Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
Н. Расстояние между проводами 1 м, ток в проводах 1 А. Чему равна магнитная проницаемость этой среды? 9.2.5. По каждому из четырех длинных прямых параллельных проводников, проходящих через вершины квадрата (стороны квадрата 30 см) перпендикуляр- но его плоскости, течет ток 10 А, причем по трем проводникам ток течет в одном направлении, а по четвертому — в противоположном. Определите индукцию маг- нитного поля в центре квадрата. 9.2.6. Длинные прямые провода с током пересекаются под прямым углом. Определите индукцию магнитного поля в точке с координатами x и y, если осями координат служат провода, а ток в проводах I. 9.2.7. Длинные прямые провода с током пересекаются под углом α. Найди- те индукцию магнитного поля на прямой, проходящей через точку пересечения проводов перпендикулярно им обоим. Ток в проводах I. ♦ 9.2.8. а. Используя формулу, приведенную в задаче 9.2.1, определите индук- цию магнитного поля, создаваемого зарядом q, движущимся со скоростью v, на расстоянии r от этого заряда. Радиус-вектор r образует со скоростью v угол α. ♦ б. Определите индукцию магнитного поля прямого провода длины l, по ко- торому течет ток I, на расстоянии r от провода, если l r. Радиус-вектор r образует с проводом угол α. 9.2.9. Докажите, что на больших расстояниях от двух последовательно со- единенных участков провода l 1 и l 2 , по которым течет ток, магнитное поле близко к магнитному полю участка провода l = l 1 + l 2 , по которому течет тот же ток. 9.2.10. По кольцу радиуса R течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре кольца и на его оси на расстоянии h от центра кольца. 9.2.11. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в центре коль- ца с током, если его согнуть под углом α? Ток в кольце не меняется. 9.2.12. Провод, лежащий в одной плоскости, состоит из двух длинных пря- мых параллельных участков, связанных полуокружностью. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокружности. ♦ 9.2.13. Длинный прямой провод с током I имеет участок в виде полуокруж- ности радиуса R. Определите индукцию магнитного поля в центре полуокруж- ности. 205 ♦ 9.2.14 ∗ . Прямой провод имеет виток радиуса R. По проводу течет ток I. Определите индукцию магнитного поля в центре витка и на его оси на расстоя- нии h от его центра. 9.2.15. а. Металлическое кольцо разорвалось, когда ток в кольце был I 0 Сделали точно такое же кольцо, но из материала, предел прочности которого в десять раз больше. Какой ток разорвет новое кольцо? б ∗ . Какой ток разорвет новое кольцо, сделанное из этого более прочного ма- териала, если все размеры нового кольца в два раза больше размеров старого? 9.2.16. Определите индукцию магнитного поля на оси контура, магнитный момент которого M , на больших расстояниях h в случаях, когда контур пред- ставляет собой окружность, квадрат, правильный треугольник. ♦ 9.2.17 ∗ . Определите индукцию магнитного поля прямоугольной рамки a × a с током I в точке A, находящейся на расстоянии r, много большем линейных размеров рамки. Радиус-вектор r образует с плоскостью рамки угол α. 9.2.18 ∗ . Магнитное поле плоского контура с током на больших расстояниях от него определяется магнитным моментом контура и не зависит от его формы. Докажите это. ♦ 9.2.19 ∗ . а. Внутри большого квадратного контура с током равномерно рас- пределено много квадратных микроконтуров с током. Магнитный момент каждо- го микроконтура M 0 . Докажите, что на расстоянии, много большем расстояния между микроконтурами, индукция их магнитного поля совпадает с индукцией магнитного поля большого контура, магнитный момент которого nM 0 , где n — число микроконтуров внутри большого контура. б. Тонкая квадратная пластина, размеры которой a × a × h (h a), намагни- чена в направлении, перпендикулярном ее плоскости. Индукция магнитного поля в центре пластины B. Определите магнитный момент единицы объема вещества пластины. 9.2.20. Из намагниченного железа вырезали плоский тонкий диск радиуса R и толщины h. Плоскость диска перпендикулярна направлению намагничивания. Магнитный момент единицы объема железа M . Определите индукцию магнит- ного поля на оси диска на расстоянии l от его центра. 9.2.21. Оцените индукцию магнитного поля в центре плоского железного кольца толщины 1 см с внутренним радиусом 10 см и внешним радиусом 20 см. Все атомы железа ориентированы вдоль оси кольца, магнитный момент атома железа равен 2µ e = 1,85 · 10 −23 Дж/Тл. 9.2.22. Индукция магнитного поля в центре тонкого стального намагничен- ного вдоль своей оси диска радиуса R равна B. Этот диск помещают в однородное магнитное поле с индукцией B 0 , которое не меняет магнитного момента диска. 206 Как нужно ориентировать диск в этом магнитном поле, чтобы момент сил, дей- ствующий на него, был максимальным? Чему равен этот момент? 9.2.23. Сила взаимодействия двух тонких намагниченных квадратных пла- стин, расположенных на расстоянии H друг над другом, равна F . Размеры пла- стин a × a × h. Оцените магнитный момент единицы объема пластины, если толщина пластины h H, а H a. § 9.3. Магнитное поле тока, распределенного по поверхности или пространству 9.3.1. Используя формулу, приведенную в задаче 9.2.1, определите индукцию магнитного поля вблизи равномерно заряженной пластины, которая движется со скоростью v вдоль своей плоскости. Поверхностная плотность заряда пластины σ. 9.3.2. Найдите индукцию магнитного поля внутри плоского конденсатора, движущегося со скоростью 9 м/с параллельно своим пластинам. Расстояние меж- ду пластинами 10 мм, напряжение на них 10 кВ. 9.3.3. Чему равна индукция магнитного поля бесконечной плоскости, по ко- торой идет ток линейной плотности i? 9.3.4. По двум параллельным плоскостям текут в одном направлении то- ки, линейная плотность которых i 1 и i 2 . Определите индукцию магнитного поля между плоскостями и вне их. 9.3.5. По двум параллельным шинам течет ток I. Ширина шин b много боль- ше расстояния между ними. Чему равна сила, действующая на единицу длины шины? 9.3.6. а. Через пластину прямоугольного сечения a × b (a b) пропусти- ли ток I. Модуль продольной упругости пластины E. Определите, на сколько уменьшится размер a под действием магнитных сил. б. Мягкая медь «течет» при давлении 4 · 10 7 Па, а сталь — при давлении 5 · 10 8 Па. Оцените минимальную индукцию магнитного поля, под действием которого будут «течь» медь и сталь. ♦ 9.3.7. По плоской поверхности, изображенной на рисунке, течет ток линей- ной плотности i. Докажите, что составляющая индукции магнитного поля, парал- лельная поверхности и перпендикулярная направлению i, определяется формулой B = µ 0 iΩ/4π в СИ и B = iΩ/c в СГС, где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность. 9.3.8. Используя формулу B = µ 0 iΩ/4π из задачи 9.3.7, решите следующие задачи. а. Определите индукцию магнитного поля бесконечно длинной полосы ши- рины 2h в точке над средней линией полосы на расстоянии h от этой линии, если вдоль полосы течет ток линейной плотности i. б. Определите индукцию магнитного поля по оси бесконечно длинного ци- линдра, по поверхности которого течет поперечный ток линейной плотности i. в ∗ . По прямому длинному проводнику, сечение которого — правильный тре- угольник со стороной a, течет ток плотности j. Определите индукцию магнитного поля на ребрах проводника. 9.3.9. Какую силу натяжения вызывает в витках длинного соленоида ток I? Число витков на единицу длины соленоида n, его радиус R. ♦ 9.3.10 ∗ . По поверхности полубесконечного кругового цилиндра радиуса R течет поперечный ток линейной плотности i. 207 а. Определите составляющую индукции магнитного поля вдоль оси цилин- дра в крайнем его сечении AA . б. Как зависит индукция магнитного поля на оси цилиндра от расстояний x 1 и x 2 до его конца? Чему равна эта индукция на больших расстояниях от цилин- дра? 9.3.11 ∗ . а. Сплошной цилиндр вырезан из намагниченного до насыщения же- леза так, что его ось совпадает с направлением намагничивания. Докажите экви- валентность магнитного поля этого цилиндра полю поперечного тока, текущего по его поверхности, линейная плотность которого равна магнитному моменту единицы объема железа. б. Из длинного стержня, намагниченного до насыщения вдоль оси, вырезали кубик так, что одно из ребер кубика было направлено вдоль направления на- магничивания. Во сколько раз индукция магнитного поля в центре кубика будет меньше индукции в стержне? в. Определите индукцию магнитного поля в центре цилиндра длины l и ра- диуса r. Магнитный момент единицы объема железа равен M . Чему равна эта индукция при r l? при r l? г. Решите предыдущую задачу в случае, если по оси цилиндра просверлено отверстие малого радиуса. 9.3.12. Тонкие квадратные пластины, размеры которых a × a × h (h a), намагничены до насыщения в направлении, перпендикулярном их плос- кости. В центре каждой пластины индукция магнитного поля B 0 . Чему будет равна индукция поля внутри длинного прямоугольного столба сечения a × a, со- бранного из этих пластин? ♦ 9.3.13. В длинный соленоид с током 0,5 А поместили ци- линдрический ферромагнитный столбик с узкими полостями. Число витков на 1 см длины соленоида 10, магнитная проница- емость ферромагнетика 600. Определите индукцию магнитно- го поля в продольной и поперечной полостях (в точках A и B). 9.3.14. Диск радиуса R и высоты h R, сделанный из материала с магнитной проницаемостью µ = 1 + κ, κ 1, по- местили поперек однородного магнитного поля индукции B 0 На сколько индукция в центре диска будет отличаться от B 0 ? 9.3.15. Циркуляция индукции постоянного магнитного поля по замкнутому контуру в вакууме равна току через по- верхность, ограниченную этим контуром, умноженному на µ 0 Приведите примеры, подтверждающие этот закон. Решите, используя его, сле- дующие задачи. а. По бесконечно длинному прямому проводу радиуса r течет ток I. Ток рас- пределен равномерно по сечению провода. Найдите индукцию магнитного поля внутри и вне провода. 208 ♦ б. По длинной широкой шине с поперечным размером a течет ток, равномерно распределенный по сечению проводника. Плотность тока j. Как зависит индукция магнитного поля от расстояния x до средней плоскости шины? 9.3.16. Через тороидальный соленоид, имеющий N витков, протекает ток I. Внешний радиус тора R, внутренний r. Определите минимальную и максималь- ную индукцию магнитного поля внутри соленоида. ♦ 9.3.17. а. Ток I идет по длинному прямому проводу, перпендикулярному про- водящей плоскости, и растекается по ней. Определите распределение магнитного поля. б. Длинный провод с током I пересекает проводящую плоскость в перпен- дикулярном ей направлении. Ток, уходящий на плоскость, равен I . Определите распределение магнитного поля в этой системе. в. Коаксильный кабель входит в сферическую плоскость так, как изображено на рисунке. Найдите индукцию магнитного поля во всем пространстве. ♦ 9.3.18 ∗ . Ток I по длинному прямому проводу входит в проводник перпенди- кулярно его поверхности и равномерно растекается по нему. Как зависит индук- ция магнитного поля внутри проводника от угла β и расстояния r? 14 209 ♦ 9.3.19. Распределение тока в двух взаимно перпендикулярных пластинах толщины h показано на рисунке. В области пересечения пластин тока нет. На- рисуйте график зависимости индукции магнитного поля от x. ♦ 9.3.20. В бесконечной пластине толщины h вырезали цилиндрическую по- лость радиуса h/2, ось которой параллельна поверхностям пластины. Во всем объеме пластины, за исключением полости, течет ток, направленный вдоль оси полости. Найдите распределение индукции магнитного поля вдоль прямой OA, которая проходит через ось полости и перпендикулярна поверхностям пластины. Плотность тока j. 9.3.21 ∗ . Определите индукцию магнитного поля в длинной цилиндрической полости, расположенной внутри цилиндрического проводника, если ось полости параллельна оси проводника и отстоит от нее на расстоянии d. Ток распределен равномерно по сечению проводника. Плотность тока j. ♦ 9.3.22 ∗ . а. Два цилиндра радиуса R, оси которых находятся на расстоянии a друг от друга, пересекаются, как показано на рисунке. Через заштрихованные области вдоль осей в противоположных направлениях текут токи, плотность ко- торых ±j. Найдите индукцию магнитного поля в области, лежащей между за- штрихованными областями. б. Используя результат предыдущей задачи и применяя метод предельного перехода, найдите при a → 0, j → ∞ распределение линейной плотности тока на поверхности цилиндра радиуса R, которое дает однородное внутри цилиндра магнитное поле индукции B 0 . Как связана максимальная линейная плотность тока с индукцией поля B 0 ? 9.3.23 ∗ . Плоскости витков круглого соленои- да наклонены под углом α к его оси. Ток соле- ноида I, число витков на единицу его длины n, радиус R. Определите индукцию магнитного поля внутри такого соленоида. ♦ 9.3.24 ∗ . Длинный цилиндрический железный стержень радиуса r намагничен в магнитном поле, перпендикулярном оси стержня. Магнитный мо- мент единицы объема стержня M . Как зависит индукция магнитного поля от x на расстояниях, много меньших длины стержня? § 9.4. Магнитный поток ♦ 9.4.1. Индукция однородного магнитного поля равна B. а. Чему равен магнитный поток через квадрат со стороной a, плоскость ко- торого расположена под углом 60 ◦ к направлению магнитного поля? б. Чему равен магнитный поток через плоскую поверхность площади S, ко- торая расположена под углом α к направлению магнитного поля? 210 ♦ 9.4.2. Определите магнитный поток через выделенный на рисунке участок сферы радиуса R. Индукция магнитного поля B направлена вдоль оси симметрии этого участка. 9.4.3. Покажите, что магнитный поток, создаваемый плоскостью с линейной плотностью тока i, через любую замкнутую поверхность равен нулю. 9.4.4 ∗ . Докажите, что магнитный поток, создаваемый элементом тока, через любую замкнутую поверхность равен нулю. 9.4.5. Плоская горизонтальная граница делит пространство на две части. В нижней части индукция магнитного поля равна нулю. Докажите, что однородное поле вблизи поверхности в верхней части направлено параллельно ей. ♦ 9.4.6. Индукция магнитного поля B, переходя через плоскую поверхность, меняет угол наклона к ней с α на β. Во сколько раз изменится индукция поля? Чему равна линейная плотность тока на поверхности? ♦ 9.4.7 ∗ . Плоскости, пересекающиеся под углом α, делят пространство на че- тыре области. Магнитное поле в каждой области однородно. В областях 1 и 3 индукция поля параллельна плоскости симметрии AA , направлена в одну сто- рону и равна соответственно B 1 и B 3 . Определите индукцию поля в областях 2 и 4. ♦ 9.4.8. а. Составляющая индукции аксиально-симметричного магнитно- го поля, направленная вдоль оси симметрии поля, линейно зависит от x: B x = B 0 x/x 0 , где x 0 и B 0 — постоянные. Опре- делите зависимость радиальной составляющей индукции поля от расстояния до оси. Как зави- сит угол наклона поля к его оси симметрии от x и r? Нарисуйте линии индукции этого поля. б. Составляющая индукции магнитного по- ля в предыдущей задаче меняется вдоль оси по закону B = B 0 (x/x 0 ) n . Определите радиаль- ную составляющую индукции поля. Как определить B r в общем случае, когда B x = B 0 f (x)? 211 9.4.9. Составляющая индукции магнитного поля вдоль оси бесконечного ци- линдра радиуса R меняется как B 0 x/x 0 внутри цилиндра, а вне — эта составляю- щая равна нулю. Как вне цилиндра зависит радиальная составляющая индукции от расстояния до его оси? 9.4.10 ∗ . а. Определите магнитный поток через поверхность полубесконечно- го цилиндра, по которому циркулирует поперечный ток с линейной плотностью i. Радиус цилиндра R. б. С какой силой притягиваются половинки длинного соленоида с током I? Радиус соленоида R, число витков на единицу длины соленоида n. 9.4.11. Два длинных стержня, намагниченных в продольном направлении, притянулись друг к другу своими торцами. Чтобы оторвать их друг от друга, нужно приложить в осевом направлении силу F . Сечение стержней одинаково, площадь сечения S. Определите индукцию магнитного поля в месте соединения стержней. 9.4.12. В неоднородном магнитном поле находится соленоид с током I. Число витков на единицу длины соленоида n. Магнитный поток, входящий и выходя- щий через торцы соленоида, равен соответственно Φ 1 и Φ 2 . Определите силу, действующую на соленоид вдоль его оси. 9.4.13. Взаимной индуктивностью двух контуров называется коэффициент пропорциональности между током в одном из контуров и создаваемым им маг- нитным потоком, пронизывающим второй контур. Определите взаимную индук- тивность: а) двух круговых контуров радиуса r и R, расположенных на одной оси симметрии на расстоянии друг от друга l r, R; б) длинного соленоида радиуса r, содержащего n витков на единицу длины, и кругового контура, охва- тывающего этот соленоид. 212 Глава 10 Движение заряженных частиц в сложных полях § 10.1. Движение в однородном магнитном поле 10.1.1. Протон, ускоренный напряжением 20 кВ, влетает в однородное маг- нитное поле индукции 0,1 Тл перпендикулярно полю. Найдите радиус окружно- сти, по которой движется протон в магнитном поле. 10.1.2. Электрон, ускоренный напряжением 200 В, движется в магнитном поле Земли, индукция которого 70 мкТл. Найдите радиус окружности, по которой движется электрон, если скорость его перпендикулярна магнитному полю Земли. 10.1.3. а. Определите частоту обращения (циклотронную частоту) частицы массы m с зарядом q в магнитном поле индукции B. б. Определите циклотронную частоту электрона в магнитном поле индукции 1 Тл. 10.1.4. Как относятся радиусы траекторий двух электронов с кинетической энергией K 1 и K 2 |