Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
. Во сколько раз увеличится сброс воды через широкую плотину, если высота уровня воды над кромкой возрастает в два раза? 114 ♦ 4.3.12 ∗ . Вода вытекает из широкого сосуда через треугольный вырез в его стенке. Во сколько раз уменьшится скорость понижения уровня воды при изме- нении высоты ее уровня от H до h? ♦ 4.3.13. Широкая струя жидкости толщины h падает под углом α со скоро- стью v на плоскость. На какие струи распадается падающая струя? ♦ 4.3.14 ∗ . Две широкие металлические пластины, расположенные под углом 2α друг к другу, движутся со скоростью v по нормали к своей поверхности. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, рассматривая движение металла как движение идеальной жидкости. 4.3.15 ∗ . Определите форму стационарной струи, сформировавшейся после столкновения двух струй радиуса R и r, которые двигались навстречу друг другу с одинаковой скоростью. ♦ 4.3.16 ∗ . «. . . В 1941 г. немцы придумали кумулятивный противотанковый снаряд. На конусе снаряда — запал. При ударе он вызывает детонацию и вос- пламеняет весь заряд. Снаряд пробивает всю броню. В 1944 г. такие немецкие снаряды попали в наши руки и в руки союзников. Начался широкий эксперимент. При этом обнаружили много дополнительных эффектов и парадоксов. Стали вы- яснять, что же летит, что пробивает? Сначала думали, что это бронепрожигаю- щий снаряд, что броню пронзает струя горячего газа. Нет, оказалось, что летит металл, причем самым необъяснимым образом: перед плитой со скоростью 8 км/с, внутри плиты 4 км/с, за плитой снова 8 км/с» (из вступительного слова председа- теля Президиума СО АН СССР академика М. А. Лаврентьева перед учащимися Летней физико-математической школы в 1971 г.). Объясните это явление. Опре- делите, с какой скоростью двигалась стенка металлической конической полости, перекрывающей заряд, если угол при вершине полости 30 ◦ 115 ♦ 4.3.17 ∗ . Жидкость в начальный момент заполняет верти- кальную часть длины l в тонкой L-образной трубке. Плотность жидкости равна ρ. Найдите, как зависит от времени высота ее уровня. Найдите распределение давления в момент, когда вы- сота столба жидкости уменьшится наполовину. 4.3.18 ∗ . Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает во- да. Сечение сосуда S, сечение струи s. Уровень воды в сосуде перемещается с постоянным ускорением. Найдите это ускоре- ние. 4.3.19. В цилиндре с поршнем находится вода, внутри которой в началь- ный момент имеется полость объема V . Поршень оказывает на воду постоянное давление P . Какую энергию приобретает вода в момент, когда полость исчезнет? 4.3.20 ∗ . В жидкости плотности ρ образовалась сферическая полость радиу- са R. Давление в жидкости P . Определите скорость границы полости в момент, когда ее радиус уменьшится до значения r? 4.3.21 ∗ . Оцените, при какой скорости кромки винта катера в воде возникает полость. § 4.4. Течение вязкой жидкости 4.4.1. Пространство между двумя параллельными плоскостями заполнено жидкостью вязкости η. Одна из плоскостей движется со скоростью v 0 , другая покоится. Найдите распределение скорости жидкости между плоскостями и силу вязкого трения, действующую на единицу площади каждой из плоскостей. Рас- стояние между плоскостями h. 4.4.2. Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями h, вязкость жидкости η. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен P . 4.4.3 ∗ . а. Определите расход жидкости на единицу ширины потока, стека- ющего по наклонной плоскости под углом α к горизонту. Вязкость и плотность жидкости равны соответственно η и ρ. Толщина потока h. б. Оцените наклон ложа канала глубины 2 м, средняя скорость движения воды в котором равна 1 м/с. Вязкость воды 10 −3 Н · с/м 2 4.4.4 ∗ . Определите установившуюся скорость движения шайбы массы m и радиуса R по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, в случае, когда между шайбой и плоскостью имеется слой смазки толщиной ∆ и вязкости η. 4.4.5. Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса R и длины l. Разность давлений на концах трубки P , вязкость жидкости η. Определите зависимость от расстояния до стенки трубки: а) гради- ента скорости жидкости; б ∗ ) скорости жидкости. Определите объем жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени. 4.4.6. Из вертикально расположенной тонкой трубки, заполненной вязкой жидкостью, через время T вытекала половина жидкости. Через какое время вы- течет оставшаяся часть жидкости? 4.4.7 ∗ . Тонкая цилиндрическая трубка длины l и диаметра d целиком за- полнена жидкостью плотности ρ и вязкости η. Определите время вытекания жидкости из трубки, если ее ось наклонена к горизонту под углом α. ♦ 4.4.8. Пространство между валом радиуса r, вращающегося вокруг своей оси, и неподвижной соосной с валом трубой радиуса R заполнено жидкостью вяз- кости η. Момент сил, действующих на единицу длины вала, равен M . Определите зависимость от расстояния до оси вала: а) градиента угловой скорости жидкости: б ∗ ) угловой скорости жидкости, а также угловую скорость вала. 116 ♦ 4.4.9. В трубе переменного сечения поддерживается стационарное течение вязкой жидкости. В сечениях 1 и 2 скорость можно считать постоянной по сече- нию. Площади сечений 1 и 2 равны соответственно S 1 и S 2 , а давление жидкости в них — соответственно P 1 и P 2 . Скорость течения жидкости в сечении 1 рав- на v 1 . Найдите силу, с которой жидкость действует на участок трубы между сечениями 1 и 2. § 4.5. Поверхностное натяжение жидкости 4.5.1. Что называется поверхностным натяжением? Приведите примеры проявления сил поверхностного натяжения. 4.5.2. Почему вода в кабине космического корабля «висит» в воздухе в форме шара? Чем мельче капельки ртути на полу, тем больше их форма похожа на шар. Почему? 4.5.3. Оцените максимальный размер капель воды, которые могут висеть на потолке. Поверхностное натяжение воды 0,073 Н/м. ♦ 4.5.4. Пленки двух жидкостей разделены планкой длины l. Поверхностное натяжение жидкостей равно соответственно σ 1 и σ 2 . Какая сила действует на планку со стороны жидкостей? ♦ 4.5.5. Найдите поверхностное натяжение жидкости, если петля из резиновой нити длины l и жесткости k, положенная на пленку этой жидкости, растянулась по окружности радиуса R, после того как пленка была проколота внутри петли. 4.5.6. а. Какую работу нужно совершить, чтобы жидкость объема V с по- верхностным натяжением σ растянуть в пленку, толщина которой ∆ 3 √ V ? 8 ∗ 117 б ∗ . Оцените, во сколько раз работа по растяжению 1 г ртути в пленку, тол- щина которой близка к диаметру атома ртути, меньше удельной теплоты па- рообразования ртути, равной 290 Дж/г. Поверхностное натяжение и плотность ртути 0,465 Н/м и 13,6 г/см 3 4.5.7. Железный кубик, смазанный парафином, плавает в воде так, что его верхняя грань находится на уровне воды. Вода не смачивает парафин. Найдите длину ребра кубика. 4.5.8. На поверхности жидкости плавает погруженная на глубину h шай- ба радиуса r и высоты 2h, не смачиваемая жидкостью. Плотность жидкости и шайбы равна ρ. Поверхность жидкости соприкасается с боковой поверхностью шайбы. Определите поверхностное натяжение жидкости. 4.5.9. Оцените, каким должно быть ускорение свободного падения на пла- нете, чтобы человек мог ходить на ней по воде в обуви с несмачиваемыми водой подошвами. ♦ 4.5.10 ∗ . Длинная пластина ширины l приведена в соприкосновение с поверх- ностью жидкости. Затем пластину стали поднимать. Как зависит сила, действу- ющая на единицу длины пластины, от высоты ее подъема x? Плотность жидко- сти ρ, поверхностное натяжение σ. Масса единицы длины пластины m. 4.5.11. Большая и тонкая пластина не тонет, если ее осторожно положить на поверхность воды. Определите максимальную массу единицы ее площади. Пла- стина водой не смачивается. ♦ 4.5.12. а. Сумма сил, действующих на выделенный на рисунке объем жид- кости, равна нулю. Пользуясь этим, определите высоту, на которую жидкость поднимается по вертикальной стенке. Краевой угол θ. Поверхностное натяжение и плотность жидкости σ и ρ. б. На какую высоту поднимется вода по вертикальной стенке, которую она полностью смачивает? ♦ 4.5.13. а. Определите толщину слоя жидкости, разлитой на горизонтальной плоскости. Краевой угол θ, плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ. б. Определите толщину слоя воды, разлитой на горизонтальной плоскости, покрытой парафином. 118 4.5.14 ∗ . а. Большой участок жидкости покрыт слоем масла. Поверхностное натяжение и плотность жидкости σ ж и ρ ж , поверхностное натяжение и плот- ность масла σ м и ρ м , поверхностное натяжение границы жидкость–масло σ ж.м. Определите толщину слоя масла. б. В 1977 г. «Арго-Мерчент», танкер водоизмещением 28 691 т, напоролся на риф; корпус танкера развалился надвое, выплеснув в море полный груз нефти. Черные пятна нефти расползлись на тысячи квадратных миль. Определите об- щую площадь этих пятен. Поверхностное натяжение нефти 0,03 Н/м, плотность нефти 0, 8 · 10 3 кг/м 3 , нефть не смачивается водой. Массу нефти принять равной 0,8 водоизмещения танкера. ♦ 4.5.15 ∗ . Докажите, что объем жидкости, который поднимется над ее общим уровнем (на рисунке этот объем отделен штриховой линией), зависит только от периметра поперечного сечения погруженной в жидкость палочки и не зависит от формы этого сечения. ♦ 4.5.16. а. Докажите, что давление жидкости под ее цилиндрической поверх- ностью радиуса R равно σ/R (σ — поверхностное натяжение жидкости). Для доказательства воспользуйтесь условием равновесия объема жидкости, лежаще- го над плоскостью A. б. Докажите, что давление жидкости под ее сферической поверхностью ра- диуса R равно 2σ/R. ♦ 4.5.17. Определите максимальное и минимальное давление внутри сферической капли жидкости, которая плавает в другой жидкости. Расстояние от центра капли до поверхности жидкости h, радиус капли R, плотность жидкостей ρ, поверхностное натяжение на границе раз- дела жидкостей σ. 4.5.18. Жидкость смачивает вертикальную стенку (см. рисунок к задаче 4.5.12). Как зависит радиус кри- визны поверхности жидкости от высоты x, на которую поднимается жидкость над своим уровнем? Плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ. 4.5.19. Внешний радиус мыльного пузыря равен R, толщина его стенки рав- на h. Найдите давление воздуха внутри пузыря. Давление воздуха вне пузыря равно P 0 , поверхностное натяжение воды σ. 4.5.20. Оцените, сколько воды можно унести в решете? Площадь решета и его ячейки равны соответственно 0,1 м 2 и 1 мм 2 . Решето водой не смачивается. 4.5.21 ∗ . Два легких тела, оба смачиваемые или оба не смачиваемые водой, плавая на поверхности воды, притягиваются друг к другу. Если же одно тело смачивается водой, а другое не смачивается, то тела будут отталкиваться. Объ- ясните это явление. ♦ 4.5.22 ∗ . Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, по- верхностное натяжение которой σ. Поверхностное натяжение жира на границе 119 воздух–жир σ 1 , на границе жир–жидкость σ 2 . Определите толщину капли, если ее радиус равен r. ♦ 4.5.23. На мыльном пузыре радиуса R 0 «сидит» еще один мыльный пузырь радиуса r. Какой радиус кривизны имеет пленка, их разделяющая? Какой угол образуют пленки в местах соприкосновения? ♦ 4.5.24 ∗ . Радиус кривизны капли в верхней ее точке R. Чему равна масса капли, если ее высота h, радиус соприкосновения капли с горизонтальной плос- костью, на которой она находится, равен r? Плотность жидкости ρ, поверхностное натяжение σ, плоскость не смачивается жидкостью. ♦ 4.5.25. На четыре ртутных шарика, лежащих на горизонтальной плоскости, осторожно кладут квадратную пластинку так, как изображено на рисунке (вид сверху). Радиус каждого шарика 1 мм, масса пластины 80 г, поверхностное натя- жение ртути 0,465 Н/м. Смачивания нет. На каком расстоянии от горизонтальной плоскости будет находиться нижняя поверхность пластины? 4.5.26. Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совер- шить, чтобы разделить сферическую каплю ртути радиуса 3 мм на две одинако- вые капли? 4.5.27 ∗ . Оцените, на каком расстоянии от крана радиус струи воды умень- шится в полтора раза. Скорость выходящей из крана воды 0,3 м/с, начальный радиус струи 2 мм. § 4.6. Капиллярные явления 4.6.1. а. При удалении с поверхности ткани жирового пятна рекомендуется смачивать пропитанной бензином ваткой края пятна, а не само пятно. Почему? б. Для того чтобы мазь лучше впитывалась в лыжные ботинки, как их нужно нагревать: снаружи или изнутри? 120 4.6.2. Капилляр радиуса R опускают в смачивающую жидкость с поверх- ностным натяжением σ и плотностью ρ. Определите высоту, на которую подни- мется жидкость. Определите работу, совершенную силами поверхностного натя- жения, и потенциальную энергию жидкости в капилляре. Почему эти величины не совпадают? 4.6.3. Определите максимальный радиус капилляров дерева на высоте 10 м. Вода полностью смачивает капилляры. ♦ 4.6.4 ∗ . а. Используя результат задачи 4.4.5, определите объем жидкости, протекающей в единицу времени через капилляр радиуса r, соединенный с жид- костью, если ее поверхность в капилляре установилась (из-за испарения) на рас- стоянии h от его основания. Вязкость жидкости η, поверхностное натяжение σ, жидкость полностью смачивает капилляр. Действием силы тяжести пренебречь. б. Оцените максимальный объем крови, который может подаваться к тканям в 1 с по капиллярам радиуса 10 мкм и длины 1 мм, полностью смачиваемых кровью, если число капилляров 10 5 , вязкость крови 5·10 −3 Н · с/м 2 , поверхностное натяжение 7 · 10 −2 Н/м. 4.6.5. Какую относительную погрешность мы допускаем при измерении ат- мосферного давления по высоте ртутного столба, если внутренний диаметр ба- рометрической трубки, не смачиваемой ртутью, 5 мм, поверхностное натяжение 0,465 Н/м, плотность ртути 13,6 г/см 3 ? ♦ 4.6.6. В двух длинных открытых с обеих сторон капиллярах, расположенных вертикально, находятся столбики воды длины 2 и 4 см. Найдите радиус кривизны нижнего мениска в каждом из капилляров, если их внутренний диаметр равен 1 мм, а смачивание полное. ♦ 4.6.7. Вертикальный капилляр радиуса r и высоты h соединен с широким сосудом трубкой на уровне дна сосуда. Как зависит разность уровней жидкости в сосуде и капилляре от высоты x уровня жидкости в сосуде? При каком зна- чении x жидкость начнет выливаться из капилляра? Поверхностное натяжение жидкости σ, ее плотность ρ. Жидкость полностью смачивает капилляр. 121 ♦ 4.6.8. Жидкость в длинном капилляре поднимается на высоту h. Определите радиус кривизны мениска в коротком капилляре, длина которого h/2. Радиус обоих капилляров r, краевой угол θ. ♦ 4.6.9 ∗ . Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси OO . Длина капилляра 2l, его радиус r. Плотность жидкости ρ, а поверхност- ное натяжение σ. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать? ♦ 4.6.10. В капилляре, опущенном вертикально в воду на глубину l, вода под- нялась на высоту h. Нижний конец капилляра закрывают, вынимают капилляр из воды и вновь открывают. Определите длину столба воды, оставшейся в ка- пилляре, если смачивание полное. ♦ 4.6.11 ∗ . В сосуд с водой, температуру которой изменяют, опускают изогну- тый стеклянный капилляр радиуса r = 0, 1 мм. График температурной зависимо- сти поверхностного натяжения показан на рисунке. При какой температуре вода потечет из сосуда, если H = 15 см? 4.6.12. Куда будет двигаться капля смачивающей и несмачивающей жидко- сти в горизонтально расположенном коническом капилляре? ♦ 4.6.13 ∗ . На какую высоту поднимется жидкость по вертикальному кониче- скому капилляру с углом при вершине α 1 рад? Плотность жидкости ρ, ее поверхностное натяжение σ, высота капилляра H. Жидкость полностью смачи- вает капилляр. 4.6.14. На какую высоту поднимется жидкость между двумя вертикальными пластинами, расстояние между которыми ∆, если краевой угол у первой пласти- ны θ 1 , у второй θ 2 ? Плотность жидкости ρ, ее поверхностное натяжение σ. ♦ 4.6.15. Какая сила действует на параллельные квадратные пластины со сто- роной a, частично погруженные в жидкость, если краевой угол у внешних их поверхностей 90 ◦ , а у внутренних — θ и π − θ? Плотность жидкости ρ, ее поверх- ностное натяжение σ. 122 ♦ 4.6.16 ∗ . С какой силой притягиваются друг к другу две параллельные квад- ратные пластины со стороной a, частично погруженные в жидкость, если они не смачиваются жидкостью? Плотность жидкости ρ, расстояние между пластина- ми ∆, поверхностное натяжение жидкости σ. ♦ 4.6.17 ∗ . На какую высоту поднимется жидкость плотности ρ в полностью смачиваемом капилляре, если его поперечное сечение S, а периметр этого се- чения l? Как зависит период малых вертикальных колебаний жидкости в этом капилляре от высоты жидкости? Поверхностное натяжение жидкости σ. 123 Глава 5 Молекулярная физика § 5.1. Тепловое движение частиц 5.1.1. Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную ско- рость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температу- ре 5 ◦ C. 5.1.2. Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух ча- стичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы разли- чаются в четыре раза? 5.1.3. Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со ско- ростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение. 5.1.4. Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха 20 ◦ C. Масса шарика 1 мг, длина нити маятника 10 м. 5.1.5 ∗ . Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркаль- це падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 K. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если при повороте зеркальца на угол ϕ на него со стороны нити действует момент сил M = −κϕ, где κ = 1,38 · 10 −15 |