Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 39 из 44

0
rϕ, q
2r
= 16πε
0
rϕ.
6.3.22. ϕ
1
= ϕ(R
2
− R
1
)/R
2
, ϕ
2
= ϕR
1
/R
2 6.3.23. E = 0, ϕ = 0 при r > R
2
; E =
q
4πε
0
r
2
, ϕ =
q
4πε
0 1
r
−
1
R
2
при R
1
< r < R
2
;
E = 0, ϕ =
1 4πε
0 1
R
1
−
1
R
2
при r < R
1 6.3.24. E =
q
4πε
0
r
2 1 −
R
1
R
2
, ϕ =
q
4πε
0
r
1 −
R
1
R
2
при r > R
2
; E = −
qR
1 4πR
2
r
2
,
ϕ =
q
4πε
0
R
2 1 −
R
1
r при R
1
< r < R
2
; E = 0, ϕ = 0 при r < R
1 6.3.25. E =
ρr
3ε
0
, ϕ =
ρ
2ε
0
R
2
−
r
2 3
при 0 < r < R; E =
ρR
3 3ε
0
r
2
, ϕ =
ρR
3 3ε
0
r при r > R.
6.3.26. ∆ϕ = ρR
2
/(6ε
0
), ∆ϕ = ρR
2
/(4ε
0
), ∆ϕ = ρh
2
/(8ε
0
).
6.3.27. ϕ =
ρ
2ε
0
r
2
ln
R
r
+
r
2 2
−
x
2 2
при 0 < x < R; ϕ =
ρr
2 2ε
0
ln
R
x при r < x < R.
6.3.28. F = Q
2
/(16πε
0
h
2
).
6.3.29. F = 3Q
2
/(32πε
0
h
2
).
6.3.30. Нет. F = q
2
(2
√
2 − 1)/(32πε
0
l
2
).
324

6.3.31
∗
. ϕ = q/(4πε
0
L).
6.3.32
∗
. Q = −qR/L.
6.3.33. Увеличится на F = Qq/(4πε
0
L
2
) при L > R; не изменится при L < R.
6.3.35. h = 3q
2
R
2
/(16π
2
ε
0
ρgr
6
), где h отсчитывается от центра шара.
6.3.36. Q = qQ/(Q − q).
6.3.39. Увеличится в три раза.
6.3.40. C = 4πε
0
R.
§ 6.4. Конденсаторы
6.4.2. а. Увеличилась в четыре раза.
б. Уменьшится в два раза; уменьшится вn раз.
6.4.3. а. C = ε
0
S/d.
б. C = 5,3 см = 5,9 пФ.
6.4.4. а. Увеличится в полтора раза.
б. Увеличится в 1 + S /(2S) раз.
в. Не изменится.
6.4.5. C = 4πε
0
R
1
R
2
R
1
− R
2 6.4.6. C = 4πε
0 1
R
1
−
1
R
2
−
d
R
0
(R
0
− d))
−1 6.4.7
∗
. C = 2πε
0
l/ ln(R
2
/R
1
).
6.4.8
∗
. C =
ε
0
al d
1 +
ld
2πR
2 6.4.9. а. C = C
1
C
2
/(C
1
+ C
2
), C = C
1
+ C
2
б. C = 4C/3.
в. C = 7C/5.
г. C = (
√
5 − 1)C/2.
д. C = 6C/5.
6.4.10. q = ±ε
0
SE.
6.4.11. ∆V =
a d + a
(V
1
+ V
2
).
6.4.12
∗
. а. Увеличится в полтора раза.
б. Увеличится в два раза.
6.4.13. ∆q = qx/d.
6.4.14
∗
V
V
0
=
Cd + 2ε
0
S
Cd + ε
0
S
4n
6.4.15. F = 4,4 · 10
−2
Н. Нет.
6.4.16. Увеличится в k раз. Увеличится в n
2
раз.
6.4.17. а) W = 4,4 мДж; б) W = 2πε
0
r
1
r
2
V
2
/(r
2
− r
1
); в) W = πε
0
lV
2
/[ln(r
2
/r
1
)].
6.4.18. а. A = Q
2
d/(2ε
0
S).
б. A = Q
2
dx/[2ε
0
a
2
(a − x)].
в. A
а
= Q
2
d/(4ε
0
A); A
б
=
Q
2
dx/(2ε
0
a
3
).
§ 6.5. Электрическое давление. Энергия электрического поля
6.5.1. а. F = σ
2
S/(2ε
0
). P = σ
2
/(2ε
0
). б. σ = ε
0
E. P = ε
0
E
2
/2 (в СИ), P = E
2
/(8π)
(в СГС).
в. P = 4,325 Па, σ = 8,85 мкКл/м
2 6.5.2. Уменьшится в 1 + Q
2
/(2P
0
ε
0
S
2
) раз.
6.5.3. По теореме Гаусса определим поверхностную плотность заряда на границе раздела полей: σ = ε
0
E. Используя принцип суперпозиции,
E − σ/(2ε
0
) = E,
E + σ/(2ε
0
) = 2E,
найдем напряженность внешнего поля: E = 3E/2. Сила, которая действует на заряд, прихо- дящийся на единицу площади поверхности раздела полей, т. е. давление со стороны внешнего поля P = E σ = 3ε
0
E
2
/2. Для полей E и −2E, аналогично рассуждая, получим σ = −3ε
0
E
и E = −E/2. Таким образом, во втором случае поверхностная плотность заряда в три раза больше, но напряженность внешнего поля в три раза меньше. Поэтому электрическое давление будет тем же: P = E σ = 3ε
0
E
2
/2.
6.5.4. P = ρ
2
h
2
/(2ε
0
).
6.5.5. P = Q
2
/(32π
2
ε
0
R
4
) (см. решение задачи 6.5.3).
6.5.6. P = ε
0
R
2
V
2
/[2r
2
(R − r)
2
].
6.5.7. ρ = 2πR
√
2ε
0
P .
6.5.8
∗
. а. F
1
= qσ/(4ε
0
), F
2
=
√
2 qσ/(8ε
0
), F
3
=
√
3 qσ/(16ε
0
); E
1
= σ/(4ε
0
), E
2
=
√
2 σ/(8ε
0
), E
3
=
√
3 σ/(16ε
0
).
б. E = Rρ/(4ε
0
).
6.5.9
∗
. F = Q
2
(R
2
− h
2
)/(32πε
0
R
4
); q = −Q/2.
21
∗
325

6.5.11. A = 2EσdS.
6.5.12. а. σ = ε
0
E, P = ε
0
E
2
/2.
б. A = ε
0
E
2
hS/2.
6.5.13. A = σ
2
Sh/(2ε
0
).
6.5.14. A = ε
0
ShE
0
(E
0
− E).
6.5.15. W = Q
2
/(8πε
0
R) (в СИ); W = Q
2
/(2R) (в СГС).
6.5.16. r = 1,4 · 10
−15
м.
6.5.17. В 1400 раз.
6.5.18
∗
. W = 3Q
2
/(20πε
0
R).
6.5.19. A = Q
2
/(8πε
0
R).
6.5.20. A =
Q
2 8πε
0
R
(1 − N
−2/3
).
6.5.21. В n раз.
6.5.22. A
3
= 3A; A
n
=
n(n − 1)
2
A.
6.5.23
∗
. A = 6A.
6.5.24
∗
. A =
√
2 A.
6.5.25. ∆W = Q
2
/(4πε
0
l).
6.5.26
∗
. A = (Q
1
∆ϕ
1
+ Q
2
∆ϕ
2
)/2.
6.5.27
∗
. а) F = 2Q
2
dc(d − c)/[ε
0
a
3
(2d − c)
2
];
б) F = ε
0
acV
2
/[2d(d − c)].
6.5.28. A = Q
2
ab/[2Sε
0
(a + b)].
6.5.29
∗
. F = q
2
Sd/(8π
2
ε
0
r
5
).
♦
6.5.30
∗
. Напряженность поля зарядов, распределенных по сферической оболочке, отвер- стие в которой закрыто пробкой, в центре сферы равна нулю и может быть представлена в виде
E(0) = E
пробки
+ E
сферы без пробки
= 0.
При ∆
r
R поле пробки является полем диполя, напряженность поля которого в точке O
равна E
пробки
(0) = q ∆/(2πε
0
R
3
). После удаления пробки перераспределение зарядов на остав- шейся части сферической оболочки при ∆
r, будет незначительным, и для оценки можно считать, что
E(0) = E
сферы без пробки
≈ −E
пробки
= −q ∆/(2πε
0
R
3
).
По теореме Гаусса q = −qr
2
/(4R
2
). С учетом этого имеем
E(0) = q
2
r
2
∆/(8π
0
εR
5
).
§ 6.6. Электрическое поле при наличии диэлектрика
6.6.2. p = 7,4 · 10
−37
Кл · м.
6.6.3. p ср
= 1 · 10
−34
Кл · м.
6.6.4. σ
пр
= ±σ(ε − 1)/ε. Напряженность поля:
E = σ/(ε
0
ε) — в диэлектрике,
E = σ/ε
0
— в зазоре.
Разность потенциалов между пластинами V = (σ/ε
0
)(d − h + h/ε).
6.6.5. E = E
0
sin
2
+(cos
2
α)/ε
2 6.6.6. Увеличится в ε раз.
6.6.7. ε = 2.
6.6.8. q = (ε − 1)CV .
6.6.9. ∆V =
ε − 1
ε + 1
V .
∆V =
ε − 1
ε(n − 1) + 1
V .
6.6.10. ∆V = k(ε − 1)V /n.
6.6.11. C = ε
0
(ε
1
+ ε
2
)S/(2d).
6.6.12. C =
ε
0
ε
1
ε
2
S
ε
2
d
1
+ ε
1
d
2
; q пол
=
ε
1
− ε
2
ε
1
ε
2
q.
6.6.13. C =
ε
0
d
2
(ε − 1)(S
2
− S
1
) + ε
0
εd
1
S
1
d
1
(d
1
− d
2
) + d
1
d
2 326

6.6.14. ρ = −q/(ε
1
Sd).
6.6.15. а. К нити.
б. F
2
=
ε
1
(ε
2
− 1)
ε
2
(ε
1
− 1)
F
1
в. F ∼ V
2
, F ∼ 1/r
3
г. В (R/r)
3
раз.
6.6.16. F =
(ε − 1)SQ
2 8π
2
ε
0
εR
5
δ.
6.6.17
∗
. M =
ε
0
(ε − 1)SdE
2
sin 2α
2ε
;
A = −
ε
0
(ε − 1)SdE
2
sin
2
α
2ε
♦
6.6.18. σ
внутр
=
(ε − 1)Q
4πεr
2
, σ
внеш
=
(ε − 1)Q
4πεR
2
. См. рис.
6.6.19
∗
. P =
(ε − 1)Q
2 32π
2
ε
0
ε
1
r
4
−
1
R
4 6.6.20
∗
. F =
Q
2
d
2ε
0
b
ε − 1
[a + x(ε − 1)]
2 6.6.21. h = ε
0
(ε − 1)V
2
/(2ρgd
2
).
6.6.22. h = (ε − 1)Q
2
/(2ε
0
ερgS
2
).
6.6.23. W =
q
2 2C
ε − 1
ε
6.6.24. W =
V
2
C
2
(ε − 1).
6.6.25
∗
. V =
2W
(ε
1
− ε
2
)C
1/2
E ∼ 10 9
В/м.
6.6.26. Дипольные моменты в диэлектрике ориентируются в электрическом поле с запаз- дыванием; ε = 2.
6.6.27. а. V =
ε − 1
ε
V .
б. ∆T ∼ 10
−5
К.
6.6.28. r = 0,12 нм.
6.6.29. p = 4πε
0
r
3
E.
6.6.30. ε = 1 + 4πr
3
n.
Глава 7
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
§ 7.1. Движение в постоянном электрическом поле
7.1.1. Когда начальная скорость частицы направлена вдоль прямой силовой линии.
7.1.2. t = 0,56 мкс; x = 2,8 м.
7.1.3. E = 2(d − vt)m/(qt
2
).
7.1.4. u = v
1 + 2qEd/(mv
2
), tg β = tg α
1 + 2qEd/(mv
2
sin
2
α).
7.1.5. В два раза.
7.1.6. K = qEl/[2 cos
2
α(tg α + tg β)].
327

7.1.7. N = neU bl
2
/(2m e
vd).
7.1.8. q = 10
−17
Кл.
7.1.9. β = α − arctg
1 + sin
2
α
cos α
; tg β =
cos α
√
1 + cos
2
α − cos
2
α
cos α
√
1 + cos
2
α + sin
2
α
7.1.10
∗
. tg β = tg α
1 + 2e(ϕ
2
− ϕ
1
)/(m e
v
2
sin
2
α).
7.1.11. V = 19 кВ.
7.1.12
∗
. V = (V
0
/2)/ ln(R
2
/R
1
).
7.1.13. Скорость не изменится, а время пролета позитрона будет больше. Позитрон может вообще не долететь до точки B, если его начальная кинетическая энергия K
0
будет меньше eϕ
0 7.1.14
∗
. t = t
√
3.
7.1.15.
√
n.
7.1.16. K → 0 при l → 2R; K =
eQ
4πε
0 1
R
+
1
l − R
−
4
l при l > 2R. Условием минималь- ности будет приход электрона в среднюю точку отрезка, соединяющего центры сфер, с нулевой скоростью.
7.1.17
∗
. t =
2R
v
1 −
qQ(m + M )
2πε
0
RmM v
2
−1/2 7.1.18. v =
qEl/m.
7.1.19. T = 2π
ml/(2qE).
7.1.20. T = 2π
ml/(mg + qE) при mg + qE > 0; T = 2π
ml/
(mg)
2
+ (qE)
2 7.1.21. ω =
qQ/(2πε
0
ml
2
).
7.1.22
∗
. ω =
g l
−
qQ(h + l)
4πε
0
mh
3
l при qQ(h + l)
4πε
0
h
3
< mg.
7.1.23
∗
. T = 2π
g
R
+
qQ
32πε
0
mR
3
−1/2
при qQ
32πε
0
R
2
> −mg.
7.1.24
∗
. ∆t = πε
0
R(m e
v
2
)
2
/(2e
2
C).
7.1.25
∗
. α = π/4; δ ≈ 4K(∆α)
2
/(eE).
7.1.26. k = l/(2d).
7.1.27. б. p
1
= q
1
q
2
/(2πε
0
vr).
в. l = 3,4 · 10
−13
м.
7.1.28
∗
. k = 1/(2ε
0
).
§ 7.2. Фокусировка заряженных частиц
7.2.1. Увеличить в два раза.
7.2.2. x = v
π
2
m e
ε
0
/(eρ) при x l;
x = l + v
2m e
ε
0
eρ
ctg
1
v eρ
(2m e
ε
0
)
R
при x l.
7.2.3. а. В k раз увеличится.
б. В k раз уменьшится.
7.2.5. y = y
0
f /(x
0
− f ).
♦
7.2.6. а. Не зависит.
б
∗
. Если электрон движется по траектории, близкой к прямой AA ,
то поперечный импульс, который получит электрон в области отверстия, близок к p
⊥
=
eΦ/(2πrv), где Φ = πr
2
E — поток напряженности электрического поля через поверхность ци- линдра радиуса r в области отверстия, v — скорость электрона в этой области. Фокусное расстояние f = −r · m e
v/p
⊥
= − 2m e
v
2
/(eE) = −4d. (Знак минус у f означает, что происходит рассеяние электронов.)
328

7.2.7
∗
. f =
4 3
d
1 +
V
0
V
2
V
0
V
+ 2
V
0
V
V
0
V
+ 1
− 1
при V < 8V
0
. На расстоянии
8dV
0
/V от первой обкладки при V > 8V
0 7.2.8
∗
. f = d(4V
0
/V )
2
♦
7.2.9. Частица массы m, имеющая заряд q и пролетающая со скоростью v через заря- женный шар, получит от поля шара поперечный импульс p
⊥
= q∆q/(2πε
0
vx), где x
R —
минимальное расстояние между частицей и центром шара, ∆q ≈ πx
2
ρ2R — заряд участка шара, вырезанного цилиндром радиуса x; f =
mv p
⊥
1
x
=
R
2
V
0
V
7.2.10. На расстоянии f = 2R(V
0
/V )
2
от центра сфер.
7.2.11
∗
. x ≈
1
(1/f − 1/L)
, где f = 2R
V
0
V
2 7.2.12. ∆E
⊥
= (a − b)
2
/(16d
2
).
7.2.13. V = V
0 2d/l.
7.2.14
∗
. f = 4V (2E
2
− E
1
)/(E
2
− E
1
)
2
§ 7.3. Движение в переменном электрическом токе
7.3.1. t = 2m e
l/(eEτ ).
7.3.2. а)
2eV
m e
−
e∆V τ
m e
l v
2eV
m e
+
e∆V τ
m e
l
;
б) v
1
=
2e(V + ∆V )
m e
;
v
2
=
2e(V − ∆V )
m e
при ∆V < V .
7.3.3. ν
макс
≈ 10 9
Гц.
7.3.4. а. S = Ll/(2V d).
б. S = 0,09 мм/В.
7.3.5. Окружность радиуса 5 см.
7.3.6. ν > l
2eV /m e
7.3.7. V = πδντ /(2S).
329

7.3.8.
e m
e
=
l
2
f
2 2V (n + 1/2)
2
, где n — целое число.
7.3.9
∗
. ∆α = ± arctg
V
0
dω
2e m
e
V
1 − cos
ωl m
e
2eV
7.3.10. а. v = ωl/(2πn).
б
∗
. ∆b = 4πeV
0
n/(m e
ω
2
d), где n — целое число.
7.3.11. |u макс
| =
2eE
0
m e
ω
| cos ϕ|,
v ср
=
eE
0
m e
ω
cos ϕ.
7.3.12
∗
. K = 0,4 кэВ.
7.3.13
∗
. Из-за ухода из плазмы электронов, ускоренных высокочастотным электрическим полем, потенциал ее будет увеличиваться до тех пор, пока не перестанут выходить из нее даже самые быстрые электроны. V =
2eE
2 0
m e
ω
2 0
E
0
ω
2 7.3.14
∗
. A = eE
0
/[m e
(ω
2
− ω
2 0
)
2
+ 4γ
2
ω
2
].
7.3.15
∗
. ε = 1 + 4πn e
e
2
/[m e
(ω
2
− ω
2 0
)
2
+ 4γ
2
ω
2
].
§ 7.4. Взаимодействие заряженных частиц
7.4.1. v =
e
√
4πε
0
m e
r
λ − 1
λ
7.4.2. v =
e
2
(4 +
√
2 )/(8πε
0
m e
a).
7.4.3
∗
. v p
/v e
=
(m e
/m p
)(4
√
2 + 1) ≈ 0,01. Для оценки можно считать, что легкие пози- троны успеют уйти далеко, прежде чем протоны сдвинутся с места.
7.4.4. r мин
= e
2
/(4πε
0
m e
v
2
).
7.4.5. r мин
= e
2
/[πε
0
m e
(v
1
+ v
2
)
2
].
7.4.6. v =
q
1
q
2
(m
1
+ m
2
)/[2πε
0
m
1
m
2
(R
1
+ R
2
)].
7.4.7. r мин
= de
2
/(e
2
+ 4πε
0
m e
v
2
d cos α).
7.4.8
∗
. α = π/2.
7.4.9
∗
. v =
q
2
/(8πε
0
md).
♦
7.4.10
∗
. v = v
0 1 −
q
2
(2
√
2 − 1)
8πε
0
mv
2 0
d при mv
2 0
2
q
2
(2
√
2 − 1)
16πε
0
. Если вместо двугранно- го угла в точку A поместить заряд +q, то в области вне проводника электрическое поле,
а следовательно, и силы не изменяются. Это позволяет рас- смотреть движение системы из четырех зарядов, изображен- ной на рисунке.
7.4.11. v =
4e
2
r
2
/[πε
0
m e
(4r
2
+ R
2
)
3/2
].
7.4.12. K
мин
= Ze
2
/(8πε
0
r).
7.4.13
∗
. K
мин
= e
2
(2 −
√
2 )/(4πε
0
r).
7.4.14
∗
. n мин
= (
√
2 − 1)m/M +
√
2.
7.4.15
∗
. v мин
= 2v.
7.4.16. Невозможен.
7.4.17
∗
. r мин
=
e
2 2πε
0
m p
v
2
+
ρ
2
+
e
2 2πε
0
m p
v
2 2
7.4.18
∗
. m =
4q
2
(l − r)
rl u
2
+ v
2
+ 2uv cos(α + β) −
l
2
r
2
(u sin α − v sin β)
2 7.4.19
∗
. t = 2
√
2 t
0 7.4.20. v qQ(m + M )/(2πε
0
RmM ) при qQ > 0; любая при qQ < 0.
7.4.21. v =
mv
0
m + M
+
M V
0
m + M
2
−
QqM
2πε
0
Rm(m + M )
330

7.4.22
∗
. v =
3qQ(m + M )/(4πε
0
mM R) при qQ > 0; v = 0 при qQ
0.
7.4.23
∗
. v ц
=
q
2
/(6πε
0
ml); v кр
=
q
2
/(24πε
0
ml).
7.4.24. v =
q
2
m(2R − l)/[2πε
0
RlM (M + 2m)].
7.4.25. x =
R
2
Q
2 4πε
0
µmgR
2
− 1 , v макс
=
µgR
Q
4πε
0
µmgR
2
− 1 .
7.4.26
∗
. h =
h
0
cos
2
α
mg q
2 8πε
0
(H − h
0
)H sin α
(1 − µ ctg α) − mg(1 − µ tg α) .
7.4.27. W = 3q
2
/(32πε
0
l).
7.4.28. k = [q
2
/(2πε
0
l
1
l
2
](l
1
+ l
2
+ 2l
0
).
7.4.29. v макс
= v
1 + q
2
/(4πε
0
Rmv
2
).
7.4.30. а) W =
4 3
πR
3
ρv
2
+
Q
2 4πε
0
R
+ 4πR
2
σ(2 − 2 2/3
).
б) W =
4 3
πR
3
ρv
2
+
Q
2
+ q
3 8πε
0
R
−
(Q − q)
2 8πε
0 3
√
2R
+ 4πR
2
σ(2 − 2 2/3
).
7.4.31. Заряд будет колебаться вдоль оси цилиндрического отверстия. Его скорость мак- симальна в точке O.
7.4.32
∗
. v =
2gh[1 − Sσ
2
/(4ε
0
mg)] при mg > Sσ
2
/(2ε
0
);
v =
2ε
0
mg
2
h/(σ
2
S) при mg < Sσ
2
/(2ε
0
).
7.4.33. v =
q
2 4πε
0
m
1
r
−
1
R
7.4.34
∗
. v = v
0 1 −
ρ
2
l
2πε
0
mv
2
ln
R
1
R
2 7.4.35
∗
. T = 2π
4πε
0
ml
3
/(
√
2 q
2
).
7.4.36
∗
. а) Электроны и ионы разделяются полностью. Электрическое поле ионов E
i
=
neh/(2ε
0
) остановит электроны через время t ≈ 2ε
0
m e
v/(e
2
hn);
ν ≈ e
2
hn/(8ε
0
m e
v).
♦
б) Часть ионов и электронов образует на границах слоя заряженные области (см. рис.),
электрическое поле которых вызывает гармоническое движение основной массы электронов с периодом T = 2π
e
2
n/(ε
0
m e
). Поэтому электроны остановятся через время t = T /4 =