Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
13.4.11. Что произойдет с изображением, дава- емым линзой, если верхнюю половину линзы закра- сить черной краской? 13.4.12. Как изменится освещенность изображе- ния Солнца, даваемого плоско-выпуклой линзой, ес- ли линзу разрезать по диаметру и сложить плоскими сторонами? ♦ 13.4.13. Перед сферическим зеркалом радиуса кривизны R, в фокусе кото- рого находится точечный источник света S, на высоте h над осью зеркала SO помещена небольшая пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси. Най- дите отношение освещенностей левой и правой сторон пластинки, если h R, l. ♦ 13.4.14 ∗ . Точечный источник света S расположен на расстоянии a < 4f от плоского экрана. Как изменится освещенность экрана в точке A, если между ис- 258 точником и экраном поставить линзу с фокусным расстоянием f , на расстоянии x от источника? При каком x освещенность в точке A будет максимальной? 13.4.15. Точечный источник света с помощью телескопа, имеющего объектив диаметра D 0 , может быть замечен с расстояния L 0 . С какого расстояния можно рассмотреть этот источник в телескоп с объективом диаметра D? 13.4.16 ∗ . Можно ли с помощью линзы или зеркала получить такое изобра- жение Солнца, яркость которого превышает яркость Солнца? Какую максималь- ную освещенность изображения Солнца можно получить с помощью вогнутого зеркала диаметра D и радиуса кривизны R? Яркость поверхности Солнца B. 13.4.17. В фокусе сферического зеркала помещен сосуд, содержащий 100 г воды. Каков должен быть диаметр зеркала, чтобы вода выкипела через 1 мин, если зеркало направить прямо на Солнце? Плотность потока энергии от Солнца 0,14 Вт/см 2 . Потерями пренебречь. 13.4.18 ∗ . По известной легенде жители Сиракуз под руководством Архиме- да сожгли корабли римского флота, фокусируя на них свет Солнца с помощью плоских зеркальных щитов. Принимая, что диаметр щита d = 1 м, расстояние до кораблей x = 500 м и температура, при которой загорается дерево, T ≈ 1000 К, оцените необходимое число щитов. 13.4.19. В крышке закрытого ящика, высота которого 1 м, имеется круглое отверстие. Изменится ли освещенность дна под отверстием, если в отверстие вставить линзу, оптическая сила которой равна 1 дптр? Ящик стоит под откры- тым небом, равномерно затянутым пеленой облаков. 13.4.20. Почему при наблюдении в телескоп яркие звезды видны даже днем? 13.4.21 ∗ . Жука фотографируют в двух масштабах, поднося аппарат на рас- стояние, равное сначала тройному, а затем пятикратному фокусному расстоянию объектива. Как нужно изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещен- ность изображения на пленке в обоих случаях была одинаковой? Диаметр диа- фрагмы в обоих случаях много меньше расстояния до жука. 13.4.22 ∗ . Какая выдержка нужна при фотографировании чертежа с линей- ным увеличением k 1 , если при фотографировании с увеличением k 2 устанавли- вается выдержка t 2 ? 13.4.23 ∗ . Интенсивность света маяка на расстоянии L уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана r. Оцените количество капель тумана в единице объема воздуха. 13.4.24 ∗ . В дымовой завесе из непрозрачных частиц радиуса 5 мкм при со- держании 0,004 г вещества в 1 м 3 воздуха видимость составляет 50 м. Сколько вещества в 1 м 3 воздуха распыляется источником завесы, создающим частицы радиуса 10 мкм, если видимость при этом сокращается до 20 м? 13.4.25 ∗ . В системе оптической связи луч лазера, передающий информацию, имеет вид конуса с углом при вершине 10 −4 рад (угол расходимости). В приемном устройстве световая энергия фокусируется на фотоэлемент с помощью линзы 1 м. Оказалось, что при изменении расстояния между передатчиком и приемником 259 с 5 до 10 км сигнал, принимаемый с фотоэлемента, уменьшился в два раза (из-за поглощения света в атмосфере). Во сколько раз изменится сигнал при увеличении расстояния с 10 до 20 км? § 13.5. Квантовая природа света ♦ 13.5.1. Чувствительность фотопленки настолько велика, что каждый фотон вызывает на ней появление черного пятна. Три фотографии квадрата получены на длине волны 5 · 10 −5 см. Размеры изображения 10 × 10 см. Оцените, поль- зуясь формулой Планка ε = hν (h = 6,62 · 10 −27 эрг · с — постоянная Планка), освещенность фотопластинки в каждом случае. Время срабатывания затвора фо- тоаппарата 10 −9 с. ♦ 13.5.2. Две параллельные металлические пластины находятся в вакууме. На заземленную пластину падает поток ультрафиолетового излучения частоты ν, которое выбивает с ее поверхности электроны. Ток этих электронов зависит от напряжения, подаваемого на вторую пластину так, как изображено на графике. Определите из графика работу выхода электронов из первой пластины. 13.5.3. При столкновении позитрона с электроном часто происходит анниги- ляция этих частиц: они превращаются в два γ- кванта электромагнитного излу- чения. В каком случае энергия этих γ-квантов будет одинакова, а сами они будут двигаться в противоположных направлениях? Чему будет равна максимальная частота таких γ-квантов? 13.5.4. а. При распаде π-мезона образовалось два фотона с энергией ε 1 и ε 2 , которые летят в противоположных направлениях. Определите скорость распав- шегося мезона. Связь между энергией и импульсом для фотона имеет вид ε = pc, где c — скорость света. б. При распаде нейтральной частицы обнаружено два фотона, летящих под углами θ 1 и θ 2 к направлению движения частицы. Определите скорость распав- шейся частицы. 260 ♦ 13.5.5. а. γ-Квант электромагнитного излу- чения частоты ν, столкнувшись с неподвижной частицей, начал двигаться под углом θ к первона- чальному направлению. При этом частота кванта уменьшилась на ∆ν ν. Определите массу этой частицы. б. Фотон частоты ν, столкнувшись с непо- движным электроном, начинает двигаться под углом θ к первоначальному на- правлению. Определите изменение частоты фотона, если hν m e c 2 13.5.6 ∗ . Атомы, летящие со скоростью v, испускают в направлении своего движения фотоны с частотой ν. Какова частота фотонов, испускаемых в направ- лении: а) противоположном направлению движения атомов; б) перпендикулярном направлению движения атомов? Импульс фотона много меньше импульса атома. 13.5.7. Свет, излучаемый с поверхности звезды, приходит к наблюдателю с меньшей, чем при излучении, частотой. Изменение частоты тем больше, чем массивнее звезда и меньше ее радиус. Чем объясняется этот эффект? Почему его называют красным смещением? 13.5.8. Определите красное смещение для звезды массы M и радиуса R, если частота света на поверхности звезды равна ν. Оцените красное смещение для Солнца в видимой области его излучения. Какие эффекты мешают обнаружить красное смещение в излучении Солнца? ♦ 13.5.9 ∗ . Большие массы вещества во Вселенной могут фокусировать свет от удаленных объектов, образуя «гравитационную линзу». Оцените фокусное рас- стояние шаровой галактики радиуса R ≈ 20 000 пк и массы M ≈ 3 · 10 11 M С (где M С — масса Солнца), считая, что масса в галактике распределена равномерно. 17 ∗ 261 Глава 14 Специальная теория относительности § 14.1. Постоянство скорости света. Сложение скоростей 14.1.1. Отраженный от самолета радиосигнал вернулся к локатору через 10 −4 с. На каком расстоянии находился самолет от локатора в момент отражения радиосигнала? ♦ 14.1.2. Через 10 −8 с после пролета π 0 -мезона через счетчик A счетчики A и B зафиксировали γ-кванты, которые возникли при распаде π 0 -мезона: π 0 → γ + γ. Расстояние между счетчиками 1 м. С какой скоростью двигался π 0 -мезон? 14.1.3. Под каким углом к горизонту виден светящийся предмет, движущий- ся горизонтально со скоростью βc в момент, когда находится над наблюдателем? ♦ 14.1.4 ∗ . По наблюдениям с Земли свет далекой звезды падает на Землю под углом α к направлению ее движения, когда Земля приближается к звезде с наибольшей скоростью. На сколько изменится этот угол, когда скорость Земли изменит свое направление на противоположное? ♦ 14.1.5. С первой космической станции на вторую станцию, неподвижную от- носительно первой, были направлены одновременно испытательный зонд и свето- 262 вой сигнал. Отразившись от второй станции, затем от первой, световой сигнал вернулся на вторую станцию, когда на нее прибыл космический зонд. Какую скорость зонда относительно станции зафиксируют наблюдатели на станциях? Какую относительную скорость зафиксирует аппаратура зонда? 14.1.6 ∗ . Решите задачу 14.1.5 в случае, когда относительная скорость вто- рой станции по наблюдениям с первой станции равна v. Какую относительную скорость имеет первая станция по наблюдениям со второй? 14.1.7 ∗ . По линии, соединяющей две неподвижные друг относительно друга станции, со скоростью v относительно станций двигался космический корабль. «Станции находились на одинаковом расстоянии от нашего корабля, когда на них одновременно отразился наш световой сигнал, так как световые сигналы были отправлены одновременно на станции и вернулись они после отражения от стан- ций тоже одновременно», — утверждает наблюдатель с корабля. Сотрудники же станции наблюдали, что сигналы отразились от станций в разное время. Как объяснить эти разногласия? Какую разницу во временах отражения наблюдали сотрудники станции, если расстояние между станциями (в их системе) равно l? На каких расстояниях они фиксировали корабль в моменты отражений сигналов от станций? 14.1.8. Самолет и ракета движутся по одной прямой и в одном направлении. Скорость самолета βc. С самолета испускаются световые импульсы через равные интервалы, которые, отразившись от ракеты, приходят на самолет через интер- валы, в K раз длиннее интервалов испускаемых импульсов. Определите скорость ракеты относительно самолета по наблюдениям с самолета и по наблюдениям с Земли. 14.1.9. «. . . Космический объект приближался к Земле. Навстречу ему мча- лась самая быстрая космическая лаборатория. “Какова скорость сближения объ- екта и лаборатории?” — запросил с Земли генерал, руководитель встречи. “В системе Земли или нашей лаборатории?” — отозвался оператор лаборато- рии. “Какая разница”, — ответил генерал. “Эти скорости уже отличаются на 0,01 %, — неслось из космоса. — Сейчас мы достигли скорости сближения ров- но 100 000 км/с в нашей системе и больше мы ее не меняем”. “Как измеряете скорость?” — спросил генерал. “Так же, как и вы, мы установили пассивную связь с объектом. Радарный импульс постоянно курсирует между нами и объек- том, отражаясь попеременно то от нашей лаборатории, то от объекта. Скорость сближения определяется по изменению времени возвращения импульса”. “Это верно, когда радарный импульс и удаляется, и приближается к лаборатории со скоростью, равной скорости света, — подумал генерал. — Тогда скорость при- ближения объекта определяется только отношением двух соседних времен. Но у них не так. Когда они догоняют отраженный импульс, скорость импульса c уменьшается на величину скорости лаборатории и на столько же увеличивается, когда импульс летит навстречу”. Неожиданно для себя генерал спросил у опера- тора: “Какая скорость сближения получилась бы у вас, если бы мы сообщили с Земли наблюдаемые нами скорости импульса по отношению к лаборатории и вы воспользовались бы этими величинами для расчета скорости объекта по времени 263 возвращения импульса? Наверняка, ту же самую, что мы видели с Земли”. “Да, генерал,” — со скоростью света полетел ответ на Землю. У генерала мелькнула мысль: “Лукавят физики. Просто не могут измерить скорость импульса. Нет мас- штаба. И принимают ее равной скорости света. Отсюда — все несовпадения”». Этот отрывок из еще неопубликованного научно-фантастического рассказа вы- звал следующие вопросы. Насколько прав генерал? Чему равна скорость объекта и лаборатории в системе «Земля»? ♦ 14.1.10 ∗ . а. По наблюдениям с Земли скорости двух космических кораблей, летящих навстречу друг другу, равны v и u. Покажите, что относительная ско- рость одного корабля по наблюдениям с другого определяется формулой v 1 = (v + u)/(I + vu/c 2 ). б. По наблюдениям с Земли космический корабль удаляется от нее со скоро- стью v. В направлении движения с корабля был выброшен зонд. По наблюдениям с корабля зонд движется относительно корабля со скоростью u. Докажите, что наблюдаемая с Земли скорость удаления зонда от Земли равна (v + u)/(I + vu/c 2 ). При решении задач используйте постоянство величины скорости света в разных системах отсчета. 14.1.11. На фотонной ракете, летящей со скоростью 225 000 км/с относитель- но Земли, установлен ускоритель, разгоняющий электроны до скорости 240 000 км/с относительно ракеты в направлении ее движения. Какова скорость этих электронов в системе «Земля»? 14.1.12. Найти скорость распространения света относительно покоящегося наблюдателя, если луч света движется в среде с показателем преломления n, которая, в свою очередь, движется относительно наблюдателя со скоростью v в направлении распространения света. ♦ 14.1.13. Стеклянный брусок длины l движется в продольном направлении со скоростью v. Передний торец бруска посеребрен. Сколько времени по часам неподвижного наблюдателя потребуется свету, входящему в брусок через задний торец, чтобы пройти по бруску, отразиться от посеребренного торца и выйти из бруска? Коэффициент преломления стекла n. 264 ♦ 14.1.14 ∗ . Лодочник под мостом уронил в воду багор. Через время τ , находясь на расстоянии L от моста, он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал багор на расстоянии l от моста. Время и расстояния приведены в системе «берег». Ка- кова скорость реки? Получите релятивистский ответ и из него нерелятивистское приближение. 14.1.15. Движущееся ядро распадается на два одинаковых осколка. Ско- рость осколка в направлении движения v, в противоположном направлении u. Определите скорость ядра. 14.1.16. Скорость заряженной частицы v. Определите, во сколько раз изме- нится скорость этой частицы после встречи с электрическим полем, движущимся навстречу частице со скоростью u, если после этой встречи частица отразилась в направлении движения поля? ♦ 14.1.17. Мимо Земли со скоростью v пролетает ракета. Посланный с Земли световой сигнал отразился от ракеты, когда она находилась от Земли на ми- нимальном расстоянии l. Определите время возвращения сигнала на Землю по наблюдениям с Земли и с ракеты. 14.1.18. Если в какой-либо системе отсчета фиксируются события, напри- мер радиоактивный распад, рассеяние частиц, отражение света от зеркала, то эти явления будут фиксироваться в любой системе отсчета. Покажите, пользуясь этим, что отношение времен между событиями, происходящими в одном и том же месте для какой-либо системы, одинаково в любой системе отсчета. 14.1.19. Покажите, что в движущейся со скоростью βc ракете поперечные размеры не меняются. ♦ 14.1.20. В ракете время измеряется световыми ходиками, состоящими из двух зеркал, расположенных на расстоянии l друг от друга. Число колебаний светового зайчика между этими зеркалами отсчитывает время в этой ракете. Как изменится ход этих часов по наблюдениям на станции, относительно которой ракета движется со скоростью βc? Покажите, что расстояние между зеркалами, если ось ходиков направлена вдоль скорости βc, уменьшится в γ = 1/ 1 − β 2 раз? 14.1.21. Во сколько раз изменится скорость частицы v при переходе в систе- му отсчета, движущуюся со скоростью u, если v ⊥ u? 265 ♦ 14.1.22. На рисунке изображены векторы скоростей шести зайцев, выпущен- ных старым Мазаем, в системе отсчета, неподвижной относительно Мазая. На- рисуйте скорости зайцев и Мазая в системе отсчета, неподвижной относительно зайца 1, если зайцы разбегутся со скоростью света? 14.1.23. Неподвижный радар испускает радиальные электромагнитные вол- ны длиной λ. Изобразите эти волны для радара, движущегося со скоростью v = 4c/5. Как изменится длина волны в направлении движения радара? В про- тивоположном направлении? Под углом π/2 к направлению движения? 14.1.24 ∗ . π 0 -Мезоны, имеющие одинаковую скорость βc, распадаются на γ- кванты: π 0 → γ + γ. Какая часть γ-квантов движется под углами к скорости βc, меньшими π/2? ♦ 14.1.25 ∗ . Двигаясь по круговой дорожке накопителя со скоростью, близкой к скорости света, электрон испускает свет в основном в направлении движения в области малого угла. Оцените этот угол, если скорость электрона на ∆ меньше скорости света, ∆ c. ♦ 14.1.26 ∗ . Зеркало двигается со скоростью βc перпендикулярно своей плос- кости. Под каким углом отразится от этого зеркала фотон, падающий на зеркало под углом α? ♦ 14.1.27. Для встречи с космическим кораблем, летящим со скоростью v, под углом α к направлению движения корабля запускается со скоростью u ракета связи. Определите скорость ракеты в системе отсчета корабля. ♦ 14.1.28 ∗ . Угол отклонения протона, имеющего скорость βc, при столкнове- нии с другим протоном, летящим ему навстречу с той же скоростью, равен α. Определите угол отклонения первого протона в системе отсчета, в которой дру- гой протон до столкновения неподвижен. 266 § 14.2. Замедление времени, сокращение размеров тел в дви- жущихся системах. Преобразование Лоренца 14.2.1. Во сколько раз замедлится ход времени в космическом корабле, ле- тящем со скоростью 240 000 км/с? 14.2.2. Время жизни неподвижной частицы τ . С какой скоростью должна двигаться эта частица, чтобы пролететь расстояние l? 14.2.3. Хотя время жизни неподвижного µ-мезона мало — около 2 · 10 −6 с, µ-мезоны, рожденные космическими лучами на высоте 30 км, достигают поверх- ности Земли. Определите верхний предел разницы между скоростью света и ско- ростью π-мезонов. ♦ 14.2.4. Протоны ускоряются напряжением 30 кВ, а затем, проходя газовую мишень, частично превращаются (практически не тормозясь), захватывая элек- троны, в быстрые нейтральные атомы водорода. Частота неподвижных атомов водорода равна 3,2 · 10 15 Гц. На сколько изменится частота электромагнитных волн, излучаемых движущимися атомами водорода перпендикулярно направле- нию их движения? 14.2.5 ∗ . Как изменится частота плоской электромагнитной волны при нор- мальном отражении ее от зеркала, движущегося со скоростью βc навстречу вол- не? Частота падающей волны ν. ♦ 14.2.6 ∗ . Определите разницу частот плоской волны вне и внутри диэлек- трика, плоская граница которого движется навстречу волне со скоростью βc. Частота волны вне диэлектрика ν, коэффициент преломления волны в диэлек- трике n. 267 |