Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 34 из 44

2
)/[α(2m
1
+ m
2
)].
2.1.7. m = m
0
[(t/t
0
)
2
− 1].
2.1.8. m
2
/m
1
= (F
2
− F )/(F − F
1
).
2.1.9. t = n∆t(1 +
1 − 1/n ); t н
≈ 10 с.
2.1.11. a
1
= a
2
= g m
1
− m
2
m
1
+ m
2
, T
1
=
2m
1
m
2
m
1
+ m
2
g, T
2
= 2T
1
. Положительное направление ускорений отвечает опусканию груза m
1 285

2.1.12. a = 3,5 м/с
2
, T ≈ 1,1 · 10 3
Н.
2.1.13. Ускорение верхнего шара равно 3g, ускорение нижних — нулю.
2.1.14. x = −
F m
1
k(m
1
+ m
2
)
;
a
1
=
F
m
2
+ m
1
,
a
2
=
F m
1
m
2
(m
1
+ m
2
)
2.1.15. x макс
= ma/(k
1
+ k
2
); F
1макс
= k
1
x макс
, F
2макс
= k
2
x макс
2.1.16. x = F (k
1
+ k
2
)/(k
1
k
2
).
2.1.17. F = m
0
g/µ; a = g(m − m
0
)/m.
♦
2.1.18. См. рис.
♦
2.1.20. См. рис.; F
тр
= mg sin α при tg α
µ; F
тр
= µmg cos α при tg α
µ.
2.1.21. a макс
= g(µ cos α − sin α).
2.1.22. t = 2v sin α/[g(sin
2
α − µ
2
cos
2
α)].
2.1.23. a = (F /m)(cos α + µ sin ϕ) − µg, если это выражение больше нуля, иначе a = 0.
2.1.24. a = g sin β −
µ cos β
sin(α/2)
при µ
tg β sin
α
2
; a = 0 при µ
tg β sin
α
2 2.1.25. a = 0
при
|m
2
− m
1
|g
F
тр
;
|a| =
|m
2
− m
1
|g − F
тр m
1
+ m
2
при
|m
2
− m
1
|g > F
тр
2.1.26
∗
. β = α + arctg µ.
2.1.27
∗
. T
мин
=
µm
2
g
1 + µ
2
,
α = arctg µ
при m
1
m
2 1 − µ
2 1 + µ
2
;
T
мин
= µg m
2 1
+ m
2 2
2
,
α = arctg m
2
− m
1
µ(m
1
+ m
2
)
при m
1
< m
2 1 − µ
2 1 + µ
2 2.1.28. В
√
10 раз.
2.1.29. µ ≈ 0,4; l ≈ 50 м.
2.1.30
∗
. а. F > µ(m
2
+ m
1
)g; t =
2lm
2
F
0
− µ(m
2
+ m
1
)g б. a
1
=
F
0
− µm
1
g m
1
, a
2
= µg m
1
m
2 2.1.31. При F
2µm
1
g(m
1
+ m
2
)
m
2
+ 2m
1
≡ F
0
получаем a
1лев
= a
1прав
= a
2прав
=
F
2(m
1
+ m
2
)
;
при F
F
0
получаем a
2прав
=
F − µm
1
g m
2
,
a
1лев
= a
1прав
= a
2лев
=
µm
1
g m
2
+ 2m
1 2.1.32. F = mg cos α(sin α − µ cos α) при µ
tg α; F = 0 при µ
tg α.
2.1.34. α ≈ 0,7 кг/м.
2.1.35
∗
. v = u −
(µ/α)(mg − F ) при αu
2
µ(mg − F ), иначе v = 0.
2.1.36
∗
. F = βmv.
2.1.37. Крупные; v ≈ 5,5 м/с.
2.1.38. v
1
≈ 0,25 м/с; v
2
≈ 0,01 м/с.
2.1.39
∗
. При Rv ≈ 4 · 10
−4
м
2
/с.
2.1.40. d =
v
2µg v
2
+ u
2 2.1.41. Вращающаяся.
2.1.43
∗
. v = ωRF /
F
2
тр
− F
2 286

2.1.44
∗
. v = u tg α/
µ
2
− tg
2
α.
2.1.45
∗
. u = v/2.
2.1.46. F = 2T .
2.1.47
∗
. Ускорения грузов 1–3: a
1
=
F (M + 4m)
2m(M + 2m)
; a
2
=
F M
2m(M + 2m)
; a
3
=
F
M + 2m
2.1.48. a
1
=
m
2
g tg(α/2)
m
2
+ 2m
1
tg
2
(α/2)
;
a
2
=
m
2
g m
2
+ 2m
1
tg
2
(α/2)
2.1.49
∗
. a = g tg α; m = m
0
sin α/(1 − sin α)
2 2.1.50. M = m tg α/(tg β − tg α).
2.1.51
∗
. a = g sin(α/2).
2.1.52. m
2
= m
1
a
1
/a
2 2.1.53. Для верхнего шарика N
1
= mg/2, для нижнего N
2
= 3mg/2.
2.1.54. F = m e
v
2
/r. Близки к параболам, касающимся окружности изнутри; снаружи.
2.1.55. T = 2mv
2
/l.
2.1.56. T = M ω
2
l; T
x
= M ω
2
l + mω
2
(l
2
− x
2
)/(2l).
♦
2.1.57. cos α = g/(ω
2
R) при g/(ω
2
R) < 1; α = 0
при g/(ω
2
R)
1.
2.1.58. ω =
g tg β
l(sin β + sin α)
2.1.59. l = (1 − mω
2
/k)R.
2.1.60
∗
. R = R
0
/(1 − mω
2
/4π
2
k) при ω < 2π
k/m; при ω
2π
k/m кольцо неограни- ченно растягивается.
2.1.61
∗
. µ = mg/(2πT − mω
2
R).
2.1.62. α = arctg v
2
Rg
2.1.63. ω
1
= 0 при ε > µg/R; ω
1
= (µ
2
g
2
/R
2
− ε
2
)
1/4
при ε < µg/R.
2.1.64. v =
√
µgR;
β = arctg µ;
u v
=
µ + tg α
µ(1 − µ tg α)
2.1.66
∗
. v мин
=
Rg sin α(tg α + µ)
µ tg α − 1 2.1.67
∗
. ω >
g
√
2/R.
§ 2.2. Импульс. Центр масс
2.2.1. u = 5v/2.
2.2.2. F
тр
= F /3.
2.2.3. t = 2p sin (α/2)/F ; под углом β = (π + α)/2 к начальной скорости.
2.2.4
∗
. m = F ∆t
2
/(16L). Нужно построить по экспериментальным данным график зави- симости времени пролета от напряжения источника.
2.2.5
∗
. t = mv(sin α − µ cos α)/[µ(m + M )g] при tg α > µ; при tg α
µ ящик не сдвинется.
2.2.7. m
1
/m
2
= (u
2
− u
1
)/(v
1
− v
2
). Нужно учесть изменение скорости Земли.
2.2.9
∗
. u
1
= F
0
t
0
/m
1
; u
2
= v − F
0
t
0
/m
2 2.2.10. m = m
0
/3.
2.2.11. u
1
= u
2
= 0,2v.
2.2.12. На расстоянии 4L по горизонтали от пушки.
2.2.13. S/L = 35/36.
2.2.14. w =
m
1
m
2
u
2
+ v
2 2.2.15. p =
p
2 1
+ 2p
1
p
2
cos α + p
2 2
2.2.16. V =
m
2 1
v
2 1
+ m
2 2
v
2 2
+ m
3 3
v
2 3
m
1
+ m
2
+ m
3 287

2.2.17. l
1
= lm
2
/(m
1
+ m
2
); l
2
= lm
1
/(m
1
+ m
2
).
2.2.18. Траектория частицы получается растяжением с коэффициентом подобия 2 траек- тории частицы, масса которой 2m.
2.2.19. Окружности, центр которых лежит в центре масс системы станция — космонавт.
Радиусы окружностей:
R
1
= Rm
2
/(m
1
+ m
2
),
R
2
= Rm
1
/(m
1
+ m
2
).
2.2.20. На биссектрисе угла на расстоянии l = L
√
2/4 от вершины, где L — длина поло- вины прута; в точке пересечения медиан; на прямой, соединяющей центры диска и отверстия,
на расстоянии l = dr
2
/(R
2
− r
2
) от центра диска.
2.2.21. u = ρSvl/m.
2.2.22
∗
. v = uV (ρ
0
− ρ)/(ρV + ρ
0
V
0
).
2.2.23. T = 2π
2R/3g.
2.2.24
∗
. F =
m
1
m
2
v
2
(m
1
+ m
2
)l
2.2.25
∗
. ω =
m
2
T
1
+ m
1
T
2
Lm
1
m
2
;
m =
2m
1
m
2
(T
1
− T
2
)
m
1
T
2
− m
2
T
1 2.2.26
∗
. T
12
=
m
1
m
2
m
1
+ m
2
+ m
3
lω
2
для нити, соединяющей m
1
и m
2
; выражения для других нитей аналогичны.
2.2.27. F = mg − ρV a.
2.2.28
∗
. F = SρLa.
2.2.29
∗
. Со скоростью u/4 вверх.
2.2.30. n = (m
2
g tg α)/(m
1
v).
2.2.31. F = N mg. Увеличивается.
2.2.32
∗
. H = h
(M + N m)
2
N m(N m + 2M )
2.2.33
∗
. F = mv
2
/R; p = F /S = N mv
2
/3.
2.2.34. ∆v
N
=
M
M + m
2N
(v
2
− v
1
).
2.2.35. F = ρSu
2 2.2.36. µ = M g/u; µ = M (g + a)/u.
2.2.37. F = µ
2
(u − v) + µ
1
u.
2.2.38. v = ρSu/(ρS + k).
2.2.39. v =
F (ρ − ρ
0
)/(πr
2
ρρ
0
).
♦
2.2.40. См. рис.
2.2.41. F = 3mg(1 − x/l).
2.2.42. F = m(v
2
+ gl)/l.
2.2.43. v =
√
gh.
2.2.44
∗
. N = 2(F − ρv
2
) cos
α
2
; при v
F /ρ.
2.2.45. K = k n
2.2.46
∗
. u = v ln n.
2.2.47
∗
. m ≈ 5,5 · 10 5
кг; в 7,4 раза меньше.
§ 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия
2.3.1. При m = 2F l/v
2 2.3.2. F = m(v
2 2
− v
2 1
)/(2l); если F > 0, то направление силы совпадает с направлением движения частиц, а если F < 0, то направление этой силы противоположное.
2.3.3. F ≈ 2,5 · 10 6
Н.
2.3.5. v =
F
0
(l
1
+ 2l
2
+ l
3
)/m.
2.3.6. v
√
2µgL.
2.3.7. A ≈ 0,8 Дж.
288

2.3.8. x = v m/k; x =
x
2 0
+ mv
2
/k.
2.3.9. E
к
= F
2
/(8k).
2.3.10. При наибольшей силе, которую мы можем развить, лук должен растянуться на- столько, насколько позволяет размах рук. Для более тугого лука, как и для менее тугого, запа- сенная упругая энергия будет меньше.
2.3.11. K = mgl cos α; K = mgl(cos α − µ sin α).
2.3.12. h = v
2
/[2g(1 − µ ctg α)].
2.3.13. v =
4gh − 2A/m.
2.3.14. A
мин
= mgl.
2.3.15. A
мин
= mgl/2.
2.3.16. v = r g/l.
2.3.17. n = mv
2
/(4πF R cos α).
2.3.18. v = 2
(l − h)T /m.
2.3.19. Движущееся по трубе.
2.3.20. sin β = v sin α/
v
2
+ 2gh.
2.3.21. sin β =
sin α
1 − 2F l/mv
2
при
F l >
mv
2 2
cos
2
α.
2.3.22. В нижней. В верхней. При угле α = arctg
1
√
3
между нитью и вертикалью.
2.3.23. x = l
T − 3mg
T − mg
2.3.24. F = 5mg для стержня; F = 6mg для нити.
2.3.25. L
мин
=
R
2(tg α − µ)
2.3.26. h = 2R/3 2.3.27. h = 2,5R.
2.3.28
∗
. F =
2πRmg
4π
2
R
2
+ h
2 4π
2
R
2
+ h
2
+ 16π
2
H
2 2.3.29
∗
. F = mg(1 − 1/k
2
).
2.3.30. F = mg cos α(3 sin α − 2) при sin α
2/3;
F = 0 при sin α
2/3.
2.3.31. v =
√
2gl.
2.3.32
∗
. A = 2πµmv
2 2.3.33
∗
. K = K
0
e
−2µα
2.3.35. F = l/(mα
2
).
2.3.36
∗
. A = x
2
/(2mα
2
) − px/(αm).
2.3.37. U = F
0
x
2
/(2x
0
) при |x|
x
0
; U = F
0
(|x| − x
0
/2) при |x| > x
0
. Область движения:
|x|
2Kx
0
/F
0
при K
F
0
x
0
/2; |x|
(K/F
0
+ x
0
/2) при K > F
0
x
0
/2.
2.3.38. K = kqQ/r
2
; при qQ > 0 — отталкивание, при qQ < 0 — притяжение.
2.3.39. Нет.
2.3.40. При E > 0 область движения r l
V
E
(−1 +
1 + E/V ); при E < 0 r между r
1,2
= l
V
E
(−1 ±
1 + E/V ).
2.3.41. h = 2mg/k.
2.3.42. h = 2mg/k; v = g m/k.
2.3.43. H
1
= 3h/2; H
2
= 4h/3.
2.3.44. k =
mgx
0 2(
l
2
+ x
2 0
− l)
2 2.3.45. F = mg(1 +
1 + 2k(h − l)/(mg) ).
2.3.46. F = (m
1
+ m
2
)g.
2.3.47
∗
. x = (m/k)(g − a); x макс
= (m/k)(g +
2ga − a
2
).
19 289

2.3.48
∗
. F = µg(m
1
+ m
2
/2).
2.3.49. m = µm
0
/2.
§ 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность
2.4.1. В движущейся системе отсчета сила натяжения совершает работу. Нет.
2.4.2. K = m
1
v
2
/2 − F l.
2.4.3
∗
. K
1
= k(x
1
+ x
2
)x
1
/2; K
2
= k(x
1
+ x
2
)x
2
/2.
2.4.4
∗
. A
1
= mu
2
/2 − mv
2
/2; A
2
= −mu
2 2.4.5. A = 2F r(2 sin
α
2
− 1); α = 60
◦
2.4.6
∗
. Сумма работ взаимных сил зависит только от изменения расстояния между ча- стицами.
2.4.7. x = v m/(3k).
2.4.8. v =
√
2 v.
2.4.9
∗
. v =
√
gl.
2.4.10
∗
. x макс
= 4l/3.
2.4.11
∗
. v m
= tg α
2M gh
M + m tg
2
α
;
v
M
=
2M gh
M + m tg
2
α
+ 2g(H − h).
2.4.12
∗
. v = (4/3)
gR/3.
2.4.13
∗
. F = 7mg/9.
2.4.14
∗
. h ≈ 0,25 м.
2.4.15
∗
. K = 0,01K.
2.4.16. v x
= (l − l
0
)
k/(2m) cos α; x = (l − l
0
) sin α.
2.4.17. а. При поступательном движении. Ускорение центра масс и суммарная внешняя сила для системы связаны между собой так же, как и для отдельной частицы.
2.4.18. µ = v
2
/(2gl).
2.4.19. v =
2h(g − T /m); K = mgh, E
вращ
= T h.
2.4.20
∗
. x = Lm
2
/(M
2
− m
2
).
2.4.21. l мин
= l
0
; l макс
= l
0
+ F /k.
2.4.22
∗
. x = µmg cos α/k при
µ
tg α;
x =
µmg cos α
2k
1 +
1 − 2(1 − tg α/µ)
2
при tg α
µ
3 tg α;
x = 2mg sin α/k при
µ
3 tg α.
2.4.23. Кинетическая энергия частицы K = m(u + V )
2
/2, где u — ее скорость относи- тельно центра масс, а V — скорость центра масс. В сумме по всем частицам системы слагае- мые muV дают нуль.
2.4.24. K
макс
= F
2
/(2k);
U
макс
= 2F
2
/k;
v отн
= F
(m
1
+ m
2
)/(km
1
m
2
).
2.4.25. При скорости центра масс, равной нулю.
2.4.26. ∆W = F l.
2.4.27. ∆W = F (l − F t
2
/2m).
2.4.28
∗
. ∆W = F
2
m
2 2
/[k(m
1
+ m
2
)
2
];
U = ∆W/2;
K = F l + F
2
m
1
m
2
/[k(m
1
+ m
2
)
2
].
2.4.29. A = mu
2
. Половина работы идет на увеличение внутренней энергии.
2.4.30. ∆W/A = µ/(tg α + µ).
2.4.31. W = W
1
+ W
2
+
m
1
m
2 2(m
1
+ m
2
)
(V
1
− V
2
)
2
; нет.
2.4.33. Q = m(v
2
/2 − gh).
2.4.34. Q = m
1
gh(m
1
− m
2
)/(m
1
+ m
2
).
2.4.35. Q = 2mgR(1 −
1 − l
2
/(4R
2
) )
1 − l
2
/(4R
2
).
2.4.36. E ≈ 200 МДж.
2.4.37. m ≈ 3 кг.
2.4.38. В 8 раз.
2.4.39
∗
. v = µgt при t t
0
≡
N
mµ
2
g
2
;
v =
2N
m t −
N
2mµ
2
g
2
при t > t
0 2.4.40
∗
. N = m
0
gω(1 − ω/ω
0
); m = m
0
/2.
290

2.4.41
∗
. m = n
2
m
0
/(2n
1
).
2.4.42
∗
. v ≈ 20 км/ч; α = arcsin
√
2 4
2.4.43
∗
. N = ρS(v − ωR)
2
ωR.
2.4.44. η = 2v/(v + u).
2.4.45. N = mgu/2.
§ 2.5. Столкновения
2.5.1. m
1
/m
2
= 1; да.
2.5.2
∗
. α = π/2.
2.5.3. u
1
/u = (k − 1)/(k + 1); u
2
/u = 2k/(k + 1).
2.5.4. Масса нейтрона близка к массе дейтрона (m n
≈ m d
/2), поэтому потери энергии при упругих столкновениях с дейтронами значительно больше, чем при столкновениях с тяжелыми ядрами свинца.
2.5.5. m =
√
m
1
m
2 2.5.6. cos β = v
1
v
2
cos α/(u
1
v
2 1
+ v
2 2
− u
2 1
).
2.5.7. v
1
= 2v − v
1
; v
2
= 2v − v
2 2.5.8. После любого нечетного числа столкновений скорости v
1
=
(m
1
− m
2
)v
1
+ 2m
2
v
2
m
1
+ m
2
;
v
2
=
(m
2
− m
1
)v
2
+ 2m
1
v
1
m
1
+ m
2
После любого четного — равны начальным.
2.5.9
∗
. v
1
= v m
2
m
3
m
1
(m
1
+ m
3
)
;
v
3
= v m
2
m
1
m
3
(m
1
+ m
3
)
2.5.10. tg β = tg α
m
1
+ m
2
m
2
− m
1 2.5.11. d = 2
√
2 R.
2.5.13. Два ближайших шара получат скорости v
1
= v cos α и v
2
= sin α, направленные по взаимно перпендикулярным сторонам ячейки, а первоначально двигавшийся шар остано- вится. В дальнейшем происходит передача этих скоростей следующим шарам, находящимся в соответствующих рядах.
2.5.14. t = t n
− t n−1
= 2∆t.
2.5.15. t = (2R cos α)/v.
2.5.16.
m
1
m
2
=
sin
2
(α + β) − sin
2
β
sin
2
α
; m
1
— масса налетающей частицы, m
2
— масса поко- ящейся частицы.
2.5.17
∗
. sin α = m
2
/m
1 2.5.18
∗
. u = 2m
1
v cos α/(m
1
+ m
2
).
2.5.19. m
2
= m
1
(p
2
+ p
2 0
− 2pp
0
cos α)/(p
2 0
− p
2
).
2.5.20. u =
v
2
+ (v + u
0
)
2
; угол поворота ϕ =
π
2
+ arctg v
u
0
+ v
2.5.21
∗
. v =
2gh(1 + m
2
/m
1
).
2.5.22. v
1
= 0; v
2
= v при v > v
0
≡
2gh(1 + m
2
/m
1
);
v
1
= v
2m
2
m
1
+ m
2
;
v
2
= v m
2
− m
1
m
1
+ m
2
при v < v
0
. Здесь v
1
— скорость горки, v
2
— скорость тела.
2.5.23
∗
. v
1
=
m
2
m
1 2gRm
1
/(m
1
+ m
2
); v
2
=
2gRm
1
/(m
1
+ m
2
); N = m
2
g(3 + 2m
2
/m
1
).
2.5.24. u = x k(m
1
+ m
2
)
m
1
m
2
;
u
1
=
m
1
− m
2
m
1
+ m
2
x k(m
1
+ m
2
)
m
1
m
2
;
u
2
=
2m
1
m
1
+ m
2
x k(m
1
+ m
2
)
m
1
m
2
; затем u
1
= u; u
2
= 0 и т. д.
291

2.5.25. h
1макс
=
m
2
U
m
1
g(m
1
+ m
2
)
;
h
2макс
=
m
1
U
m
2
g(m
1
+ m
2
)
2.5.26. В 1,5 раза.
2.5.27. K = 35,7 кэВ.
2.5.28. E
мин
= E(1 + m e
/m).
2.5.29. E
мин
≈ 27,2 эВ.
2.5.30. v
1
=
2Em
2
m
1
(m
1
+ m
2
)
;
v
2
=
2Em
1
m
2
(m
1
+ m
2
)
2.5.31. E =
p
2 1
m
2 2
+ p
2 2
m
2 1
− 2p
1
p
2
m
1
m
2
cos θ
2m
1
m
2
(m
1
+ m
2
)
2.5.32. E = K sin α
1
sin α
2 2.5.33. E = 4,1 МэВ.
2.5.34
∗
. cos α = (p
2
− 2mE)/(p
2
+ 2mE), если 2mE < p
2
; α = π/2, если 2mE > p
2 2.5.35. h/h
0
= [(m
1
− m
2
)/(m
1
+ m
2
)]
2 2.5.36. Q/K = (3 − m
1
/m
2
)/4.
2.5.37. Q
1
= 2
Q
2
m (v − 2
Q
2
/m ).
2.5.38
∗
. v n
=
F l m
(1 + 1/n);
u n
=
F l m(1 + 1/n)
;
v n
→
F l m
при n → ∞.
2.5.39. tg β = tg α − 2µ при tg α > 2µ; в противном случае β = 0.
§ 2.6. Сила тяготения. Законы Кеплера
2.6.2. a = K/R
2
, где R — расстояние от планеты до Солнца, K — постоянная.
2.6.3. h ≈ 700 км.
2.6.6. По приведенным данным γ = r
2
a/(2M ) ≈ 5 · 10
−11
Н · м
2
/кг
2
, что сравнительно близко к результатам точных измерений.
2.6.7. M ≈ 6 · 10 24
кг.
2.6.8. M ≈ 2 · 10 30
кг.
2.6.10. В 0,3 раза.