Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
-мезон с нулевой начальной скоростью ускорится до этой энергии? Энергия покоя π + -мезона m + c 2 = 10 8 эВ, заряд e. 14.4.15. Для изучения поля электронов на малых расстояниях их ускоряют до энергий в N = 1000 раз большей энергии покоя электрона m e c 2 и наблю- дают встречное взаимодействие двух таких электронов. Во сколько раз нужно увеличить энергию электрона, чтобы получить такие же результаты, наблюдая взаимодействие между движущимся электроном и первоначально неподвижным электроном? 14.4.16. Пролетая через электростатический конденсатор, протон с кинети- ческой энергией E = 10 6 эВ отклоняется на угол α p = 0, 1 рад. Оцените, на какой угол отклонится электрон с такой же кинетической энергией. ♦ 14.4.17. При какой минимальной разности потенциалов в плоском конденса- торе электроны, ускоренные потенциалом U = 1 МВ, влетающие в конденсатор через небольшое отверстие в нижней пластине под углом α = 30 ◦ к ней, не доле- тают до верхней пластины? 14.4.18. Определите кинетические энергии протонов и электронов, проходя- щих по дуге радиуса R = 0,3 м через поворотный магнит с индукцией B = 1 Тл. ♦ 14.4.19. Магнитное поле в телевизионной трубке поворачивает электроны с энергией E = 2·10 4 эВ на угол α = 60 ◦ . Отклоняющая катушка создает магнитное поле на участке трубки длиной l = 10 см. Определите индукцию магнитного поля. Какая ошибка совершается при расчете индукции, если пренебречь изменениями массы электрона при его движении? 14.4.20. Каким должен быть радиус кольцевого накопителя с магнитным полем индукции B = 1 Тл, предназначенного для накопления протонов с энергией E = 10 11 эВ? для накопления электронов с энергией E = 10 11 эВ? 14.4.21. Определите циклотронную частоту электрона, ускоренного разно- стью потенциалов v = 2 · 10 6 В, в магнитном поле индукции B = 10 Тл. 275 14.4.22. Чему равна индукция магнитного поля на накопительных дорож- ках радиуса R = 6 м, если масса электронов, движущихся по этим дорожкам, в N = 1000 раз больше m e ? ♦ 14.4.23. Электрон влетает со скоростью βc в магнитное поле перпендикуляр- но границе поля и вектору индукции B. Определите время пребывания электрона в магнитном поле. 14.4.24. Решите задачу 14.4.23 в случае, если область, занятая магнитным полем, движется перпендикулярно своей границе со скоростью β 1 c. 14.4.25. Оцените, при какой минимальной энергии электроны, находящиеся на высоте h = 1000 км, смогут достигнуть поверхности Земли в области эквато- ра, если индукция магнитного поля Земли B = 30 мкТл? ♦ 14.4.26. Космический корабль входит в ионосферу Земли со скоростью v, которая много больше тепловых скоростей протонов ионосферы. Какой должна быть минимальная толщина магнитного экранного слоя, защищающая лобовую поверхность корабля от протонов, если магнитная индукция B направлена па- раллельно поверхности? 14.4.27. Определите кинетическую энергию электрона, который движется в магнитном поле индукции B по винтовой линии радиуса R с шагом h. 14.4.28. В скрещенном электрическом поле напряженности E и магнитном поле индукции B релятивистская заряженная частица «дрейфует» поперек полей. Чему равна дрейфовая скорость частицы? 14.4.29 ∗ . Чему равна максимальная скорость заряженной частицы в скре- щенном электрическом и магнитном полях E и B (E ⊥ B), если минимальная скорость равна βc? β > k = E/B? ♦ 14.4.30 ∗ . Между плоским анодом и катодом подается высокое напряжение. Система находится в магнитном поле индукции B = 10 Тл, которое параллельно электродам. Расстояние между анодом и катодом h = 10 см. При каком мини- мальном напряжении электроны достигнут анода? 276 ♦ 14.4.31 ∗ . Электрон вращается в постоянном магнитном поле индукции B, имея скорость βc. Включается электрическое поле E параллельно вектору скоро- сти βc. Определите максимальную скорость электрона, которую он приобретает в скрещенном поле. § 14.5. Закон сохранения массы и импульса 14.5.1. Неподвижная частица массы M распадается на два γ-кванта. Опре- делите массу каждого γ-кванта. 14.5.2. Мощность излучения Солнца W близка к 4 · 10 26 Вт. Оцените массу, теряемую Солнцем из-за излучения в течение секунды. 14.5.3. Скорости двух частиц, образующихся при распаде неподвижного яд- ра массы M , одинаковы по величине и равны βc. Определите полную массу, массу покоя и кинетическую энергию каждой частицы. 14.5.4. При встречном столкновении протонов может рождаться частица с массой поля в k раз больше массы покоя протона m p : p = p + p → p + p + M, M = km p Определите минимальную массу движущихся протонов, для которых возможна эта реакция. Чему равна минимальная скорость протонов? 14.5.5. При какой кинетической энергии электронов и позитронов (в МэВ) в экспериментах на встречных пучках наблюдается рождение протон-антипротон- ной пары: e − + e + → p + ¯ p? рождение π 0 -мезона: e + + e − → π 0 ? 14.5.6. Неподвижный атом массы M поглощает фотон массы m. Определите массу и импульс атома после поглощения фотона. 14.5.7 ∗ . Определите скорость «отдачи» неподвижного атома массы M после испускания фотона массы m. 14.5.8. Фотонная ракета, стартующая с Земли, по наблюдениям с Земли теряет в единицу времени массу m. Начальная масса ракеты M . Как меняется от времени скорость и масса покоя ракеты? Действием на ракету гравитационного поля Земли пренебречь. 14.5.9. Две частицы с массами m 1 и m 2 , летящие со скоростью v 1 и v 2 , направленными друг к другу под углом α, сливаются в одну частицу. Определите массу и скорость образовавшейся частицы. 14.5.10. В ядерной физике массы частиц измеряются в энергетических еди- ницах, когда вместо массы m дается энергия массы mc 2 (1 МэВ = 1,6·10 −19 Дж). Определите в МэВ массы электрона, протона, π 0 -мезона и ψ-мезона, если массы этих частиц соответственно равны 0,911 · 10 −27 г, 1,673 · 10 −24 г, 2,4 · 10 −25 г, 5 · 10 −24 г. 14.5.11. π 0 -Мезон распадается на два γ-кванта: π 0 → γ + γ. Найдите кине- тическую энергию π 0 -мезона, если счетчик, расположенный по направлению его движения, регистрирует γ-квант с энергией 270 МэВ. 14.5.12 ∗ . При каких кинетических энергиях π 0 -мезона γ-квант, возникаю- щий при распаде π 0 → γ + γ и летящий назад, может родить электрон-позитрон- ную пару при столкновении с тяжелым ядром? 14.5.13. Неподвижное ядро, распадаясь, испускает электрон с кинетической энергией E e = 1, 73 МэВ и перпендикулярно к направлению движения электро- на нейтрино с энергией E ν = 1 МэВ. Масса покоя нейтрино равна нулю. Чему будет равна кинетическая энергия ядра, если оставшаяся масса ядра M = 3,9 · 10 −22 г. 18 ∗ 277 14.5.14 ∗ . Масса и импульс состояния, которое получается при движении со скоростью v состояния с массой M и нулевым импульсом, равны γM и γM v 0 , γ = 1/ 1 − (v 2 /c 2 ). Докажите это утверждение для состояния, в котором дви- жутся две невзаимодействующие частицы. ♦ 14.5.15. Движущаяся частица распадается на два γ-кванта с одинаковой массой, которые разлетаются под углом α друг к другу. С какой скоростью дви- галась частица? 14.5.16. Быстрые протоны сталкиваются с неподвижными протонами. При какой кинетической энергии быстрых протонов могут рождаться π 0 -мезоны: p + p → p + p + π 0 ? ψ-мезоны: p + p → p + p + ψ? протон-мезонные пары: p + p → p + p + (¯ p + p)? 14.5.17. При какой минимальной кинетической энергии позитрона его столк- новение с неподвижным электроном может вызвать появление протон-антипро- тонной пары: e + + e − → p + ¯ p? Во сколько раз эта энергия больше минимальной кинетической энергии позитрона, который рождает протон-антипротонную пару при встречном столкновении с электроном? ♦ 14.5.18. Определите минимальную энергию электрона и позитрона, которые, имея одинаковые скорости, направленные под углом α друг к другу, могут родить протон-антипротонную пару: e + − e − → p + ¯ p. 14.5.19. а. С какой скоростью двигалось возбуждающее ядро массы M , если после испускания γ-кванта массы m оно остановилось? На сколько отличается масса и энергия возбужденного и невозбужденного ядра? б. В каком диапазоне скоростей возбужденного ядра из задачи пункта а воз- можно следующее событие. Испущенный возбужденным ядром γ-квант поглоща- ется невозбужденным неподвижным ядром. 14.5.20. Определите минимальную и максимальную энергии нейтрино, об- разующихся при распаде π 0 -мезона с энергией 6 ГэВ: π 0 → µ + + e + ν. 14.5.21. В каком диапазоне энергий лежат кинетические энергии электронов и нейтрино, возникающих при распаде µ − -мезона: µ − → e − + ν + ¯ ν? 278 14.5.22. Какую максимальную энергию могут приобрести фотоны с энер- гией E = 10 эВ при рассеянии на встречном пучке электронов с энергией E e = 10 10 эВ? ♦ 14.5.23. Фотон массы m сталкивается с неподвижным электроном. Опре- делите массу фотона и электрона после столкновения, при котором фотон изменил направление движения на угол α. 14.5.24. Докажите, что свободный электрон не может ни поглотить, ни ис- пустить фотон. 279 ОТВЕТЫ Глава 1 КИНЕМАТИКА § 1.1. Движение с постоянной скоростью 1.1.1. v = 200 м/с. 1.1.2. v = 0,7 км/с; на юго-восток. 1.1.3. v = 3 м/с; в 1 м от потолка и 2 м от боковой стены. 1.1.4. На расстоянии 1,15 м от счетчика A. 1.1.5 ∗ . AO = L 3t A − 2t B − t C 2(t A − t B ) , t O = t B − 1 2 (t A − t C ). 1.1.6. l = l(v − u)/(v + u). 1.1.7. v = c(τ 0 − τ )/(τ 0 + τ ). 1.1.8. ν = ν(w − u)/(w − v). ♦ 1.1.9. а. При t < l/v граница области — конус с вершиной, находящейся на расстоянии vt от конца стержня, переходящий в касающуюся его сферу радиуса ut. При t > l/v — сферы с центрами на концах стержня и радиусами ut и u(t − l/v) с касательной к ним конической поверхностью. б ∗ . cos α = u/v. ♦ 1.1.10 ∗ . Из области, ограниченной углом α = 2 arcsin(u/v) с вершиной в точке A, биссек- триса которого — шоссе. 1.1.11 ∗ . v = cl/ √ l 2 − c 2 ∆t 2 1.1.12. u = v/ sin α. ♦ 1.1.13. См. рис. 1.1.14. Ордината и абсцисса точки пересечения графиков x 1 = vt и x 2 = a + v(t − t 1 )/2 дают время и координату точки соударения частиц: t = (2a − vt 1 )/v, x = 2a − vt 1 ♦ 1.1.15. См. рис.; б) v ср = 0, в) v ср = 1 м/с. ♦ 1.1.16. См. рис. ♦ 1.1.17. См. рис. а) возвращение луча по координате x занимает очень малое время, соот- ветственно на единицу длины люминесцирующей поверхности экрана попадает мало электро- нов. См. рис. б) при τ y /τ x = m/n, где m и n — любые целые числа. 1.1.18 ∗ . x = 2lv v sin α + √ c 2 − v 2 cos 2 α c 2 − v 2 1.1.19. β = 2α. В направлении, противоположном начальному. 1.1.20 ∗ . tg ϕ = 2ma/(nb), где m и n — любые целые числа. 1.1.21. (−c x , c y , c z ), (−c x , −c y , −c z ). 1.1.22. ∆t/t = (r 2 − h 2 )/(R 2 − h 2 ). 280 281 ♦ 1.1.23 ∗ . См. рис. Нулевая у стенок. Наибольшая в любом месте на расстоянии от стенок, большем 2R, и равная 2R/(L−2R) при L > 4R; в любом месте на расстоянии от стенок, большем L − 2R, и равная единице при 4R > L > 2R. § 1.2. Движение с переменной скоростью 1.2.1. v ср = 2 π v R − r R + r ; направлена по границе раздела. 1.2.2. t = 12 с, x = 24 м. 1.2.3. L = v 0 t + v 0 (t − t 0 ) 2 2t 0 1.2.4. Любой график с изменением координаты за указанное время на 20 м и с наибольшим «наклоном» касательной 15 м/с. 1.2.5. x > l(v 1 /v 2 − 1). 1.2.6. x = (π/4)v 0 t 0 1.2.7. Средняя скорость больше начальной, а конечная скорость нулевая. 1.2.8 ∗ . v = √ La. 1.2.9. v = N/b. 1.2.10. t = R/q. 1.2.11 ∗ . а. v = πv 3 0 t 2 tg 2 α s б. v = 1 2 q πht 1.2.12. q = 126 см 3 /с. 1.2.13. a = 277 м/с 2 ; в 28 раз. 1.2.14. v 1 = 43 м/с; v 2 = 423 м/с. ♦ 1.2.15. См. рис.; v = 600 м/с. От 6 до 6,9 км. x = 6,9 км. Проверьте равенство площадей на графике ускорения над и под осью t. 1.2.16. 4 и 16. ♦ 1.2.17. См. рис. Отношение модулей ускорения равно 2. ♦ 1.2.18. См. рис. 1.2.19. v = 0,72 см/с. 1.2.20 ∗ . t = (2 + √ 2 )t 0 1.2.21 ∗ . t = (2t 1 t 2 − t 2 1 + t 2 2 )/[2(t 1 − t 2 )]. 282 § 1.3. Движение в поле тяжести. Криволинейное движение 1.3.1. t = v/g − ∆t/2. 1.3.2. а. t = 2D/g. б. На окружности диаметра gt 2 /2 с верхней точкой A. 1.3.3 ∗ . Под углом ϕ/2 к вертикали. 1.3.4. v B = v 2 A + 2gh. 1.3.5. t = v g (sin ϕ − cosϕ tg α). 1.3.6. а) v x = v cos ϕ, v y = v sin ϕ − gt. б) x = (v cos ϕ)t, y = (v sin ϕ)t − gt 2 /2. в) y = x tg ϕ − gx 2 2v 2 cos 2 ϕ = x tg ϕ − gx 2 2v 2 (tg 2 ϕ + 1). г) T = 2v g sin ϕ, H = v 2 2g sin 2 ϕ, L = v 2 g sin 2ϕ. 1.3.7. L = √ 2 v 2 /g. 1.3.8. L = 2v 2 g cos 2 β cos α (tg β − tg α). 1.3.9. v = L(a + g). 1.3.10. H = 2u g (v cos α − u) tg 2 α. 1.3.11. L = 2v 2 g(tg β + tg α) 1.3.12 ∗ . m = 7 кг. 1.3.13 ∗ . а) tg ϕ = v 2 ± v 4 − 2gv 2 y − g 2 x 2 gx б) y = v 2 2g − gx 2 2v 2 в) v мин = g(y + x 2 + y 2 ). 1.3.14. x отн = (v cos ϕ)∆t; y отн = (v sin ϕ)∆t − g∆t 2 /2 − g∆t · t, где t — время, прошедшее после вылета второго тела. Относительная скорость постоянна, направлена вертикально вниз и равна по модулю g∆t. 1.3.15. v = 2πRgn/ sin 2α, где n — любое натуральное число; при α = 0 скорость может быть любой по модулю. 1.3.16 ∗ . t = 2v g ctg α при v cos α < √ 2gl sin α; t = v g ctg α 1 − 1 − 2gl tg α v 2 cos α при v cos α > √ 2gl sin α. 283 1.3.17. v 1 = g∆t sin α, v 2 = g∆t cos α. 1.3.18 ∗ . R = gT 1 T 2 /(2 √ 2). 1.3.19 ∗ . v = g[2(H − h) + L]. 1.3.20. vэ = 1675 км/ч, aэ = 0,034 м/с 2 v Л = 838 км/ч, a Л = 0,017 м/с 2 1.3.21. v = √ gR = 8 км/с. 1.3.22 ∗ . a < (4 + π 2 )v 2 /(2πl). ♦ 1.3.23. См. рис. 1.3.24. На ( √ 3/2) · 10 2 м/с; на 5 · 10 −5 рад; ω = 5 · 10 −3 с −1 1.3.25. a = k 2 + k 4 t 4 /r 2 1.3.26. v = √ gr. 1.3.27 ∗ . v = √ 5gR. 1.3.28. 27,5 и 42,4 км; 18,3 и 52 км; 0,2 и 73,4 км. 1.3.29. a = (v 2 /R) cos 2 α. 1.3.30. t = (V /g) 9 sin 2 α − 8 при sin α > 8/9; t = 0 при sin α < 8/9. § 1.4. Преобразование Галилея 1.4.1. В системе отсчета второго корабля первый движется по прямой вдоль вектора v 1 − v 2 . Перпендикуляр, опущенный на эту прямую из местонахождения второго корабля, и будет наименьшим расстоянием. ♦ 1.4.2. См. рис. 1.4.3. Точно такую же, как и наблюдатель, движущийся с частицей A. ♦ 1.4.4. См. рис. 1.4.5. а. Ведро должно быть наклонено в сторону движения платформы под углом ϕ к вертикали: tg ϕ = u/v. б. u = 10 √ 3 м/с. 1.4.6. v макс = v √ 3. 1.4.7 ∗ . t = 2L v 2 − u 2 sin 2 α v 2 − u 2 . Вдоль трассы. 1.4.8. а) ∆v = −2(v + u). б) ∆v = −2(v − w). (Проекция на направление начальной скорости считается положительной.) 1.4.9. а) u = v. б) u = √ v 2 + 4vw cos α + 4w 2 в) u = v 2 + 4vw cos α cos β + 4w 2 cos 2 β. 1.4.10. ν = √ v 2 + u 2 2(R − r) 1.4.11. t = 2 u 2 /g 2 + 2h/g. 1.4.12. Проекция скорости на горизонтальное направление v x = v − 2u; проекция скорости на вертикальное направление v y = (2n − 1)Lg/(v − u). 1.4.13. n = (v 1 + v 2 )/(2R). 1.4.14 ∗ . sin α = u/v. 1.4.15 ∗ . u = v √ 3. 1.4.16. В новой системе отсчета геометрия пучков, а значит, и область их пересечения те же, что и раньше. Скорость частиц не обязательно направлена вдоль пучка. 284 1.4.17. В 1 + v 2 /u 2 раз. Изменится. 1.4.18 ∗ . α = 60 ◦ , l = 200 √ 3 ≈ 345 м. § 1.5. Движение со связями 1.5.1. v B = 2v A 1.5.2. v к = ωR; v г = ω(R − r). 1.5.3. u = v √ 3. 1.5.4. a = g ctg α. ♦ 1.5.5. См. рис. 1.5.6. (−2,8; 3,1). 1.5.7. а. u AB = v/ √ 2. б. u 1 = √ u 2 − v 2 ♦ 1.5.8. См. рис.; a = (v 2 /R 2 )r; r в = (R + r) 2 /r, r н = (R − r) 2 /r. 1.5.9 ∗ . u = vR R cos α − r ; ω = v R cos α − r ; вправо при cos α > r/R, влево при cos α < r/R. 1.5.10. Траектория точки обода колеса проходит по диаметру цилиндра. 1.5.11. а. Один оборот. б. На 4 мин. 1.5.12. a = 4ω 2 R. 1.5.13. u = v cos α. 1.5.14 ∗ . В центре квадрата через время t = a/v. ♦ 1.5.15. См. рис.; v B = 2v 2 A t/ L 2 + v 2 A t 2 1.5.16. u = v 2 t/ √ L 2 − v 2 t 2 1.5.17. ω = (v sin 2 α)/H. 1.5.18 ∗ . ω = ω/2 sin 2 (α/2). 1.5.19. v = uR/ √ R 2 − h 2 1.5.20. d = π(R 2 − r 2 )/(vt). Глава 2 ДИНАМИКА § 2.1. Законы Ньютона 2.1.2. F = 2ml/t 2 = 0,16 Н. 2.1.3. F = m e v 2 y/(lL). ♦ 2.1.4. a = g(T 2 − T 1 )/(T 4 − T 3 ). 2.1.5. T = F (1 − x/l). 2.1.6. t = T (m 1 + m |