Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 41 из 44

9.3.22
∗
. а. B = µ
0
ja/2.
б. i = 2B
0
sin ϕ/µ
0
, i макс
= 2B
0
/µ
0
. См. рис.
9.3.23
∗
. Составляющая индукция магнитного поля вдоль оси соленоида B
= µ
0
nI, а составляющая индукция магнитного поля перпендикулярна оси соленоида, B
⊥
= µ
0
nI tg α.
339

♦
9.3.24
∗
. Для определения эквивалентных поверхностных токов (см. решение задачи
9.3.11
∗
а) цилиндр нужно разбить на тонкие слои, один из которых изображен на рисунке.
Плоскости слоев должны быть перпендикулярны направлению намагничивания. B = µ
0
M/2
при x < r; B = (µ
0
M/2)(r/x)
2
при x > r.
§ 9.4. Магнитный поток
9.4.1 а. Φ =
√
3 Ba
2
/2
б. Φ = BS sin α.
9.4.2 Φ = B · πR
2
(sin
2
α − sin
2
β).
9.4.6 n = sin α/sinβ, i = (B/µ
0
) cos α(1 − tg αctgβ).
♦
9.4.7
∗
. B
2
= B
4
= B
1
a
1
a
2
=
B
2 1
+ B
2 3
+ 2B
1
B
3
cos α
2 cos(α/2)
♦
9.4.8. а. B
r
=
1 2
B
0
r x
,
tg α =
1 2
r x
; см. рис.
б. B
r
=
1 2
nB
0
r x
0
x x
0
n−1
, B
r
=
1 2
rB
0
∂f
∂x
9.4.9. Так как магнитный поток радиальной составляющей индукции поля вне цилиндра сохраняется, индукция магнитного поля будет убывать как αR/r, где r — расстояние до оси
340

цилиндра, α = B
0
R/(2x
0
) — радиальная составляющая индукции магнитного поля вблизи поверхности цилиндра.
♦
9.4.10
∗
. а. На достаточно большом расстоянии от конца цилиндра индукция магнитного поля B
0
= µ
0
i, а магнитный поток в сечении πR
2
равен πR
2
B
0
. Часть этого потока (Φ
1
)
выходит из цилиндра через сечение AA , часть (Φ
2
) — через боковую поверхность: πR
2
B
0
=
Φ
1
+ Φ
2
. Отсюда Φ
2
= πR
2
B
0
− Φ
1
. Так как в сечении AA B = B
0
/2 (см. решение задачи
9.3.10
∗
а), то Φ
1
= πR
2
B = πR
2
B
0
/2 и Φ
2
= πR
2
B
0
/2 = µ
0
πiR
2
/2.
б. Сила, действующая на выделенный участок одной половины соленоида в осевом на- правлении, ∆F = B
⊥
∆S · nI = nI = ∆Φ, где ∆Φ — магнитный поток от другой половины соленоида через этот участок. Поэтому полная осевая сила F = nI · Φ, где полный магнит- ный поток от второй половины соленоида через поверхность первой половины Φ = µ
0
πnIR
2
/2.
Значит, F = µ
0
π(nIR)
2
/2.
9.4.11. B =
2µ
0
F /(πR
2
).
9.4.12. F = nI(Φ
1
− Φ
2
).
9.4.13. а. L = µ
0
π(rR)
2
/l
3
б. L = µ
0
nπr
2
Глава 10
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В СЛОЖНЫХ ПОЛЯХ
§ 10.1. Движение в однородном магнитном поле
10.1.1. R = 0,2 м.
10.1.2. R = 0,68 м.
10.1.3. а. ω = qB/m.
б. ω = 1,75 · 10 11
с
−1 10.1.4. R
1
/R
2
=
K
1
/K
2 10.1.5. t = 2πm/(qB).
10.1.6. K = 3(eBR)
2
/(4m p
).
10.1.7. sin α = eBl/(m e
v) при eB/m e
v/l;
α = π при eB/m e
> v/l.
10.1.8. x
1
= 0,29 м, x
2
= 0,41 м, x
3
= 0,5 м, x
4
= 0,58 м, ∆l = 3,7 мм.
10.1.9. ∆V /V
0
< 0,025.
10.1.10
∗
. l = 2mv/(qB), ∆z = mv(δα)
2
/(4qB).
10.1.11. R = mv sin α/(qB),
h = 2πmv cos α/(qB).
10.1.12
∗
. x = 2πm e
v/(eB),
∆y = πm e
v(δα)
3
/(4eB).
♦
10.1.13. а. См. рис.
B
B
0
= 2
√
2m e
k /(eR).
б. P
2
> P
1 10.1.14. B = m e
v/(eR) + e/(16πε
0
vR
2
).
10.1.15. ω = ω
0
− eB/(2m e
).
10.1.16. V = 2V h/R − Bh
2eV /m e
10.1.17. а. y =
m e
E
eB
2
lL
z
2
б. y[м] = 1,1 · 10
−4
м
−1
· z
2
в. y =
m e
E
eB
2
lL
z z
2
+
eBlL
m e
c
2 10.1.18. t =
πm p
e
2
BV
e
2
B
2
R
2 2m p
− K .
10.1.19. V =
eB
2
d
2 2π
2
m e
·
1
k
2
, где k = 1,2, . . . . Размер пятна определяется начальной скоростью электронов.
10.1.20. v =
mg qBµ
(sin α − µ cos α) при µ
tg α; v = 0 при µ > tg α.
10.1.21. M = 2πR
2
ρvB
R
10.1.23
∗
. v = Q(B
2
− B
1
)R/(2m).
10.1.25. M = QR
2
(B
1
− B
2
)/2. Сохраняется.
22
∗
341

♦
10.1.26
∗
. Время движения электрона через выделенный на рисунке участок t = ∆l/v, где v — проекция скорости на плоскость, проходящую через него и ось. Изменение импульса в на- правлении, перпендикулярном этой плоскости, ∆p
⊥
= −eB
⊥
v∆l/v = −eB
⊥
∆l = −e∆Φ/(2πR),
где ∆Φ — магнитный поток через участок. Изменение момента импульса ∆M = R∆p
⊥
=
−(e/2π)∆Φ. Поэтому M
2
− M
1
= (e/2π)(Φ
1
− Φ
2
).
10.1.27
∗
. n = (1 −
B
1
/B
2
)/2.
10.1.28
∗
. r = R
B
2
/B
1
§ 10.2. Дрейфовое движение частиц
10.2.1. v др
= 2v(B
1
− B
2
)/[π(B
1
+ B
2
)].
10.2.2
∗
. v др
≈ αm e
v
2
/(eB
0
).
♦
10.2.3. См. рис.
R =
1
B
2mEl q
,
v др
=
2
√
ql E
2
√
ql B + π
√
mE
10.2.4. v = E/B.
10.2.5. v др
= E/B.
10.2.6. v др
= (E/B) sin α.
10.2.8. v eBh/(4m e
) или v = V /(hB).
10.2.9. V = eB
2
d
2
/(2m e
);
V = 3,5 · 10 5
В.
10.2.10. В системе координат, движущейся с дрейфовой скоростью E/B, электрон дви- жется по окружности радиуса m
e v
eB
, где v =
v
2
+ 2
E
B
cos α +
E
2
B
2 1/2 10.2.11. v др
= F /(qB).
10.2.12. v e
≈ 8 · 10
−7
м/с, v p
≈ 1,5 · 10
−3
м/с.
Глава 11
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
§ 11.1. Движение проводников в постоянном магнитном поле.
Электродвигатели
11.1.1. Между концами крыльев.
11.1.2. V = 0,03 В.
11.1.3. V = vbB;
σ = ε
0
vB.
11.1.4
∗
. v < Ze/(4πε
0
Br
2
).
11.1.5
∗
. V < 7 МВ.
342

11.1.6. E = vB.
11.1.7. B = V /(a
2
ω).
♦
11.1.8. а. См. рис.
б. M = (a
2
b
2
B
2
ω/R) sin
2
ωt.
11.1.9. W = B
2
vab/(2ρ), a < b;
W = B
2
vb
2
/(2ρ), a > b.
11.1.10
∗
. W = B
2
l
2
v tg α/(2ρ).
11.1.11. N = (vB)
2
SL/(4ρ) = 1 Вт.
11.1.12
∗
. I = λBvS = 10 кА,
V = vBh = 200 В.
11.1.13. V = IB/(ρh).
11.1.14. а. v =
2BIlL/m.
б. v ≈ 1,1 · 10 7
м/с.
11.1.15. v =
IB/(ρb).
11.1.16. I
t
= 2πr
2 0
Bv/[R
0
(r
0
+ vt)].
11.1.17. Q = SB/R.
11.1.18. B = 1,1 · 10
−2
Тл.
11.1.19. v = gmR/(Bl)
2
. В тепло.
11.1.20
∗
. v(t) = g mR
B
2
l
2 1 − exp
−
B
2
l
2
mR
t
;
v(t) = gtm/(m + CB
2
l
2
).
11.1.21. k = I.
11.1.22
∗
. v = mgR/(B
0
πa
2
α)
2 11.1.23
∗
. I = (mg/BL) cos ωt.
11.1.24. а. ω
уст
=
2E
BL
2 1 −
2F R
BEL
,
I =
2F
BL
б
∗
. ω(t) =
2E
BL
2 1 − exp
−
3B
2
L
2 4mR
t
11.1.25
∗
. I = ωBr
2
/(2R) = 0,4 А.
11.1.26
∗
. ω = ω
0
− 4M ρ/(a
3
B
2
).
11.1.27. При остановке ротора в цепи потечет максимальный ток, так как будет отсут- ствовать ЭДС индукции.
11.1.28. E = 40 В.
11.1.29. f = f
0
E
E
0
−
2πM Rf
0
E
2 0
11.1.30. E = 120 В.
N = 240 Вт.
11.1.31. M = 2EI
0
ω/ω
2 0
11.1.32
∗
. l =
2V (I
1
− I
2
) + R(4I
2 1
− I
2 2
)
2ρ(I
2 2
− I
2 1
)
,
v =
I
2 2F
[2V − I
2
(2ρl + R)].
§ 11.2. Вихревое электрическое поле
11.2.1. Φ = 1 Вб, 100 Вб, 300 Вб.
11.2.2. E = αr
2
/(2l) = 2,5 · 10
−5
В/м.
11.2.3. В положении C из-за аксиальной симметрии магнитного поля поток индукции через кольцо не меняется. Поэтому в кольце не возникает ЭДС.
11.2.4. E
1
= 6,4 · 10
−6
В/м, E
2
= 2,56 · 10
−5
В/м.
11.2.5. E = µ
0
αx, где x — расстояние от средней линии.
11.2.6. E = (µ
0
πνn
0
I
0
/l
0
)x cos(2πνt), где x — расстояние от оси катушки; E = 0,12 В.
11.2.7. а. q = Cϕ.
б. q
1
= q
2
=
C
1
C
2
C
1
+ C
2
ϕ.
343

11.2.8. а. q
1
= C
1
ϕ
2
, q
2
= C
2
ϕ
2
б
∗
. q
3
=
C
3
(C
2
− C
1
)
C
1
+ C
2
+ C
3
ϕ
2 11.2.9. а. I = 1,44 мА. б. I = 2,5 мА, ток через перемычку равен нулю.
в. I
1
= 2,79 мА,
I
2
= 1,77 мА, I
3
= 0,96 мА.
11.2.10. б
∗
. ∆I = IkT /(RC).
11.2.11. Φ
макс
= V RC = 5 · 10
−7
Вб.
11.2.12. а. V
1
= t
2µ
0
ma
3
/(hd), V
2
= t
3 32µ
0
mb
2
/(9hd).
б. V
1
= (8,7 · 10 8
В/с)t, V
2
= (1,2 · 10 14
В/с
3
)t
3 11.2.13
∗
. E = (πr
2
/3)nB
0
ω sin ωt.
11.2.14
∗
. ω = qBl
2
/(2mr
2
). Не изменится.
11.2.15
∗
. B(t) = αt(1 + r
2
/r
2 0
).
11.2.16
∗
. Уменьшается. С ростом индукции магнитного поля растут силы Лоренца и ско- рость электрона. Однако последняя — недостаточно быстро для того, чтобы электрон остался на окружности того же радиуса.
11.2.17
∗
. l = 3r
0
/4. В 100 раз. Если начальный радиус r < l, электрон будет двигаться по сходящейся к центру спирали, при r > l — по расходящейся спирали.
11.2.18
∗
. ω = 2σB/[r(ρ + 2µ
0
σ
2
)].
11.2.19
∗
. а. В 2,6 · 10 12
раз.
б. nSr ≈ 7 · 10
−14
м
2
, где n — число витков на единицу длины соленоида, r — радиус соленоида, S — сечение провода.
11.2.20
∗
. m э.м.
= ε
0
µ
0
CV
2
= CV
2
/c
2
, где c — скорость света.
11.2.21
∗
. m э.м.
≈ 10
−27
кг.
§ 11.3. Взаимная индуктивность. Индуктивность проводников.
Трансформаторы
11.3.1. Φ = µ
0
ISn sin α, L
12
= µ
0
Sn sin α.
11.3.2. L
12
= (µ
0
πr
2
n/2)(cos α + sin α).
11.3.3. L
12
= µ
0
πr
2
nN .
11.3.4
∗
. V = µ
0
πr
2
nN ωI
0
cos ωt.
11.3.5. L = µ
0
πr
2
n
2
l.
б
∗
. Уравнение движения электрона в соленоиде e
E −
L
l dI
dt
= m e
dv dt
,
l = 2πrN.
Но en e
Sv = I. Поэтому первое уравнение можно переписать в виде
El = V =
L +
m e
l e
2
n e
S
dI
dt
Значит, L
1
= L + m e
l/(e
2
n e
S). Можно.
11.3.6
∗
. L = µ
0
π(r
2 1
+ r
1
r
2
+ r
2 2
)n
2
/3 = 2,3 Гн/м.
11.3.7. t = B
√
v/(V
√
µ
0
) = 8,9 · 10
−2
с.
11.3.8. При h dL = µ
0
h/d = 6,3 · 10
−8
Гн/м.
11.3.9
∗
. L =
µµ
0 2π
ln r
1
r
2 11.3.10
∗
. L =
µ
0 4π
µ
1
+ 2µ
2
ln r
1
r
2 11.3.11
∗
. L =
µ
0
π
ln h
r
11.3.12. Увеличится в k раз.
11.3.13. L
1
= µ
0
π(n
2 1
r
2 1
l
1
+ n
2 2
r
2 2
l
2
+ 2n
1
n
2
r
2 1
l
2
);
L
2
= µ
0
π(n
2 1
r
2 1
l
1
+ n
2 2
r
2 2
l
2
− 2n
1
n
2
r
2 1
l
2
).
11.3.14. L = L
1
+ L
2
+ 2L
12 11.3.15
∗
. L
12
=
√
L
1
L
2 11.3.16
∗
. E
2
= (µµ
0
N
1
N
2
S/l)I
0
ω cos ωt.
V
1
= (µµ
0
N
2 1
S/l)I
0
ω cos ωt.
11.3.17. V
2
= const.
11.3.21. ν = 100 Гц.
11.3.22. Чтобы уменьшить токи Фуко.
11.3.24. V = 10 В.
11.3.25
∗
. V = 60 В.
344

§ 11.4. Электрические цепи переменного тока
11.4.1. I(t) = Et/L, A = E
2
τ
2
/(2L). В энергию магнитного поля.
11.4.2. а) V = α(Rt + L).
б) V = I
0
(R sin ωt + Lω cos ωt).
11.4.3
∗
. W
макс
= (LI)
2
/(RT ).
11.4.4
∗
. I(t) = (E
0
/ωL)(1 − cos ωt).
♦
11.4.5. См. рис.
11.4.6. C(t) = C
0
[1 − t
2
/(2LC
0
)].
11.4.7. V
макс
= V
0
R
C/L.
11.4.8. а. При размыкании.
б. C = 1/[(2πνN )
2
L] ≈ 1 мкФ.
11.4.9. I
макс
= E
C/L, q макс
= 2EC.
11.4.10. I
1макс
= V
CL
2
L
1
(L
1
+ L
2
)
,
I
2макс
= V
CL
1
L
2
(L
1
+ L
2
)
11.4.11
∗
. а. I = V
0
C/L sin ω
0
t, где ω
0
= 1/
√
LC.
б. I =
V
0
L(ω
2 0
− ω
2
)
(ω
0
sin ω
0
t − ω sin ωt); I
макс
=
V
0
L|ω − ω
0
|
≈ 4,8 кА.
♦
11.4.12. а. См. рис. V
R
= RI
0
, V
L
= ωLI
0
, V
C
= I
0
/(ωC).
б. V
0
= I
0
R
2
+ [ωL − 1/(ωC)]
2
, ϕ = arctg
ωL − 1/(ωC)
R
11.4.13. E
0
= 208 В.
11.4.14. I(t) =
E
0
(ω
2
LC − 1)
ωL(2 − ω
2
LC)
cos ωt.
11.4.15. L = 2,8 Гн.
11.4.16
∗
. V = V
0
sin(ωt − ϕ), где ϕ = arctg
2ωC
0
R
0
(ωCR)
2
− 1 11.4.17. а. I
L
= 0, I
R
= (E
0
/R) sin ωt, N = 200 Вт.
б. I
R
= (E
0
/R) sin ωt, I
C
= −E
0
ωC(sin ωt + cos ωt), N = 200 Вт.
11.4.18. L = 0,16 Гн.
♦
11.4.19. См. рис.
345

11.4.20
∗
. Если V
C
0
и V
C
— разности потенциалов соответственно на конденсаторе C
0
и C, а I — ток в контуре, тогда V
C
0
− V
C
= LdI/dt = V
0
cos ωt, ω =
LCC
0
/(C + C
0
). Но
(V
0
− V
C
0
)C
0
= V
C
C. Из этих уравнений находим
V
C
= (1 + C/C
0
)
−1
V
0
(1 − cos ωt).
Поэтому при V < 2V
0
(1 + C/C
0
)
−1
пробой происходит через время
τ =
1
ω
arccos 1 −
1 +
C
C
0
V
V
0
,
а при V > 2V
0
(1 + C/C
0
)
−1
конденсатор емкости C не пробивается.
11.4.21. б. Если I
1
и I
2
— токи через катушки индуктивности L
1
и L
2
,
а ω = 1/
(L
1
+ L
2
)C и I
0
= V
0
/(ωL
1
), тогда L
1
I
1
+ L
2
I
2
= LI
0
, I
1
− I
2
= I
0
cos ωt. Из этих уравнений находим
I
2
=
L
1
L
1
+ L
2
(1 + cos ωt)I
0
,
I
макс
= 2V
0
C
L
1
+ L
2 11.4.22
∗
. а. L
1
I
1
+ L
2
I
2
= L
1
I = (L
1
+ L
2
)I
0
, где I
0
— установившийся ток через катушки индуктивности L
1
и L
2
W =
1 2
L
1
I
2
−
1 2
(L
1
+ L
2
)I
2 0
=
L
1
L
2 2(L
1
+ L
2
)
I
2
б. От I
1
до I
1
− 2(I
1
− I
2
)/(1 + L
1
/L
2
); от I
2
до I
2
+ 2(I
1
− I
2
)/(1 + L
2
/L
1
).
11.4.23
∗
. R = 1,4 · 10
−3
Ом.
11.4.24
∗
. W = (L + CR
2
)(I
2 1
− I
2 2
)/2.
11.4.25
∗
. ϕ = 2 arcsin(ω
√
LC/2).
v = ωl/ϕ при ω < 2/
√
LC; v = l/
√
LC при ω
1/
√
LC.
§ 11.5. Сохранение магнитного потока.
Сверхпроводники в магнитном поле
11.5.2. B = B
0
(r
0
/r)
2 11.5.3. Уменьшится в два раза.
11.5.4. В полтора раза.
11.5.5. Уменьшится в три раза.
11.5.6
∗
. Меняется только осевая составляющая индукции магнитного поля. В области внешнего поля она равна (1/2) B
0
cos α, а вне этой области −(1/2)B
0
cos α.
11.5.7. I = I
0
− (πr
2
/L)B
0
cos α.
11.5.8. I
0
= πD
2
B/(4L).
11.5.9. Вне стального цилиндра индукция уменьшится на B
0
/2, внутри него увеличится на B
0
/2.
♦
11.5.10
∗
. См. рис. x — координата переднего торца стержня, отсчитываемая от начала катушки.
а. I
макс
=
I
0 1 − σ/S
б. I
макс
=
I
0 1 − σl/(Sh)
11.5.11
∗
. L = µ
0
πr
2 1 −
r
2
R
2
N
2
l
346

11.5.12. I = a
2ρ
Cu gh/µ
0
= 380 А, ρ
Cu
— плотность меди.
♦
11.5.13
∗
. Магнитное поле над сверхпроводящей плоскостью AA совпадает с магнитным полем, которое является результатом наложения магнитных полей прямого провода с током I и провода с током (−I), симметрично расположенного под плоскостью AA . Магнитного поля над плоскостью AA нет. Поэтому P = µ
0
I
2
/[2(πh)
2
]. Взаимодействие со сверхпроводящей плоско- стью длинного провода с током I эквивалентно взаимодействию двух проводов, находящихся на расстоянии 2h друг от друга, токи в которых текут в противоположные стороны. Поэтому f = µ
0
I
2
/(4πh).
11.5.14. v = V /(πr
2
nB) = 2 км/с.
11.5.16
∗
. Из законов сохранения энергии и магнитного потока в соленоиде следует
1 2µ
0
B
2 0
(W − w) +
1 2
mv
2 0
=
1 2µ
0
B
2
W +
1 2
mv
2
,
B
0
(W − w) = BW,
где B
0
= µ
0
N I/L и B — максимальная индукция магнитного поля в соленоиде до и после вылета снаряда, W = πR
2
L и w = πr
2
l — объем соленоида и снаряда. Из приведенных уравнений получаем
∆v =
v
2 0
+ πµ
0
(N I/L)
2
r
2
l[1 − r
2
l/(R
2
L)] − v
0 11.5.17
∗
. v = N Ir
πµ
0
/(12lm).
11.5.18
∗
. При входе в магнитное поле в сверхпроводящем стержне возникает ток, созда- ющий внутри стержня поле, индукция которого равна по модулю индукции внешнего поля и направлена противоположно ей. Работа по созданию этого тока A = B
2
Sl/(2µ
0
) равна измене- нию кинетической энергии стержня. Отсюда v мин
= B
Sl/(µ
0
m).
11.5.19. Магнитный поток в любом сечении трубки при пролете снаряда не изменяется:
πr
2 1
B = π(r
2 1
− r
2 0
)B
1
,
πr
2 2
B = π(r
2 2
− r
2 0
)B
2
Использование этих уравнений и закона сохранения энергии дает
∆K = (lB
2
/2µ
0
)[r