Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
cos ωt колеблется по закону x = A cos (ωt − ϕ). Какова средняя мощность этой силы? 87 ♦ 3.4.15. а. Двум шарикам массы m, которые связаны друг с другом и стенка- ми тремя пружинами жесткости k, одновременно сообщили одинаковую по моду- лю скорость, направленную вдоль пружин. Найдите частоту колебаний шариков, если их скорости противоположно направлены. Одинаково направлены. б. Свободные колебания сложных систем являются суммой (наложением) нескольких гармонических колебаний с разными частотами. Если первому ша- рику в задаче 3.4.15а сообщить вдоль пружины скорость v, то последующее дви- жение шариков будет суммой двух движений: движения шариков, которым со- общили скорость v/2 и −v/2, и движения шариков, которым сообщили скорость v/2 и v/2. Определите, пользуясь этим, скорость шариков в последующие за на- чалом колебаний моменты времени. Чему равно максимальное смещение первого шарика? второго? максимальное удлинение средней пружины? в. Решите задачу 3.4.15б в случае, если первому шарику сообщили скорость 3v, а второму скорость v. 3.4.16 ∗ . Атому кислорода в молекуле углекислого газа сообщили небольшую скорость v в направлении к атому углерода. Определите, на сколько приблизит- ся атом кислорода к атому углерода. Масса атома кислорода равна M , атома углерода m, а жесткость связи между атомами равна k. ♦ 3.4.17 ∗ . Собственные частоты двойного маятника равны ω 1 и ω 2 . Длина нити, связывающей шарики маятника, равна l. В состоянии равновесия нижнему шарику сообщили небольшую скорость v. Определите максимальное отклонение нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний шарик с потолком. ♦ 3.4.18. Малые колебания маятников, связанных пружиной, происходят по закону x 1 = B cos (ω 0 t + ϕ) + A cos ωt, x 2 = B cos (ω 0 t + ϕ) − A cos ωt. Определите жесткость пружины, связывающей маятники. В положении равнове- сия маятники вертикальны, масса каждого шарика m. ♦ 3.4.19. На рисунке изображен график зависимости координаты от времени для движения, являющегося суммой двух гармонических колебаний. Определите по нему амплитуды и частоты этих колебаний. 88 § 3.5. Вынужденные и затухающие колебания 3.5.1. Маятник массы m подвергается кратковременным ударам, за каждый из которых ему передается импульс p 0 . Постройте график движения маятника, если известно, что вначале он покоился, что затухания колебаний нет, а уда- ры следуют друг за другом через промежутки времени T 0 и T 0 /2 (T 0 — период свободных колебаний маятника). 3.5.2. Гармоническому колебанию тела массы m можно сопоставить движе- ние точки по окружности, радиус которой совпадает с амплитудой колебаний A тела, а угловая скорость — с частотой ω. Координата x этой точки совпадает с координатой тела, а координата y, умноженная на mω, — с импульсом тела p. Кривые, описывающие движение тела в переменных p, x, называются фазовым портретом. Постройте фазовый портрет для маятника задачи 3.5.1. 3.5.3 ∗ . В условиях задачи 3.5.1 маятник имел в нулевой момент скорость v 0 и координату x 0 . Какой будет амплитуда колебаний после n ударов, если первый из них произошел в нулевой момент? Постройте фазовый портрет. 3.5.4. Ваша приятельница сидит на качелях. Вы раскачиваете их кратко- временными толчками. Как это нужно делать, чтобы раскачивание проходило наиболее успешно? 3.5.5. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик сто- ит на ней неподвижно, она прогибается на 0,1 м. Когда же он идет со скоростью 3,6 км/ч, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова длина шага мальчика? 3.5.6. Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой стороны. С одной стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой. Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а с какой выезд. 3.5.7. Катер, плывущий по морю, начинает сильно раскачиваться, хотя вол- ны сравнительно невысокие. Капитан изменяет курс катера и его скорость. Уда- ры волн о катер становятся при этом в два раза чаще, но тем не менее размах колебаний катера значительно уменьшается. Объясните это. 3.5.8. Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным ко- лебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему? 3.5.9. Сила сопротивления в жидкой или газообразной среде при небольших скоростях движения пропорциональна скорости тела и направлена против нее: f = −bv. Как зависит рассеиваемая при движении тела мощность от его скоро- сти? 3.5.10 ∗ . Пусть кинетическая энергия осциллятора K = mv 2 /2, а потен- циальная U = kx 2 /2. Покажите, что наличие «потерь» мощности N п = bv 2 89 осциллятора эквивалентно наличию добавочной силы f = −bv, действующей на него. 3.5.11. Качественно опишите движение вначале покоившегося осциллятора под влиянием одиночного толчка и серии одинаковых толчков, следующих друг за другом через период, и постройте фазовый портрет этого осциллятора, если сила сопротивления движению пропорциональна его скорости. 3.5.12 ∗ . Колебательную систему при наличии сопротивления называют ос- циллятором с затуханием, а его колебания в отсутствие силы, их поддержи- вающей, — затухающими. Покажите, что уравнения движения двух осцилля- торов, сила сопротивления движению которых f 1 = −b 1 v 1 , f 2 = −b 2 v 2 , при k 1 /m 1 = k 2 /m 2 = ω 2 0 и b 1 /m 1 = b 2 /m 2 = 2γ имеют одинаковое решение при одинаковых начальных координатах и скоростях (ω 0 — частота свободных ко- лебаний в отсутствие трения, γ — коэффициет затухания, k 1 , k 2 — жесткость и m 1 , m 2 — масса осцилляторов). 3.5.13. Покажите, что если затухающие колебания осциллятора происходят по закону x 1 = x 1 (t) и v 1 = v 1 (t), то колебания такого же осциллятора с началь- ными условиями x 2 (0) = nx 1 (0), v 2 (0) = nv 1 (0) происходят по закону x 2 = nx 1 (t), v 2 = nv 1 (t). 3.5.14. Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении величин γ и ω 0 это произойдет (см. задачу 3.5.12). 3.5.15. Пусть затухание достаточно слабое, так что осциллятор, выйдя из начального равновесного положения со скоростью v, через время T снова про- ходит положение равновесия со скоростью v/n, n > 1. Что можно сказать про скорость осциллятора через время 2T , 3T ? 3.5.16. Амплитуда затухающих колебаний осциллятора за время τ умень- шилась вдвое. Как за это время изменилась механическая энергия осциллятора? За какое время его энергия уменьшилась вдвое? 3.5.17. На горизонтальные пластины осциллографа подается сигнал, про- порциональный смещению осциллятора, совершающего слабозатухающие коле- бания, а на вертикальные — сигнал, пропорциональный его скорости. Изобразите след луча на экране осциллографа. 3.5.18. Если в момент t = 0 осциллятор, колеблющийся с за- туханием, находится в положении равновесия и его скорость равна v 0 , то координата его в момент времени t = 0 определяется формулой x = v 0 ω exp (−γt) sin ωt, где ω = ω 2 0 − γ 2 , γ < ω 0 = k/m, k, m и γ — соответственно жесткость, масса и коэффициент затухания осциллятора. Пока- жите, что свойства осциллятора, описанные в задачах 3.5.12 и 3.5.15, не противоречат этому утверждению. ♦ 3.5.19. По виду зависимости x от t для за- тухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину γ и ω. По- чему при γ ω 0 можно считать, что ω ≈ ω 0 ? 3.5.20. а. Два следующих друг за дру- гом наибольших отклонения в одну сторону се- кундного маятника отличаются друг от друга на 1%. Каков коэффициент затухания этого ма- ятника? 90 б. Шарик этого маятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании колебаний? 3.5.21 ∗ . а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите добротность через коэффициент затухания γ и частоту свободных колебаний ω 0 (γ ω 0 ). Как связана добротность Q с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в e раз? б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответ- ствующей подвеске добротность Q = 10 8 −10 9 . Частота колебаний монокристалла ω 0 = 10 4 с −1 . Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки. 3.5.22 ∗ . Каждый раз, когда осциллятор проходит в одном и том же направ- лении положение равновесия, ему в направлении скорости сообщается ударом дополнительный импульс p. Каким будет движение осциллятора и какая устано- вится максимальная скорость? Характеристики осциллятора известны. Рассмот- рите два предельных случая: 2πγ/ω 1 и 2πγ/ω 1. 3.5.23. Приведите пример системы, в которой воздействие со стороны одной части ее на другую описывается силой, меняющейся со временем гармонически. 3.5.24. На частицу массы m действует сила F = F 0 sin ωt, вынуждающая частицу колебаться около положения равновесия. Представьте себе, что эту си- лу развивает пружина, прикрепленная к неподвижной стенке, и найдите в этом случае амплитуду колебаний частицы. ♦ 3.5.25 ∗ . В системах, изображенных на рисунке, происходят свободные коле- бания без трения. Покажите, что сила, действующая на выделенный штриховой линией осциллятор, имеет гармонический характер. 3.5.26. а. Тело массы m, связанное с двух сторон пружинами со стенками, колеблется с частотой ω (см. рисунок к задаче 3.5.25 ∗ ). Определите амплитуду колебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины k, а со стороны правой пружины на тело действует сила F 0 sin ωt. б. Тело массы m, слева связанное со стенкой пружиной жесткости k, а справа жестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой ω (см. рисунок к задаче 3.5.25 ∗ ). Определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, что со стороны второго тела на тело массы m действует сила F 0 cos ωt. ♦ 3.5.27 ∗ . Если одинаково отклонить грузики маятников в одну сторону и от- пустить, то в системе возбудятся колебания с частотой ω 0 = g/l. Если же отклонить их на равное расстояние в противоположные стороны, возникнут ко- лебания с частотой ω = g/l + 2k/m. В общем случае движение грузиков есть результат наложения этих колебаний: x 1 = B cos (ω 0 t + ϕ)A cos ωt, x 2 = B cos (ω 0 t + ϕ) − A cos ωt. 91 Теперь, рассматривая силу F 0 cos ωt, действующую на левый грузик со сторо- ны пружины как вынуждающую, определите величину A через параметры F 0 , m, ω 0 и ω. Слагаемое B cos (ω 0 t + ϕ) представляет собой свободное колебание выделенного осциллятора. Чем определяется выбор параметров B и ϕ? 3.5.28 ∗ . Результат задачи 3.5.27 ∗ очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вы- нужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? 3.5.29 ∗ . Почему при линейной зависимости вынуждающей силы от смеще- ния и скорости осциллятора общее его движение является суммой свободных и вынужденных колебаний? 3.5.30. Почему при вынужденных колебаниях осциллятора с частотой, мень- шей его собственной частоты, направления смещения и вынуждающей силы сов- падают, а при частоте, большей собственной, противоположны? 3.5.31. При малых по сравнению с собственной частотой осциллятора ча- стотах вынуждающей силы его смещение можно считать равным F (t)/k, где F (t) — вынуждающая сила, k — жесткость колебательной системы. При боль- ших же частотах вынуждающей силы ускорение осциллятора можно считать равным F (t)/m, где m — масса осциллятора. Объясните это. 3.5.32 ∗ . В момент времени t = 0 на покоящийся в положении равновесия осциллятор начинает действовать вынуждающая сила F = F 0 cos ωt. Масса ос- циллятора m, его собственная частота ω 0 . Найдите зависимость координаты ос- циллятора от времени и постройте ее график для |ω − ω 0 | ω. При построении графика воспользуйтесь тождеством cos α − cos β ≡ 2 sin α − β 2 sin α + β 2 3.5.33 ∗ . Раскачка колебаний, как видно из решения задачи 3.5.32 ∗ , сопро- вождается биениями. При ω → ω 0 размах биений неограниченно растет, но зато их период, а значит, и время нарастания неограниченно увеличиваются. Пусть время, прошедшее после начала воздействия вынуждающей силы, много мень- ше 2π/|ω − ω 0 |. Воспользуйтесь приближением sin ε ≈ ε (ε 1) и определите характер раскачки колебаний в этом случае. 3.5.34 ∗ . Выяснить характер раскачки колебаний при ω = ω 0 можно, перейдя в выражении для координаты x(t) к пределу ω → ω 0 (см. ответ к задаче 3.5.32 ∗ ). Как объяснить, что амплитуда колебаний растет в этом случае пропорционально времени? 3.5.35 ∗ . Пусть имеются колебания со слабым затуханием: коэффициент за- тухания γ ω 0 . Как оно скажется на раскачке колебаний осциллятора из состо- яния покоя в положении равновесия при |ω − ω 0 | γ и при ω = ω 0 ? Почему в этих случаях уместно говорить об установлении вынужденных колебаний? Како- во характерное время этого установления? 3.5.36. а. Какая нужна вынуждающая сила, чтобы осциллятор массы m с коэффициентом затухания γ начал совершать гармонические колебания с соб- ственной частотой ω 0 по закону x = A cos (ω 0 t − ϕ)? б. Амплитуда вынуждающей силы равна F 0 , ее частота ω = ω 0 . Определи- те амплитуду вынужденных колебаний. Во сколько раз она больше отклонения осциллятора при действии постоянной силы F 0 ? 3.5.37. Осциллятор движется по закону x = x 0 sin ωt, а вынуждающая сила, действующая на него, F = F 0 cos ωt. Каков коэффициент затухания у осциллято- ра? Масса осциллятора m. ♦ 3.5.38. На рисунке приведена зависимость квад- рата амплитуды скорости вынужденных колебаний 92 от частоты вынуждающей силы, амплитуда которой постоянна. Определите собственную частоту осцил- лятора, его коэффициент затухания и добротность. 3.5.39. Для резонансного обнаружения малых вынуждающих сил можно использовать монокри- сталл сапфира с добротностью Q = 10 9 и частотой собственных колебаний ω 0 = 10 4 с −1 . Сколько вре- мени (по порядку величины) нужно ждать, чтобы в монокристалле установились колебания? 3.5.40. Игла звукоснимателя движется по синусоидальной бороздке грам- пластинки. Частота собственных колебаний иглы ω 0 . При какой скорости иглы относительно пластинки она начнет выскакивать из бороздки? Изгибы бороздки повторяются через расстояние λ. 3.5.41 ∗ . Частицы массы m каждая вылетают из источника в момент t = 0 с почти нулевой начальной скоростью. Сразу после вылета на них начинает дей- ствовать сила F = F 0 sin ωt. Определите скорость частиц спустя время t после вылета. Какова средняя скорость этих частиц? На каком расстоянии от источ- ника достигается наибольшая скорость? Ответьте на эти вопросы для частиц, испущенных в момент времени t = π/ω, π/2ω. 3.5.42 ∗ . С момента времени t = 0 на частицу массы m начинает в направ- лении оси x действовать сила F x = F 0 sin ωt, а в направлении оси y — сила F y = F 0 cos ωt. Найдите траекторию частицы, если в начальный момент она по- коится. Чему равна средняя скорость частицы за большое время? Какую началь- ную скорость должна иметь частица, чтобы двигаться при наличии этих сил по окружности? Каков радиус этой окружности? § 3.6. Деформации и напряжения. Скорость волн 3.6.1. Длинную цепь шариков, связанных пружинами жесткости k, тянут за один конец с силой F . Другой конец цепи закреплен. Определите общее удлинение пружин и смещение N -го шарика при равновесии. 3.6.2. Проволоку длины 1 м растянули за концы на 0,1 мм. Как изменится расстояние между «соседними» атомами, если среднее межатомное расстояние в недеформированном материале равно 10 −10 м? 3.6.3. Модулем Юнга E материала называется жесткость куба единичного объема при усилии, приложенном перпендикулярно одной из его граней. Какова жесткость стержня длины L и сечения S при продольных растяжении и сжа- тии? Пусть стержень закреплен с одного конца. Какой силой, прикладываемой к другому концу, его можно растянуть на ∆L? 3.6.4. Оцените жесткость межатомной связи в веще- стве с модулем Юнга E и средним межатомным рассто- янием a. ♦ 3.6.5. На стальном стержне сечения 0,5 см 2 и дли- ны 75 см закрепили на расстоянии 25 см друг от дру- га три груза массы 2 т каждый. Нижний груз висит на конце стержня. Нарисуйте графики относительно удли- нения (деформации) и смещения участков стержня. Мо- дуль Юнга стали 2 · 10 11 Па. Каково растяжение всего стержня? 3.6.6. Рельсы для трамвая при укладке сваривают в стыках. Какие напря- жения появляются в них при изменении температуры от −30 ◦ C зимой до 30 ◦ C летом, если укладка проводилась при 10 ◦ C? Температурный коэффициент ли- нейного расширения стали 1, 25 · 10 −5 K −1 93 3.6.7. Части стены по разные стороны трещины соединили раскаленной стальной полосой, которая, остыв, прижала их друг к другу. Пусть ширина тре- щины 1 см, длина полосы 2 м, а ее сечение 2 см 2 . С какой силой стянуты части стены, если полоса первоначально нагрета на 500 ◦ C? 3.6.8. Колонна Исаакиевского собора в Санкт-Петербурге имеет высоту 30 м. На сколько она сжата под действием собственной тяжести? Плотность гранита 2,7 · 10 3 кг/м 3 , а его модуль Юнга 10 11 Па. 3.6.9. Стержень массы m, длины l и сечения S тянут за один конец в про- дольном направлении с ускорением a. Модуль Юнга материала стержня E. Ко- лебаний в стержне нет. На сколько удлинится стержень? 3.6.10. Относительное удлинение стержня равно ε. Найдите энергию упру- гой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня ра- вен E. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу площади сечения и через нормальное напряжение σ. 3.6.11 ∗ . Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы согнуть в кольцо стержень, имеющий квадратное сечение a × a? Модуль Юнга матери- ала E, длина стержня l a. ♦ 3.6.12 ∗ . При действии продольных сил, растяги- вающих или сжимающих упругое тело, изменяются не только его продольные, но и поперечные размеры. Рас- смотрите модель ячейки кристалла, в которой связи ато- мов представлены пружинами. Жесткость диагональ- ных пружин k, остальных — k 0 . Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях. 3.6.13 ∗ . При продольном растяжении образца относительное уменьшение его поперечных размеров −ε пропорционально относительному удлинению образца ε = −∆l/l. Отношение ν = −ε /ε называется коэффициентом Пуассона ν. Опре- делите коэффициент Пуассона для образца, отвечающего модели из задачи 3.6.12. 3.6.14. Коэффициент Пуассона для стали ν = 0,3. Увеличивается или умень- шается объем стального стержня при растяжении? Объем резинового шнура при растяжении почти не меняется. Чему равен коэффициент Пуассона для резины? 3.6.15. Сжимаемость вещества показывает, на какую долю от первоначаль- ного объема уменьшается объем тела при единичном увеличении давления на его поверхность. Рассматривая всестороннее сжатие кубика вещества как сум- му трех односторонних сжатий, выразите сжимаемость через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν. 3.6.16. Сжимаемость воды 5·10 −5 атм −1 . Оцените изменение глубины океана в случае, если бы вода стала несжимаемой. Средняя глубина океана составляет 3– 4 км. В океане встречаются впадины, глубина которых около 10 км. На сколько плотность воды на этой глубине больше, чем на поверхности? Какая упругая энергия запасена в единице объема воды? ♦ 3.6.17. Невесомая нить переброшена через два гвоздя. К ней подвешены два груза. Сила натяжения горизонтальных участков нити F . Как по профилю нити найти массу грузов и силу реакции со стороны гвоздей? ♦ 3.6.18. К концам струны приложены продольные силы F 0 . При попереч- ном смещении отдельных участков струны возник профиль, изображенный на рисунке. Постройте график зависимости поперечной составляющей силы натя- жения струны от координаты. Какие поперечные силы могут удержать струну в таком виде? 94 ♦ 3.6.19. Участки струны движутся в поперечном направлении так, что об- ласть изгиба смещается вправо со скоростью c, не меняя своего наклона. Как связаны деформация ε струны в области изгиба и скорость участков струны u? ♦ 3.6.20. а. Объясните, почему увеличивается импульс выделенного на рисун- ке участка струны. Определите скорость изменения этого импульса через массу единицы длины струны ρ, деформацию в области изгиба ε 1 и скорость сме- щения области изгиба c. б. Какова сумма сил, действующих на выделенный на рисунке участок стру- ны, если сила натяжения ее равна F 0 ? Выразите скорость смещения области изгиба струны через F 0 и ρ. ♦ 3.6.21. а. По графику продольных смещений участков стрежня определите деформацию и упругую энергию, приходящуюся на единицу объема стержня, в области возмущения. Возмущение, сохраняя свой вид, перемещается вправо по стержню со скоростью c. Какова скорость частиц стержня в области возмущения? Модуль Юнга материала стержня E. б. В движущейся области деформации (бегущей волне), сохраняющей свою форму при перемещении по стержню, кинетическая энергия частиц равна упру- гой. Определите скорость волны через модуль Юнга E и плотность ρ материала стержня. ♦ 3.6.22. а. Область продольной деформации ε движется по стержню со ско- ростью c вправо. Площадь сечения стержня S, плотность материала ρ. Какова скорость изменения импульса частиц стержня в области справа от выделенного сечения? 95 б. Импульс, переносимый за единицу времени через единицу площади по- перечного сечения, называется плотностью потока импульса. Почему плотность потока импульса должна быть равна нормальному напряжению σ в этом сечении? Выразив σ через деформацию, определите отсюда c через ε и ρ. 3.6.23. Модуль Юнга стали 2 · 10 11 Па, ее плотность 7,8 · 10 3 кг/м 3 . Какова скорость продольных волн в стальном стержне? Скорость продольных волн в листовой стали больше, чем в тонких стальных стержнях. Почему? 3.6.24. Сжимаемость ртути, воды и воздуха равна соответственно 3 · 10 −5 , 5·10 −5 и 0,71 атм −1 , а их плотность — соответственно 13,6·10 3 , 1·10 3 и 1,2 кг/м 3 Определите скорость звука в этих средах. ♦ 3.6.25. В газе распространяется ударная волна, в которой давление P и плотность ρ газа сильно превос- ходят давление P 0 и плотность ρ 0 невозмущенного га- за. Найдите по этим данным скорость ударной волны. ♦ 3.6.26 ∗ . В бегущей волне плотность ρ газа плавно убывает до значения ρ 0 плотности невозмущенного га- за. Давление газа P ∼ ρ γ |