространственного заряда на работу плоского диода с межэлектродным расстоянием d нужно установить зависимость плотно- 185 сти заряда ρ, потенциала ϕ и скорости электронов v от расстояния до катода x. Скорость электронов и напряженность поля на катоде при токах, далеких от на- сыщения, можно считать нулевыми. В случае, когда катод заземлен, потенциал можно представить в виде ϕ = V (x/d) n . Определите отсюда ρ(x) и v(x), а затем, используя условие стационарности тока, найдите показатель степени n. Полу- чите точные выражения для плотности тока и тока через диод при заданном напряжении V . Площадь электродов S. 8.1.18 ∗ . Анод и катод диода имеют произвольную форму. Пусть при опре- деленном напряжении на диоде в режиме, далеком от насыщения, между элек- тродами установится пространственный заряд, плотность которого ρ(x, y, z). Во сколько раз увеличится плотность этого заряда, если напряжение на диоде уве- личить в n раз? Во сколько раз увеличится ток через диод? 8.1.19. Прямолинейный провод глубоко зарыт в однородном грунте. Ток утечки с единицы длины провода равен i. Определите плотность тока на рас- стоянии r от провода. Длина провода много больше r. ♦ 8.1.20. а. К точке A среды подводится ток I, а от точки B отводится ток I. Считая, что каж- дая точка среды независимо от других точек со- здает стационарное сферически-симметрическое поле тока, определите поверхностную плотность тока в плоскости симметрии точек A и B. Каков полный ток через эту плоскость? Как изменится решение, если и к точке B подводится ток I? б ∗ . Определите распределение плотности то- ка по поверхности грунта, если на глубине h от его поверхности находится точечный источник с током I. 8.1.21 ∗ . Параллельно поверхности идеального проводника на расстоянии l от нее движется со скоростью v точечный заряд q. Определите на расстоянии r от этого заряда линейную плотность «наведенного» поверхностного тока в про- воднике; r > l. § 8.2. Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС 8.2.1 ∗ . а. Определите удельную проводимость металла, если число электро- нов проводимости в единице объема металла n e , время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решетки τ . Сразу после со- ударения любое направление скорости электрона равновероятно. б. Оцените среднее время между последовательными соударениями электро- на проводимости с ионами кристаллической решетки меди. 8.2.2 ∗ . Контейнер, наполненный воздухом при комнатной температуре и атмосферном давлении, облучается рентгеновским излучением, ионизирующим небольшую часть молекул. Отрицательными ионами являются молекулы O 2 , «за- хватившие» электрон. Размер контейнера 10 × 10 × 2 см; две стенки 10 × 10 см сделаны из металла, а остальные — из изолирующего материала. Между про- водящими стенками приложено напряжение 1000 В, вызывающее ток 1,5 мкА. Считая число положительных и отрицательных однократно заряженных ионов одинаковым, оцените долю ионизированных молекул газа. Длина свободного про- бега ионов 10 −7 м. 8.2.3. Под действием постоянного электрического поля в проводнике уста- навливается постоянный ток, т. е. носители тока имеют постоянную среднюю скорость, а не ускорение. Это означает, что существует сила, действующая на носители тока со стороны вещества. Найдите среднюю силу, действующую на 186 носитель через удельную проводимость вещества λ, плотность носителей тока n, скорость их дрейфа v и заряд e. 8.2.4. Проволочное металлическое кольцо радиуса r = 0,1 м вращается с угловой скоростью Ω = 10 3 рад/с. Определите, какой ток пойдет через кольцо при равномерном замедлении в течение времени π = 10 −3 с его вращения до полной остановки. Сечение проволоки s = 0,5 см 2 , удельная проводимость металла λ = 6 · 10 7 См/м. 8.2.5. Средняя скорость направленного движения зарядов в проводниках со- ставляет не более нескольких сантиметров в секунду. Почему же настольная лам- па зажигается сразу после нажатия кнопки выключателя? 8.2.6 ∗ . Определите отношение теплопроводности и удельной проводимости для ряда металлов при 0 ◦ |