Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
на левой чашке. Какова масса груза? ♦ 2.8.21. Центр масс коромысла равноплечих весов находится ниже точки под- веса на расстоянии h от нее, а масса коромысла равна m 0 . На концах коромысла, расстояние между которыми равно 2L, на нитях подвешены одинаковые чашки. На сколько отличаются массы грузов, положенных на чашки, если коромысло отклонилось от горизонтали на угол α? ♦ 2.8.22. Ось коромысла равноплечих весов, имеющая радиус r, вставлена в прорезь стойки. При гире массы m на одной чашке и грузе на другой коромыс- ло остается в горизонтальном положении. Масса коромысла вместе с чашками равна M , а длина коромысла 2L. На сколько может отличаться масса груза от массы гири, если коэффициент трения между осью и стойкой равен µ? ♦ 2.8.23. Тяжелый стержень согнут посередине под прямым углом и подвешен свободно за один из концов. Какой угол с вертикалью образует верхняя половина стержня? ♦ 2.8.24. Однородная балка массы m имеет длину L и высоту h. Нижний ле- вый угол балки соединен со стенкой шарниром, а верхний левый угол прикреплен к стенке горизонтальным тросом. Балка горизонтальна. Определите силу натя- жения троса и силу давления балки на ось шарнира. ♦ 2.8.25 ∗ . К системе из одинаковых стержней, соединенных шарнирами, под- вешен груз массы m, как показано на рисунке. Определите силу, растягивающую n-й верхний горизонтальный стержень. ♦ 2.8.26. С какой силой давит на стенки цилиндрического стакана палочка массы m, наполовину погруженная в воду? Угол наклона палочки к горизонта- ли α. Трением пренебречь. ♦ 2.8.27. Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он мог стоять так, как показано на рисунке? Длина нити AB равна длине стержня. 70 ♦ 2.8.28. Расстояние между вертикальными стенками равно l. Какой длины стержень, вставленный наискось между стенками, не будет опускаться, если ко- эффициент трения между стержнем и стенками равен µ? ♦ 2.8.29. На цилиндр намотана нить, один конец которой закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости. При каком угле наклона плоскости цилиндр не будет скатываться с нее, если коэффициент трения цилиндра о плоскость ра- вен µ? ♦ 2.8.30. Глубина лунки в доске, в которую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски с горизонталью шарик выскочит из лунки? ♦ 2.8.31 ∗ . На парту с углом наклона α > 30 ◦ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? ♦ 2.8.32. Однородный куб с помощью веревки, привязанной в середине его ребра, подвешен к вертикальной стене. При каких значениях угла между веревкой и стенкой куб соприкасается со стенкой всей гранью, если коэффициент трения его о плоскость равен µ? ♦ 2.8.33 ∗ . На горизонтальной поверхности стоит куб массы m. С какой мини- мальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен µ? ♦ 2.8.34. Лестница опирается на вертикальную стену и пол. При каких зна- чениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты трения лестницы о пол и о стену равны m 1 и m 2 соответственно? ♦ 2.8.35 ∗ . Центр масс холодильника находится на высоте h от пола посере- дине между опорами, расстояние между которыми равно l. Задние опоры — ко- лесики с пренебрежимо малым трением в осях, передние опоры — неподвижные 71 выступы, коэффициент трения которых о пол равен µ. Если к холодильнику на уровне его центра масс приложена горизонтальная сила F , то холодильник начи- нает сдвигаться назад, в сторону колесиков. Какую горизонтальную силу нужно приложить на том же уровне в противоположном направлении, чтобы сдвинуть холодильник вперед? 2.8.36. На вращающуюся горизонтальную ось радиуса R надета с малым зазором легкая втулка с прикрепленным к ней радиально легким стержнем дли- ны l. На конце стержня закреплен тяжелый груз. Определите угол отклонения стержня при вращении втулки вместе с осью от радиального направления, если коэффициент трения между втулкой и осью µ. ♦ 2.8.37 ∗ . Колесо радиуса R может свободно вращаться вокруг своей оси. К боковой поверхности колеса на расстоянии h от оси вращения прижимаются при- водные ремни, движущиеся со скоростью v. Определите установившуюся угло- вую скорость колеса, если соприкосновение его с приводным ремнем происходит только по ободу. ♦ 2.8.38. Однородная балка длины l висит на четырех одинаковых канатах, прикрепленных на расстоянии l/3 друг от друга. Канат A удаляют. Для умень- шения опасности разрыва канатов предлагают удалить еще и канат D. Разумно ли это предложение? ♦ 2.8.39. Однородная балка длины l и массы m на расстоянии l/3 от конца имеет ось вращения. К концу балки присоединена пружина, прикрепленная к полу, и такая же пружина присоединена симметрично по другую сторону оси. При горизонтальном положении балки обе пружины не деформированы. Найдите силы, с которыми балка действует на ось и пружины. Деформации пружин малы, поэтому балка почти горизонтальна. 72 ♦ 2.8.40. Катушка висит на нити, намотанной по малому радиусу r катушки. По большому радиусу катушки R тоже намотана нить, на конце которой висит груз. Какова масса груза, если система находится в равновесии? Масса катуш- ки M . ♦ 2.8.41. Найдите силу натяжения нити, связывающей оси шарниров верхнего ромба легкой шарнирной подвески. Масса груза m. 2.8.42 ∗ . На крыше дома с углом наклона ϕ лежит свинцовый лист. Темпе- ратура воздуха в течение суток повышается, достигая наивысшего значения t 2 , а потом понижается до минимальной температуры t 1 , при которой длина листа равна l. Найдите точки листа, неподвижные при нагревании; при остывании. На какое расстояние сползет лист за N суток устойчивой погоды? Коэффици- ент трения листа о крышу µ > tg ϕ. Температурный коэффициент линейного расширения свинца α. 2.8.43. Муравей решил утащить к муравейнику соломинку. Как ему следует поступить, если сила, с которой он может тянуть соломинку, несколько меньше максимальной силы трения покоя? ♦ 2.8.44 ∗ . Однородный тонкий брусок массы m лежит на горизонтальной плос- кости. Какой наименьшей горизонтальной силой, приложенной к концу бруска по перпендикуляру к нему, его можно стронуть с места, если коэффициент трения между бруском и плоскостью равен µ? 73 Глава 3 Колебания и волны § 3.1. Малые отклонения от равновесия ♦ 3.1.1. Посередине натянутой струны длины 2l закреплен шар. Какая суммарная сила действует на шар со стороны струны, если поперечное смещение его из положения равновесия x l, а сила натяжения стру- ны F не зависит от смещения? Почему при малых смещениях можно считать зависимость силы, действующей на шар, от x линейной? Как направлена эта сила по отношению к смещению? Найдите, как зависит потенциальная энергия шара от малого смещения x. Какова скорость шара при прохождении им поло- жения равновесия, если его максимальное смещение равно x 0 ? Масса шара m. 3.1.2. Груз массы m подвешен на пружине жесткости k. Как зависит суммар- ная сила, действующая на груз, от смещения его на x из положения равновесия? Найдите зависимость потенциальной энергии груза от смещения x. 3.1.3. а. Тело массы m, подвешенное на пружине, совершает колебания так, что наибольшее значение скорости равно v 0 , а наибольшее отклонение от поло- жения равновесия равно x 0 . Определите жесткость пружины. б. Скорость тела массы m, подвешенного на пружине и совершающего ко- лебания, зависит от координаты тела x по закону v = v 0 1 − (x/x 0 ) 2 . Найдите зависимость силы, действующей на тело, и потенциальной энергии этого тела от координаты x. Зависит ли полученный результат от природы силы, заставляю- щей тело двигаться по приведенному закону? 3.1.4. Почему кажется, что быстро колеблющаяся на пружине лампочка вспыхивает в крайних точках своей траектории? ♦ 3.1.5. Длина нити математического маятника l, масса шарика m. Определи- те силу, действующую на шарик, при отклонениях его от положения равновесия на x в случае, если x l. Как зависит от x потенциальная энергия шарика? 3.1.6. Определите максимальную скорость шарика математического маят- ника длины l, движущегося в одной плоскости, если амплитуда смещения при малых колебаниях маятника равна x 0 ♦ 3.1.7. Горизонтальный желоб слева от нижней линии выгнут по цилиндри- ческой поверхности радиуса r, а справа — по поверхности радиуса R. Определите отношение наибольших отклонений влево и вправо при малых колебаниях тела в этом желобе. 74 ♦ 3.1.8 ∗ . Два одинаковых шарика с зарядами ±q, жестко связанные невесомым стержнем длины l, находятся в электрическом поле, которое действует на них с силой ±qE. Определите массу шарика, если амплитуда малых поперечных колебаний шариков равна x 0 , а максимальная скорость шариков v 0 ♦ 3.1.9. Шарик массы m и радиуса r скользит по поверхности лунки, радиус кривизны которой R. Найдите зависимость потенциальной энергии шарика от малого смещения x из положения равновесия. ♦ 3.1.10 ∗ . Бусинка с зарядом q может двигаться без трения по натянутой ни- ти длины 2L, на концах которой закреплены заряды Q. Найдите приращение потенциальной энергии при смещении бусинки на x вдоль нити из ее центра. Убедитесь, что при малых смещениях зависимость приращения потенциальной энергии от x квадратичная. Найдите, на сколько сместится бусинка массы m, если в положении равновесия ей сообщат небольшую скорость v. ♦ 3.1.11. Две пружины жесткости k, соединенные, как по- казано на рисунке, не деформированы. Какой массы груз сле- дует подвесить к точке соединения пружин, чтобы он опу- стился на малое расстояние x в положение равновесия? ♦ 3.1.12. а. Небольшое заряженное тело массы m может скользить по вертикальной спице, в нижней точке которой закреплен заряд, одноименный с зарядом тела. Положение равновесия тела находится на расстоянии R от этого заря- да. Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения x из положения равновесия? б. Массу тела увеличили втрое, оставив заряды неизменными. На каком те- перь расстоянии от нижнего конца спицы находится положение равновесия тела? 75 Как зависит сила, действующая на тело, от малого его смещения из положения равновесия? 3.1.13. На тело массы m в задаче 3.1.12а положили небольшой грузик массы ∆m и отпустили. Найдите максимальную скорость тела с грузиком. ♦ 3.1.14 ∗ . На нитях длины h, находящихся на расстоянии l друг от друга, висит невесомый стержень длины L > l с грузами массы m на концах. Стержень горизонтален. Покажите, что при повороте стержня вокруг его вертикальной оси симметрии на малый угол ϕ момент сил, действующих на грузы, пропорциона- лен ϕ, а изменение потенциальной энергии грузов пропорционально ϕ 2 . Найдите максимальную угловую скорость стержня, если его отпустили, повернув предва- рительно на угол ϕ 0 ♦ 3.1.15. Амплитуда малых колебаний математического маятника, стоящего на тележке, равна x 0 , а амплитуда колебаний тележки y 0 . Длина нити маятника l. Определите максимальную скорость маятника и тележки. Трением пренебречь. 3.1.16. Определите, в каких пределах меняется сила натяжения нити мате- матического маятника, амплитуда колебаний которого x 0 много меньше длины нити l, если масса маятника m. 3.1.17. Сила нормального давления небольшого тела при малых колебаниях его вблизи положения равновесия в лунке радиуса R меняется от N до N + ∆, ∆ N . Определите амплитуду колебаний этого тела. § 3.2. Период и частота свободных колебаний ♦ 3.2.1. а. Груз массы m, подвешенный на пру- жине и совершающий колебания, расположен ря- дом с вращающимся с угловой скоростью Ω коле- сом, причем точка A колеса все время находится на одном уровне с центром масс груза. Где на- ходится положение равновесия груза? Какая сила действует на груз, если смещение его из положе- ния равновесия равно x? Через какое наименьшее время T повторяются значения скорости и сме- щения груза? Как изменятся значения скорости и смещения через время T /2? б. Используя результаты предыдущей задачи, сопоставьте колебательное движение груза массы m по прямой под действием силы F = −kx вращательно- му движению. Определите угловую скорость колеса, если известны величины k и m. На каком расстоянии от оси колеса находится точка A, если наибольшее отклонение груза от положения равновесия равно x 0 ? 76 3.2.2. Неподвижный груз, подвешенный на пружине, растягивает ее, нахо- дясь в положении равновесия, на длину ∆l. Каков период вертикальных колеба- ний груза? 3.2.3. Груз колеблется по вертикали на резиновом шнуре. Во сколько раз изменится период вертикальных колебаний груза, если его подвесить на том же шнуре, сложенном вдвое? ♦ 3.2.4. Найдите период колебаний систем осцилляторов, изображенных на рисунке. Зависит ли период колебаний осциллятора на рисунке в от расстояния между стенками? k 1 и k 2 — жесткость пружин, m — масса тела. 3.2.5. Найдите длину математического маятника, период колебаний ∗) кото- рого 1 с. ♦ 3.2.6. Маятник представляет собой легкий и жесткий стержень длины l с грузом на конце. Чтобы сделать период колебаний маятника б´ольшим без чрез- мерного увеличения размеров самого маятника, его ось устанавливают под уг- лом α к вертикали. Определите период колебаний. ♦ 3.2.7. а. Математический маятник — железный шарик массы m, висящий на длинной нити, — имеет период T 0 . В присутствии магнита, расположенного чуть ниже шарика, период колебаний стал равным T . Определите действующую на шарик магнитную силу. б. Железный шарик маятника поместили между полюсами магнита так, что на него действует горизонтальная магнитная сила. Найдите эту силу и новое ∗) Здесь и в дальнейшем, если не оговорено, рассматриваются малые колебания. 77 положение равновесия шарика, если период его колебаний после включения маг- нитного поля стал равным T . 3.2.8. Вблизи рудного месторождения период колебаний маятника изменился на 0,1%. Плотность руды в месторождении 8 · 10 3 кг/м 3 . Оцените размеры место- рождения, если средняя плотность Земли 5,6 · 10 3 кг/м 3 , а ее радиус 6400 км. 3.2.9. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы, поднятые на высоту Эвереста (8,9 км)? Останкинской башни (0,5 км)? 3.2.10. Измерения круговой частоты колебаний тела массы m, закрепленного посередине натянутой струны, длина которой 2l, дали значение ω ∗) . Найдите силу натяжения струны. 3.2.11. Найдите частоту малых колебаний системы, описанной в зада- че 3.1.10. ♦ 3.2.12. Определите время полета камня от одного полюса Земли до другого по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать посто- янной, ее радиус — равным 6400 км. ♦ 3.2.13. В Земле прорыт прямой тоннель, не проходящий через ее центр. Определите время движения поезда с выключенными двигателями по такому тоннелю, если влиянием вращения Земли на движение поезда и трением прене- бречь. ♦ 3.2.14. Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой ско- ростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков L, коэффициент трения при скольжении доски по катку µ. Найдите частоту продольных колеба- ний доски. 3.2.15 ∗ . Подъемник поднимается или опускается в шахте, глубина которой 400 м, за 40 с. Сначала он разгоняется с постоянным ускорением, а затем с тем же по модулю ускорением замедляется. На сколько отстанут за сутки маятниковые часы подъемника по сравнению с неподвижными часами? Подъемник находится в движении в течение 5 ч ежедневно. ♦ 3.2.16 ∗ . Тяжелая тележка скатывается с ускорением a по наклонной плос- кости, образующей угол α с горизонтом. Найдите период колебаний маятника длины l, установленного на тележке. 3.2.17 ∗ . Космический корабль вращается вокруг своей оси с угловой скоро- стью Ω. Как зависит период колебаний маятника длины l от расстояния R точки подвеса до оси вращения? Плоскость колебаний проходит через ось вращения. ♦ 3.2.18. Шарик массы m, насаженный на стержень, вращается с угловой ско- ростью Ω вокруг оси O, с которой он соединен пружиной жесткости k. Определите частоту колебаний шарика вдоль пружины, если Ω 2 < k/m. ∗) В дальнейшем круговая частота ω = 2πv = 2π/T , где T — период колебания, если это не оговорено, называется частотой колебаний. 78 ♦ 3.2.19. Метроном представляет собой легкий стержень, на нижнем конце которого на расстоянии l от оси находится груз массы M . Выше оси подвижный грузик массы m можно закреплять на стержне на разных расстояниях x от оси, тем самым подбирая нужную частоту колебаний метронома. Считая массы точечными, найдите, как частота колебаний зависит от расстояния x. ♦ 3.2.20. Как изменится частота колебаний маятника, представляющего собой груз на легком стержне, если к середине стержня прикрепить горизонтальную пружину жесткости k? На рисунке изображено состояние равновесия. ♦ 3.2.21. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепили грузик массы m. Найдите массу колеса, предполагая ее однородно распределенной по ободу, если частота колебаний колеса с грузиком вокруг оси равна ω, а его радиус равен R, R < g/ω 2 ♦ 3.2.22. В сферической лунке радиуса R находятся две точечные массы, со- единенные невесомым стержнем длины 2l. Определите частоту колебаний при движении в направлении: а) перпендикулярном плоскости рисунка; б ∗ ) парал- лельном этой плоскости. ♦ 3.2.23. Пружина жесткости k одним концом присоединена к оси колеса мас- сы m, которое способно катиться без проскальзывания, а другим прикреплена к 79 |