Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
прочность которого в десять раз больше. Какой заряд разорвет новое кольцо? б. Какой заряд разорвет новое кольцо, сделанное из прежнего материала, если все размеры нового кольца в три раза больше размеров старого? § 6.2. Поток напряженности электрического поля. Теорема Гаусса ♦ 6.2.1. а. Напряженность однородного электрического поля равна E. Чему равен поток напряженности электрического поля через квадрат со стороной l, плоскость которого расположена под углом 30 ◦ к направлению электрического поля? б. При расчете потока напряженности электрического поля через замкнутую поверхность потоки, входящие вовнутрь, берутся со знаком минус, выходящие вовне потоки берутся со знаком плюс. Используя это правило, найдите отрица- тельные и положительные потоки однородного электрического поля напряжен- ности E через замкнутую поверхность прямой трехгранной призмы, высота ко- торой h. Передняя грань призмы, ширина которой равна h, перпендикулярна E, нижняя грань параллельна E. в ∗ . Докажите, что поток напряженности однородного электрического поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. ♦ 6.2.2. Чему равен поток напряженности однородного электрического поля через боковую поверхность усеченного конуса, радиусы сечения которого равны R и r? Напряженность электрического поля E составляет угол α с осью конуса. 154 ♦ 6.2.3. Докажите, что поток напряженности электрического поля точечного заряда Q через любую поверхность равен телесному углу, под которым видна эта поверхность, умноженному на Q/(4πε 0 ). 6.2.4. Поток напряженности электрического поля через плоскую поверх- ность, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ, равен Φ. Чему равна электрическая сила, действующая на пластину в направлении, пер- пендикулярном ее плоскости? 6.2.5. а. С какой силой действует электрический заряд q на равномерно за- ряженную бесконечную плоскость? С какой силой действует эта плоскость на заряд? Чему равна напряженность электрического поля плоскости? Поверхност- ная плотность заряда σ. б. С какой силой действует на каждую грань тетраэдра заряд q, помещенный в его центре? Поверхностная плотность заряда граней σ. 6.2.6. Используя теорему Гаусса, определите напряженность электрического поля: а) внутри и вне равномерно заряженной сферы, если полный заряд сферы Q; б) равномерно заряженной бесконечной нити, если заряд единицы длины ни- ти ρ; в) равномерно заряженной бесконечной плоскости, если поверхностная плот- ность заряда плоскости σ; г) внутри и вне равномерно заряженного шара радиуса R, если объемная плотность заряда ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электриче- ского поля от расстояния до центра шара; д) внутри и вне равномерно заряженного бесконечного цилиндра радиуса R, если объемная плотность заряда внутри цилиндра равна ρ; нарисуйте график зависимости напряженности электрического поля от расстояния до оси цилиндра; е) вне и внутри равномерно заряженной бесконечной пластины толщины h, если объемная плотность заряда в пластине равна ρ; нарисуйте график зависимо- сти напряженности электрического поля от расстояния до центральной плоскости пластины. 6.2.7. Найдите распределение объемной плотности электрического заряда: а) в шаре радиуса R (напряженность электрического поля E 0 в шаре направлена вдоль его радиуса и не меняется по модулю); б) в бесконечном цилиндре радиу- са R (напряженность электрического поля E 0 в цилиндре направлена вдоль его радиуса и не меняется по модулю). 6.2.8 ∗ . С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? тетраэдра? Поверхностная плотность заряда граней σ, длина ребра l. 6.2.9. Чему равна напряженность электрического поля между двумя парал- лельными бесконечными плоскостями с поверхностной плотностью заряда ±σ? σ и σ? Чему равна напряженность поля вне плоскостей? ♦ 6.2.10. Две пересекающиеся под углом α бесконечные плоскости делят про- странство на четыре области. Чему равна напряженность электрического поля в областях 1 и 2, если поверхностная плотность заряда плоскостей ±σ? 155 ♦ 6.2.11. Две бесконечные пластины толщины h заряжены равномерно по объ- ему и сложены вместе. Объемная плотность заряда первой пластины ρ, а вто- рой −ρ. Найдите максимальную напряженность электрического поля. ♦ 6.2.12. В равномерно заряженной бесконечной пластине вырезали сфериче- скую полость так, как показано на рисунке. Толщина пластины h, объемная плот- ность заряда ρ. Чему равна напряженность электрического поля в точке A? в точ- ке B? Найдите зависимость напряженности электрического поля вдоль прямой OA от расстояния до точки O. ♦ 6.2.13 ∗ . В равномерно заряженном шаре радиуса R вырезали сферическую полость радиуса r, центр которой находится на расстоянии l от центра ша- ра. Объемная плотность заряда ρ. Найдите напряженность электрического поля вдоль прямой, проходящей через центр полости и центр шара. Докажите, что электрическое поле в полости однородно. ♦ 6.2.14 ∗ . а. При пересечении двух шаров радиуса R, центры которых нахо- дятся на расстоянии l друг от друга, образуются два «полумесяца», равномер- но заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева −ρ, справа ρ. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля. б. Используя результаты задачи 6.2.14 ∗ а и применяя метод предельного пере- хода: l → 0, ρ → ∞, lρ = const, найдите распределение заряда на сфере радиуса R, которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности E. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность за- ряда? 6.2.15 ∗ . С помощью теоремы Гаусса докажите, что система электрически взаимодействующих частиц не может находиться в состоянии устойчивого рав- новесия. § 6.3. Потенциал электрического поля. Проводники в постоянном электрическом поле 6.3.1. а. Потенциал заряженного проводника 300 В. Какой минимальной ско- ростью должен обладать электрон, чтобы улететь с поверхности проводника на бесконечно далекое от него расстояние? б. Протон на большом расстоянии от проводника имел скорость 10 8 см/с. Потенциал проводника −10 СГС. Траектория протона заканчивается на поверх- ности проводника. Какую скорость имел протон вблизи поверхности? 6.3.2. а. Определите разность потенциалов электрического поля между точ- ками 1 и 2, если известно, что электрон, двигаясь в этом электрическом поле в отсутствие других сил, в точке 1 имел скорость 10 9 см/с, а в точке 2 — скорость 2 · 10 9 см/с. Чему была бы равна скорость электрона в точке 2, если бы в точке 1 электрон имел нулевую скорость? 156 б. В электронной лампе электроны «ускоряются разностью потенциалов» 220 В. Чему равна скорость электронов при попадании их на анод? 6.3.3. Заряд 0,1 Кл удален от заряда 0,2 Кл на расстояние 20 м. Чему равен потенциал поля в середине отрезка, соединяющего заряды? 6.3.4. В вершинах квадрата со стороной l находятся четыре заряда q. Чему равен потенциал поля в центре квадрата? ♦ 6.3.5. Заряды 10 −9 Кл каждый находятся в углах квад- рата со стороной 10 см. Найдите разность потенциалов в поле этих зарядов между центром квадрата (1) и серединой одной из сторон квадрата (2). 6.3.6. Заряды 100, 10, 1, −10, −1, −10 СГС находятся в вершинах правильного шестиугольника со стороной 2 см. Чему равен потенциал поля в центре шестиугольника в СИ и СГС? 6.3.7. Сфера радиуса R имеет заряд Q. Чему равен потенциал поля в центре сферы? Зависит ли потенциал в центре сферы от распределения зарядов на сфере? Зависит ли потенциал поля на поверхности сферы от распределения заряда по сфере? 6.3.8. Почему электрическое поле внутри проводника равно нулю? Почему электрическое поле на поверхности проводника перпендикулярно к ней? Доста- точно ли этих условий, чтобы потенциал в любой точке проводника был одина- ков? 6.3.9. Используя теорему Гаусса, докажите, что объемная плотность элек- трического заряда внутри проводника равна нулю и что поверхностная плотность заряда проводника σ связана с напряженностью электрического поля E вне про- водника вблизи его поверхности соотношением E = σ/ε 0 6.3.10. а. Докажите, что внешнее электрическое поле эллипсоида из задачи 6.1.20а перпендикулярно его поверхности. б. Проводящий эллипсоид получен из сферы уменьшением ее размеров в од- ном направлении в n раз. Длина большой полуоси эллипсоида R, его полный заряд Q. Определите максимальную и минимальную напряженность внешнего электрического поля вблизи поверхности эллипсоида. ♦ в. Определите максимальную напряженность электрического поля длинно- го металлического заряженного провода эллиптического сечения. Длина малой полуоси эллипса b, линейная плотность заряда провода ρ. ♦ 6.3.11. Две бесконечные проводящие изолированные плиты заряжены так, что суммарная поверхностная плотность заряда обеих сторон первой плиты рав- на σ 1 , а второй σ 2 . Плиты параллельны друг другу. Найдите поверхностную плотность заряда на каждой стороне плит. 6.3.12. а. Две параллельные разноименно заряженные металлические пла- стины находятся друг от друга на расстоянии 1 см, много меньшем размеров пластин. Поверхностная плотность заряда пластин ±3 СГС/см 2 . Определите раз- ность потенциалов между пластинами в СГС и СИ. б. Две параллельные разноименно заряженные металлические пластины на- ходятся друг от друга на расстоянии 5 см, много меньшем размеров пластин. 157 Поверхностная плотность заряда пластин ±10 −10 Кл/см 2 . Определите разность потенциалов между пластинами в СГС и СИ. 6.3.13. Чему равна разность потенциалов между крайними пластинами в системе, состоящей из трех параллельных бесконечных пластин, заряженных од- ноименными зарядами с поверхностной плотностью заряда σ 1 , σ 2 , σ 3 ? Средняя пластина находится на расстоянии h 1 от первой и на расстоянии h 2 от третьей пластины. 6.3.14. Найдите напряженность электрического поля между тремя пласти- нами в случае, если средняя пластина заземлена. Расстояния между средней пла- стиной и крайними a и b. Потенциал крайних пластин ϕ. ♦ 6.3.15. а. Между двумя заземленными ме- таллическими пластинами находится одинаковая с ним по размерам тонкая пленка с поверхностной плотностью заряда σ. Расстояние от нее до верх- ней пластины a, до нижней b (a и b много меньше линейных размеров пластин). Найдите напряжен- ность электрического поля вблизи верхней и нижней пластин. Определите по- верхностную плотность заряда, индуцируемого на них. б ∗ . Между заземленными параллельными пластинами на расстоянии a и b от них находится заряд q. Линейные размеры пластин много больше расстояния между ними. Докажите, что заряды, индуцируемые на заземленных пластинах, не изменятся, если заряд q распределить по плоскости, лежащей между пласти- нами на том же расстоянии, что и заряд q. Определите заряд пластин. ♦ 6.3.16. В полости металлического шара радиуса R находится заряд Q. Най- дите заряд, индуцируемый этим зарядом на поверхности полости. Почему на поверхности шара заряд будет распределен с постоянной плотностью? Чему рав- на поверхностная плотность заряда шара, если его полный заряд равен нулю? Найдите напряженность электрического поля вне шара на расстоянии L от его центра в случае, если его полный заряд равен q. Зависит ли это поле от место- расположения полости в шаре? от ее формы? ♦ 6.3.17 ∗ . Внутри полости длинного незаряженного проводника, радиус кото- рого r, находится заряд q. Проводник окружен цилиндрическим экраном радиу- са R. Длина проводника L R. Как зависит в средней части системы напря- женность электрического поля вне полости от расстояния до оси этой системы? 6.3.18. В однородном электрическом поле находится проводник, суммарный заряд которого равен нулю. Изменится ли поверхностная плотность заряда, если все размеры проводника уменьшить в n раз? ♦ 6.3.19. Металлический шар радиуса 10 см помещен внутрь сферической ме- таллической оболочки, имеющей внешний радиус 30 см и толщину 10 см, так, что их центры совпадают. На шаре находится заряд 10 −5 Кл, на оболочке — за- ряд 8 · 10 −5 Кл. Постройте график зависимости потенциала электрического поля от расстояния до центра шара. 158 6.3.20. Три проводящие концентрические сферы радиуса r, 2r и 3r имеют заряд соответственно q, 2q и −3q. Определите потенциал на каждой сфере. 6.3.21. Потенциал внутренней сферы радиуса r равен нулю (сфера зазем- лена). Потенциал внешней сферы радиуса 2r равен ϕ. Определите заряд сфер. Центры сфер совпадают. 6.3.22. Металлический шар радиуса R 1 , заряженный до потенциала ϕ, окру- жают концентрической проводящей незаряженной оболочкой радиуса R 2 . Чему станет равен потенциал шара, если заземлить оболочку? соединить шар с обо- лочкой проводником? ♦ 6.3.23. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внут- ренней радиуса R 1 и внешней радиуса R 2 . Внутренняя сфера имеет заряд q, а внешняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер. 6.3.24. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер — внут- ренней радиуса R 1 и внешней радиуса R 2 . Внешняя сфера имеет заряд q, а внут- ренняя заземлена. Найдите напряженность и потенциал электрического поля в зависимости от расстояния до центра сфер. 6.3.25. Равномерно заряженный шар радиуса R имеет объемную плотность заряда ρ. Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от рас- стояния до его центра. 6.3.26. Чему равна разность потенциалов между центром и поверхностью равномерно заряженного шара радиуса R, имеющего объемную плотность заря- да ρ? Между осью и поверхностью равномерно заряженного бесконечного цилин- дра радиуса R, имеющего объемную плотность заряда ρ? Между поверхностью равномерно заряженной пластины толщины h, имеющей объемную плотность за- ряда ρ, и серединой пластины? 6.3.27. Бесконечный заряженный цилиндр радиуса r имеет объемную плот- ность заряда ρ и окружен соосной с ним заземленной цилиндрической метал- лической поверхностью радиуса R. Найдите зависимость потенциала поля этой системы от расстояния до оси цилиндра. 6.3.28. Точечный заряд Q находится на расстоянии h от бесконечной метал- лической плоскости. Какая сила действует на заряд со стороны плоскости? 6.3.29. По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на рас- стоянии h от нее находятся два одинаковых заряда Q. Определите силу, действу- ющую на каждый из зарядов, если расстояние между ними 2h. ♦ 6.3.30. Две бесконечные проводящие плоскости, пересекаясь под прямым уг- лом, делят пространство на четыре области. В области I находится заряд q на одинаковом расстоянии l от обеих плоскостей. Есть ли электрическое поле в об- ластях II–IV? Какая сила действует на заряд q? 6.3.31 ∗ . Точечный заряд q находится на расстоянии L от центра изолиро- ванного металлического шара радиуса R < L. Полный заряд шара равен нулю. Чему равен потенциал шара? 159 ♦ 6.3.32 ∗ . Чему равен заряд, индуцируемый на поверхности заземленного ме- таллического шара точечным зарядом q, расположенным на расстоянии L от центра шара? Радиус шара R < L. 6.3.33. Как изменится сила взаимодействия заряженной металлической сфе- ры радиуса R с точечным зарядом q, который находится на расстоянии L от ее центра, если заряд сферы увеличить на Q? ♦ 6.3.34. Однородно заряженный положительным зарядом обруч опирается на четыре ролика и может вращаться. Один участок обруча проходит через отвер- стие, сделанное в параллельных разноименно заряженных пластинах. По мысли изобретателя, участок обруча, находящийся между пластинами, будет притяги- ваться к отрицательной пластине и отталкиваться от положительной. Вне пла- стин поля нет. Таким образом, будет поддерживаться вращение обруча даже при наличии сопротивления движению — получается вечный двигатель. В чем ошибка изобретателя? Докажите, что момент сил, действующий на такой обруч в любом электростатическом поле, равен нулю. ♦ 6.3.35. Из капельницы 1 в полый изолированный металлический шар 2 ради- уса R падают капли воды, каждой из которых сообщают заряд q. Какой должна быть наименьшая высота падения капель для того, чтобы шар заполнился водой? Радиус капли r R. ♦ 6.3.36. С помощью электрофорной машины металлический шарик 1 можно зарядить до заряда Q. Затем, через соприкосновение с металлическим же ша- риком 2, можно передать тому часть заряда. При первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд q. Определите, до какого заряда, многократно повторяя процесс, можно зарядить шарик 2. 6.3.37. Как, имея металлический шарик с зарядом Q, зарядить другой про- водник зарядом, б´ольшим Q? 160 6.3.38. Известно, что вблизи поверхности Земли существует электростати- ческое поле напряженности порядка 100 В/м. Предложите эксперименты для из- мерения этого поля. 6.3.39. Как изменится емкость уединенного проводника, если его размеры утроить? 6.3.40. Определите емкость уединенного проводящего шара. § 6.4. Конденсаторы 6.4.1. Что называется электрическим конденсатором? Что такое емкость конденсатора? Чем отличается определение емкости уединенного проводника от определения емкости конденсатора? 6.4.2. а. Размеры пластин плоского конденсатора увеличили в два раза. Как изменилась емкость конденсатора? б. Как изменится емкость плоского конденсатора, если расстояние между пластинами удвоить? увеличить в n раз? 6.4.3. а. Определите емкость плоского конденсатора, если известна площадь пластин S и расстояние между ними d. б. Площадь пластин плоского конденсатора 20 см 2 , расстояние между пла- стинами 3 мм. Определите емкость конденсатора в СГС и СИ. 6.4.4. Площадь обкладок плоского конденсатора S, расстояние между ни- ми d. а. Как изменится емкость конденсатора, если между его обкладками поме- стить металлическую пластину толщины d/3 и площади S? б. Как изменится емкость конденсатора, если между его обкладками поме- стить металлическую пластину той же толщины d/3, но площади S < S? |