Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп

• Название: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
• Анкор: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Дата: 29.01.2017
• Размер: 5.02 Mb.
• Имя файла: Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike.pdf
• Тип: Документы; #1084
• страница: 6 из 44

чтобы после того, как его опустят, он ударился о пол? Как изменится ответ при замене резинового шнура пружиной?
44

♦
2.3.44. Нерастянутый резиновый шнур длины 2l своими концами прикреп- лен к стенкам. К середине шнура прицепили груз массы m, который затем без толчка отпустили. При возникших колебаниях наибольшее расстояние, на кото- рое опускается груз, равно x
0

. Какова жесткость этого шнура?
♦
2.3.45. Тело массы m падает с высоты h на стоящую вертикально на полу пружину жесткости k и длины l. Определите максимальную силу давления на пол. Объясните, почему при увеличении жесткости пружины эта сила возрастает.
♦
2.3.46. С какой силой нужно надавить на верхний груз массы m
1
, чтобы нижний груз массы m
2

, соединенный с верхним пружиной, оторвался от пола после прекращения действия этой силы?
♦
2.3.47
∗
. Тело массы m, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на доске таким образом, что пружина не деформирована. Доску начинают опускать с ускорением a. Чему равно удлинение пружины в момент отрыва тела от доски?

Каково максимальное удлинение пружины?
♦
2.3.48
∗
. На горизонтальной плоскости лежат два бруска массы m
1
и m
2
, со- единенных недеформированной пружиной. Определите, какую наименьшую по- стоянную силу нужно приложить к левому бруску, чтобы сдвинулся и правый,
если коэффициент трения грузов о плоскость µ.
♦
2.3.49. На горизонтальном столе находится тело массы m
0
. К телу привязана нерастяжимая нить, перекинутая через блок. К свободному концу нити привязана пружина. Какой массы груз нужно прицепить к пружине, чтобы, опускаясь, он мог сдвинуть тело массы m
0

с места, если коэффициент трения тела о стол µ?
§ 2.4. Энергия системы. Передача энергии. Мощность
2.4.1. Шарики массы m каждый, связанные нитью, движутся по окружности с постоянной скоростью v. Кинетическая энергия каждого шарика, равная mv
2
/2,
не меняется. Если перейти в систему отсчета, в которой середина нити движется в плоскости вращения прямолинейно со скоростью v, энергия каждого из шари- ков меняется от нуля до 4 (mv
2

/2). Какая причина вызывает такое изменение энергии? Изменяется ли в указанной системе отсчета суммарная кинетическая энергия?
45

2.4.2. Посередине спицы массы m
1
и длины 2l находится шайба массы m
2
Спице ударом сообщают продольную скорость v. При этом шайба со спицы со- скальзывает. Какова после этого суммарная кинетическая энергия шайбы и спи- цы, если сила трения равна F ?
2.4.3
∗
. Пружина жесткости k зажата между двумя телами. После того как оба тела одновременно освободили, они до момента полного распрямления пружи- ны прошли расстояния x
1
и x
2

. Какую кинетическую энергию приобрело каждое из этих тел?
♦
2.4.4
∗
. Лента транспортера движется горизонтально со скоростью u. На лен- ту по касательной к ней летит тело, скорость которого перпендикулярна направ- лению движения ленты и в момент попадания тела на нее равна v. Тело скользит по ленте и затем останавливается. Найдите работу силы трения, приложенной к телу со стороны ленты и к ленте со стороны тела. Почему работа в этих случаях неодинакова?
♦
2.4.5. Частицы, между которыми действует постоянная сила взаимного при- тяжения F , удерживают на расстоянии 2r друг от друга. Затем их начинают медленно перемещать в противоположных направлениях под углом α к линии,
первоначально соединявшей частицы. Какую работу надо совершать, чтобы пе- реместить частицы на расстояние r? При каком α эта работа равна нулю?
2.4.6
∗
. Почему при центральном взаимодействии частиц изменение полной кинетической энергии зависит только от изменения расстояния между частица- ми, но не от смещения или поворота их как целого?
♦
2.4.7. Три шарика массы m каждый соединены друг с другом одинаковы- ми пружинами жесткости k. Одновременно всем шарикам сообщили скорость v,

направленную от центра системы. На какое наибольшее расстояние сместятся шарики в этом направлении?
2.4.8. Два одинаковых заряда, удерживаемых на расстоянии l друг от друга,
после того как их отпустили, разлетаются с равными скоростями, стремящимися при бесконечном удалении зарядов друг от друга к предельному значению v. Ка- кова предельная скорость, если первоначально три таких же заряда удерживали в вершинах правильного треугольника со сторонами длины l?
♦
2.4.9
∗
. На концах длинной нити подвешены грузы массы m каждый. Нить перекинута через два легких маленьких блока, расположенных на расстоянии 2l друг от друга. К ней посередине между блоками прикрепляют груз массы 2m, и система приходит в движение. Найдите скорость грузов по истечении достаточно большого промежутка времени.
46

♦
2.4.10
∗
. Систему, изображенную на рисунке, приводит в движение централь- ный груз массы m. Определите максимальное удаление груза от его начального положения.
♦
2.4.11
∗
. Клин массы M с углом α при вершине плотно прилегает к верти- кальной стенке и опирается на брусок массы m, находящийся на горизонтальной плоскости. Вершина клина находится на высоте H над этой плоскостью, а то- рец клина на высоте h < H над верхней поверхностью бруска. Брусок сначала удерживают в этом положении, а затем его отпускают. Найдите его скорость в момент отрыва от клина. Трением пренебречь.
♦
2.4.12
∗
. Два гладких одинаковых цилиндра радиуса R прислонены к стенке.
Из-за того, что нижний цилиндр чуть-чуть стронулся вправо по горизонтальной плоскости, верхний стал опускаться по вертикали, и система пришла в движение.
Найдите конечную скорость нижнего цилиндра.
♦
2.4.13
∗
. Гладкая однородная веревка длины l и массы m переброшена че- рез небольшой блок так, что вначале находится в равновесии. Веревку немного смещают и она начинает соскальзывать с блока. С какой силой действует она на блок в момент, когда длина веревки с одной стороны от него равна l/3?
2.4.14
∗
. На теннисный мяч с высоты 1 м падает стальной шарик и подска- кивает снова почти на 1 м. Оцените, на какую высоту после удара подскочит мяч.
2.4.15
∗
. Два летящих друг за другом с равными скоростями шарика соеди- нены сжатой пружиной. Пружина связана нитью. После пережигания нити кине- тическая энергия переднего шарика, имевшая значение K, увеличилась на 21%.
Какую энергию приобрел бы этот шарик после пережигания нити, если бы до пережигания нити оба шарика были неподвижны? Почему при одном и том же изменении потенциальной энергии пружины получаются столь разные прираще- ния кинетической энергии?
♦
2.4.16. Две бусинки массы m каждая, связанные друг с другом пружиной жесткости k, удерживают на гладких жестко закрепленных в стене стержнях.
Пружина растянута, и ее длина равна l. Расстояние между свободными концами
47

стержней равно длине недеформированной пружины. Бусинки отпускают. С ка- кой скоростью будет двигаться пружина в направлении x после того, как бусинки соскочат со стержня? Какой будет наибольшая деформация сжатия пружины?
2.4.17. а. Назовем энергией движения центра масс системы величину
M V
2
/2, где M — масса системы, а V — скорость ее центра масс. В каком слу- чае энергия движения центра масс совпадает с полной кинетической энергией системы?
б. Докажите, что приращение энергии движения центра масс равно работе суммарной внешней силы, если точку приложения взять в центре масс.
♦
2.4.18. Обруч, раскрученный в вертикальной плоскости и посланный по по- лу рукой гимнастки, через несколько секунд сам возвращается к ней. Объясните это явление. Определите коэффициент трения между обручем и полом, если на- чальная скорость центра обруча равна v, а расстояние, на которое откатывается обруч, равно l.
♦
2.4.19. Свободный конец нити, намотанной на катушку массы m, закрепля- ют, а катушку отпускают. Какую скорость приобретает ось катушки, опустив- шись на расстояние h, если сила натяжения вертикального участка нити T < mg?
Чему равны в этот момент полная кинетическая энергия и кинетическая энергия вращения катушки вокруг собственной оси? Массой нити и трения пренебречь.
♦
2.4.20
∗
. Собака массы m привязана поводком длины L к саням массы
M > m. В начальный момент собака находится рядом с санями. На какое наиболь- шее расстояние собака может сдвинуть сани за один рывок, если коэффициенты трения лап собаки и полозьев саней о горизонтальную поверхность одинаковы?
♦
2.4.21. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых бруска, со- единенных пружиной жесткости k и длины l
0
. На левый брусок внезапно начинает действовать постоянная сила F , направленная вдоль пружины. Найдите мини- мальное и максимальное расстояния между брусками.
♦
2.4.22
∗
. С наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, начинают соскальзывать два тела массы m каждое, связанные первоначально недеформи-
48

рованной пружиной жесткости k. Определите наибольшее удлинение пружины,
если трением между нижним телом и плоскостью можно пренебречь, а коэффи- циент трения между верхним телом и плоскостью равен µ.
2.4.23. Полная кинетическая энергия системы частиц складывается из энер- гии движения центра масс и кинетической энергии движения частиц системы относительно центра масс (внутренней кинетической энергии). Докажите это.
2.4.24. Два тела массы m
1
и m
2
соединены недеформированной пружиной жесткости k. Затем к телам одновременно приложили противоположно направ- ленные силы F . Найдите максимальную кинетическую энергию тел и макси- мальную потенциальную энергию пружины. Какова наибольшая относительная скорость тел?
2.4.25. Внутренняя энергия системы — это потенциальная энергия взаи- модействия ее частиц между собой плюс кинетическая энергия движения этих частиц относительно центра масс системы (внутреннего движения). В каком слу- чае полная энергия системы сводится к внутренней? Докажите, что приращение внутренней энергии системы равно работе внешних сил, приложенных к части- цам этой системы при их перемещении относительно центра масс.
♦
2.4.26. Два одинаковых шара связаны нитью длины 2l, за середину которой стали тянуть с постоянной силой F . Найдите, используя результаты предыдущей задачи, приращение внутренней энергии к моменту первого удара.
♦
2.4.27. Вдоль неподвижного пластилинового бруска массы m приложили по- стоянную силу F . За время t действия силы конец бруска, к которому она при- ложена, сдвинулся в направлении силы на расстояние l. На сколько за время t возросла внутренняя энергия бруска?
2.4.28
∗
. Два тела массы m
1
и m
2
соединены недеформированной пружиной жесткости k. К телу массы m
1
приложили постоянную силу F . Из-за неболь- шого внутреннего трения в пружине возникшие колебания затухли. На сколько возросла внутренняя энергия системы? Какова конечная энергия пружины? Если к моменту затухания колебаний тело массы m
2
прошло в направлении силы F

расстояние l, то какова в этот момент кинетическая энергия системы?
2.4.29. Предлагается наполнять вагоны поезда углем на ходу. Найдите до- полнительную работу, совершаемую двигателем локомотива при засыпке угля массы m, если скорость поезда постоянна и равна u. Сравните эту работу с кине- тической энергией, которую получил погруженный уголь. Почему эти величины оказываются различны?
2.4.30. При медленном подъеме груза по наклонной плоскости с углом накло- на α и коэффициентом трения µ затрачена работа A. Груз тянут вдоль плоскости.
Определите, какая часть работы пошла на увеличение внутренней энергии груза и наклонной плоскости.
2.4.31. Два тела массы m
1
и m
2
имеют внутреннюю энергию W
1
и W
2
и ско- рость центров масс V
1
и V
2
. Какова внутренняя энергия системы этих двух тел,
4 49

если потенциальной энергией взаимодействия их между собой можно пренебречь?

Изменится ли эта энергия после столкновения их друг с другом и последующего разлета?
2.4.32. Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наиболь- шее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предпола- гается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимо- действия тел между собой можно пренебречь.
♦
2.4.33. Тело массы m толкнули вверх по наклонной плоскости, после чего оно двигалось с начальной скоростью v и затем остановилось, поднявшись на высоту h. Какое количество теплоты
∗)

выделилось при этом?
♦
2.4.34. Два груза массы m
1
и m
2
(m
1
> m
2
) связаны нитью, переброшенной через неподвижный блок. В начальный момент груз массы m
1
удерживают на высоте h над полом. Затем его без толчка отпускают. Какое количество теплоты выделится при ударе груза о пол? Удар абсолютно неупругий.
♦
2.4.35. В сферической чаше радиуса R удерживают гантель в положении,
когда один из шариков находится на дне чаши, а затем отпускают. Какое коли- чество теплоты выделится к моменту, когда гантель прекратит свое движение из-за малого трения между чашей и гантелью? Длина гантели l, масса каждого шарика m.
2.4.36. Городской троллейбус следует по своему маршруту со скоростью примерно 36 км/ч, останавливаясь через каждые 500 м. Оцените затраты элек- троэнергии за 10 ч работы троллейбуса, если его масса равна 5 т.
2.4.37. Поднимаясь равномерно, как всегда, из окна Малыша к себе на кры- шу, Карлсон в тот день, когда его угостили вареньем, затратил на подъем на 4 с больше, чем обычно. Какова масса съеденного им варенья, если мощность мотора всегда равна 75 Вт, а высота подъема — 10 м?
2.4.38. Сила сопротивления, действующая на корабль в воде, пропорциональ- на квадрату его скорости. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя того же корабля, чтобы скорость движения возросла вдвое?
2.4.39
∗
. Автомобиль массы m трогается с места. Коэффициент трения колес о дорогу µ. Обе оси автомобиля ведущие. Найдите зависимость скорости автомо- биля от времени. Мощность двигателя N .
♦
2.4.40
∗
. При равномерном подъеме груза массы m угловая скорость ва- ла двигателя подъемника ω = ω
0
(1 − m/m
0
), где ω
0
— угловая скорость вала при отсутствии груза, а m
0
— масса наиболее тяжелого груза, который мож- но поднять на этом подъемнике. Как зависит полезная мощность подъемника от угловой скорости вала? Какими порциями нужно поднимать груз, чтобы за определенное время поднять на некоторую высоту груз наибольшей массы?
2.4.41
∗
. Подъемник из предыдущей задачи переоборудовали, присоединив вал двигателя к барабану не непосредственно, а через зубчатую передачу. На- саженная на вал двигателя шестерня имеет n
1
зубцов; зубчатое колесо, жестко
∗)
Приращение суммарной внутренней энергии тел при трении их друг о друга или при неупругих столкновениях обычно равно количеству выделившейся теплоты.
50

соединенное с барабаном, имеет n
2
зубцов. При какой массе поднимаемого груза достигается максимальная полезная мощность подъемника? Потерями мощности в передаче пренебречь.
2.4.42
∗
. Мощность автомобиля с электрическим двигателем зависит от уг- ловой скорости вращения колес по закону N = (A−Bω)ω, N
0. Установившаяся скорость автомобиля на горизонтальном шоссе 70 км/ч. Без груза он может пре- одолевать подъемы с углом наклона шоссе вплоть до 45
◦
. Какова установившаяся скорость автомобиля при подъеме с углом наклона шоссе 30
◦

? Какие подъемы он может преодолевать при массе груза, равной массе автомобиля?
♦
2.4.43
∗
. Струя воды плотности ρ сечения S с горизонтальной скоростью v бьет в лопасти водяного колеса, после удара стекая по лопасти вниз. Найдите мощность этого водяного двигателя при угловой скорости вращения колеса ω.
Радиус колеса R. Число лопастей достаточно большое, так что воздействие струи можно считать непрерывным, пренебрегая изменениями его при входе лопасти в струю и при выходе из нее.
2.4.44. Водометный катер движется по спокойной воде с постоянной скоро- стью v. Скорость выбрасываемой воды относительно катера равна u. Определите

КПД двигателя катера. Что нужно в этом случае считать полезной мощностью?
2.4.45. Вертолет массы m, неподвижно зависший над землей, направляет своими винтами вниз струю воздуха. Какова затрачиваемая двигателем верто- лета мощность, если скорость струи воздуха равна u?
§ 2.5. Столкновения
2.5.1. Два тела в результате столкновения обменялись скоростями, продол- жая двигаться по одной и той же прямой. Каково отношение масс этих тел?

Является ли их столкновение упругим?
2.5.2
∗
. На покоящийся шар налетает шар такой же массы. Найдите угол разлета шаров после нецентрального упругого удара.
2.5.3. На неподвижный шар налетает со скоростью u шар, масса которого в k раз больше массы неподвижного шара. Найдите отношение скорости шаров после центрального упругого удара к скорости u. Постройте графики зависимости этих отношений от числа k.
51

2.5.4. И свинец, и тяжелая вода почти не поглощают нейтроны. Почему же в атомных реакторах для замедления быстрых нейтронов тяжелую воду исполь- зуют, а свинец — нет?
♦
2.5.5. Между неподвижным шаром массы m
1
и налетающим на него шаром массы m
2
находится неподвижный шар. Какова масса промежуточного шара, при которой шар массы m
2
приобретает после соударения наибольшую скорость? Все удары центральные и упругие.
2.5.6. Две одинаковые частицы движутся под углом α друг к другу с на- чальными скоростями v
1
и v
2
. После упругого взаимодействия у одной из частиц скорость стала равна u
1
. Найдите угол разлета.
2.5.7. В момент наибольшего сближения тел при упругом столкновении их скорость одинакова и равна v. Какова скорость этих тел после разлета, если до столкновения их скорость была соответственно v
1
и v
2
? Тела движутся по одной прямой.
2.5.8. Шарики массы m
1
и m
2
движутся в неподвижной кольцевой трубке с начальными скоростями v
1
и v
2
. Каковы будут их скорости после 1987, 1988
столкновений? Удары упругие, трубка гладкая.
♦
2.5.9
∗
. Бусинки массы m
1
, m
2
, m
3
могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем m
1
m
2
и m
3
m
2
. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость v. Удары упругие.
♦
2.5.10. Частица массы m
1
налетает на шар массы m
2
. Направление ее дви- жения составляет угол α с нормалью к поверхности шара. Под каким углом к этой нормали отскочит от шара частица, если шар сначала покоился, а удар упругий?
♦
2.5.11. На два одинаковых неподвижных шара налетает такой же третий,
центр которого движется по средней линии отрезка, соединяющего центры непо- движных шаров. После упругого удара налетающий шар останавливается. Како- во расстояние между центрами первоначально неподвижных шаров, если радиус шаров R?
2.5.12. При облучении кристалла потоком нейтронов с его поверхности, про- тивоположной бомбардируемой, вылетают атомы, причем направление вылета зависит только от ориентации кристалла и не зависит от направления потока нейтронов. Объясните это явление.
52

♦
2.5.13. Одинаковые шары расставлены на плоскости так, что их центры об- разуют узлы квадратной решетки. Зазоры между ближайшими шарами одинако- вы и очень малы по сравнению с их радиусом. Одному из этих первоначально по- коящихся шаров сообщили скорость v под углом α к стороне квадратной ячейки.
Каким будет дальнейшее движение шаров, если все удары упругие? Рассмотрите качественно случай решетки с ячейкой в форме правильного треугольника.
♦
2.5.14. Локомотив с постоянной силой тяги F начал двигаться к стоящему вагону и столкнулся с ним через время ∆t. Найдите время между последующими соударениями локомотива с этим вагоном. Удар упругий. Трением в осях колес пренебречь. Массы вагона и локомотива не одинаковы.
2.5.15. Внутри однородной гладкой неподвижной сферы радиуса R нахо- дится шарик, скорость которого равна v. В некоторый начальный момент шарик упруго соударяется со сферой. Найдите промежуток времени между первым и последующим ударами шарика о сферу, если его скорость v образует угол α с радиусом сферы, проведенным в точку первого удара.
♦
2.5.16. При упругом столкновении налетающей частицы с покоящейся пер- вая полетела под углом α к направлению первоначального движения, а вторая —
под углом β. Найдите отношение масс этих частиц.
2.5.17
∗
. Тяжелая частица массы m
1
сталкивается с покоящейся легкой ча- стицей массы m
2