Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
? Какова масса троса? 2.2.26 ∗ . Три точечные массы m 1 , m 2 , m 3 связаны нитями длины l и вра- щаются с угловой скоростью ω вокруг центра масс, сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей. ♦ 2.2.27. В сосуде, наполненном водой плотности ρ, с ускорением a всплывает пузырек воздуха, объем которого V . Найдите силу давления со стороны сосуда на опору. Масса сосуда вместе с водой равна m. ♦ 2.2.28 ∗ . На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сече- ния S, наполненный жидкостью плотности ρ. От сосуда параллельно полу отхо- дит длинная и тонкая горизонтальная трубка, небольшой отрезок которой вблизи конца загнут по вертикали вниз. Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением a. Какой горизон- тальной силой можно удержать тележку на месте? ♦ 2.2.29 ∗ . Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке A. Блок A уравновешен грузом массы 2m на блоке B. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью u относи- тельно себя? Массой блоков и трением пренебречь. 2.2.30. На тросе висит небольшой ящик с песком, в кото- ром застревают пули, летящие горизонтально со скоростью v. Масса пули m 1 много меньше массы ящика m 2 . Трос откло- няется от вертикали на угол α. Какое число пуль попадает в песок за единицу времени? 2.2.31. На чаше весов прыгает N шариков массы m каж- дый. Какова средняя сила, действующая на чашу весов, если скорость шариков по модулю не меняется? Увеличивается или уменьшается эта сила, если после удара скорость каждого ша- рика уменьшается? ♦ 2.2.32 ∗ . В цилиндре под поршнем массы M прыгают, упруго ударяясь о пор- шень и дно цилиндра, N шариков массы m каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень быстро убрать? N 1. 3 ∗ 37 ♦ 2.2.33 ∗ . Внутри сферы радиуса R со скоростью v движется частица мас- сы m, упруго ударяясь о ее стенки. Скорость частицы образует угол α с радиу- сом, проведенным в точку удара. Какова по модулю средняя сила, действующая со стороны стенок сферы на частицу? Какова средняя сила, действующая на единицу площади сферы, если в единице объема содержится N таких частиц? Частицы между собой не сталкиваются. ♦ 2.2.34. Две тележки массы M каждая движутся параллельно с начальными скоростями v 1 и v 2 . Груз массы m, сначала лежавший на первой тележке, с почти нулевой скоростью относительно этой тележки перебрасывают на вторую тележку. Затем с почти нулевой скоростью уже от- носительно второй тележки его перебрасывают об- ратно на первую. Какой станет разность скоростей тележек после N таких перебросов груза туда и об- ратно? Попробуйте качественно объяснить вязкое трение, возникающее при проскальзывании слоев газа относительно друг друга. 2.2.35. Ракета сечения S, двигаясь в космическом пространстве со скоро- стью u, попадает в облако неподвижной пыли плотности ρ. Какую силу тяги должны развивать двигатели ракеты, чтобы та могла продолжать двигаться с той же постоянной скоростью? Удары пылинок о ракету считать абсолютно неупругими. Изменением массы ракеты пренебречь. 2.2.36. Ракета массы m зависла над поверхностью Земли. Сколько топлива в единицу времени она должна расходовать при этом, если скорость истечения газа u? Как изменится результат, если ракета поднимается с ускорением a? 2.2.37. Определите силу тяги воздушно-реактивного двигателя самолета, летящего со скоростью v. Массовый расход топлива и поступающего в двигатель воздуха равен µ 1 и µ 2 соответственно. Скорость продуктов сгорания относитель- но самолета на выходе из двигателя u. 2.2.38. Водометный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления воды движению катера F = kv 2 . Скорость выбрасываемой воды относительно катера u. Определите установившуюся скорость катера, если сечение потока за- хваченной двигателем воды S, плотность воды ρ. 2.2.39. Труба радиуса r заполнена пористым веществом плотности ρ 0 . Пор- шень, на который действует постоянная сила F , двигаясь в трубе, уплотняет ве- щество до плотности ρ. С какой скоростью движется поршень, если уплотнение вещества происходит скачком, т. е. в трубе перемещается с некоторой скоростью граница раздела, справа от которой плотность вещества ρ, а слева — ρ 0 ? В начальный момент эта граница совпадает с поверхностью поршня. 2.2.40. На чаше весов стоят песочные часы. Когда песок внизу, показания весов 2P 0 . Вес песка равен P 0 . Часы переворачивают. Нарисуйте график зависи- мости показания весов от времени. Время падения каждой песчинки ∆t, время протекания песка T . 38 2.2.41. Однородная цепочка одним концом подвешена на нити так, что дру- гим она касается поверхности стола. Нить пережигают. Определите зависимость силы давления цепочки на стол от длины еще не упавшей ее части. Удар звеньев о стол неупругий, масса цепочки m, ее длина l. 2.2.42. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v? Масса змеи m, ее длина l. ♦ 2.2.43. Цепь с неупругими звеньями перекинута через блок, причем часть ее лежит на столе, а часть — на полу. После того как цепь отпустили, она нача- ла двигаться. Найдите скорость установившегося равномерного движения цепи. Высота стола h. ♦ 2.2.44 ∗ . Веревку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со ско- ростью v сквозь щель. Сила трения в щели F , масса единицы длины веревки ρ. Определите силу, действующую на гвоздь, если участки веревки по разные сто- роны гвоздя образуют угол α. При какой скорости веревка отойдет от гвоздя? 2.2.45. При изменении скорости космического корабля на v его масса умень- шилась в k раз. Во сколько раз при той же скорости истечения газа (относительно ракеты) уменьшилась бы его масса при изменении скорости на величину, в n раз б´ольшую v? 2.2.46 ∗ . Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость v относитель- но нее. Определите изменения скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа уменьшилась в n раз. 2.2.47 ∗ . Скорость газа, выбрасываемого ракетой, относительно нее равна 2 км/с. Оцените начальную массу ракеты, которая может вывести на орбиту Земли спутник массы 10 4 кг. Как изменится результат при вдвое большей ско- рости истечения газа? § 2.3. Кинетическая энергия. Работа. Потенциальная энергия ♦ 2.3.1. Пучок заряженных частиц различной массы, имеющих одну и ту же скорость v, направили по нормали к двум сеточным электродам, между которыми на каждую частицу действует одна и та же сила F . При какой наименьшей массе частиц в пучке все они достигнут второй сетки, если ширина зазора между электродами равна l? 2.3.2. Определите силу, действующую на частицу массы m в зазоре ширины l меж- ду сеточными электродами, если скорость ее изменилась от значения v 1 у первого электро- да до значения v 2 у второго. Как по значени- ям скорости частицы узнать направление действующей на нее силы? 39 2.3.3. Для испытания оборудования в условиях перегрузок и невесомости контейнер с ним подбрасывается на высоту 125 м пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумной шахты. С какой силой действует поршень, подбрасывая контейнер, если при этом он выдвигается на длину h = 1 м, а масса контейнера с оборудованием m = 2 т? 2.3.4. Оцените среднюю силу, развиваемую ногами человека при приземле- нии его после прыжка из окна второго этажа. ♦ 2.3.5. Сила, действующая на снаряд массы m в стволе орудия, нарастает равномерно от нуля до F 0 на участке ствола длины l 1 , не меняется на участке ствола длины l 2 и, наконец, равномерно уменьшается до нуля на участке ствола длины l 3 . Какова скорость снаряда при вылете из ствола? ♦ 2.3.6. Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверх- ности, попадает на шероховатый участок этой поверхности ширины L, коэффи- циент трения о который µ. При какой начальной скорости он преодолеет этот участок? 2.3.7. Оконную штору массы 1 кг и длины 2 м свертывают в тонкий ва- лик над окном. Какова наименьшая затрачиваемая при этом работа? Трением пренебречь. ♦ 2.3.8. Пружина жесткости k прикреплена одним кон- цом к неподвижной стенке. На другой ее конец вдоль пружи- ны с начальной скоростью v налетает шар массы m. Како- ва наибольшая деформация сжатия пружины? Ответьте на этот же вопрос для случая, когда пружина предварительно сжата и удерживается нерастяжимой нитью, связывающей ее концы (начальная деформация пружина равна x 0 ). 2.3.9. Из длинной полоски резины жесткости k сделали рогатку. Найдите кинетическую энергию «снаряда», выпущенного из этой рогатки, если резину растянули с силой F и затем отпустили. 2.3.10. Почему плохо стреляют и слишком туго натянутые, и слишком слабо натянутые луки? Как подобрать наиболее подходящий лук? 2.3.11. С верхнего конца доски длины l, образующей угол α с вертикалью, начинает соскальзывать тело массы m. Какую кинетическую энергию оно при- обретет, дойдя до нижнего конца доски? Рассмотрите случай отсутствия трения и случай, когда коэффициент трения между телом и доской µ < ctg α. ♦ 2.3.12. Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледенелую го- ру, поверхность которой образует угол α с горизонтом. Какой высоты гору может преодолеть автомобиль, если его начальная скорость при въезде на нее равна v, а коэффициент трения колес о лед µ < tg α? ♦ 2.3.13. Груз массы m медленно поднимают на высоту h по наклонной плос- кости с помощью блока и троса. При этом совершается работа A. Затем трос отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет, опустившись до исходной точки? ♦ 2.3.14. Средневековый поворотный молот имеет тяжелый боек массы m на конце легкого стержня длины l. Его приводят из горизонтального в почти вер- тикальное положение, поворачивая вокруг оси, проходящей через другой конец 40 стержня. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы поднять молот? Трением в оси пренебречь. 2.3.15. Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы лежащий на земле длинный однородный столб длины l и массы m поставить вертикально? ♦ 2.3.16. Грузик, подвешенный на нити длины l, отклонили на расстояние r от точки равновесия и отпустили. Какова его наибольшая скорость? ♦ 2.3.17. По рельсам, образующим горизонтальный круговой путь радиуса R, катится со скоростью v вагонетка массы m. Рабочий бежит за ней и начинает останавливать ее, натягивая привязанный к вагонетке трос с силой F под углом π − α к направлению скорости вагонетки. Сколько оборотов по кругу совершит вагонетка до остановки? Трением пренебречь. ♦ 2.3.18 ∗ . Веревка привязана к санкам и переброшена через перекладину во- рот высоты h. Мальчик, сидящий на санках, начинает выбирать веревку, натя- гивая ее с силой T . Какую скорость он приобретет, проезжая под перекладиной? Начальная длина натянутой части веревки 2l, масса мальчика с санками m. Тре- нием пренебречь. 2.3.19. Двум одинаковым телам сообщают равные скорости, направленные под одним и тем же углом к горизонту. Одно тело находится после броска в свободном движении, а другое движется без трения по прямой трубе. Какое тело поднимется на б´ольшую высоту? ♦ 2.3.20. Горизонтальные поверхности, отстоящие друг от друга по высоте на h, плавно соединяются. По верхней поверхности движется тело со скоростью v, 41 составляющей угол α с нормалью к линии сопряжения. Найдите угол между ско- ростью тела на нижней поверхности плоскости и нормалью к линии сопряжения. Трением пренебречь. ♦ 2.3.21. Частица массы m со скоростью v влетает в область действия тор- мозящей силы F под углом α к направлению этой силы. Под каким углом к направлению силы F она вылетит из этой области? Ширина области действия силы l. При каком условии частица не сможет пересечь эту область? 2.3.22. На нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положе- ние и затем отпускают шарик. В какой точке траектории его ускорение направ- лено вертикально вверх? вертикально вниз? горизонтально? ♦ 2.3.23. Нить длины l с привязанным к ней шариком массы m отклонили на 90 ◦ от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса нужно поставить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? Нить выдерживает силу натяжения T . 2.3.24. Шарику маятника массы m сообщили минимальную скорость, при которой он еще может описывать окружность в вертикальной плоскости. Какая сила действует на ось при прохождении маятником положения равновесия? Рас- смотрите случаи подвеса шарика на легком стержне и на нити. ♦ 2.3.25. На каком минимальном рас- стоянии от места закругления склона должна располагаться стартовая площадка лыжников, чтобы они, достигнув закруг- ления, начали свободный полет? Угол склона α, радиус его закругления R, коэф- фициент трения между лыжами и снегом µ < tg α. Стартовой скоростью лыжников пренебречь. 2.3.26. С вершины гладкой полусфе- ры радиуса R, неподвижно стоящей на горизонтальной плоскости, соскальзывает небольшое тело. На какой высоте над этой плоскостью оно оторвется от полусферы? ♦ 2.3.27. Тележка скатывается по гладким рельсам, образующим вертикаль- ную петлю радиуса R. С какой минимальной высоты от нижней точки петли должна скатиться тележка для того, чтобы не покинуть рельсы по всей их длине? ♦ 2.3.28 ∗ . По вертикально стоящей гладкой и твердой спирали скользит бу- синка массы m. Радиус петли спирали равен R, шаг спирали (расстояние по вертикали между соседними витками) — h. С какой силой бусинка действует на спираль в момент, когда она спустилась по вертикали на расстояние H? Началь- ная скорость бусинки равна нулю. 42 2.3.29 ∗ . Бусинка массы m скользит по вертикально расположенному волно- образному участку гладкой проволоки. Длина волны много меньше длины участ- ка и много больше размеров бусинки, а длина проволоки на участке в k раз боль- ше его протяженности. С какой средней силой действует бусинка на этот участок проволоки? ♦ 2.3.30. Определите силу, действующую на вертикальную стенку со стороны падающей гантели, когда ось гантели составляет угол α с горизонтом. Гантель начинает движение из вертикального положения без начальной скорости. Масса каждого шарика гантели m. 2.3.31. Гантель длины l с шариками одинаковой массы на концах установле- на вертикально на гладкой горизонтальной плоскости. Затем гантель отпускают. Определите скорость верхнего шарика перед ударом о плоскость. ♦ 2.3.32 ∗ . Какова работа силы трения за один оборот аэросаней, движущихся по вертикальной круговой дорожке? Скорость саней постоянна и равна v, масса саней m, коэффициент трения µ. ♦ 2.3.33 ∗ . Тело скользит по плоской поверхности, плавно переходящей в дру- гую плоскую поверхность, расположенную под углом α к первой. Коэффициент трения µ. Определите кинетическую энергию в конце участка сопряжения по- верхностей, если в начале она равна K 0 2.3.34 ∗ . Зависимость длины пробега ядер изотопов водорода в фотоэмуль- сии от начальной кинетической энергии приведена в таблице. Постройте по этим данным график зависимости тормозящей ядра силы от квадрата скорости и под- твердите или опровергните предположение, что эта сила не зависит от массы ядер. С хорошей точностью масса дейтрона m d = 2m p , масса тритона m t = 3m p , m p — масса протона. Энергия, МэВ Энергия, МэВ Пробег, Пробег, мкм протон дейтрон тритон мкм протон дейтрон тритон 5 0,47 0,58 0,63 30 1,66 2,10 2,40 10 0,78 0,98 1,10 40 2,00 2,55 2,89 20 1,26 1,60 1,82 50 2,32 2,97 3,37 43 2.3.35. Частица массы m влетает в область, где на нее действует тормозя- щая сила, зависящая только от расстояния между частицей и границей области. Найдите эту зависимость, если глубина проникновения частицы в область тор- можения пропорциональна ее начальному импульсу: l = αp. 2.3.36 ∗ . Длина пробега частицы массы m пропорциональна ее начально- му импульсу, если тормозящая частицу сила пропорциональна ее скорости (см. предыдущую задачу). Убедитесь в этом и при заданном α (l = αp), найдите ра- боту тормозящей силы на пути x для частицы, масса которой m, а начальный импульс p. ♦ 2.3.37. Зависимость силы, действующей на движущуюся прямолинейно частицу, от координа- ты последней приведена на графике. Найдите за- висимость потенциальной энергии частицы от ко- ординаты. Какова область движения частицы, ес- ли наибольшая кинетическая энергия этой части- цы равна K? 2.3.38. Потенциальная энергия электростати- ческого взаимодействия точечных зарядов q и Q, находящихся на расстоянии r друг от друга, U = kqQ/r. Найдите электростати- ческую силу. Для каких зарядов имеет место отталкивание, а для каких притя- жение? 2.3.39. В одном научно-исследовательском институте решили использовать выражение для потенциальной энергии точечных зарядов в виде U = kqQ/r − kqQ/R, где R — постоянное расстояние, установленное раз и навсегда. Повли- яет ли использование U вместо U = kqQ/r на результаты расчетов движения частиц? 2.3.40. Потенциальная энергия взаимодействия частицы с неподвижным то- чечным источником U = V (l 2 /r 2 − 2l/r), где r — расстояние между частицей и источником, V и l — положительные постоянные величины, имеющие размер- ность энергии и расстояния соответственно. В какой области происходит прямо- линейное движение частицы, если полная энергия системы равна E? ♦ 2.3.41. От груза, висящего на пружине жесткости k, отрывается часть мас- сы m. На какую высоту поднимется после этого оставшаяся часть груза? ♦ 2.3.42. Груз массы m, подвешенный на пружине жесткости k, находится на подставке. Пружина при этом не деформирована. Подставку быстро убирают. Определите максимальное удлинение пружины и максимальную скорость груза. 2.3.43. К потолку привязан резиновый шнур, свободный конец которого на- ходится на высоте h над полом. Если подвесить к нему небольшой тяжелый груз, который затем плавно опустить, то конец шнура с грузом опустится на рассто- яние h/3. На какую наименьшую высоту над полом надо затем поднять груз, |