Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
(π/2) e 2 n/(ε 0 m e ), ν = 1/4t. 7.4.37 ∗ . n = 8 sin 2 (α/2). 7.4.38 ∗ . x = l 2 + l 2 0 − l + l 0 , где l 0 = q 2 /(8πε 0 µM g). 331 Глава 8 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК § 8.1. Ток. Плотность тока. Ток в вакууме 8.1.1. а. I ≈ nec/l = 0,02 А. б. I = e 4 /[16ε 0 m e (πr) 3 ] = 0,0012 А. 8.1.2. v = Il/q. 8.1.3. I = 2ε 0 Eav = 1,3 · 10 −4 А. 8.1.5. v = 0,4 см/с. 8.1.6. j = eν. 8.1.7. j = −en e u. 8.1.8. I = sj sin α = 10 А. 8.1.9. t = 8 · 10 −6 с. 8.1.10. ρ = j/v. 8.1.11. E ≈ I/(2πε 0 vr) = 6 · 10 5 В/м; L ≈ [8m e rv 2 /(3eE)] 1/2 ≈ 0,1 м. 8.1.12 ∗ . а) ρ = ρ 0 v 0 v 2 0 − 2eEx/m e , где x — расстояние до передней сетки. б) ρ 2 = 2ρ 1 при x < x 0 = m e v 2 0 /(2eE); ρ = 0 при x > x 0 . По зависимости ρ 2 от x находится наибольшая напряженность поля заряда между сетками: E 1 = 1 2ε 0 x 0 0 ρ 2 dx = ρ 0 m e v 2 0 ε 0 eE Полем заряда пучка можно пренебречь, если E 1 E. Когда E 1 сравнимо с E, т. е. ρ 0 m e v 2 0 /(ε 0 eE) ≈ E, необходимо его учитывать. Отсюда оценка ρ ≈ eε 0 E 2 /(m e v 2 0 ). 8.1.14. Кривая T 1 соответствует низкотемпературному катоду, а кривая T 3 — высокотем- пературному. 8.1.15. Если бы поле было не близко к нулю, то все электроны с этой границы уходили бы или в сторону анода, или в сторону катода в зависимости от знака поля. 8.1.16 ∗ . ρ = I S m e d 2eV 1 √ x = 1,75 · 10 −6 1 √ x Кл/м 3 При x → 0 плотность заряда ρ → ∞, тем не менее заряд, приходящийся на единицу площади (σ = d 0 ρ dx), ограничен: σ = 3,5 · 10 −6 √ d. Ограничено поэтому и наибольшее значение напряженности поля пространственного заряда: E = σ/(2ε 0 ). В данном случае E V /d и действием пространственного заряда можно пренебречь. 8.1.17 ∗ . n = 4 3 ; j = 4 9 ε 0 2e m e V 3/2 d 2 , I = jS. 8.1.18 ∗ . Плотность заряда возрастает в n раз, а ток — в n 3/2 раз. 8.1.19. j = i/(2πr). 8.1.20. а. j 1 = 2I 4πr 2 1 − l 2 r 2 ; j 2 = 2I 4πr 2 l r , где l — расстояние от середины отрезка AB до точки, в которой определяется j; r — расстояние от A или B до этой точки. В первом случае ток перпендикулярен плоскости симметрии, во втором — лежит в ней. Полные токи через плоскость равны соответственно I и 0. б. j = 2I 4πr 2 1 − h 2 r 2 , где r — расстояние от источника до точки, в которой определяется j. 8.1.21 ∗ . j = qvl/(2πr 3 ). 332 § 8.2. Проводимость. Сопротивление. Источники ЭДС 8.2.1 ∗ . а. λ = e 2 n e τ /m e б. τ = 2,4 · 10 −15 с. 8.2.2 ∗ . ∆N/N = 1,5 · 10 −10 8.2.3. f = −ne 2 v/λ. 8.2.4. I = m e ωrλs/(eτ ) = 1,7 мА. 8.2.5. Изменение поля происходит со скоростью света. 8.2.6 ∗ . Отношение κ/λ почти одинаково для этих металлов. Теоретическая оценка: κ/λ = π 2 k 2 T /(3e 2 ), где k — постоянная Больцмана, T — температура, e — заряд носителей тока. 8.2.7. E = j/λ; V 1 = (jl/λ) cos α; V 2 = πjl/(2λ). 8.2.8. σ = ε 0 j(1/λ 1 − 1/λ 2 ). 8.2.9. tg α 2 = λ 2 λ 1 tg α 1 ; σ = ε 0 j cos α 1 1 λ 1 − 1 λ 2 8.2.10. ρ = ε 0 j/(λa). 8.2.11. а. I = Q 0 /(ε 0 ρ). б ∗ . Q = Q 0 exp[−t/(ε 0 ρ)]. 8.2.13. I = λSV /l; R = l/(λS). 8.2.14. R I = l πr 2 1 λ 1 + 1 λ 2 , R II = 1 π l 1 r 2 1 λ 1 + l 2 r 2 2 λ 2 ; I I = V /R 1 , I II = V /R II при |r 2 − r 1 | l 1 ,l 2 8.2.15. R = 0,0566 Ом. 8.2.16 ∗ . R = R 0 / cos 2 α. 8.2.17 ∗ . I = 4πrλV ; R = 1/(4πrλ). 8.2.18 ∗ . R = 0,14 Ом. 8.2.20. R = 1 4πλ 1 r 1 − 1 r 2 ; I = λq εε 0 8.2.21 ∗ . C = εε 0 /(λR); нет. ♦ 8.2.22 ∗ . Электроды должны касаться центра пластины с разных сторон. 8.2.23. K = 1 2 m e I en e S 2 = 2 · 10 −15 ЭВ. 8.2.24 ∗ . I = F l/(qR); v = F l 2 /(q 2 R). 8.2.25. а. ϕ = qvR/l. б. ϕ = F l/q. 8.2.26. V = W/e; I макс = eν. При R < W/e 2 ν ток не меняется с изменением нагрузки. 8.2.27 ∗ . I = I 0 (1 − V /V 0 ). ♦ 8.2.28. См. рис. W = E с l. 8.2.29. E = 1,13 В. 8.2.30. E = 1,07 В. Есть приток тепла от окружающей среды. 8.2.31. ν = 1,4 · 10 −2 моль. 8.2.32 ∗ . Конденсатор не разрядится полностью из-за появления химической противо-ЭДС, возрастающей при увеличении числа ванн. 8.2.34 ∗ . k = V /(2E). 333 § 8.3. Электрические цепи 8.3.1. r = 1,5 и 50 кОм. 8.3.2. r = 20 Ом. 8.3.3. V = 1 кВ. 8.3.4. В схемах а и д приборы покажут уменьшение тока, в схеме г — возрастание тока, в схеме b и е ток не изменяется. В схеме в верхний амперметр покажет возрастание тока, нижний покажет уменьшение тока. 8.3.5. а. ∆V /V = R/(R + r). б. ∆I/I = r/(R + r). 8.3.6. I V /I 6 = 10/64, V ≈ 40 В. 8.3.7. 100 Ом. 8.3.8. Большее. 8.3.9. V = 48 В; I = 15 А. 8.3.10. r x = rR 2 /R 1 ; сохраняется. 8.3.11. R в = V 1 /I 1 ; R = V 2 V 1 /(I 2 V 1 − I 1 V 2 ); R A = (V 1 V 3 I 2 − V 3 V 2 I 1 − V 2 V 1 I 3 )/I 3 (V 1 I 2 − V 2 I 1 ). ♦ 8.3.12 ∗ . Приведем часть схемы, включающую искомое сопротивление. К узлам A и O подключим батарею, а к узлам C и O — вольтметр, к узлам C и A, C и B — амперметры, а узлы A и B соединены проводом. Ток через сопротивление R равен I CA + I CB . Тогда R = V /(I CA + I CB ), где V — показание вольтметра. 8.3.13. R = 7 Ом. 8.3.14. a. r = √ 3 R. б ∗ . r = ( √ 3 − 1)R. в. I n = I(2 − √ 3 ) n−1 через сопротивление 2R; I n = I(2 − √ 3 ) n−1 ( √ 3 − 1) через сопротивление R, n — номер ячейки, R 0 = ( √ 3 + 1)R. 8.3.15 ∗ . R 1 = 9r; R 2 = 10r/9. 8.3.16. На участке а: V = E −I(r+R); б: V = −E −I(r +R); в: V +E 1 +E 2 −I(r 1 +r 2 +R); г: V = E 1 − E 2 − I(r 1 + r 2 + R). 8.3.17. E = 34,3 В; r = 1,43 Ом. 8.3.18. Батарея с ЭДС E = 10 В и внутренним сопротивлением r = 14 Ом. ♦ 8.3.19. См. рис. 8.3.20. I = 10 А, r = 20 Ом; E = 200 В, r = 20 Ом. 8.3.21. I = 80 А. 8.3.23. I 2 = I 3 R 3 /R 2 ; I 1 = I 3 (R 2 + R 3 )/R 2 ; V = I 3 (R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 )/R 2 ♦ 8.3.24. См. рис. ♦ 8.3.25. а. V = 5ir; R = 5r/6; I = 6i. ♦ б. См. рис. I = 7i/2; R = 12r/7; в. R AB = 13r/7; R CD = 5r/7. 8.3.26. I = 8 А. 8.3.27 ∗ . а. I = i/2; R = r/2. б. R = r/3. в. R AB = 2r/3; R AC = r. 334 8.3.28. E = (E 1 r 2 + E 2 r 1 )/(r 1 + r 2 ) = 21 В, r = r 1 r 2 /(r 1 + r 2 ) = 3,75 Ом. ♦ 8.3.29. См. рис. 8.3.30. Уменьшится в три раза. 8.3.31. V = 0; I = 0,75 А. 8.3.32. V = 0,75 В. 8.3.33. Через 12, 54 и 27 мин. 8.3.34. N = I 2 R. 8.3.35. N = N 0 (N − N 0 )/N . 8.3.36. R = 9(n − 1)r. 8.3.37. r = √ R 1 R 2 8.3.38. 2 и 100 В; 20 и 0,1 Вт. Ток почти не изменится, мощность же возрастает почти вдвое. 8.3.39. S = 42 мм 2 ; примерно в 10 раз. 8.3.40. N = (E − Ir)I; R = r. 8.3.41. N 1 = 125 Вт; N 2 = 80 Вт; N 3 = 45 Вт. 8.3.42 ∗ . При r = R. 8.3.43. N п = (V − E)E/r; N т = (V − E) 2 /r. Если E > V /2, то полезная мощность больше тепловой. 8.3.44. N = 4 Вт. 8.3.45. N = λCV 2 /ε 0 8.3.46. N = I(m e v 2 /2e − IR). 8.3.47. q = 4π 2 ε 0 a 3 en e Rv, v a 2 e 2 n e R/m e 8.3.48 ∗ . T = T 0 + R 0 I 2 /(κ − I 2 R 0 α), κ > I 2 R 0 α. При κ < I 2 R 0 α температура T неогра- ниченно возрастает. § 8.4. Конденсаторы и нелинейные элементы в электрических цепях 8.4.1. а. q = 8 · 10 −4 Кл. б. V = 60 в. в. 30, 30, 60 В. 8.4.2. V = V 0 x/(2x − l); поменять местами источники. 8.4.3. ϕ A = ϕ B + 2 l − x 2 kx ε 0 S 8.4.4. ϕ A −ϕ B = E R 1 R 1 + R 2 − C 2 C 1 + C 2 . Измерять ее нужно электростатическим вольт- метром, q 1 = C 1 R 1 E/(R 1 + R 2 ); q 2 = C 2 R 2 E/(R 1 + R 2 ). В этом случае уменьшается влияние этих вольтметров на электрическую цепь. 8.4.5 ∗ . W 1 = CV 2 4 R 1 R 1 + R 2 ; W 2 = CV 2 4 R 2 R 1 + R 2 8.4.6. W = A − q 2 /C. 8.4.7 ∗ . q = CE; W = CE 2 /4. 8.4.8. W = C(E − V 0 ) 2 /2, E > V 0 ; W = 0, E < V 0 8.4.9. W = C(V − E)E; W = C(V − E) 2 /2. 8.4.10. Сначала конденсатор нужно заряжать от одного элемента, потом от двух после- довательно соединенных и т. д. Тогда потери энергии составят 1/n долю запасенной энергии. 8.4.11 ∗ . N г = Iq/C > N к = Iq/(2C). Эти величины отличаются друг от друга из-за работы, совершаемой при изменении емкости конденсатора. 8.4.12. Через τ ≈ 10 −3 RC. 8.4.13 ∗ . q = C E 1 R 2 + E 2 R 1 R 1 + R 2 ; q = C E 1 R 2 + kE 2 R 1 kR 1 + R 2 335 8.4.14 ∗ . V = V 0 Rτ /(rT + Rτ ). 8.4.15 ∗ dV dt = − V RC ; V = V 0 exp − τ RC I = V 0 R exp − τ RC 8.4.16. R < 40 кОм. 8.4.17 ∗ . ν = RC ln V − V 0 V − V 1 −1 8.4.18. а. I = qv/d. б. Нет. 8.4.19. I = ε 0 (ε − 1)Eav/d. 8.4.20. I = 1 2αR 2 + E R − 1 2αR 2 + E R 2 − E 2 R 2 1/2 ♦ 8.4.21. На вольт-амперной характеристике проводим прямую I = (E − V )/R; точка их пересечения дает ток 2 мА. Проводя соответствующие прямые через концы прямолинейного участка характеристики, находим, что при R > 0,3 кОм и R > 3 кОм диод перестает работать на прямолинейном участке вольт-амперной характеристики. Глава 9 ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ § 9.1. Индукция магнитного поля. Действие магнитного поля на ток 9.1.1. B = 100 Тл. 9.1.2. B = 20 Тл. 9.1.3. а) F 1 = F I 1 I 1 + L 2 l 2 − 2 L l cos ϕ. б ∗ ) F 2 = 2F RI 2 lI 9.1.4 ∗ . ∆h = aλV B/(bρg). 9.1.5. α = 45 ◦ 9.1.6. I = mg 2aB ctg α. 9.1.8 ∗ . ω = 6BI/m. 9.1.9. tg α = IB/(4ρg). ♦ 9.1.10. Рамку с током разобьем на трапецеидальные микроконтуры с током I так, как изображено на рисунке. Момент сил, действующий на все микроконтуры, при ∆h → 0 совпадает с моментом сил, действующих на рамку с током: N → ∆h→0 −→ i [∆M i × B] = i ∆M i × B → ∆h→0 −→ [M × B]. 336 9.1.11. а. tg α = IB 2ρg б ∗ . tg α = π(4 + π)IB 4(1 + π)(2 + π)ρg 9.1.12. N = πR 2 IB(sin α + cos α)/2. 9.1.13 ∗ . B = P/(πRIn). 9.1.14. a = 2πRIB sin α/m. 9.1.15 ∗ . B = F /(RI). § 9.2. Магнитное поле движущегося заряда. Индукция магнитного поля линейного тока 9.2.2. B = µ 0 ρv/(2πr), где r — расстояние до нити. 9.2.3. B = µ 0 I/(2πr), где r — расстояние до провода. 9.2.4. µ = 1,25. 9.2.5. B = 1,88 · 10 −5 Тл. 9.2.6. B = µ 0 I 2π 1 x + 1 y 9.2.7. B = µ 0 I 2πl sin α 2 , где l — расстояние до точки пересечения проводов. 9.2.8. а. B = µ 0 qv 4πr 2 sin α. б. B = µ 0 Il 4πr 2 sin α. 9.2.10. B = µ 0 I/(2R); B h = µ 0 IR 2 /[2(R 2 + h 2 ) 3/2 ]. 9.2.11. n = sin (α/2). 9.2.12. B = µ 0 I 2πR 1 + π 2 9.2.13. B = µ 0 I/(4R). 9.2.14 ∗ . B 0 = µ 0 I(π + 1) 2πR ; B h = µ 0 I 2 1 π 2 (R 2 + h 2 ) + R 4 (R 2 + h 2 ) 3 + 2R 3 π(R 2 + h 2 ) 5/2 1/2 9.2.15. а. I = I 0 √ 10. б ∗ . I = 2I 0 √ 10. 9.2.16. B = µ 0 M/(2πh 3 ). 9.2.17 ∗ . B = µ 0 M 1 + 3 sin 2 α /(4πr 3 ), M = Ia 2 ♦ 9.2.18 ∗ . Два плоских контура с током I, имеющих разную форму, но одинаковую площадь, разобьем на квадратные микроконтуры с током так, как изображено на рисунке. Индукция магнитного поля, создаваемого этими микроконтурами, при ∆h → 0 совпадает с индукцией контуров, внутри которых находятся микроконтуры. Магнитное поле рассматриваемых конту- ров на большом расстоянии близко к полю отдельного микроконтура, умноженному на число микроконтуров внутри каждого контура. Но это произведение при ∆h → 0 у каждого контура стремится к одной и той же величине, так как число микроконтуров зависит лишь от площади контура. 22 337 ♦ 9.2.19 ∗ . а. На рисунке каждый микроконтур с моментом M 0 окружен контуром с током I = M 0 /a 2 . На расстояниях, много б´ ольших расстояния между соседними микроконтурами, поле микроконтуров стремится к полю окружающих их токов I, которое совпадает с полем тока I, текущего по большому контуру. Магнитный момент такого контура M = Ib 2 = M 0 b 2 /a 2 = nM 0 б. Магнитное поле тонкой пластины близко к магнитному полю контурного тока I = hM , где M — магнитный момент единицы объема вещества пластины. Но индукция магнитного поля B связана с I соотношением B = µ 0 I √ 8/(πa). Поэтому M = Bπa/(µ 0 h √ 8 ). 9.2.20. B = µ 0 M R 2 h/[2(R 2 + l 2 ) 3/2 ]. 9.2.21. B = 4,9 · 10 −2 Тл. 9.2.22. Вектор B 0 должен быть параллелен поверхности диска. N = 2πBB 0 R 3 /µ 0 9.2.23. M = πHF /(2µ 0 ah 2 ). § 9.3. Магнитное поле тока, распределенного по поверхности или пространству 9.3.1. B = µ 0 σv/2. 9.3.2. B = 10 −10 Тл. 9.3.3. µ 0 i/2. 9.3.4. Между плоскостями B = µ 0 (i 1 − i 2 )/2, вне плоскостей B = ±µ 0 (i 1 + i 2 )/2. 9.3.5. F = µ 0 I 2 /(2b). 9.3.6. а. ∆ = µ 0 aI 2 /(8Eb 2 ). б. B 1 ≈ 10 Тл. B 2 ≈ 35 Тл. 9.3.7. B = µ 0 e 0 E ⊥ v = µ 0 iΩ/(4π), где E ⊥ = σΩ/(4πε 0 ) — составляющая напряженности электрического поля носителей тока, перпендикулярная поверхности, σ — их поверхностная плотность, v — скорость. 9.3.8. а. B = µ 0 i/4. б. B = µ 0 i; не зависит. в ∗ . B = µ 0 aj/(4 √ 3 ). 9.3.9. T = µ 0 nRI 2 /2. 9.3.10 ∗ . а. B = µ 0 iΩ/(4π), где Ω — телесный угол, под которым видна поверхность цилиндра (см. задачу 9.3.7). В сечении AA телесный угол Ω = 2π, поэтому B = µ 0 i/2. б. B = 1 2 µ 0 i 1 − 1 1 + (R/x 1 ) 2 , B = −→ x 1 →∞ 1 4 µ 0 i(R/x 1 ) 2 B = 1 2 µ 0 i 1 + 1 1 + (R/x 2 ) 2 , B = −→ x 2 →∞ µ 0 i. 338 ♦ 9.3.11 ∗ . а. Магнитное поле цилиндра складывается из магнитных полей тонких дисков толщины ∆, на которые можно разбить этот цилиндр. Магнитное же поле каждого диска сов- падает с магнитным полем тока, текущего с линейной плотностью M (M — магнитный момент единицы объема железа); по внешней поверхности диска (см. решение задачи 9.2.19 ∗ ). б. Направление индукции магнитного поля в центре кубика совпадает с направлением намагничивания. Модуль этого вектора будет во столько раз меньше модуля индукции магнит- ного поля внутри стержня, во сколько раз 8π/3 (телесный угол, под которым видны боковые грани кубика 1–4) меньше 4π, т. е. n = 1,5 раза. в. B = µ 0 M 1 + 4(r/l) 2 ; B → (r/l)→0 −→ µ 0 M , B −→ (r/l)→∞ µ 0 M l 2r г. B = µ 0 M 1 − 1 1 + 4(r/l) 2 ; B −→ (r/l)→0 2µ 0 M r 2 l 2 , B −→ (r/l)→∞ µ 0 M . 9.3.12. Индукция магнитного поля внутри прямоугольного столба будут во столько раз больше B, во сколько раз 4π больше телесного угла, под которым видны боковые грани пла- стины из ее центра. B = πaB 0 /(2 √ 2h ). 9.3.13. B = 6,28 · 10 −4 Тл, B ⊥ = 0,377 Тл. 9.3.14. ∆B = B 0 κh/(2R). 9.3.15. а. B = µ 0 Ix/(2πr 2 ), 0 < x < r; B = µ 0 I/(2πx), x > r. б. B = µ 0 xj, x = a/2; B = µ 0 aj/2, x < a/2. 9.3.16. B макс = µ 0 N I/(2πr), B мин = µ 0 N I/(2πR). 9.3.17. а. Над плоскостью B = µ 0 I/(2πx), линии индукции магнитного поля совпадают с линиями индукции поля бесконечного прямого провода; под плоскостью B = 0. б. Над плоскостью B = µ 0 I/(2πx), под плоскостью B = µ 0 (I − I )/(2πx). в. Внутри кабеля B = µ 0 I/(2πx), вне кабеля B = 0. 9.3.18 ∗ . B = µ 0 I 2πr tg β 2 ♦ 9.3.19. См. рис. B макс = µ 0 hj/2. 9.3.20. B = µ 0 2 jx, 0 < x < h 2 ; B = µ 0 2 hj 1 − h 4x , x > h 2 , где x — расстояние до точки O. 9.3.21 ∗ . B = µ 0 jd/2. ♦ |