Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
-мезоном со скоростью u? 14.2.8. Через какое время фотон перелетит галактику диаметром 10 5 свето- вых лет по наблюдениям с космического корабля, движущегося вслед за фотоном со скоростью, равной 0,6 скорости света? 14.2.9. В центре стержня находится лампочка. В системе отсчета, в которой стержень покоится, свет от лампочки дойдет до концов стержня одновременно, а в системе отсчета, в которой стержень движется в продольном направлении со скоростью v, свет придет на дальний конец на lv/c 2 1 − v 2 /c 2 позже, чем на ближний; l — собственная длина стержня (длина стержня в системе отсчета, в которой стержень неподвижен). Докажите это. ♦ 14.2.10. При продольной скорости βc длина карандаша равна длине пенала l. Когда карандаш влетает в пенал, крышка пенала захлопывается, а карандаш мгновенно останавливается. Опишите этот процесс в системе карандаша. ♦ 14.2.11 ∗ . Между двумя линзами сформирован пучок света с круглым сече- нием радиуса R, направленным вдоль оси x. Вдоль оси y движется диск того же радиуса со скоростью v. Плоскость диска перпендикулярна оси x. В лабора- торной системе, в которой линзы неподвижны, движущийся диск сокращается в направлении движения и поэтому не может перекрыть пучок света. Для наблю- дателя на диске сокращается сечение пучка и, казалось бы, должен наблюдаться момент полной экранировки света. Объясните этот парадокс. 14.2.12 ∗ . Параллельный полу стержень падает на пол со скоростью βc. Под каким углом к полу падает этот стержень в системе отсчета, которая движется параллельно полу со скоростью β 1 c? 14.2.13. а ∗ . По наблюдениям с Земли в движущемся со скоростью v космиче- ском корабле величина скорости света не изменилась, расстояния в направлении движения сократились в γ = 1/ 1 − (v/c) 2 раз, а в направлении, перпендикуляр- ном движению, — не изменились. События, одновременные в неподвижном кораб- ле, стали происходить в разные моменты времени. Разность времен ∆t = γxv/c 2 , где x — разность координат в направлении движения корабля. Докажите, что все эти эффекты следуют из преобразования Лоренца x = (x − vt)γ, y = y, z = z, t = (t − vx/c 2 )γ, 268 где x, y, z и t — координаты и время, описывающие явления в неподвижной системе; x , y , z и t — координаты и время, описывающие явление в системе, движущейся со скоростью v. б. Получите обратное преобразование Лоренца: определите x, y, z, t через x , y , z , t из преобразования Лоренца, которое приведено в п. а. Покажите, что полученное преобразование подтверждает принцип относительности Галилея. 14.2.14. Преобразование Лоренца дает возможность узнать, что произойдет, если мы будем наблюдать за каким-либо явлением, двигаясь относительно объ- екта, носителя явления, со скоростью v, или если объект движется относительно нас со скоростью v, при условии, что нам известно, как происходит явление, когда объект неподвижен. Поэтому в дальнейшем часто будет использоваться следующая постановка вопроса. В неподвижной системе описывается явление. Как будет происходить это явление, если объект, носитель явления, движется со скоростью v? Ответ предполагает описание этого явления в системе отсче- та, которая движется со скоростью −v относительно системы, в которой описано явление. Это эквивалентно описанию этого явления в случае движения объек- та, носителя явления, со скоростью v относительно неподвижного наблюдателя. Второй вариант интересен тем, что его можно расширить на несколько изоли- рованных объектов, движущихся с разными скоростями. Решите, используя это, следующую задачу. Наблюдательная станция зафиксировала световые сигналы от двух ракет, движущихся по направлению к станции по одной прямой. Частоты сигналов, зарегистрированных станцией, ν 1 и ν 2 . Частота сигналов неподвижных ракет равна ν 0 . С какой скоростью сближаются ракеты? 14.2.15. Используя преобразование Лоренца, решите задачи 14.2.5 ∗ и 14.2.6 ∗ 14.2.16. От неподвижного атома свет распространяется под углом α к оси z. Частота света ν. Под каким углом будет распространяться свет при движении атома со скоростью βc вдоль оси z? Как изменится частота света? 14.2.17. По направлению к Земле со скоростью v движется космический корабль. Когда измеренное с Земли расстояние до корабля было l, с Земли за- пустили ракету. Через какое время после запуска встретится ракета с кораблем по наблюдениям с Земли и с корабля, если ракета двигалась навстречу кораблю: а) со скоростью u? б ∗ ) с ускорением a? 14.2.18. а. По наблюдениям космонавтов, тело внутри космического корабля совершает гармоническое движение с частотой ω/(2π) и амплитудой A вдоль оси корабля z = A sin ωt. Как будет связана осевая координата этого тела со временем по наблюдениям с Земли, если корабль удаляется от Земли со скоростью βc? б. Решите задачу пункта а в случае, если тело внутри корабля, по наблю- дениям космонавтов, совершало такое же гармоническое движение поперек оси корабля, y = A sin ωt. § 14.3. Преобразование электрического и магнитного полей ∗) 14.3.1. Определите плотность поверхностного заряда, электрическое и маг- нитное поля в конденсаторе, движущемся со скоростью βc параллельно своим пластинам, если в системе отсчета, движущейся вместе с конденсатором, элек- трическая напряженность равна E. (Элементарный электрический заряд частиц при движении системы не меняется, но меняется расстояние между зарядами.) 14.3.2 ∗ . Решите задачу 14.3.1 в случае, когда скорость βc направлена под углом α к пластинам конденсатора. Как связаны между собой электрическая на- пряженность и магнитная индукция в этом конденсаторе? ∗) В этом параграфе используется система единиц СГС. 269 14.3.3. Найдите электрическое и магнитное поля равномерно заряженной нити, движущейся в продольном направлении со скоростью βc, если в системе отсчета, в которой нить неподвижна, плотность заряда на единицу длины нити равна ρ. 14.3.4. а. В прямом неподвижном проводнике скорость электронов равна −βc, а скорость протонов рана нулю. Плотности объемного заряда электронов и ионов равны ±ρ. Как изменится плотность электронов и ионов при движении проводника со скоростью βc? б. Во сколько раз изменится индукция магнитного поля в движущемся про- воднике? в. Как связаны между собой индукция магнитного поля в движущемся про- воднике B с электрической напряженностью E? 14.3.5 ∗ . Решите задачу 14.3.4 в случае, если проводник будет двигаться со скоростью β 1 c, β 1 = kβ. ♦ 14.3.6. а. Пусть имеются неподвижный заряд и магнитное поле, которое на этот заряд не действует. При движении ∗) этого состояния со скоростью βc заряд будет двигаться со скоростью βc. Сила, действующая на заряд в новом состоянии, равна нулю из-за того, что кроме магнитного поля на заряд действует возника- ющее при сносе электрическое поле. Определите, пользуясь условием равновесия сил, действующих на заряд, связь в новом состоянии индукции магнитного поля B с электрической напряженностью E. б. Какое электрическое поле возникает при движении со скоростью βc маг- нитного поля с индукцией B, если β 1? в. На рисунке изображен постоянный магнит с магнитной индукцией B, дви- жущийся, как утверждает экспериментатор 1, мимо него со скоростью βc, так как он обнаружил по действию на заряд q электрическое поле напряженности E = −[β × B], которое должно возникнуть у движущегося магнита. Однако экс- периментатор 2, сидящий на магните, утверждает, что у этого магнита нет ни- какого электрического поля и он неподвижен. Сила же, действующая на заряд q, связана не с электрическим, а с магнитным полем. «Экспериментатор 1, — утвер- ждает экспериментатор 2, — вместе со своим зарядом движется в магнитном поле с индукцией B со скоростью −βc. Поэтому на заряд действует сила не со стороны электрического поля напряженности E = −[β ×B], а со стороны магнитного поля индукции B». Кто из них прав? ∗) Движением состояния со скоростью βc называется новое состояние, которое в системе отсчета, движущейся со скоростью βc относительно первоначальной системы отсчета, совпадает с первоначальным состоянием. 270 14.3.7 ∗ . а. При движении со скоростью βc состояния, в котором было только электрическое поле, возникает магнитное поле с индукцией B, связанное с новым электрическим полем E соотношением B = [β × E]. Докажите это соотношение в случае, когда поле E перпендикулярно скорости βc. б. Какое магнитное поле возникает при движении со скоростью βc электри- ческого поля напряженности E, если β 1, β = 1? 14.3.8. а. Формула преобразования полей E и B при движении их со скоро- стью βc имеет следующий вид: E = E + γ(E ⊥ − [β × B]), B = B + γ(B ⊥ + (β × E]), γ = 1/ 1 − β 2 , где E и B — электрические и магнитные поля в сносе; E , E ⊥ и B , B ⊥ — состав- ляющие электрических и магнитных полей, параллельные и перпендикулярные cβ в начальной системе. Движение полей E и B со скоростью −cβ возвращает прежнее состояние. Проверьте это. в. Используя приведенные в пункте а формулы преобразования полей, решите задачи 14.3.1–14.3.3, 14.3.5 ∗ г. Используя приведенные в пункте а формулы преобразований полей, решите задачи 14.3.6 а, б и 14.3.7. д. Докажите, что при β → 1 поля E и B перпендикулярны. 14.3.9. Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость плоского конденсатора при движении его со скоростью βc: а) вдоль пластин? б) перпенди- кулярно пластинам? 14.3.10. Во сколько раз изменится разность потенциалов и емкость длинного цилиндрического конденсатора при движении его со скоростью βc вдоль оси? 14.3.11. Неподвижной сфере радиуса R с равномерно распределенным по- верхностным зарядом Q сообщили скорость βc. Определите максимальную элек- трическую напряженность и максимальную и минимальную плотности поверх- ностного заряда в новом состоянии. 14.3.12 ∗ . Определите распределение электрической напряженности и маг- нитной индукции движущегося со скоростью βc заряда q. 14.3.13 ∗ . Между неподвижными обкладками конденсатора со скоростью βc движется пластина из вещества с диэлектрической проницаемостью ε. Напря- женность электрического поля между диэлектриком и пластинами E. Чему равна напряженность электрического поля и индукция магнитного поля внутри диэлек- трика? 271 ♦ 14.3.14 ∗ . Диэлектрическая пластина толщины h движется со скоростью βc между обкладками конденсатора, который пронизывается внешним магнитным полем с индукцией B, перпендикулярной к обкладкам и пластине. Диэлектри- ческая проницаемость вещества пластины ε. Определите разность потенциалов между разомкнутыми обкладками конденсатора. 14.3.15. Во сколько раз изменится амплитуда плоской электромагнитной волны при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью βc в на- правлении распространения волны? 14.3.16 ∗ . Решите задачу 14.3.15 при распространении плоской волны в ди- электрической среде с коэффициентом преломления n. 14.3.17. На движущуюся со скоростью βc металлическую стенку перпен- дикулярно падает плоская электромагнитная волна. Во сколько раз изменится амплитуда волны при отражении? 14.3.18 ∗ . Решите задачу 14.3.17, когда электромагнитная волна падает на движущуюся стенку под углом α. 14.3.19. Скорость электронов в параллельном пучке βc. Как изменится плот- ность электронов при движении относительно пучка со скоростью β 1 c в продоль- ном направлении? 14.3.20. В прямом проводе плотность тока равна j. Как изменится эта плот- ность при движении провода со скоростью β 1 c в продольном направлении? Какой объемный заряд возникает в проводе? 14.3.21 ∗ . Изменится ли плотность тока в проводнике при движении его пер- пендикулярно направлению тока? ♦ 14.3.22. Толщина неподвижного плоского конденсатора h, плотность тока утечки j. Начальная плотность поверхностных зарядов σ. Как будет меняться электрическое поле внутри конденсатора при движении его со скоростью βc па- раллельно пластинам? 14.3.23 ∗ . Решите задачу 14.3.21 в случае движения конденсатора со скоро- стью βc перпендикулярно пластинам. ♦ 14.3.24. Магнитный момент длинного плоского соленоида с током равен M . Какой электрический момент возникнет у этого соленоида при поперечном дви- жении его со скоростью v параллельно плоским поверхностям? 272 14.3.25 ∗ . Решите задачу 14.3.24 в случае круглого длинного соленоида. 14.3.26. а. «. . . Для движущегося электрона электрическое поле E эквива- лентно добавочному магнитному полю B = [β × E]» (Г. Бете, Э. Солиптер. Квантовая механика с одним и двумя электронами. М.: Физматгиз, 1960). Опре- делите, используя это утверждение, силу действующую на магнитный момент электрона в атоме водорода, если электрон ∗) движется по круговой орбите. ♦ 14.3.27. Когда-нибудь в космическом пространстве будут создаваться ги- гантские накопители электромагнитной энергии. Один из вариантов такого на- копителя — магнитоэлектрический плоский конденсатор, в котором разноимен- ные электрические заряды, расположенные на пластинах, создают электрическое поле напряженности E, а циркулярный ток сверхпроводящей подложки (изолиро- ванный от пластин) создает магнитное поле индукции B, равный по величине (в системе СГС) E. В таком конденсаторе магнитное поле, расталкивающее пласти- ны, будет равно электрическому давлению, притягивающему пластины, и в це- лом конденсатор будет находиться в равновесии. Поэтому можно создавать такие накопители очень больших размеров, так как они не требуют дополнительного крепежа. Докажите, что равновесие в накопителе не изменится при их движении как вдоль, так и поперек пластин. 14.3.28 ∗ . Заряженный конденсатор, подвешенный на нити, казалось бы, не может вместе с нитью и подвесом двигаться поступательно, если угол α не пря- мой, так как магнитная сила взаимодействия двух совместно движущихся заря- дов создает вращательный момент. Этот вращательный момент можно было бы обнаружить экспериментально, если считать, что конденсатор вместе с Землей движется со скоростью βc. Так ли это? § 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом и магнитном полях ♦ 14.4.1. Электрон, влетающий со скоростью βc в протяженное неподвижное и однородное электрическое поле, вылетает из него через время τ . Скорость элек- трона направлена вдоль поля. Как долго будет находиться в поле электрон, если, наоборот, на неподвижный электрон с такой же скоростью налетает поле? Реши- те эту задачу двумя способами, используя: а) эффект релятивистского замедления ∗) Если задача не требует численного ответа, обозначайте массу покоя электрона m e , заряд e. 18 273 времени, б) формулу Лоренца, согласно которой масса частицы, движущейся со скоростью βc, m = m i / 1 − β 2 , где m i — масса покоя частицы. 14.4.2 ∗ . Электрон, влетающий со скоростью v в протяженное однородное электрическое поле, летящее ему навстречу со скоростью u, через время τ выле- тает из него. Электрическая напряженность направлена по скорости электрона. Определите ее величину. 14.4.3. Одна из пластин неподвижного плоского конденсатора испускает электроны, которые через время τ после испускания попадают со скоростью v на вторую пластину. Определите напряженность электрического поля конденсатора. Пространственным зарядом и начальными скоростями электронов пренебречь. 14.4.4. Во сколько раз изменится время движения электрона в задаче 14.4.3, если конденсатор и испущенные электроны двигаются со скоростью u: а) поперек пластин? б) параллельно пластинам? Чему равны в случаях а) и б) скорости электронов на второй пластине? 14.4.5. Скорость электрона, пролетевшего неподвижный участок с электри- ческим полем напряженности E, направленной по движению электрона, измени- лась с 2v до v. Определите время пролета электрона через этот участок. 14.4.6 ∗ . На неподвижный электрон налетает со скоростью света продольное электрическое поле напряженности E. Как глубоко проникнет электрон в это поле, если оно действует на электрон в направлении своего движения? 14.4.7. Электрон, пролетая через поле неподвижного плоского конденсато- ра, получает поперечный импульс p. Скорость электрона на входе в конденсатор равна βc и направлена параллельно его пластинам. Какой поперечный импульс получит электрон, если, наоборот, конденсатор со скоростью −βc пролетает ми- мо первоначально неподвижного электрона? Во сколько раз поперечная скорость, приобретенная электроном в первый раз, будет меньше поперечной скорости, по- лученной электроном второй раз? 14.4.8. С какой скоростью движется электрон вокруг тяжелого ядра с заря- дом ez по круговой орбите радиуса R? 14.4.9 ∗ . Во сколько раз ускорение протона, движущегося перпендикулярно электрическому полю со скоростью βc, больше ускорения протона, движущегося с той же скоростью по полю? под углом α к полю? 14.4.10 ∗ . Какую максимальную скорость может приобрести частица с мас- сой покоя m и зарядом q, рожденная с нулевой скоростью в переменном синусои- дальном электрическом поле с амплитудой напряженности E и частотой ω/(2π). 14.4.11. Электрон, влетающий со скоростью βc в протяженное неподвижное и однородное электрическое поле, проникает внутрь этого поля на глубину l. Ско- рость электронов направлена вдоль поля. На какую глубину проникнут электро- ны, если, наоборот, на неподвижные электроны с такой же скоростью налетает электрическое поле? Решите эту задачу двумя способами, используя: а) эффект релятивистского сокращения расстояния, б) взаимосвязь работы A с изменением массы частицы ∆m: A = c 2 ∆m. 274 14.4.12 ∗ . Электрон, влетающий со скоростью v в однородное электрическое поле, летящее ему навстречу со скоростью u, проникает в поле на глубину l. Определите напряженность поля, если оно направлено по скорости электрона. 14.4.13. За какое время электрон, родившийся без начальной скорости в электрическом поле с напряженностью E = 10 4 В/см (1 В/см = 1/300 ед СГС напряженности), пролетит в этом поле расстояние l = 1 м? 14.4.14. Какой должна быть длина линейного ускорителя со средней напря- женностью ускоряющего электрического поля E = 10 5 В/см, предназначенного для ускорения π + -мезонов до энергий E = 10 10 эВ (1 эВ = 1,6 · 10 −12 Эрг)? За какое время π + |