Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 36 из 44

E
ср
=
k
4
(A
2 1
+ A
2 2
).
3.4.14. N = (1/2)ωF
0
A sin ϕ.
3.4.15. а. ω
1
=
3k/m, ω
2
=
k/m.
б. v
1
= v(cos ω
2
t + cos ω
1
t)/2, v
2
= v(cos ω
2
t − cos ω
1
t)/2; x
1
= x
2
= v(1/ω
1
+ 1/ω
2
)/2;
∆x = v/ω
1
в. v
1
= v(2 cos ω
2
t + cos ω
1
t), v
2
= v(2 cos ω
2
t − cos ω
1
t);
x
1
= x
2
= v(2/ω
1
+ 1/ω
2
);
∆x = 2v/ω
1 3.4.16
∗
. Движение атомов будет суммой следующих движений: а) все атомы движутся поступательно со скоростью v
0
;
б) атом углерода неподвижен, а скорости атомов кислорода равны по модулю и противоположно направлены: v
(1)
0
= ±v
1
cos ω
1
t, ω
1
=
k/M ;
в) атомы кислорода движутся с одинаковой скоростью v
2
cos ω
2
t навстречу атому углерода, скорость которого равна
−v
2 2M
m cos ω
2
t,
ω
2
=
k(1/M + 2/m).
Смещение атома кислорода в сторону атома углерода
∆x =
|v
1
|
ω
1
+
1 + 2
M
m
|v
2
|
ω
2
=
1 2
v
1
ω
1
+
1
ω
2 299

3.4.17
∗
. x макс
=
v(ω
1
+ ω
2
)[l(ω
2 1
− ω
1
ω
2
+ ω
2 2
) − g]
ω
1
ω
2
[l(ω
2 1
+ ω
2 2
) − 2g]
, L =
g
2
l(ω
1
ω
2
)
2 3.4.18. k = m(ω
2
− ω
2 0
)/2.
3.4.19. A
1,2
= (A ± B)/2;
ω
1,2
= 2π/τ ± π/T .
§ 3.5. Вынужденные и затухающие колебания
♦
3.5.1. См. рис.
♦
3.5.2. См. рис.
♦
3.5.3
∗
. См. рис. Если удары следуют друг за другом через промежутки времени T
0
, то амплитуда
A
n
=
[v
0
/ω + np/(mω)]
2
+ x
2 0
Если через промежутки T
0
/2, то амплитуда
A
n
=
[v
0
/ω + p/(mω)]
2
+ x
2 0
для нечетных n,
A
n
=
v
2 0
/ω
2
+ x
2 0
для четных n,
ω = 2π/T
0 300

3.5.5. Около 63 см.
3.5.6. Выбоины на дороге со стороны въезда расположены реже, чем со стороны выезда.
3.5.7. До изменения курса и скорости катера происходила резонансная раскачка.
3.5.8. С ростом амплитуды увеличиваются потери за период. Когда они сравняются с приростом энергии из-за удара, дальнейшая раскачка прекратится.
3.5.9. N = bv
2 3.5.10
∗
d dt kx
2 2
+
mv
2 2
= −bv
2
, отсюда m dv dt
= −kx − bv.
♦
3.5.11. См. рис. а: после одиночного толчка происходит постепенное затухание колебаний;
рис. б: при периодических толчках первоначально происходит раскачка колебаний, а затем,
когда прирост энергии порядка pv сравнивается с потерями за период, имеющими порядок bv
2
T , колебания устанавливаются.
3.5.14. При γω
0
≈ 1.
3.5.15. Скорость осциллятора меньше в n
2
, n
3
раз его начальной скорости.
3.5.16. За τ
2
энергия уменьшится вчетверо. За время τ
2
/2 энергия уменьшится вдвое.
♦
3.5.17. См. рис.
3.5.19. γ = 10 2
с
−1
, ω = π · 10 3
с
−1
. Погрешность при замене ω на ω
0
квадратично зависит от малой величины γ/ω
0 3.5.20. а. γ ≈ 10
−2
с
−1
б. γ = γ/4.
3.5.21
∗
. а. Q = ω
0
/(2γ), n = Q/(2π).
б. Примерно в 50 раз при Q = 10 8
и только в
1,5 раза при Q = 10 9
3.5.22
∗
. v макс
=
p m
2 1 − exp(−2πγ/ω)
v макс
≈ 2p/m при
2πγ/ω
1;
v макс
≈ 2ωp/(2πγm)
при
2πγ/ω
1.
3.5.24. A = F
0
/(mω
2
).
3.5.26. а. A = F
0
/[m(ω
2
− ω
2 0
)], ω
0
=
k/m.
б. A = F
0
/[m(ω
2 0
− ω
2
)], ω
0
=
k/m.
3.5.27
∗
. A = F
0
/[m(ω
2
− ω
2 0
)]. Величины B и ϕ подбираются так, чтобы в момент времени t = 0 выполнялись начальные условия x(0) = x
0
, v(0) = v
0 3.5.28
∗
. x
0
= F
0
/[m(ω
2 0
− ω)], v
0
= 0, тогда B = 0.
3.5.29
∗
. Дополнительное ускорение, связанное со свободными колебаниями, умноженное на массу осциллятора, равно дополнительной внутренней силе.
3.5.30. Проведем рассуждения на примере колебаний тела, прикрепленного к пружине.
Вынужденные колебания этого тела с частотой, меньшей собственной частоты, можно пред- ставить себе как свободные колебания на той же пружине тела с добавочной массой. Силу со
301

стороны этой массы можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против упру- гой силы, а значит, в направлении смещения. Вынужденные колебания с частотой, большей собственной частоты, можно представить себе как свободные колебания того же тела с при- крепленной к нему добавочной пружиной. Силу упругости со стороны этой пружины можно рассматривать как вынуждающую. Она направлена против смещения.
♦
3.5.32
∗
. См. рис. x(t) =
2F
0
m(ω
2 0
− ω
2
)
sin
ω − ω
0 2
t sin
ω + ω
0 2
t .
3.5.33
∗
. x(t) ≈
F
0
t m(ω + ω
0
)
sin
ω + ω
0 2
t .
3.5.34
∗
. x(t) ≈
F
0
t
2mω
0
sin ω
0
t.
♦
3.5.35
∗
. При |ω − ω
0
|
γ первоначально возникшие биения постепенно переходят в вы- нужденные колебания из-за уменьшения по закону e
−γt слагаемого, изменяющегося с частотой
ω
0
. При ω = ω
0
первоначальная раскачка колебаний с линейно возрастающей амплитудой плав- но уменьшается и устанавливаются вынужденные колебания. Характерное время установления равно времени затухания свободных колебаний τ = 1/γ, когда их амплитуда уменьшится в e раз.
3.5.36. а. F = −2Aγmω
0
sin (ω
0
t − ϕ).
б. A = −F
0
(2γmω
0
); в ω
0
/(2γ) раз.
3.5.37. γ = F
0
/(2x
0
ωm).
3.5.38. ω
0
= 550 с
−1
, γ = 50 с
−1
, Q = 5,5.
3.5.39. Около 10 5
с.
3.5.40. v = ω
0
λ/(2π).
3.5.41
∗
. Скорость частиц спустя времяt после вылета v =
F
0
mω
(1 − cos ωt); их средняя скорость v ср
= F
0
/(mω); наибольшая скорость V
макс
= 2F
0
/(mω) достигается этими частицами на расстоянии
F
mω
2
π(2n + 1) от источника, где n — целое число.
302

Скорость частиц, испущенных в момент времени t = π/ω, v =
F
0
mω
(cos ωt − 1); их средняя скорость v ср
= F
0
/(mω); наибольшая скорость v макс
= 2F
0
/(mω) достигается этими частицами по другую сторону от источника на том же расстоянии.
Скорость частиц, испущенных в момент t = π/(2ω), v =
F
0
mω
sin ωt; их средняя ско- рость v ср
= 0; наибольшая скорость этих частиц v макс
= F
0
/(mω) достигается на расстоянии
F
0
/(mω
2
) от источника.
3.5.42
∗
. Циклоида; средняя скорость v ср
= F
0
/(mω) направлена по оси x. Если при t = 0
v x
= −F
0
/(mω), а v y
= 0, то частица будет двигаться по окружности радиуса r = F
0
/(mω
2
).
§ 3.6. Деформации и напряжения. Скорость волн
3.6.1. F /k;
(N − 1)F /k.
3.6.2. Увеличится на 10
−14
м.
3.6.3. k = ES/L,
F = ES(∆L/L).
3.6.4. k = Ea.
♦
3.6.5. См. рис. l = 3 мм.
3.6.6. От 10 8
до −0,5 · 10 8
Па.
3.6.7. F = 5 · 10 4
Н.
3.6.8. На 1,2 · 10
−4
м.
3.6.9. ∆l = mal/(2ES).
3.6.10. w = Eε
2
/2 = σ
2
/(2E).
3.6.11
∗
. A
мин
=
π
2 6
Ea
4
l
3.6.12
∗
. ν = k/(k + 2k
0
).
3.6.13
∗
. ν = k/(k + 2k
0
).
3.6.14. Увеличивается. ν = 0,5.
3.6.15. κ = 3(1 − 2ν)/E.
3.6.16. Возрастает примерно на 30 м. Плотность воды больше на 50 кг/м
3
. Энергия в единице объема 2,5 · 10 6
Дж/м
3 3.6.17. Горизонтальная составляющая силы натяжения нити равна F ; по наклону негори- зонтального участка нити находятся вертикальные составляющие силы натяжения, по ним —
требуемые силы.
303

♦
3.6.18. См. рис. Силы, приложенные к точкам изгиба 1, 2, 3: F
1
= −F
0
b/L, F
2
= F
0
(b/L +
b/l), F
3
= −F
0
b/l.
3.6.19. u = −cε.
3.6.20. а. dp/dt = −ρc
2
ε.
б. F = F
0
ε; c =
F
0
/ρ.
3.6.21. а. ε = −b/L, w = Eb
2
/(2L
2
); u = −cε = cb/L.
б. c =
E/ρ.
3.6.22. а. dp/dt = ρcuS = −ρc
2
εS.
б. σ = −Eε, c =
E/ρ.
3.6.23. 5 км/с. Мысленно выделим тонкий стержень в листе стали. Его поперечным сме- щениям «мешают» соседние участки листа. Жесткость такого стержня больше, чем стержня со свободной боковой поверхностью.
3.6.24. 550, 1400 и 340 м/с.
3.6.25. c
2
= ρ(P − P
0
)/[ρ
0
(ρ − ρ
0
)].
3.6.26
∗
. При сжатии, плавно убывающем к фронту волны, скорость звука больше у более удаленных участков, возмущения среды догоняют друг друга. В случае разрежения у дальних участков скорость звука меньше, они отстают, возмущение расплывается.
♦
3.6.27
∗
. См. рис. Скорость частиц и высота подъема уровня воды в бегущей волне связаны соотношением u/c = ∆h/h. Приравниваем скорость изменения импульса разности сил давления;
ρhcu = ρgh∆h. Отсюда c =
√
gh.
3.6.28. c =
ωl
2 arcsin(ω/2ω
0
)
. При ω
ω
0
c = ω
0
l, ω
0
≈ 0,5 · 10 14
Гц.
§ 3.7. Распространение волн
3.7.1. p = ρcbS.
3.7.2. а. q p
= ∆ρc
2
б. v =
∆ρc
ρ
l
L
; x =
∆ρ
ρ
l.
3.7.3. P (t
0
− r/c), где r — расстояние до датчика.
3.7.4. Плотность потока импульса q p
= ρcu(x
0
− ct).
3.7.5. F = 1400 Н.
3.7.6. u = F /(S
√
Eρ), ε = −F /(SE); ρ = ρ[1 + F /(SE)]. Импульс p = 0,5F τ , p = F τ ;
энергия W = 0,5F
2
τ /(S
√
Eρ), W = F
2
τ /(S
√
Eρ).
3.7.7. A = 12,5 · 10 3
Дж, K/A = 0,25.
304

♦
3.7.8. См. рис.; u =
c
1
c
2
c
1
+ c
2
F
⊥
F
, c
1
=
F /ρ
1
, c
2
=
F /ρ
2 3.7.9. Вертикальные силы F
1,3
= (ρv
2
− F )b/L и F
2
= 2(F − ρv
2
)b/L. При v →
F /ρ силы,
действующие на струну, стремятся к нулю — струна «не противится» изгибу. Если силы со стороны колечек тем или иным образом фиксированы, то при v →
F /ρ неограниченно растут деформации струны.
3.7.10. Скорости волн «изгиба» и возмущения совпадут, что приведет к резкому увели- чению амплитуды волн в шине. Это в свою очередь может привести к разрыву шины.
3.7.11. Скорость лодки и скорость волны, которую возбуждает лодка в реке, совпали.
3.7.13. Плоский фронт. Направление распространения образует угол α с нормалью к границе раздела сред (sin α = c/v).
3.7.14. α
1
= α, sin α
2
= (c
2
/c
1
) sin α.
3.7.15. Шум двигателей распространяется медленнее фронта ударной волны, создаваемой сверхзвуковым самолетом.
3.7.16. sin α
0
= c
1
/c
2 3.7.17. Изменится направление только преломленной волны:
sin α
2
=
c
2
sin α
1
c
1
+ v sin α
1
,
где c
1
и c
2
— скорости звука в неподвижном воздухе и воде, v — скорость потока воздуха, α
1
—
угол падения.
3.7.18. а. Более удаленные от берега участки фронта волны движутся с большей ско- ростью, чем менее удаленные. Поэтому угол между фронтом волны и берегом вблизи с´
амого берега уменьшается.
♦
б. См. рис.
♦
3.7.19. На границе раздела глубин возможно полное внутреннее отражение.
♦
3.7.20
∗
. См. рис., на котором показаны «звуковые лучи», которые ортогональны к волно- вым поверхностям; в направлении ветра звук идет почти вдоль поверхности Земли, а в проти- воположном направлении уходит от нее.
3.7.21. ν = ν
0
/(1 − v/c).
3.7.22. ν
1,2
= ν
0
(1 ± v/c); ν
3
= ν
0
[1 − (v/c) cos α].
20 305

§ 3.8. Наложение и отражение волн
3.8.1. В первом случае (см. рис. а к задаче 3.8.1) кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия U = 2E. Во втором случае (см. рис. б к задаче 3.8.1) кинетическая энергия K = 2E, а потенциальная равна нулю.
♦
3.8.2. Разбегающиеся волны деформации с ε = −0,5 · 10
−3
♦
3.8.3. См. рис.
♦
3.8.4. См. рис. P = 2ρcωA cos ωt. Длина волны λ = 2πc/ω. Вблизи стенки — узел скорости и пучность давления. Первый узел давления отстоит от стенки на расстоянии λ/4.
3.8.5. См. рис. в условии задачи. В «неперевернутой» волне смещений знак деформации противоположен знаку деформации падающей волны.
♦
3.8.6. A = v
0
/2ω. На конце стержня — пучность скорости и узел давления. Первый узел скорости отстоит от конца стержня на расстоянии λ/4 (см. рис.).
3.8.7. При отражении волны от внутренней поверхности стекла в нем возникает область высокого напряжения (растяжения).
3.8.8
∗
. u = 2P/(ρc) = 250 м/с; l = cτ /2 = 1 см.
3.8.9
∗
. l =
1 2
L −
c
ω
arcsin
σ
σ
0
=
L
2 1 −
1
π
arcsin
σ
σ
0
l = L/2 при σ
0
σ, l = L/4 при
σ
0
≈ σ.
3.8.10. P = ρcu = 3,9 · 10 4
атм. Сила, приложенная к торцу стержня со стороны стенки,
порождает в нем волну сжатия. Доходя до свободного торца, она от него отражается. Отра- женная волна является волной растяжения. При наложении друг на друга отраженной волны и волны, порождаемой действием силы со стороны стенки, деформация исчезает, а скорость участков стержня меняет знак. Когда фронт отраженной волны доходит до стенки, весь стер- жень оказывается недеформированным и контакт его со стенкой прекращается. Время контакта
τ = 2l/c = 4 · 10
−4
с.
306

3.8.11. v l
= v, v
L
= v|1 − 2l/L|.
3.8.13
∗
. v
1
= 0, v
2
= vl
1
/l
2 3.8.14.
u отр u
пад
=
√
ρ
1
E
1
−
√
ρ
2
E
2
√
ρ
1
E
1
+
√
ρ
2
E
2
,
u пр u
пад
=
2
√
E
1
ρ
1
√
E
1
ρ
1
+
√
E
2
ρ
2 3.8.15. D ≈ 4ρ
1
c
1
/ρ
2
c
2
≈ 1,1 · 10
−3 3.8.16. При наличии прокладки коэффициент прохождения волны, принимаемой датчи- ком, увеличивается от 0,25 до 0,41. Появляются вторичные сигналы («эхо-сигналы»), следую- щие друг за другом с интервалом 2l/c, мощность которых убывает в геометрической прогрес- сии. При высокой частоте следования сигналов «эхо-сигналы» налагаются друг на друга, тогда подбором толщины прокладки можно добиться почти полного прохождения или отражения сиг- нала.
3.8.17. n =
ρ
1
c
1
− ρ
2
c
2
ρ
1
c
1
+ ρ
2
c
2 2
, L = 2lc
1
/c
2 3.8.18
∗
. L = 2lc
1
/c
2
. n = 1. Нет.
3.8.19. l
1
= 1,25 мм, l
2
= 2,5 мм.
§ 3.9. Звук. Акустические резонаторы
3.9.1. λ = c/ν = 6,6 м.
3.9.2. l = c/4ν = 82,5 см.
3.9.3. c = 2l/ν.
3.9.4. v
1
= 6,8 см/с, v
2
= 6,8 · 10
−8
м/с, x
1
= 0,11 мм, x
2
= 1,1 · 10
−11
м, P
1
= 3 · 10
−4
атм,
P
2
= 3 · 10
−12
атм.
3.9.5
∗
. I > 3 кВт/м
2 3.9.6
∗
. F = 2L
2
ρcv. При ω
c/L происходит почти полное выравнивание давления в струе воздуха, поэтому излучение звука слабое.
3.9.7. E = 2πR
2
ω
2
A
2
ρc. Амплитуда давления в волне обратно пропорциональна расстоя- нию до центра шарика.
3.9.8
∗
. а. Две разбегающиеся волны: скорости u =
F
0 2Sρc cos ω t x
c
(отсчет координаты x начинается в сечении, где расположен источник действия силы F ) и деформации ε
u/c.
б. Между источниками силы возникает стоячая волна:
u =
F
0
Sρc cos ω
t −
l
2c cos
ωx c
;
вне источников — две разбегающиеся волны:
u =
F
0
Sρc cos
ωl
2c cos ω t −
x c
(отсчет координаты x начинается в точке, расположенной посередине между источниками си- лы F ). Если на расстоянии l умещается четное число полуволн — мощность результирующей волны максимальная, если умещается нечетное число полуволн — мощность результирующей волны равна нулю.
3.9.9
∗
. При l = (1/4 + n)λ; при l = (3/4 + n)λ, λ = 2πc/ω.
3.9.10. L = 2λ, c = Lω/4π.
3.9.11
∗
. а. Узлы напряжений находятся на расстояниях от свободного конца, кратных λ/2.
F
0
=
σ
0
S
sin(2πL/λ)
307

♦
б. См. рис.; ω = 2πnc/(2L), где n — целое число, c = ωλ/(2π) — скорость звука. Можно.
3.9.12. ν
n
= n · 2500 Гц. На расстоянии 25 см от его концов.
3.9.13. Уменьшатся в два раза.
3.9.14
∗
. A =
A
0
| sin(ωL/c)|
τ =
2π
ω| sin(ωL/c)|
3.9.15. ν = c/(2L) = 8,25 Гц.
3.9.16. При изменении высоты столба воздуха, находящегося в сосуде, меняются его ре- зонансные частоты. Звук усиливается при уменьшении разности между частотой камертона и одной из резонансных частот столба воздуха.
3.9.17. 50, 250, 450 м и т. д.
3.9.18. ν
(1)
0
= 300 Гц;
ν
(2)
0
= 150 Гц.
3.9.19. Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. Тон пони- жается с увеличением размера.
3.9.20. В звучание голоса вносят вклад собственные колебания воздуха. Соответствующие длины волн в гелиево-кислородной среде будут неизменны, а частоты возрастут при росте скорости звука. Общий тон голоса повысится. Частота же колебаний камертона не изменится,
той же частоты будет и звук.
3.9.21. F = 4l
2
ν
2
µ = 144 Н.
3.9.22. Около пучностей смещений на расстоянии l/6 или l/3 от конца струны.
3.9.23. Из-за трения между рукой и стержнем возникнут большие потери энергии. Они наименьшие для середины стержня, где имеется узел скоростей, наибольшие — для его концов,
где пучность скоростей.
3.9.24
∗
. Основные потери энергии связаны с переходом волны из одной среды (сапфир) в другую (воздух). Коэффициент прохождения
D = 4ρ
возд c
возд
/ρ
сапф c
сапф
= 0,7 · 10
−4
(см. задачу 3.8.15). Потери увеличатся примерно в 10 4
раз.
3.9.25
∗
. Мощность проходящей волны составляет одну и ту же долю от мощности пада- ющей независимо от того, идет звук из воздуха в воду или из воды в воздух, при этом доля эта весьма малая. Иное дело — давление. При отражении звуковой волны в воздухе на границе с водой образуется пучность давления, поэтому в проходящей в воду волне давление почти в два раза больше, чем давление в падающей звуковой волне. (Рассматриваем только нормальное падение волны на границу двух сред; в других случаях качественно картина та же.) Когда же звуковая волна падает на границу раздела из воды, то на этой границе образуется узел давле- ния, и в проходящей в воздух волне давление почти равно нулю. Это приближенное объяснение основано на том, что ρc для волны и воздуха отличаются во много раз (примерно в 330 раз).