Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
а. При какой температуре газа, адиабатически истекающего в вакуум, можно получить такой пучок? б. Какую скорость могут приобрести атомы ксенона, при истечении в ва- куум смеси водорода и малого количества ксенона, находящихся при комнатной температуре? 5.7.4. Определите максимальную скорость истечения газа из сопла ракеты, если тяга ракеты создается в результате реакций: а) 2H 2 + O 2 = 2H 2 O + 483 кДж/моль; б) 2Al + (3/2)O 2 = Al 2 O 3 + 1,65 МДж/моль; в) Be + (1/2)O 2 = BeO + 610 кДж/моль. 5.7.5. Температура горения химического топлива в ракетном двигателе T = 3000 K, средняя молярная масса продуктов сгорания µ = 30 г/моль. Ис- течение продуктов сгорания происходит адиабатически. Молярная теплоемкость продуктов сгорания c P = 33,4 Дж/(моль · K). Давление газа на выходе из раке- ты много меньше давления газа в ракете. Определите минимальный массовый расход топлива, обеспечивающий старт с Земли ракеты массы M = 1000 т. 139 5.7.6 ∗ . Газ адиабатически вытекает из сосуда через трубку. Температура газа в сосуде T 1 , давление P 1 . На выходе из трубки давление газа P 2 . Определите скорость газа на выходе из трубки. Молярная масса газа µ, показатель адиаба- ты γ. 5.7.7 ∗ . Из баллона, содержащего гелий при давлении 1 МПа, вытекает струя, давление газа в которой 0,1 МПа. Температура газа в баллоне 300 K. Определите температуру и скорость гелия в струе. 5.7.8 ∗ . Воздух, сжатый в большом баллоне при температуре 0 ◦ C, вытекает при атмосферном давлении через трубку со скоростью 400 м/с. Найдите темпе- ратуру воздуха в струе. Чему равно давление воздуха в баллоне? 5.7.9 ∗ . Газ при давлении P и температуре T протекает со скоростью v через гладкую трубку сечения S. Когда газ проходит сквозь проволочную сетку, пере- крывающую трубку и оказывающую пренебрежимо малое сопротивление потоку, он нагревается. Приобретаемая газом мощность равна q. Определите скорость га- за за проволочной сеткой. Чему равна сила давления газа на сетку? Молярная масса газа µ, показатель адиабаты γ. § 5.8. Вероятность термодинамического состояния 5.8.1. а. Разделим сосуд вместимости V на две одинаковые части 1 и 2. Пусть в этом сосуде движется одна молекула. Будем наблюдать за ней в течение вре- мени τ . В среднем половину этого времени молекула будет находиться в части 1 сосуда, а половину — в части 2. В течение какого времени в части 1 вместе с первой будет находится вторая молекула, если в сосуде движутся две молекулы? б. В сосуде движутся три молекулы. В течение какого времени они будут находится одновременно в части 1? в. В сосуде движутся N молекул. В течение какого времени они будут нахо- дится одновременно в части 1? 5.8.2. Долю времени, в течение которого частицы находятся в каком-либо состоянии, часто называют вероятностью этого состояния. а. В сосуде находятся две молекулы. Чему равна вероятность того, что обе молекулы будут находиться в левой половине сосуда? в любой из половин? б. Чему равна вероятность того, что молекулы будут находиться в разных половинах сосуда? в. В сосуде находятся три молекулы. Чему равна вероятность того, что две молекулы будут находиться в левой половине сосуда и что в левой половине со- суда не будет ни одной молекулы? 5.8.3. В сосуде вместимостью V 0 находятся N молекул. а. Определите вероятность того, что в объеме V , который представляет собой часть объема V 0 , не будет ни одной молекулы. б. Чему должен быть равен этот объем, чтобы вероятность такого события была близка к 10 −2 ? 5.8.4 ∗ . Оцените вероятность того, что плотность воздуха в объеме 0,1 мм 3 какого-нибудь участка вашей комнаты будет в два раза больше, чем обычная плотность. Каким должен быть объем этого участка, чтобы эта вероятность была достаточно велика? ♦ 5.8.5. Траектория атома, упруго отраженного от стенок куба, размеры ко- торого a × a × a, — квадрат. Скорость атома v. а. С какой средней скоростью станет перемещаться по каждой стенке место удара, если изменить угол падения в плоскости квадрата на ∆ 1? При каких значениях ∆ траектория атома окажется замкнутой? не замкнутой? Определите 140 расстояние между соседними параллельными участками траекторий в первом и во втором случаях. б. Почему можно считать, что траектория атома обычно не замкнута? Чему равна вероятность обнаружить атом в квадрате площади S, расположенном в плоскости, по которой движется атом в случае незамкнутой траектории? в ∗ . Как будет двигаться атом, если изменить угол его падения перпендику- лярно плоскости квадрата на ∆ 1? Чему будет равна вероятность обнаружить такой атом в области внутри куба, объем которой равен V ? 5.8.6 ∗ . Решите задачи 5.8.5 в случае, когда первоначально тангенс угла па- дения равен 1/m, где m — целое число. ♦ 5.8.7. Атомы, имеющие одинаковую по модулю скорость v, одновременно влетают в цилиндр через небольшое отверстие, расположенное в центре дна ци- линдра. Направления скоростей атомов распределены равномерно внутри конуса с небольшим углом ∆ при вершине. Конус скоростей соосен с цилиндром. Ради- ус цилиндра R, его высота H. Оцените время равномерного заполнения атомами пространства внутри цилиндра в случае упругого отражения атомов от его стен- ки и в случае, когда через время τ R/v, H/v после попадания на стенку атом уходит внутрь цилиндра под любым углом к его стенке со скоростью v. ♦ 5.8.8 ∗ . При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих обла- стей над частицами совершается работа A. Докажите, что вероятность обнару- жить в объеме ∆V частицу, имеющую скорость в интервале ∆v, везде одинакова, если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям. ♦ 5.8.9. Знание вероятности состояния системы в молекулярной физике позво- ляет предсказать дальнейшее поведение этой системы. Можно реализовать маловероятное событие. Например, в одной половине со- суда, разделенного на две одинаковые части перегородкой, находится газ. Пере- городку очень быстро убирают. Осуществлено состояние газа, вероятность ко- торого равна 2 −N , где N — число частиц газа в сосуде. Этот результат можно получить, решив задачу 5.8.1в. В последующие моменты времени в сосуде будут осуществляться другие состояния. В начальное же состояние система не перей- дет — слишком мала его вероятность! Следовательно, будет происходить необра- тимый переход в новые, более вероятные состояния, молекулы будут заполнять все пространство сосуда. Этот пример показывает, что знание вероятности состояния новой системы является очень полезным. А как вычислить вероятность состояния для других систем? Не слишком ли сложными будут вычисления? Оказывается — нет, не очень. Вычислять, во сколько раз вероятность одного состояния больше вероятности другого, нужно следующим образом. Если мы системе, находящейся в состоянии 1 при темпе- ратуре T , сообщим количество теплоты Q, то она перейдет в другое состояние, вероятность которого в exp (Q/kT ) раз больше вероятности состояния 1 (k — постоянная Больцмана). 141 Приведем пример того, как проводятся такие вычисления. Найдем, во сколь- ко раз вероятность состояния, в котором все N молекул газа находятся в одной половине сосуда (состояние 1), меньше вероятности состояния, в котором моле- кулы заполняют равномерно все пространство сосуда (состояние 2). Перегородим сосуд, в котором находятся молекулы, подвижным поршнем. При перемещении поршня влево на ∆x газ совершает работу ∆A и охлаждается. Для того что- бы сохранить температуру газа постоянной, мы должны сообщить молекулам газа количество теплоты ∆Q = ∆A (для восполнения энергетических потерь в газе). Следовательно, при перемещении поршня влево мы передадим газу при температуре T количество теплоты Q = A. При изотермическом расширении A = νRT ln (V к /V н ), где ν — количество газа (в молях), R = kN A — газовая по- стоянная, N A — постоянная Авогадро, V н — начальный объем, V к — конечный объем газа. В нашем случае N = νN A , V к /V н = 2. Поэтому формулу для работы мож- но переписать в виде A = N kT ln 2. Следовательно, вероятность состояния 2 в exp (A/kT ) = exp (N ln 2) = 2 N раз больше вероятности состояния 1. Мы полу- чили решение задачи 5.8.1в, рассматривая термодинамический процесс. Таким же способом определите вероятность того, что в области, имеющей объем V и являющейся ча- стью пространства, объем которого V 0 , соберутся все молекулы, движущиеся в этом пространстве. Исполь- зуя термодинамический процесс, решите задачу 5.8.3. Можно ли таким способом решить задачу 5.8.1? 5.8.10. Какую минимальную работу нужно со- вершить, чтобы при комнатной температуре увели- чить концентрацию золота в 1 кг породы от 10 −6 до 10 −2 ? 5.8.11 ∗ . Докажите, что на полупроницаемую перегородку, находящуюся в разбавленном растворе, действует при температуре T давление P = nkT , где n — число молекул растворенного вещества в единице объема раствора. Почему эта формула верна только для разбавленного раствора? 5.8.12 ∗ . В пространстве объема 2V 0 движется 2N молекул. Во сколько раз вероятность обнаружить N в области объема V 0 − V меньше вероятности обна- ружить N молекул во всем пространстве V 0 ? 5.8.13 ∗ . В сосуд с водой при температуре 20 ◦ C поместили 1 г льда, находя- щегося при температуре 0 ◦ C в герметичной коробке. Определите, во сколько раз вероятность процесса превращения льда в воду больше вероятности обратного процесса — растаявшая вода в коробке вдруг начнет отдавать тепло окружа- ющей воде и превратится в лед. Температура воды в сосуде при таянии льда практически не меняется. ♦ 5.8.14. С помощью термодинамического процесса покажите, что при температуре T : а) давление идеального газа в ограниченной области в exp (U/kT ) раз меньше, чем в осталь- ном пространстве, если эта область отделе- на от остального пространства энергетическим потенциальным барьером, равным для каж- дой частицы газа U ; б) концентрация молекул растворенного вещества в ограниченной обла- сти в exp (U/kT ) раз меньше, чем в остальном пространстве, занятом раство- рителем, если эта область отделена от остальной части растворителя энергети- ческим потенциальным барьером, равным для каждой молекулы растворенного вещества U , а взаимодействием этих молекул друг с другом можно пренебречь. 142 5.8.15. Поршень первоначально делит цилиндрический сосуд на две равные части, в которых находится идеальный газ одинаковой массы с одной и той же температурой. Реален ли процесс, в котором при движении поршня температура одной части увеличивается в два раза, а другой — уменьшается в два раза? Теплоемкостью поршня и цилиндра можно пренебречь, система изолирована. 5.8.16. Газодинамическое ружье представляет собой цилиндр, наполненный одноатомным газом и закрытый подвижным поршнем. Газ, расширяясь, разго- няет поршень. Реален ли процесс, когда при увеличении объема газа в n раз его температура уменьшается в n раз? в √ n раз? Система изолирована. § 5.9. Второе начало термодинамики 5.9.1. Два одинаковых тела, нагретых до разных температур, приводятся в тепловой контакт друг с другом. Температуры тел уравниваются. Покажите, что при этом процессе энтропия системы увеличивается. 5.9.2. Найдите приращение энтропии 1 кг льда при его плавлении. 5.9.3. На сколько возрастет энтропия 1 кг воды, находящейся при темпера- туре 293 K, при превращении ее в пар? 5.9.4. Найдите приращение энтропии водорода при расширении его от объ- ема V до 2V : а) в вакууме; б) при изотермическом процессе. Масса газа m. 5.9.5. Вычислите приращение энтропии водорода массы m при переходе его от объема V 1 и температуры T 1 к объему V 2 и температуре T 2 , если газ: а) нагре- вается при постоянном объеме V 1 , а затем изотермически расширяется; б) рас- ширяется при постоянной температуре T 1 до объема V 2 , затем нагревается при постоянном объеме; в) адиабатически расширяется до объема V 2 , а затем нагре- вается при постоянном объеме. 5.9.6 ∗ . Кусок льда массы 0,1 кг при температуре 0 ◦ C бросают в теплоизо- лированный сосуд, содержащий 2 кг бензола при 50 ◦ C. Найдите приращение эн- тропии системы после установления равновесия. Удельная теплоемкость бензола 1,75 кДж/(кг · K). ♦ 5.9.7 ∗ . В теплоизолированном сосуде находится 0,5 кмоль гелия и 1 кг льда. В начальный момент температура льда 273 K, гелия 303 K. Сосуд закрыт по- движным поршнем. Найдите приращение энтропии системы при переходе к рав- новесию. ♦ 5.9.8. Сосуд объема V разделен на две одинаковые части, в которых нахо- дятся разные газы, двумя перегородками. Перегородки проницаемы только для «своего» газа из той части сосуда, которую каждая из них изначально отделяет. Под действием газов перегородки движутся до стенок сосуда. Найдите прира- щение энтропии при этом движении, если первоначальное давление газов P , а температура T . Почему такой процесс невозможен, если газы с обеих сторон оди- наковы или невозможно экспериментальным путем отличить один газ от другого (например, в прошлом веке невозможно было различить изотопы)? 143 ♦ 5.9.9 ∗ . Тепловая машина, рабочее тело которой 1 моль идеального одноатом- ного газа, работает по замкнутым циклам, изображенным на рисунке. Найдите приращение энтропии в машине за один цикл. ♦ 5.9.10 ∗ . Найдите КПД циклов, изображенных на рисунке, если рабочим те- лом тепловой машины является одноатомный идеальный газ. 5.9.11. Существует ли циклический процесс, при котором все переданное телу от нагревателя тепло превращается в работу? 5.9.12. Можно ли практически всю внутреннюю энергию газа превратить в механическую работу? 5.9.13. Паровая машина мощности 14,7 кВт потребляет за 1 ч работы 8,1 кг угля с удельной теплотой сгорания 3, 3 · 10 7 Дж/кг. Температура котла 200 ◦ C, холодильника 58 ◦ C. Найдите КПД этой машины и сравните его с КПД идеальной тепловой машины. 5.9.14. Покажите, что КПД тепловой машины в циклическом процессе мак- симален, когда энтропия системы не меняется. 5.9.15. Почему КПД двигателя внутреннего сгорания резко падает при де- тонации (взрывном сгорании горючей смеси)? 5.9.16. В океане находится лодка с куском льда массы 1 кг при 0 ◦ C на борту. Определите максимальную работу, которую можно получить, используя процесс таяния льда. Температура воды 27 ◦ C. 5.9.17. Какую работу можно совершить, имея айсберг объема 1 км 3 в ка- честве холодильника и океан в качестве нагревателя? Какое время понадобится Красноярской ГЭС, чтобы выработать такое же количество энергии? Мощность Красноярской ГЭС 6 ГВт. 5.9.18 ∗ . Нагретое тело с начальной температурой T используется в качестве нагревателя в тепловой машине. Теплоемкость тела не зависит от температуры и равна C. Холодильником служит неограниченная среда, температура которой постоянна и равна T 0 . Найдите максимальную работу, которую можно получить за счет охлаждения тела. 144 5.9.19 ∗ . Имеются два тела с начальной температурой T 1 и T 2 . Теплоемкость этих тел равна C 1 и C 2 и не зависит от температуры. Одно тело используется как нагреватель, другое — как холодильник в тепловой машине. Найдите мак- симальную работу, которую можно получить таким образом. Провести расчет, когда первое тело — 1 кг кипящей воды, второе — 1 кг воды при температу- ре 0 ◦ C. 5.9.20. Как изменится температура в комнате, если дверцу работающего холодильника оставить открытой? 5.9.21. Идеальная тепловая машина с КПД η работает по обратному цик- лу. Какое максимальное количество теплоты можно забрать из холодильника, совершив механическую работу A? 5.9.22. Абсолютная теплоизоляция невозможна. На первый взгляд, тепло- вая мощность 0,1 Вт, поступающая в холодильную камеру из-за несовершенства теплоизоляции, кажется незначительной. Рассчитайте минимальную мощность, которую в этом случае нужно затратить, чтобы поддерживать в камере темпе- ратуру 10 −4 K при температуре окружающей среды 20 ◦ C. Проведите аналогич- ный расчет для бытового холодильника, в камере которого нужно поддерживать температуру −13 ◦ C. (В установках для получения рекордно низких температур мощность такого «паразитного» притока тепла удается снизить до 0,01 Вт и ниже.) 5.9.23. Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу, пере- дает тепло от холодильника с водой при температуре 0 ◦ C кипятильнику с водой при температуре 100 ◦ C. Сколько воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 1 кг воды в кипятильнике? 5.9.24 ∗ . С помощью электрической плитки мощностью 1 кВт в комнате под- держивается температура 17 ◦ C при температуре наружного воздуха −23 ◦ C. Ка- кая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью идеальной тепловой машины? 5.9.25 ∗ . Какую минимальную работу нужно затратить для того, чтобы за- морозить 1 кг воды, находящейся при температуре окружающей среды 300 K? 5.9.26. Известно, что при растворении в воде некоторых веществ (например, гипосульфита) температура раствора понижается. Используя этот раствор в ка- честве холодильника, а окружающую среду в качестве нагревателя, мы можем получить некоторую работу. Затем, дождавшись высыхания раствора, повторяем цикл. Получим ли мы таким образом вечный двигатель второго рода? § 5.10. Фазовые переходы 5.10.1. В кастрюлю налили холодной воды (температура 10 ◦ C) и поставили на плиту. Через 10 мин вода закипела. Через какое время она полностью испа- рится? 5.10.2. Смогли бы солнечные лучи на экваторе растопить за один солнечный день снежный покров толщиной 1 м? Максимальная плотность потока солнечной энергии близка к 1 кВт/м 2 , а коэффициент отражения — к 0,9. 5.10.3. Почему вода в сосуде, закрытом крышкой, закипает быстрее, чем в открытом? 5.10.4. В цилиндрическом стакане при подводе к нему тепловой мощности 1 кВт тает лед. Диаметр стакана 10 см. Определите, как изменится давление смеси воды и льда на дно стакана из-за таяния льда. 5.10.5. В колбе находилась вода при 0 ◦ |