Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
(γ > 1). Объясните, как из такой волны развивается ударная волна сжатия. Почему не образуется ударных волн разрежения? ♦ 3.6.27 ∗ . Определите скорость волн на «мелкой воде», т. е. волн, длина ко- торых много больше глубины водоема h. Изменение уровня воды за счет возму- щения мал´о по сравнению с h. ♦ 3.6.28 ∗ . По цепочке шариков массы m каждый, связанных пружинами дли- ны l и жесткости k = mω 2 0 , бежит продольная синусоидальная волна частоты ω. Продольные смещения шариков отложены на рисунке по вертикали в увеличен- ном масштабе. Амплитуда смещений A много меньше l. Найдите скорость рас- пространения этой волны. Получите скорость этой волны в низкочастотном пре- деле (ω ω 0 ) через l и k, а затем через модуль Юнга E и плотность вещества ρ, рассматривая шарики как аналоги атомов вещества. Оцените ω 0 для железа. 96 § 3.7. Распространение волн 3.7.1. Середина стержня сечения S и плотности ρ сместилась после прохо- ждения короткой волны продольного сжатия на расстояние b вправо. Скорость волны c. Определите импульс этой волны. ♦ 3.7.2. а. В упругой среде плотности ρ движется со скоростью c плоская вол- на сжатия, амплитуда которой ∆ρ. Чему равна плотность потока импульса в области сжатия? б. Протяженность слоя среды в направлении распространения волны L, а самой волны l. С какой скоростью движется центр масс этого слоя? На сколько он сместится после того, как волна пройдет по всему слою? ♦ 3.7.3. В трубе с газом идет волна со скоростью c. Неподвижный датчик при прохождении волны показывает давление, равное P (t). Найдите зависимость давления в трубе от расстояния до датчика в момент времени t 0 3.7.4. Скорость частиц стержня в волне сжатия, бегущей по нему вправо со скоростью c, в начальный момент определяется зависимостью u = u(x), где x — расстояние от левого конца стержня до частицы. Найдите зависимость от времени плотности потока импульса через сечение стержня на расстоянии x 0 от левого его конца. 3.7.5. Воду, текущую по водопроводной трубе со скоростью 2 м/с, быстро перекрывают жесткой заслонкой. Определите силу, действующую на заслонку при остановке воды, если скорость звука в воде 1,4 км/с. Сечение трубы 5 см 2 3.7.6. На конец покоящегося полубесконечного стержня в течение времени τ действует продольная сила F . Найдите скорость частиц стержня и его деформа- цию в области возникшей волны, если сечение стержня равно S, модуль Юнга его материала равен E, а плотность ρ. Какова плотность стержня в области волны? Найдите импульс и энергию смещающихся частиц стержня через время 0, 5 τ и 1, 5 τ от начала действия силы. 3.7.7. На торец цилиндрического стального снаряда сечения 10 2 см 2 и длины 0,5 м в течение 5·10 −5 с действовала сила, равная 10 7 Н. Определите работу этой силы и отношение кинетической энергии снаряда к этой работе после того, как колебания в снаряде исчезнут. 3.7.8. Струна, состоящая из двух частей с линейными плотностями ρ 1 и ρ 2 , натянута продольными силами F . В точке соединения частей струну начинают тянуть поперечной силой F ⊥ . Как меняется со временем форма струны? ♦ 3.7.9. На натянутую с силой F струну, линейная плотность которой равна ρ, надеты три гладких колечка. Колечки движутся по струне со скоростью v, де- формируя ее. С той же скоростью, не меняя своей формы, движется по струне и область изгиба, создаваемая колечками. Какие силы действуют на струну со стороны колечек? Что происходит при приближении v к F/ρ? 7 97 3.7.10. Скорость волны «изгиба» шины 160–200 км/ч. Что произойдет при приближении скорости автомобиля к этой величине? 3.7.11. В своей лекции «О корабельных волнах» лорд Кельвин рассказывал: «. . . Одно открытие фактически сделано лошадью, ежедневно тащившей лодку по каналу между Глазго и Ардроссаном. Однажды лошадь испугалась и понес- ла, и возница, будучи наблюдательным человеком, заметил, что когда лошадь достигла определенной скорости, тянуть лодку стало явно легче и позади нее не оставалось волнового следа». Объясните это явление. ♦ 3.7.12. Согласно принципу Гюйгенса каждый участок фронта волны явля- ется источником вторичных сферических волн. Огибающая вторичных волн дает новый фронт волны. Исходя из принципа Гюйгенса покажите, что в однородной среде плоский фронт звуковой волны перемещается со скоростью звука. Как рас- пространяется цилиндрический фронт? сферический? ♦ 3.7.13. Область повышенного давления на границе сред распространяется вправо со скоростью v, большей скорости звука c в среде. Каков фронт волны в среде? Каково направление его распространения? ♦ 3.7.14. На плоскую границу раздела двух сред со скоростью звука c 1 под углом α к нормали падает плоская волна. Найдите направление распространения отраженной и преломленной волны, если скорость распространения волны во второй среде равна c 2 3.7.15. Когда самолет летит с дозвуковой скоростью, на земле слышен шум его двигателей. Если же пролетает самолет со сверхзвуковой скоростью, то сна- чала слышен громкий хлопок, а затем уже шум двигателей. С чем это связано? 3.7.16. При достаточно пологом падении плоской звуковой волны на границу раздела двух сред из среды, в которой скорость звука больше, во второй среде не образуется преломленной волны. Это явление называется полным внутренним отражением. Найдите угол полного внутреннего отражения, если скорость звука в этих средах равна c 1 и c 2 (c 1 < c 2 ). 3.7.17. Над поверхностью воды движется поток воздуха. Как это повлияет на направление распространения отраженной и преломленной звуковых волн? 98 ♦ 3.7.18. а. Скорость волны на «мелкой во- де» уменьшается с уменьшением глубины. Прямой фронт такой волны при приближении к берегу, по- л´ого уходящему в воду, искривляется вблизи него, повторяя его очертания. Почему? б. Изобразите качественно, как меняется пря- мой фронт волны, встретившей на своем пути круглую и пологую отмель. ♦ 3.7.19. При землетрясениях в океане возника- ют протяженные возмущения поверхности воды — волны цунами. Особенно далеко они распространя- ются вдоль подводных горных хребтов, почти не теряя своей разрушительной способности. Объясните это. 3.7.20 ∗ . Почему звуковой сигнал, распространяющийся по ветру, слышен значительно лучше, чем против ветра? Скорость ветра заметно уменьшается при приближении к поверхности земли. 3.7.21. Частота собственных колебаний камертона равна ν 0 . Какой частоты звук мы услышим, если будем звучащий камертон приближать к уху со скоро- стью v? ♦ 3.7.22. Волны набегают на берег с частотой ν 0 . С какой частотой они уда- ряют о катер, движущийся со скоростью v от берега? к берегу? Скорость волн на воде c. Рассмотрите движение катера под углом α к направлению распростра- нения волн. § 3.8. Наложение и отражение волн ♦ 3.8.1. По струне распространяются две одинаковые по форме встречные вол- ны, несущие энергию E каждая. Какова будет кинетическая и потенциальная энергия в момент совпадения оснований волн, изображенных на рисунке? ♦ 3.8.2. Часть стального стержня, длина которого 10 см, сжали на тысячную долю его длины и отпустили. Какие бегущие волны возникнут в стержне? Нари- суйте графики распределения деформации стержня и скорости частиц в нем по его длине спустя 5 · 10 −6 с после того, как эту часть стержня отпустили. 99 ♦ 3.8.3. При нормальном падении волны на жесткую стенку возникает возмущение, при ко- тором смещение и скорость среды вблизи стенки нулевые. Если представить себе, что на падаю- щую волну налагается идущая симметрично из- за стенки перевернутая волна смещений, то полу- чится возмущение с нулевым смещением и требу- емыми вблизи стенки свойствами. Постройте для изображенной на рисунке падающей волны рас- пределение смещения и скорости среды, когда волна «войдет в стенку» на 1/6, 1/2, 2/3 своей длины. 3.8.4. Как зависит от времени давление на стенку при падении на нее сину- соидальной звуковой волны с частотой ω и амплитудой смещения A? Плотность среды ρ, скорость звука c. На каких расстояниях от стенки находятся узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления? ♦ 3.8.5. На свободной границе среда не деформирована. Воспользуйтесь при- емом решения задачи 3.8.3 и найдите возмущение, возникающее в среде при па- дении волны на ее свободную границу. 3.8.6. Скорость незакрепленного конца стержня из-за прихода волны про- дольного смещения с нулевого момента времени стала меняться по закону v = v 0 sin ωt. Какова амплитуда смещения? На каких расстояниях от конца стержня образуются узлы и пучности скорости? узлы и пучности давления? ♦ 3.8.7. На внешней стороне стекла иллюминатора космического корабля име- ются разрушения, вызванные попаданием микрометеоритов. Подобные же разру- шения видны на внутренней стороне. Объясните их появление. ♦ 3.8.8 ∗ . Для борьбы с танками применяют «пластиковые» снаряды. Взрыв- чатка во время удара такого снаряда о танк расплывается по броне, а затем взрывается. Волна, порожденная взрывом, проходит толщу брони и откалыва- ет с внутренней стороны слой, отлетающий с большой скоростью. Найдите эту скорость и толщину отколотого слоя брони, если давление на броню при взрыве P = 5 · 10 4 атм и действует оно в течение времени τ = 4 · 10 −6 с. Скорость звука в броне c = 5 км/с, плотность брони ρ = 8 · 10 3 кг/м 3 ♦ 3.8.9 ∗ . Предел прочности керамики и стекол на разрыв значительно мень- ше, чем на сжатие. Из-за удара по левому концу стеклянного стержня побежала 100 волна сжатия — «полуволна» синусоиды с амплитудой напряжения σ 0 и про- тяженностью L. Какой участок стержня отколется, если предел прочности на разрыв σ < σ 0 ? Рассмотрите случаи σ 0 σ и σ 0 ≈ σ. ♦ 3.8.10. Стальной стержень длины 1 м ударяется торцом о жесткую непо- движную стенку. Его первоначальная скорость 100 м/с. Какое давление он оказы- вает на стенку? Какие волны побегут по стержню? Чему равно время контакта? Какова конечная скорость стержня? ♦ 3.8.11. Два упругих стержня из одинакового материала и одинакового сече- ния, но разной длины l и L > l движутся навстречу друг другу со скоростью v. Определите скорость центров масс этих стержней после их столкновения. 3.8.12 ∗ . Происходит торцевое столкновение двух упругих стержней одина- кового сечения. Рассмотрев волны сжатия, порожденные ударом, и отражение их от свободных концов, докажите, что результат соударения такой же, как и при лобовом абсолютно упругом ударе тел, если отношение длин стержней равно от- ношению скоростей звука в этих стержнях. 3.8.13 ∗ . Упругий стержень длины l 1 , летящий со скоростью v, сталкивает- ся своим торцом с торцом неподвижного стержня длины l 2 , l 1 /c 1 > l 2 /c 2 , где c 1 и c 2 — скорости звука соответственно в одном и другом стержне. Сечение стержней и плотность их материала одинаковы. Определите скорость центров масс стержней после столкновения. 3.8.14. Длина волны, прошедшей через плоскую границу раздела из одной среды во вторую, сокращается во столько же раз, во сколько уменьшается во второй среде скорость распространения волны. Используя этот факт, а также закон сохранения энергии и импульса, определите, во сколько раз амплитуда отраженной волны и волны, прошедшей во вторую среду, меньше амплитуды падающей волны. Плотность и модуль упругости сред равны соответственно ρ 1 , E 1 и ρ 2 , E 2 3.8.15. Коэффициентом прохождения волны называют отношение энергии проходящей волны к энергии падающей. Найдите этот коэффициент для звуковой волны на границе сред вода–воздух. ♦ 3.8.16. Чтобы увеличить коэффициент про- хождения волны, принимаемой пьезодатчиком, его подсоединяют к исследуемой среде через спе- циальную прокладку. Плотность и скорость зву- ка в исследуемой среде равны соответственно ρ 1 и c 1 , плотность и скорость звука в прокладке и кристалле пьезодатчика равны соответствен- но ρ, c и ρ 2 , c 2 . Пусть ρ 1 c 1 /ρc = ρc/ρ 2 c 2 = 4. Сравните по мощности сигналы, поступающие к датчику с прокладкой и без нее, если длитель- ность сигнала меньше времени прохождения им прокладки. 3.8.17. На плоскую стенку толщины l перпендикулярно ее поверхности пада- ет звуковой сигнал, протяженность которого много меньше l. Из-за многократных отражений сигнала от границ стенки появляется последовательность вторичных сигналов («эхо-сигналов»), амплитуда которых убывает в геометрической про- 7 ∗ 101 грессии. Плотность среды, в которой находится стенка, и самой стенки — со- ответственно ρ 1 и ρ 2 . Скорость распространения звука в среде и стенке соот- ветственно c 1 и c 2 . Определите отношение амплитуды двух следующих друг за другом «эхо-сигналов» в среде за стенкой, а также расстояние между ними. 3.8.18 ∗ . На стенку (см. задачу 3.8.17) последовательно падают одинаковые звуковые сигналы. При каком расстоянии между ними амплитуда сигнала, про- шедшего сквозь стенку, будет максимальной? Определите отношение максималь- ной амплитуды этого сигнала к амплитуде падающего сигнала. Изменится ли это отношение, если на стенку будет падать синусоидальная волна? 3.8.19. Ультразвуковая волна распространяется по воздуху в узком кори- доре без заметного ослабления на большое расстояние. Коридор перегородили звукоизолирующим экраном некоторой толщины. При этом мощность проходя- щей волны уменьшилась во много раз. Затем вместо прежнего установили экран двойной толщины. Обнаружилось, что сквозь этот экран ультразвук проходит почти не ослабляясь. В чем тут дело? Частота волны 1 МГц, скорость звука в материале экрана 5 км/с. Найдите толщину звукоизолирующих экранов. 3.8.20. На границе раздела сред происходит почти полное отражение звука, если ρ 1 c 1 ρ 0 c 0 . Однако известно, что очень тонкие стенки не обеспечивают хорошей звукоизоляции. Почему? § 3.9. Звук. Акустические резонаторы 3.9.1. Скорость звука в воздухе равна c = 330 м/с. Определите длину звуко- вой волны с частотой ν = 50 Гц. ♦ 3.9.2. Прибор для демонстрации интерференции звука имеет сначала два одинаковых — верхний и нижний — звукопровода. На какое минимальное рас- стояние l нужно опустить нижний звукопровод, чтобы максимально ослабить звучание рупора B на частоте ν = 100 Гц? ♦ 3.9.3. Интенсивность звуковой волны частоты ν, прошедшей через две тон- кие параллельные пластины, раздвинутые на расстояние l, достигает максимума на расстоянии от второй пластины, кратном l. Объясните это явление и опреде- лите скорость звука в среде, в которой находятся пластины. 3.9.4. Определите амплитуду скорости, смещения и давления в звуковой вол- не частоты 1 кГц в области болевых ощущений (интенсивность волны 1 Вт/м 2 ) и вблизи порога слышимости (интенсивность волны 10 −12 Вт/м 2 ). 3.9.5 ∗ . При какой интенсивности ультразвука в воде при атмосферном дав- лении начнут появляться вакуумные микрополости? ♦ 3.9.6 ∗ . Пластинка размерами L × L колеблется по гармоническому закону с частотой ω c/L, где c — скорость звука в воздухе. Оцените силу, действующую на пластинку со стороны воздуха, в момент, когда скорость пластинки равна v. 102 Плотность воздуха ρ. Как движется воздух, если ω c/L? Почему в этом случае излучение звука слабое? 3.9.7. Шарик радиуса R совершает гармонические радиальные колебания («дышит») с частотой ω и амплитудой A в жидкости, плотность которой ρ. С какой в среднем за период энергией излучается волна? Как меняется амплитуда колебаний давления жидкости по мере удаления от шарика, если скорость волны в жидкости равна c? Считать A R. 3.9.8 ∗ . а. На бесконечный стержень в некотором сечении действует внешняя продольная сила F = F 0 cos ωt. Какие волны скорости и деформации возникают в стержне? Сечение стержня S, плотность его материала ρ, скорость волны в стержне c. б. В двух сечениях бесконечного стержня, расположенного на расстоянии l друг от друга, действует продольная внешняя сила F = F 0 cos ωt. Какие вол- ны возникают в стержне? При каких значениях l мощность волны в стержне наибольшая? наименьшая? Почему энергия результирующей волны в стержне не равна сумме энергий волн, испускаемых каждым источником в отдельности? 3.9.9 ∗ . В двух сечениях бесконечного стержня действуют две внешние про- дольные силы. Сила с левой стороны меняется по закону F 1 = F 0 cos ωt, а сила с правой — по закону F 2 = F 0 sin ωt. При каком расстоянии l между источника- ми силы бегущая волна будет распространяться только слева направо? только справа налево? ♦ 3.9.10. К вибратору частоты ω прикрепле- ны два одинаковых маленьких шарика на рас- стоянии L друг от друга. Они возбуждают вол- ны на поверхности воды. Оцените, используя рисунок, скорость волн на воде. 3.9.11 ∗ . а. В свободном стержне длины L, на конец которого действует с частотой ω гар- моническая сила, образуется стоячая волна с длиной волны λ. Где находятся узлы напряже- ний этой волны? Какова амплитуда вынужда- ющей силы, если амплитуда напряжений в сто- ячей волне равна σ 0 , а сечение стержня рав- но S. б. Постройте резонансную кривую — график зависимости величины σ 0 S/F 0 от частоты вынуждающей силы. Определите частоты, при которых величина σ 0 S/F 0 будет неограниченно возрастать. Можно ли утверждать, что эти часто- ты совпадают с собственными частотами колебаний стержня, когда на него не действуют внешние силы? 3.9.12. Найдите собственные частоты продольных колебаний стального стержня длины 1 м. За какие точки нужно подвесить этот стержень, чтобы за- тухание колебаний второй резонансной частоты было минимальным? 3.9.13. Как изменятся собственные частоты колебаний стального шарика при увеличении его радиуса вдвое? 3.9.14 ∗ . Между жесткими параллельными стенками находится воздух. Од- на из стенок начинает поперечное гармоническое движение с амплитудой A 0 и частотой ω. Расстояние между стенками L A 0 . До какой амплитуды смеще- ния в пучности «раскачает» воздух эта стенка? Оцените время раскачки, если скорость звука в воздухе равна c. 3.9.15. Определите первую резонансную частоту колебаний воздуха между двумя параллельными зданиями, находящимися на расстоянии L = 20 м друг от друга. Высота зданий заметно больше этого расстояния. Скорость звука в воздухе c = 330 м/с. 103 |