Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
движущегося по ней с постоянной по модулю скоростью v? 1.3.30 ∗ . Снаряд вылетает из пушки со скоростью V под углом α к горизонту. Какое время снаряд приближается к пушке? § 1.4. Преобразование Галилея 19 ♦ 1.4.1. Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ни- ми? ♦ 1.4.2. На рисунке скорости шести выпущенных старым Мазаем зайцев изоб- ражены в системе координат, неподвижной относительно Мазая. Попробуйте на- рисовать скорости Мазая и остальных зайцев в системе координат, неподвижной относительно зайца 1. 1.4.3. Одна из частиц пылевого облака (частица A) покоится, а все осталь- ные разлетаются от нее в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от них до частицы A. Какую картину движения обнаружит наблю- датель, движущийся вместе с частицей B? ♦ 1.4.4. С угла A квадратного плота спрыгнул в воду и поплыл вокруг плота пес. Нарисуйте траекто- рию движения пса относительно берега, если он плы- вет вдоль сторон плота, а его скорость относительно воды составляет 4/3 скорости течения реки. 1.4.5. а. Капли дождя из-за сопротивления воз- духа падают с постоянной скоростью v, перпендику- лярной поверхности земли. Как необходимо располо- жить цилиндрическое ведро, находящееся на движу- щейся со скоростью u платформе, чтобы капли не попадали на его стенки? б. При скорости ветра 10 м/с капли дождя пада- ют под углом 30 ◦ к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 45 ◦ ? ♦ 1.4.6 ∗ . Буер представляет собой парусные сани. Он может двигаться лишь по линии, по которой на- правлены его коньки. Ветер дует со скоростью v, пер- пендикулярной направлению движения буера. Парус же составляет 30 ◦ с направлением движения. Какую скорость не может превысить буер при этом ветре? 1.4.7 ∗ . Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, про- исходящего по прямой, если в течение всего полета ветер дует под углом α к трассе со скоростью u? Скорость самолета относительно воздуха v, длина трас- сы L. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна? ♦ 1.4.8. При упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость v меня- ется лишь по направлению. Определите изменение после удара скорости этого тела, если стенка движется: а) со скоростью u навстречу телу; б) со скоростью w < v в направлении движения тела. ♦ 1.4.9. Тело налетает на стенку со скоростью v пол углом α к линии, перпен- дикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка: а) неподвижна; б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью w навстре- чу телу; в) движется под углом β к линии, перпендикулярной ей самой, со ско- ростью w навстречу телу. 20 1.4.10. Внутри сферы радиуса R, движущейся со скоростью u, находится шарик радиуса r, который в момент, когда он проходит через центр сферы, имеет скорость v, перпендикулярную скорости u. Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы. Удары абсолютно упругие. 1.4.11. Тело роняют над плитой на высоте h от нее. Плита движется верти- кально вверх со скоростью u. Определите время между двумя последовательными ударами тела о плиту. Удары абсолютно упругие. ♦ 1.4.12. Тело влетает горизонтально со скоро- стью v в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью u. Оп- ределите скорость тела после n-гоудара о переднюю стенку. Расстояние между стенками L. Удары абсо- лютно упругие. 1.4.13. Шестеренка радиуса R помещена меж- ду двумя параллельными зубчатыми рейками. Рейки движутся со скоростью v 1 и v 2 навстречу друг другу. Какова частота вращения шестеренки? 1.4.14 ∗ . Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимальный возможный угол α между скоростями одно- го из осколков и вектором v, если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v. 1.4.15 ∗ . Имеется пучок одинаковых ядер, движущихся со скоростью v. Ядра в пучке самопроизвольно делятся на пары одинаковых осколков. Скорость оскол- ков, движущихся в направлении пучка, равна 3v. Найдите скорость осколков, движущихся в направлении, перпендикулярном пучку. ♦ 1.4.16. Два пучка частиц, движущихся с оди- наковой по модулю скоростью v, пересекаются под углом α. Соударения частиц происходят в ограни- ченной области. Перейдем к системе отсчета, где скорости частиц равны по модулю и противопо- ложны по направлению. Казалось бы, теперь об- ласть пересечения — весь объем пучков, и поэто- му число соударений в единицу времени должно быть больше. Объясните получившееся противо- речие. 2 ∗ 21 1.4.17. Идет отвесный дождь. Скорость капель u. По асфальту со скоро- стью v скользит мяч. Во сколько раз за один и тот же промежуток времени на него попадает больше капель, чем на такой же, но неподвижный мяч? Изменится ли ответ, если мяч не круглый? 1.4.18 ∗ . Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки 200 м? § 1.5. Движение со связями ♦ 1.5.1. Скорость груза A равна v A . Чему равна скорость груза B? ♦ 1.5.2. Угловая скорость катушки равна ω, радиус внутреннего цилиндра r, а радиус внешних цилиндров R. Каковы скорости оси катушки и груза относи- тельно земли? ♦ 1.5.3. Клин, имеющий угол 30 ◦ , лежит на горизонтальной плоскости. Вер- тикальный стержень, опускающийся со скоростью v, заставляет клин скользить по этой плоскости. Какова скорость клина? 1.5.4. На клине с углом α лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной плоскости, чтобы монета свободно падала вниз? ♦ 1.5.5 ∗ . Скорость монеты, соскальзывающей с клина, изображена на рисунке. Графическим построением найдите скорость клина. 1.5.6. Плоское твердое тело вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости. Координаты начального положения точек A и B этого тела (−1, 2) и (3, 1), а конечного — (−3, 1) и (−2, −3). Графическим построением найдите координаты оси вращения. ♦ 1.5.7. а. Скорость точки A твердого тела равна v и образует угол 45 ◦ с направлением прямой AB. Скорость точки B этого тела равна u. Определите проекцию скорости точки B на направление AB. ♦ б. Скорости точек A и B твердого тела равны v. Скорость точки C, нахо- дящейся в плоскости прямой AB и вектора v, равна u > v. Найдите проекцию скорости точки C на ось, перпендикулярную указанной плоскости. 22 ♦ 1.5.8. Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на рас- стоянии: r > R, r = R, r < R. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью v. Найдите радиус кривизны траектории точ- ки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии r = R от оси колеса. ♦ 1.5.9 ∗ . Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом α к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзыва- ния. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах α ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол α не меняется при движении. ♦ 1.5.10. По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса 2r ка- тится без проскальзывания колесо радиуса r. Найдите траекторию точки обода колеса. 1.5.11. а. Луна обращена к Земле постоянно одной стороной. Сколько обо- ротов совершит она вокруг своей оси за время полного оборота вокруг Земли? б. На сколько в среднем звездные сутки короче солнечных? Земля обходит Солнце за 365, 25 солнечных суток. ♦ 1.5.12. Бусинка может двигаться по кольцу радиуса R, подталкиваемая спи- цей, равномерно вращающейся с угловой скоростью ω в плоскости кольца. Ось вращения спицы находится на кольце. Определите ускорение бусинки. ♦ 1.5.13. Веревку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким обра- зом, чтобы она не провисала. Лодка движется с постоянной скоростью v, образуя в некоторый момент времени угол α с отрезком веревки, находящимся между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени сво- бодный конец веревки? 1.5.14 ∗ . Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной a. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? 23 ♦ 1.5.15. Постройте примерный график зависимости скорости точки B от вре- мени, если скорость v A точки A постоянна. Найдите формулу этой зависимости, если x(0) = 0. ♦ 1.5.16. Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верх- ний конец стержня поднимают со скоростью v. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня L. ♦ 1.5.17. Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и зем- лей, касается дна грузовика на высоте H от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла α между ним и горизонталью, если грузовик отъ- езжает от стены со скоростью v. ♦ 1.5.18 ∗ . Стержень, одним концом шарнирно закрепленный на горизонталь- ной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня ω. Проскальзыва- ния между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью. ♦ 1.5.19. Сферический буй радиуса R привязан ко дну водоема. Уровень воды в водоеме поднима- ется со скоростью u. Какова скорость перемеще- ния границы затопленной части буя по его поверх- ности в момент, когда уровень воды оказывается на h выше центра буя? 1.5.20. Бобина магнитофонной пленки про- игрывается в течение времени t при скорости протяжки пленки v. Начальный радиус бобины (с пленкой) равен R, а конечный (без пленки) — r. Какова толщина пленки? 24 Глава 2 Динамика § 2.1. Законы Ньютона 2.1.1. По достоверным сведениям, однажды барон Мюнхгаузен, увязнув в болоте, вытащил сам себя за волосы. Какие законы физики сумел нарушить ба- рон? 2.1.2. Шайба, скользившая по льду, остановилась через время t = 5 с после удара о клюшку на расстоянии l = 20 м от места удара. Масса шайбы m = 100 г. Определите действовавшую на шайбу силу трения. ♦ 2.1.3. В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля протяженности l, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Че- му равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоя- нии L от центра области действия электрической силы. Масса электрона m e ♦ 2.1.4. Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Сила на- тяжения горизонтальных нитей соответственно T 1 и T 2 , а вертикальных — T 3 и T 4 . С каким ускорением тележка движется по горизонтальной плоскости? ♦ 2.1.5. Какая сила действует в поперечном сечении однородного стержня дли- ны l на расстоянии x от того конца, к которому вдоль стержня приложена сила F ? ♦ 2.1.6. Два тела массы m 1 и m 2 связаны нитью, выдерживающей силу натя- жения T . К телам приложены силы F 1 = αt и F 2 = 2αt, где α — постоянный коэффициент, t — время действия силы. Определите, в какой момент времени нить порвется. 25 2.1.7. Для измерения массы космонавта на орбитальной станции использует- ся подвижное сиденье известной массы m 0 , прикрепленное к пружине. При одной и той же начальной деформации (сжатии) пружины пустое сиденье возвращается в исходное положение через время t 0 , если же на сиденьи находится космонавт — через время t > t 0 . Какова масса космонавта? ♦ 2.1.8. Динамометр состоит из двух цилиндров, соединенных легкой пружи- ной. Найдите отношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силам F 1 и F 2 динамометр показывает силу F . 2.1.9. Для испытания оборудования в условиях невесомости контейнер под- брасывается вверх пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумированной шахты. Поршень действует на контейнер в течение време- ни ∆t с силой F = nmg, где m — масса контейнера с оборудованием. Через какое время контейнер упадет на дно шахты? В течение какого времени длится для оборудования состояние невесомости, если ∆t = 0, 04 с, а n = 125? 2.1.10. Для подготовки к работе в условиях невесомости одетые в скафандры космонавты тренируются в воде. При этом сила тяжести, действующая на них, уравновешивается выталкивающей силой. В чем отличие такой «невесомости» от настоящей? ♦ 2.1.11. Найдите ускорение грузов и силы натяжения нитей в системе, изоб- раженной на рисунке. Блок и нити невесомы, трения нет. ♦ 2.1.12. Маляр работает в подвесной люльке. Ему понадобилось срочно под- няться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что сила его давления на пол люльки уменьшилась до 400 H. Масса люльки 12 кг, масса ма- ляра 72 кг. Чему равно ускорение люльки? ♦ 2.1.13. Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пру- жинами, подвешена на нити. Нить пережигают. Найдите ускорения шаров сразу после пережигания нити. ♦ 2.1.14. Тела массы m 1 и m 2 соединены пружиной жесткости k. На тело массы m 2 действует постоянная сила F , направленная вдоль пружины к телу массы m 1 . Найдите, на сколько сжата пружина, если никаких других внешних 26 сил нет, а колебания уже прекратились. Каким будет ускорение тел сразу же после прекращения действия силы F ? ♦ 2.1.15. Тело массы m соединено двумя пружинами жесткости k 1 и k 2 с непо- движными стенками, пружины первоначально не деформированы. При возник- ших колебаниях наибольшее ускорение тела равно a. Найдите максимальное от- клонение тела от положения равновесия и максимальные силы, с которыми пру- жины действуют на стенки. ♦ 2.1.16. Тело массы m прикреплено к двум соединенным последовательно пру- жинам жесткости k 1 и k 2 . К свободному концу цепочки пружин приложена посто- янная сила F . Каково суммарное удлине- ние пружин, если колебания уже прекра- тились? ♦ 2.1.17. Легкий магнит с крюком на вертикаль- ной стальной плите остается неподвижным, пока под- вешенный к нему груз не превосходит по массе m 0 Чему равна магнитная сила, если коэффициент тре- ния магнита по стали равен µ? С каким ускорени- ем скользит магнитная подвеска, если масса груза m > m 0 ? 2.1.18. Тело, находящееся на горизонтальной плоскости, тянут за нить в горизонтальном направ- лении. Нарисуйте график зависимости силы трения, действующей на тело со стороны плоскости, от силы натяжения нити. Первоначально тело неподвижно. Масса тела 10 кг, коэффици- ент трения 0,51. ♦ 2.1.19. Если нажимать пальцем на шариковую ручку, опирающуюся на твер- дую поверхность, одновременно наклоняя ее, то, пока ручка образует малый угол с перпендикуляром к поверхности, она будет послушно следовать за пальцем ру- ки. Как только угол наклона ручки превысит некоторое максимальное значе- ние α max , она выскользнет из-под пальца, как бы сильно или слабо ни нажимать на нее. Поэкспериментируйте сами и оцените коэффициент трения между шари- ком ручки и поверхностью, на которую она опирается. ♦ 2.1.20. На горизонтальной доске лежит брусок массы m. Доску медленно наклоняют. Определите зависимость силы трения, действующей на брусок, от угла наклона доски α. Коэффициент трения µ. ♦ 2.1.21. Ленточный подъемник образует угол α с горизонтом. С каким мак- симальным ускорением может подниматься ящик на таком подъемнике, если ко- эффициент трения равен µ? Лента не прогибается. 2.1.22. Через какое время скорость тела, которому сообщили вверх по на- клонной плоскости скорость v, снова будет равна v? Коэффициент трения µ, угол между плоскостью и горизонтом α, tg α > µ. 2.1.23. На тело массы m, лежащее на горизонтальной плоскости, действует сила F под углом α к горизонту. Коэффициент трения µ. Найдите ускорение тела, если оно не отрывается от плоскости. 27 ♦ 2.1.24. Цилиндр скользит по желобу, име- ющему вид двугранного угла с раствором α. Ребро двугранного угла наклонено под углом β к горизонту. Плоскости двугранного угла об- разуют одинаковые углы с горизонтом. Опре- делите ускорение цилиндра. Коэффициент тре- ния между цилиндром и поверхностью жело- ба µ. ♦ 2.1.25. Нить, перекинутая через блок с неподвижной осью, пропущена через щель. На концах нити подвешены грузы, масса которых m 1 и m 2 . Определите ускорения грузов, если при движении нити на нее со стороны щели действует постоянная сила трения F тр ♦ 2.1.26 ∗ . По деревянным сходням, образующим угол α с горизонтом, втаски- вают за привязанную к нему веревку ящик. Коэффициент трения ящика о сход- ни µ. Под каким углом к горизонту следует тянуть веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик? ♦ 2.1.27 ∗ . Человек массы m 1 , оставаясь на месте, тянет за веревку груз мас- сы m 2 . Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен µ. При какой наименьшей силе натяжения веревки груз стронется с места? Под каким углом к горизонтальной плоскости должна быть направлена веревка? 2.1.28. На обледеневшем участке шоссе коэффициент трения между колесами и дорогой в десять раз меньше, чем на необледеневшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем участке шоссе остался прежним? 2.1.29. Автомобиль с мощным двигателем, трогаясь с места, за 5 с набирает скорость 72 км/ч. Найдите коэффициент трения между колесами и дорогой. Каков наименьший тормозной путь автомобиля, набравшего эту скорость? 28 |