Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 14.1. Постоянство скорости света. Сложение скоростей 14.1.1. l = 15 км. 14.1.2. v = 6 · 10 7 м/с. 14.1.3. tg α = v/c. 14.1.4 ∗ . tg 1 2 ∆ = sin α c v + cos α v c sin α = 10 −4 sin α, где v = 30 км/ч — скорость Земли относительно Солнца. ♦ 14.1.5. Для наблюдателей станции время движения светового сигнала, который три раза прошел расстояние l между станциями, равно 3l/c, а время движения зонда l/v, v — скорость зонда. Время движения зонда и сигнала совпадают: 3l/c = l/v. Значит, v = c/3. Аппарату- ра зонда фиксирует световой сигнал, который удаляется от зонда со скоростью c. Навстречу зонду движется вторая станция со скоростью v. Поэтому время движения светового сигнала от первой станции до второй, измеренное аппаратурой зонда, равно l /(c + u), l — расстоя- ние между станциями, измеренное аппаратурой зонда. Время движения светового сигнала от второй станции до первой равно l /(c − u), а полное время движения светового сигнала равно l /(c + u) + l /(c − u) + l /(c + u), и оно равно времени движения второй станции навстречу зонду l/u. Из уравнения l /(c + u) + l /(c − u) + l /(c + u) = l /u находим, что u = c/3. Таким образом, наблюдатели станции и аппаратура зонда зафиксируют одинаковую скорость сближения зонда со второй станцией, равную c/3. ♦ 14.1.6 ∗ . Для наблюдателя на первой станции время движения светового сигнала до вто- рой будет равно L/(c + u), L — расстояние между станциями в момент испускания сигнала и зонда. Возвращаться на первую станцию сигнал будет такое же время. Поэтому в момент отражения сигнала от первой станции вторая станция переместится на расстояние 2 l c + u · u (рис. а) и расстояние между станциями будет равно l = L c − u c + u . Поэтому третий раз сигнал бу- дет находиться в пути время l c + u = L c − u (c + u) 2 , и полное время движения сигнала будет равно L 3c + u (c + u) 2 . Точно такое же время находится в пути зонд, время движения которого определя- ется через искомую скорость зонда v 1 по формуле L v 1 + u . Приравнивая эти времена, получаем уравнение L 3c + u (c + u) 2 = L v 1 + u , из которого и определяем v 1 = c c − u 3c + u 23 ∗ 357 Для наблюдателя второй станции время движения сигнала от первой станции до второй будет L c . За это время первая станция сместится на расстояние L c u (рис. б), и поэтому сигнал вернется на первую станцию через время L − L u/c c + u = L c c − u c + u . После отражения от первой станции сигнал вернется на вторую станцию через это же время. Таким образом, полное время движения сигнала будет равно L c + 2 L c c − u c + u = L c 3c − u c + u и равно времени движения зонда, а скорость зонда равна расстоянию между станциями в момент пуска зонда, деленному на это время: v 1 L 3c − u c + u · L c = c c + u 3c − u Точно такие же скорости зафиксирует и аппаратура зонда: первая станция будет удалять- ся от зонда со скоростью c c − u 3c + u , а вторая станция — приближаться со скоростью c c + u 3c − u ♦ 14.1.7 ∗ . Скорости обоих сигналов по наблюдениям с корабля одинаковы. Поэтому для наблюдателя космического корабля в момент отражения станции находились на одинаковом расстоянии, и сигнал от них отразился одновременно, так как в этом случае одновременно ото- сланные сигналы и вернутся после отражения одновременно. А что наблюдается со станций? Сигналы относительно корабля уже не равны скорости света, а равны или c + v, или c − v. Поэтому сигнал не может отразиться одновременно от станций в момент, когда корабль нахо- дился от них на одинаковом расстоянии. В этом случае сигнал прошел бы быстрее на корабль от той станции, к которой движется корабль. Более того, сигналы вообще не могут отражаться одновременно. Действительно, чтобы одновременно отраженные сигналы пришли на корабль тоже одновременно, корабль должен находиться от станции, к которой он приближается, на расстоянии в (c + v)/(c − v) большем, чем расстояние до станции, от которой он удаляется. Но тогда он должен был бы отправить сигналы на эти станции в разное время, так как только в этом случае они прибудут на эти станции одновременно. Поэтому на станциях обязатель- но наблюдается приход сигналов в разное время, а в момент отражения корабль обязательно наблюдается на разных расстояниях от станций. Для определения разницы времен отражений 358 сигналов от станций нужно найти расстояние корабля от станций x и l − x в момент подачи сигналов с корабля. Эти расстояния находятся из условия равенства времен движения сигналов: x c + x c − v 1 + v c = l − x c + x c + v 1 − v c Из этого уравнения следует x = 1 2 1 − v c l, l − x = 1 2 1 + v c l. Поэтому времена движения сигналов от корабля до станций определяются формулами τ 1 = x c = 1 2 1 − v c l c , τ 2 = l − x c = 1 2 1 + v c l c , а разница времен отражений сигналов — формулой τ 1 − τ 2 = v c 2 l. Расстояние до станций в моменты отражений легко находится через τ 1 , τ 2 , x и l − x: x 1 = x 2 = 1 2 1 − v 2 c 2 l. 14.1.8. v 1 = 1 − 1 k c, v 2 = (k − 1)(1 − β 2 ) (k − 1)(1 + β) + 1 c. ♦ 14.1.9. На рис. а схематично изображены два следующих друг за другом отражения ра- дарного импульса от объекта. Если τ 1 и τ 2 — времена возвращения импульса, то (τ 1 + τ 2 )/2 — промежуток времени между первым и вторым отражением от объекта, a c(τ 1 − τ 2 )/2 — путь, пройденный объектом за это время. Значит, скорость объекта определяется через время воз- вращения импульса по формуле v = c(τ 1 − τ 2 )/2 c(τ 1 + τ 2 )/2 = c k − 1 k + 1 , где k — отношение времен возвращения τ 1 /τ 2 . А какая скорость объекта получится, если по- слушаться генерала? На рис. б показаны скорости радарного импульса и времена полетов им- пульса от отражения до отражения. В этом случае скорость сближения объекта со станцией определяется через приведенные на рис. б величины по формуле v = (c − u)τ + 1 + (c − u)τ − 2 2(τ − 1 + τ + 2 ) В этой формуле надо τ + 1,2 и τ − 1,2 определить через наблюдаемые величины τ 1 и τ 2 . Для этого нужно воспользоваться следующими очевидными соотношениями: τ + 1,2 + τ − 1,2 = τ 1,2 , τ + 1,2 /τ − 1,2 = (c − u)/(c + u), из которых следует, что τ ± 1,2 = (1 u/c)τ 1,2 /2, а скорость v = 1 − u 2 c 2 (k − 1)c k + 1 − u c (k − 1) = 1 − u 2 c 2 v 1 − vu c 2 Эта скорость v отличается от скорости v и определяется, как и предполагал генерал, не толь- ко отношением времен k, но и скоростью лаборатории u относительно Земли. Но совпадает ли 359 полученная таким образом скорость v со скоростью сближения, наблюдаемой с Земли? Ведь τ 1 и τ 2 — времена возвращения импульса в системе лаборатории — не совпадают с временами возвращения τ 1 и τ 2 , наблюдаемыми с Земли, лишь их отношения одинаковы: τ 1 : τ 2 = τ 1 : τ 2 Но равенства этих отношений уже достаточно, чтобы v совпадала со скоростью сближения, наблюдаемой с Земли. Этот результат означает, что разница в скоростях сближения, кото- рые фиксируют наблюдатели лаборатории и Земли, связана с тем, что эти группы фиксируют разную скорость импульса света относительно лаборатории. Первые наблюдают эту скорость равной скорости света, вторые же, в зависимости от того, летит ли импульс от лаборатории или навстречу ей, — меньше или больше скорости света на величину u. Скорость лаборатории u находится из уравнения v − v = v(1 − u 2 /c 2 ) 1 − uv/c 2 − v = vu(v − u) c 2 − uv = αv, где α = 10 −4 . При таком малом α скорость u αc 2 /v = 90 км/с. Скорость объекта относитель- но Земли равна разности скорости сближения объекта с лабораторией и скорости лаборатории, наблюдаемых с Земли: v 0 = v = u = v · c 2 − u 2 c 2 − uv − u = v − u 1 − vu/c 2 100 000 км/с − 90 км/с = 99 910 км/с. 14.1.11 v = 2,9 · 10 8 км/с. 14.1.12 u = (v + c/n)/(1 + v/nc). 14.1.13 T = 2nl c(1 − v 2 /c 2 ) 14.1.14 ∗ . v = Lτ c 2 l(l + 2L) 1 + l 3 (l + 2L) (Lτ c) 2 − 1 ; при l/τ , L/τ c получаем v = l 2 /(2Lτ ). 14.1.15 v 0 = (c 2 − vu − (c 2 − v 2 )(c 2 − u 2 ) )/(v − u). 14.1.16 N = 1 + 2 u v + u 2 c 2 1 + vu c 2 + u 2 c 2 ♦ 14.1.17 На рисунке изображены траектории светового сигнала по наблюдениям с Земли и с ракеты. Минимальное расстояние между ракетой и Землей одинаково по обоим наблюдениям и равно l. Поэтому по наблюдениям с Земли время возвращения сигнала равно 2l/c, а по наблюдениям с ракеты время возвращения равно (2l/c) · 1/ cos α = 2l/c 1 − β 2 , где β = v/c = sin α. Таким образом, промежуток времени между уходом и приходом светового сигнала на Землю увеличивается при наблюдении с ракеты в 1/ 1 − β 2 раз. 360 ♦ 14.1.18 Пусть происходит следующее. Несколько наблюдателей двигаются около Земли с разными скоростями. На Землю вернулся отраженный от одного наблюдателя радарный им- пульс. Пока этот импульс путешествовал, стрелки часов на месте старта сделали три полных оборота, во время второго путешествия импульса стрелки сделали еще два оборота. И наблюда- тель, от которого отразился импульс, и все остальные наблюдатели зафиксируют события: три оборота стрелок земных часов во время первого путешествия импульса и два оборота стрелок во время второго путешествия. Каждый оборот для любого наблюдателя длится одинаковое время. Поэтому для всех наблюдателей отношение длительности первого и второго путеше- ствия импульса равно отношению числа оборотов стрелки часов 3 : 2. Приведенный пример иллюстрирует независимость отношения времен, характеризующих события, от скорости на- блюдателей. ♦ 14.1.20 Период колебаний световых ходиков независимо от их ориентации по наблюдениям со станции увеличится в 1/ 1 − β 2 раз, и поэтому ходики будут «идти» в 1/ 1 − β 2 раз медленнее. Для определения расстояния между зеркалами l , которое наблюдается со станции у продольных ходиков, определим период колебаний ходиков через l : τ 1 = l c(1 + β) + l c(1 − β) = 2l c(1 − β 2 ) Этот период в 1/ 1 − β 2 раз больше периода колебаний ходиков 2l/c, измеренных в ракете. Значит, τ 1 = 2l c(1 − β 2 ) = 2l c 1 − β 2 Из последнего уравнения следует, что l = l 1 − β 2 . Это означает, что ходики и ракета, и люди в ней, по наблюдениям с Земли «сплющатся» в 1/ 1 − β 2 раз в направлении скорости βc. Точно также вс¨е «сплющится» и на станции по наблюдениям с ракеты. Много изменений в наблюдаемую картину движения вносит относительное движение станции. И прежняя одно- временность событий нарушается, и часы на станции идут медленнее в 1/ 1 − β 2 раз, и вс¨е 361 сокращается в 1/ 1 − β 2 раз в направлении движения. Но «сплющенные» люди на станции своими «сплющенными» приборами, используя «замедленное» время и неправильно определяя одновременность событий, получают, измеряя относительную скорость улетающего от них све- та, не скорость c − βc, а скорость c. Свет же, который летит им навстречу, приближается к ним не со скоростью c + βc, а, по их искаженным измерениям, со скоростью c. Так могли бы объяснить разницу измерений относительной скорости света наблюдатели с ракеты. Но точно так же могли бы объяснить и наблюдатели со станции, считая, что у них все нормально, а искажения наблюдаются у «ракетчиков». 14.1.21. В 1 − u 2 /c 2 + u 2 /v 2 раз. ♦ 14.1.22. Скорости зайцев и Мазая равны прежней скорости четвертого зайца. ♦ 14.1.23. См. рис. λ + = λ/2, λ − = 2λ, λ ⊥ = 5λ/4. 14.1.24 ∗ . N = (1 + β)/2. 14.1.25 ∗ . δ ∆/c. 14.1.26 ∗ . sin α 1 = sin α + 2β + β 2 sin α 1 + 2β sin α + β 2 14.1.27. В системе отсчета, которая движется со скоростью u sin α в направлении, проти- воположном движению корабля, скорость ракеты v p перпендикулярна направлению движения 362 корабля v k ; v p и v k определяются формулами v p = u sin α 1 − (u/c) 2 cos α, v k = (v − u cos α) 1 − vu cos α c 2 В системе отсчета, в которой скорость корабля равна нулю, составляющие скорости ракеты v ⊥ и v , перпендикулярные и параллельные прежней скорости корабля v k , определяются форму- лами v ⊥ = v p / 1 − (v k /c) 2 , v = v k , а полная скорость ракеты v 1 формулой v 1 = v 2 ⊥ + v 2 = u 2 + v 2 − 2vu cos α − (vu/c) 2 sin 2 α 1 − vu cos α c 2 14.1.28 ∗ . tg ν = γ tg (α/2), γ = 1/ 1 − β 2 § 14.2. Замедление времени, сокращение продольных размеров. Преобразование Лоренца 14.2.1. В 2,5 раза. 14.2.2. v > c/ 1 + (τ c/l) 2 14.2.3. ∆v = 6 · 10 4 км/с. 14.2.4. ∆ν = 10 7 Гц. 14.2.5 ∗ . В точке, движущейся со скоростью стенки, частоты электромагнитных колебаний падающей и отраженной волны совпадают. Поэтому частота падающей волны ν связана с частотой отраженной волны ν равенством ν/(1 + β) = ν /(1 − β), ν = ν(1 − β)/(1 + β). 14.2.6 ∗ . В точках, движущихся со скоростью стенки, частота электромагнитных колеба- ний волны в диэлектрике и вне диэлектрика одинакова. Поэтому частота волны вне диэлек- трика ν связана с частотой волны внутри диэлектрика ν равенством ν/(1 + β) = ν /(1 + nβ), ν − ν = (n − 1)β/(1 + nβ). 14.2.7. τ = l(1 − vu/c 2 )/v 1 − u 2 /c 2 14.2.8. Через 5 · 10 4 лет. ♦ 14.2.10. Навстречу карандашу движется со скоростью βc пенал. Длина пенала l/γ (γ = 1 1 − β 2 ) в γ 2 раз меньше длины карандаша γl. В момент, когда дно пенала достигнет пе- реднего конца карандаша, дно остановится. Однако открытый конец пенала будет двигаться со скоростью cβ до тех пор, пока волна «остановок» участков пенала, идущая от его дна со скоро- стью c/β, не дойдет до открытого конца. В этот момент длина пенала равна длине карандаша и пенал захлопывается. 14.2.12 ∗ . tg α = ββ 1 / 1 − β 2 1 14.2.14. ∆v = cν 2 0 (ν 2 1 − ν 2 2 )/(ν 2 1 − ν 2 0 )(ν 2 2 − ν 2 0 ). 14.2.16. cos θ = (cos α + β)/(1 + β cos α), ν = (1 + β cos α)/ 1 − β 2 363 14.2.17. а) τ = L/(v + u), τ 2 = τ 1 (1 + vu)/ 1 − (u/c) 2 ; б ∗ ) τ 1 = v a 1 + 2al v 2 − 1 , τ 2 = τ 1 1 + vaτ 1 2c 2 1 − v 2 c 2 14.2.18. Центр колебаний движется со скоростью βc. Координаты тела относительно цен- тра связаны со временем t соотношениями: а) z = A γ sin ωt γ 1 + βz ωc ; б) y = A sin ωt γ , γ = 1 1 − β 2 § 14.3. Преобразование электрического и магнитного полей 14.3.1. Расстояние между зарядами в пластинах уменьшится в γ = 1/ 1 − β 2 раз, что приведет к увеличению поверхностной плотности заряда каждой пластины в γ раз. Поэтому электрическая напряженность увеличится в γ раз: E = γE, B = βE = γβE. 14.3.2 ∗ . E ⊥ = γ · E cos α, E = E sin α, B = γβE cos α = βE ⊥ , γ = 1 1 − β 2 14.3.3. E r = 2γρ/r, B r = 2γβρ/r, где γ = 1/ 1 − β 2 , r — расстояние до нити. 14.3.4. а. ρ e = −ρ/γ, ρ i = γρ, γ = 1/ 1 − β 2 б. Увеличится в γ раз. в ∗ . Разное изменение плотности зарядов электронов и ионов при движении проводника приводит к появлению нескомпенсированной объемной плотности заряда ρ = γρ − ρ/γ = β 2 γρ. Электрическое поле этого заряда E = β 2 γρs/r, а магнитная индукция движущегося проводника B = βγρs/r, где s — сечение проводника, а r — расстояние до его оси. Поэтому E = βB. 14.3.5 ∗ . а. ρ i = γ 1 ρ, где γ 1 = 1/ 1 − β 2 1 . Для определения плотности электронов перейдем в состояние движения со скоростью β 1 c через промежуточное состояние движения со скоростью βc, в котором электроны неподвижны, а их плотность равна ρ e = −ρ/γ, γ = 1 1 − β 2 . Затем, сообщая промежуточному состоянию скорость β 2 c = c(β 1 − β)/(1 − β 1 β), перейдем в нужное состояние, в котором плотность электронов определяется формулой ρ e = ρ e / 1 − β 2 2 = −γ 1 (1 − ββ 1 )ρ. б. Увеличится в γ 1 раз. в. E 1 = β 1 B 1 14.3.6. а. E = −[β × B]. б. В движущемся состоянии электрическое поле E определяется формулой E = −[β × B], где B — индукция магнитного поля в движущемся состоянии. При малых β B близко к B. Поэтому E −[β × B ]. в. Оба объяснения правомерны. Это означает, что определить абсолютное движение маг- нита нельзя. ♦ 14.3.7 ∗ . а. В качестве пробного тела выберем прямой проводник, который неподвижен в началь- ном состоянии и в котором со скоростью βc дви- жутся электроны проводимости. Плотность элек- тронов на единицу длины проводника −ρ, а плот- ность ионов кристаллической решетки проводни- ка +ρ. Поэтому проводник не заряжен и электри- ческое поле в начальном состоянии на него не дей- ствует. В движущемся со скоростью −βc состоянии электроны проводимости неподвижны, а ионы дви- жутся со скоростью −βc. Плотность электронов в проводнике уменьшится в γ раз, а ионов — увели- чится в γ раз. Поэтому проводник окажется после преобразования заряженным с плотностью γρ − ρ/γ = β 2 γρ, и на единицу длины проводника в поперечном направлении со стороны электрического поля E будет действовать сила β 2 γρE. 364 |