Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп
 Скачать 5.02 Mb.
|
|
Н · м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 K? 5.1.6. Сосуд разделен на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из легких молекул, в другой — из тяжелых. Давле- ние газа в обеих секциях сосуда в начальный момент одинаково. Через некоторое время давление в той секции сосуда, где находились тяжелые молекулы, увели- чилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давление в обеих секциях сосуда выравнялось. Объясните этот эффект. ♦ 5.1.7. В секции сосуда находится смесь гелия с водородом. Давление водоро- да и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие A. Определите отношение давления гелия к давлению во- дорода в секции 2. ♦ 5.1.8 ∗ . Сосуд разделен перегородками на n изолированных секций. В началь- ный момент в секции 1 находится одинаковое число молекул с молярной массой µ 1 и µ 2 . В остальных секциях вакуум. На короткое время в перегородках открывают небольшие отверстия, как показано на рисунке. Оцените отношение числа моле- кул с молярной массой µ 1 к числу молекул с молярной массой µ 2 в n-й секции сосуда. 124 5.1.9 ∗ . Из сосуда через отверстие в стенке вытекает за время τ половина разреженного газа. За какое время вытекла бы половина этого же газа, если бы все размеры сосуда (в том числе и размеры отверстия) были в n раз больше? 5.1.10. Оцените, во сколько раз поток газа, вытекающего из сосуда через цилиндрический канал радиуса R и длины L, меньше потока газа, вытекающего через отверстие радиуса R. Считать, что стенки канала поглощают молекулы. ♦ 5.1.11 ∗ . Два сосуда одинакового объема V соединены узким каналом. В со- судах находится небольшое число частиц N (т. е. частиц так мало, что они почти не сталкиваются друг с другом). Сколько частиц окажется в каждом из сосудов, если температура газа в одном сосуде равна T 1 , а во втором — T 2 > T 1 ? В соединительный канал поместили легкий флажок. В какую сторо- ну он отклонится? § 5.2. Распределение молекул газа по скоростям 5.2.1. В 1 см 3 при давлении 0,1 МПа находится 2,7 · 10 19 молекул азота. Чис- ло молекул, вертикальная составляющая скорости которых лежит в интервале от 999 до 1001 м/с, равно 1,3 · 10 12 а. Какое число таких молекул содержитсяв 1 л азота? б. Сколько молекул азота, имеющих вертикальную составляющую скорости в интервалах 1000 ± 0,1 и 1000 ± 10 м/с, содержится в 1 м 3 ? Считать, что чис- ло молекул, обладающих скоростью, лежащей в некотором интервале скоростей, пропорционально этому интервалу. 5.2.2. Распределения молекул по проекциям v i скорости на оси координат (i = x, y, z) взаимно независимы. Пользуясь этим, определите в задаче 5.2.1 чис- ло молекул азота в 1 см 3 , горизонтальные составляющие скоростей которых, так же как и вертикальные, лежат в интервале от 999 до 1001 м/с: число молекул, го- ризонтальные составляющие скоростей которых лежат в интервале 1000±0,1 м/с, а вертикальные — в интервале 1000 ± 2 м/с. ♦ 5.2.3. Число молекул однородного идеального газа dN , скорость которых вдоль произвольной оси x лежит в интервале (v x , v x + dv x ), из общего числа N его молекул при данной температуре T определяется распределением Максвелла: dN = N m 2πkT exp − mv 2 x 2kT dv x = N f (v x ) dv x , где m — масса молекулы, k — постоянная Больцмана. Функция f (v x ) = m 2πkT exp − mv 2 x 2kT 125 называется функцией распределения. На рисунке приведена функция рас- пределения молекул азота при комна- тной температуре (T = 293 K). Ис- пользуя график, найдите: а) сколько в 1 см 3 воздуха содержится молекул азота, имеющих в некотором направ- лении скорость в интервале от 499 до 501 м/с, б) сколько в 1 м 3 со- держится молекул азота, имеющих в некотором направлении скорость в интервале от 498 до 502 м/с, если число молекул азота в 1 см 3 равно 2 · 10 19 5.2.4. При какой температуре функция распределения по скоростям молекул водорода будет совпадать с функцией распределения по скоростям молекул азота при комнатной температуре. 5.2.5. Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию ско- рости на ось x в интервале от 3000 до 3010 м/с, к числу молекул водорода, име- ющих проекцию скорости на ту же ось в интервале от 1500 до 1505 м/с. Темпе- ратура водорода 300 K. 5.2.6. Найдите отношение числа молекул водорода, имеющих проекцию ско- рости на ось x в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось y — в интервале от 3000 до 3010 м/с, на ось z — в интервале от 3000 до 3002 м/с, к числу молекул во- дорода, имеющих проекцию скорости на ось x в интервале от 1500 до 1505 м/с, на ось y — в интервале от 1500 до 1501 м/с, на ось z — в интервале от 1500 до 1502 м/с. Температура водорода 300 K. 5.2.7 ∗ . В стенке сосуда с разреженным газом сделано малое отверстие. Как будет изменяться температура газа при его вытекании? ♦ 5.2.8 ∗ . В толстой стенке сосуда, содержащего газ, сделан прямой канал дли- ны l, который соединяет сосуд с вакуумным пространством. Для формирования пучка молекул канал снабжен двумя затворами. Затвор 1 расположен на выходе канала в сосуд, затвор 2 — на выходе канала в вакуумное пространство. Пучок молекул формируется следующим образом: сначала на время τ открывают за- твор 1, затем, после того как этот затвор закроется, через время t 0 открывается на время τ затвор 2. Молекулы, пролетевшие во время этого процесса канал, об- разуют в вакуумном пространстве пучок. Чему равна длина этого пучка через время t после закрывания затвора 2? ♦ 5.2.9. Источник атомов серебра создает узкий ленточный пучок, который попадает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Устройство начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100π рад/с. Определите скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол ϕ = 0,314 рад от первоначального положения. ♦ 5.2.10. Отверстие в стенке перекрыто цилиндрической пробкой. На поверх- ности пробки прорезан узкий винтовой канал с шагом h. По одну сторону стенки 126 находится разреженный газ, по другую — вакуум. Молекулы газа легко погло- щаются стенками канала. Пробка вращается с угловой скоростью ω. Какой ско- ростью будут обладать молекулы, прошедшие по каналу? 5.2.11. Представим, что удалось сфотографировать на кинопленку молекулы газа, функция распределения которых по скоростям f (v). а. Найдите функцию распределения «частицы» — изображений молекул газа на экране по скоростям, если увеличение, с которым изображение на кинопленке проецируется на экран, равно l. б. Кинопленку при воспроизведении записи начали прокручивать в k раз быстрее, чем при съемке. Найдите функцию распределения «частиц» по скоро- стям в этом случае. 5.2.12. Скорости частиц, движущихся в потоке, имеют одно направление и лежат в интервале от v 0 до 2v 0 . График функции распределения частиц по скоро- стям имеет вид прямоугольника. Чему равно значение функции распределения? Как изменяется функция распределения, если на частицы в течение времени τ вдоль их скорости действует сила F ? Масса каждой частицы равна m. 5.2.13 ∗ . Скорости частиц в пучке имеют одно направление и лежат в ин- тервале от v до v + ∆v (∆v v). В единице объема пучка находится n частиц, Масса каждой частицы m. а. В течение времени τ на частицы в направлении их движения действует сила F . Определите интервал скоростей и число частиц в единице объема после действия силы. б. Определите интервал скоростей и число частиц в единице объема после прохождения области, где на расстоянии l вдоль направления движения на ча- стицы действовала сила F . 5.2.14 ∗ . а. Пусть создан пучок одинаковых молекул с функцией распределе- ния f (v x ) = 2 α/π exp (−αv 2 x ), α > 0. Масса молекулы m. Как изменится число молекул в единице объема, если пу- чок пройдет область протяженности l, в которой на каждую молекулу действует тормозящая сила F ? б. Плотность частиц вблизи поверхности Земли ρ 0 , их температура T , а масса частиц m. Частицы имеют максвелловское распределение по скоростям. Определите плотность частиц и распределение частиц по скоростям на высоте h над Землей. 5.2.15. На высоте 3 км над поверхностью Земли в 1 см 3 воздуха содержится примерно 10 2 пылинок, а у самой поверхности — примерно 10 5 . Определите сред- нюю массу пылинки и оцените ее размер, предполагая, что плотность пылинки 1,5 г/см 3 . Температура воздуха 27 ◦ C. 5.2.16. У поверхности Земли молекул гелия почти в 10 5 раз, а водорода по- чти в 10 6 раз меньше, чем молекул азота. На какой высоте число молекул гелия будет равно числу молекул азота? водорода? Принять среднюю температуру ат- мосферы равной 0 ◦ C. 5.2.17 ∗ . Испарение жидкости можно рассматривать как «уход» с ее поверх- ности быстрых молекул, т. е. тех молекул, кинетическая энергия которых больше энергии связи молекул в жидкости. Испарение жидкости прекращается, как толь- ко число уходящих молекул сравняется с числом молекул, которые приходят в жидкость из ее пара. Пар, состоящий из тех же молекул, что и жидкость, носит название «насыщенный пар», если он находится в равновесии с жидкостью. а. Оцените число молекул в единице объема насыщенного пара при темпе- ратуре T , если молярная теплота парообразования жидкости равна q, а число 127 молекул в единице объема жидкости равно n 0 . Молекулы в жидкости и ее газо- вой фазе (в паре) имеют максвелловское распределение по скоростям. б. При температуре 100 ◦ C молярная теплота парообразования воды — около 4 · 10 4 Дж/моль. Оцените число молекул воды в насыщенном паре при 100 ◦ C. § 5.3. Столкновения молекул. Процессы переноса 5.3.1. При атмосферном давлении и температуре 0 ◦ C длина свободного про- бега молекулы водорода равна 0,1 мкм. Оцените диаметр этой молекулы. 5.3.2. Оцените длину свободного пробега молекулы азота в воздухе при нор- мальных условиях. Радиус молекул азота и кислорода принять равным 0,18 нм. 5.3.3. Оцените, сколько раз за 1 с в 1 см 3 воздуха сталкиваются молекулы азота друг с другом и молекулы азота с молекулами кислорода. 5.3.4. Плотность газа увеличили в три раза, а температуру уменьшили в четыре раза. Как изменилось число столкновений молекул в единицу времени? 5.3.5. В сосуде находится смесь двух газов. В единице объема смеси содер- жится n 1 молекул одного газа и n 2 молекул другого газа. Радиус молекул соот- ветственно R 1 и R 2 . Оцените длину свободного пробега молекул этих газов. 5.3.6 ∗ . При нормальных условиях в 1 см 3 атомарного водорода содержится 2,7 · 10 19 атомов. Оцените время, в течение которого 0,1 часть атомов водорода превращается в молекулы водорода. Считать, что каждое столкновение двух ато- мов водорода приводит к образованию молекулы. Радиус атома водорода 0,06 нм. 5.3.7 ∗ . Определите отношение числа молекул вида A 2 , B 2 к числу молекул вида AB, если в смеси при столкновениях происходят реакции A 2 + B 2 → 2AB и AB + AB → A 2 + B 2 Число атомов A равно числу атомов B, радиус молекул A 2 , B 2 , AB равен соот- ветственно r A 2 , r B 2 , r AB , масса молекул одинакова. 5.3.8. а. Относительное содержание радиоактивных атомов в газе невелико. Их число в единице объема линейно растет с высотой: n = αh. Масса атома m, длина его свободного пробега λ, а температура T . Оцените плотность этих атомов на земле. б. Оцените коэффициент диффузии водяного пара в воздухе при 20 ◦ C. Радиус молекул воды 0,21 нм. Радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм. 5.3.9. Коэффициент диффузии молекул A в газах B 1 и B 2 равен соответ- ственно D 1 и D 2 , если в единице объема этих газов содержится n частиц. Най- дите коэффициент диффузии молекул A в смеси газов, в единице объема которой содержится n 1 молекул газа B 1 и n 2 молекул газа B 2 ♦ 5.3.10 ∗ . В тонком сосуде длины L и сечения S находится сухой воздух, изолированный заслонкой от воздуха, содержащего насыщенный водяной пар. Температура дна сосуда поддерживается на посто- янном уровне ниже 0 ◦ C. Заслонку убирают. Оцените время, за которое в сосуде установится стационарное состояние пара. Определите массу воды, заморажи- ваемой в единицу времени, когда в сосуде установит- ся стационарный поток пара. Коэффициент диффузии насыщенного пара D, его плотность ρ. 5.3.11. а. Температура воздуха земной атмосферы линейно увеличивается с высотой h, T = T 0 + αh. При этом относительное изменение температуры αh/T 0 остается много меньше единицы. Длина свободного пробега молекул воздуха λ, 128 масса каждой молекулы m, число молекул в единице объема воздуха n. Оцените плотность теплового потока на Землю. Изменится ли плотность этого потока, если число молекул в единице объема воздуха увеличится? б. Во сколько раз теплопроводность водорода больше теплопроводности воз- духа? Радиус молекул водорода 0,14 нм, радиус молекул азота и кислорода 0,18 нм. Температура газов одинакова. 5.3.12. Оцените тепловой поток из комнаты, размеры которой 5 × 5 × 4 м, наружу через два окна с рамами площади 1, 5 × 2, 0 м, расположенными на рас- стоянии 0,2 м друг от друга, и время, в течение которого температура в комнате уменьшится на 1 ◦ C, если температура комнатного воздуха +20 ◦ C, а наружного −20 ◦ C. Почему тепловой поток через окна всегда значительно больше? 5.3.13 ∗ . Теплопроводность газов A 1 и A 2 равна соответственно κ 1 и κ 2 Определите теплопроводность смеси, в которой молекул газа A 1 в α раз больше, чем молекул газа A 2 . Температура газов одинакова, газы одноатомные. Молярная масса газов соответственно µ 1 и µ 2 5.3.14. В разреженном газе нагретое тело остывает за время t. За какое вре- мя остынет тело из того же материала, если все его линейные размеры увеличить в n раз? § 5.4. Разреженные газы. Взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела ∗) 5.4.1. Оцените число молекул воздуха, попадающих на 1 см 2 стены вашей комнаты в 1 с, и импульс, переданный ими стене. 5.4.2. Во сколько раз изменится давление газа, если k-я часть молекул, уда- ряющихся о стенку, вдруг начнет поглощаться ею? 5.4.3. В разреженном газе с постоянной скоростью v движется шар радиу- са r. Число молекул в единице объема газа n, масса молекулы m, тепловые скоро- сти молекул значительно меньше скорости шара. Оцените силу сопротивления, действующую на шар. 5.4.4. Почему метеориты раскаляются в атмосфере Земли? 5.4.5. В разреженном газе с молярной массой µ движется диск радиуса r с постоянной скоростью v, направленной вдоль оси диска. Оцените силу сопротив- ления, действующую на диск. Скорость диска много меньше тепловой скорости молекул. Давление газа P , его температура T . ♦ 5.4.6. В сосуде находится газ под давлением P . В стенке сосуда имеется отверстие площади s, размеры которого малы по сравнению с длиной свободного пробега молекул газа. Определите реактивную силу, испытываемую сосудом при истечении газа в вакуумное пространство. ♦ 5.4.7. В разреженном газе с молярной массой µ движется пластина так, как показано на рисунке. Оцените, какую силу необходимо прикладывать к пластине, чтобы она двигалась с постоянной скоростью v. Площадь пластины S, давление газа P , его температура T . Скорость пластины мала по сравнению с тепловой скоростью молекул. 5.4.8. В сосуде с газом, давление которого можно менять, находятся два параллельных диска. Один диск висит на упругой нити, другой вращается с по- стоянной угловой скоростью. Угол закручивания первого диска при давлении P 1 ∗) В этом параграфе считать, что молекулы в разреженном газе (длина свободного пробега молекул много больше характерных размеров системы), уходящие с поверхности твердого тела, имеют среднеквадратичную скорость, соответствующую температуре твердого тела. 9 129 равен ϕ 1 . При увеличении давления газа угол закручивания нити сначала увели- чивается, а затем, достигнув величины ϕ 2 , перестает зависеть от давления газа. Объясните этот эффект. Как зависит угол закручивания нити от давления газа при ϕ ϕ 2 ? 5.4.9. Между двумя длинными коаксиальными цилиндрами радиуса r 1 и r 2 находится разреженный газ. Внутренний цилиндр вращается с постоянной угло- вой скоростью ω. Оцените угловую скорость внешнего цилиндра. ♦ 5.4.10 ∗ . Легкие слюдяные пластины с зеркальной поверхностью зачернили с одной стороны и закрепили на оси вращения так, как показано на рисунке. За- тем эту систему поместили в стеклянный сосуд, из которого частично откачали воздух. Если теперь этот сосуд поставить в ярко освещенное помещение, то пла- стины начнут вращаться по часовой стрелке, причем тем быстрее, чем больше света в помещении. Снабдив это устройство измерительной шкалой, можно ис- пользовать его в качестве радиометра — прибора для измерения интенсивности светового излучения. Объясните принцип действия этого прибора. 5.4.11 ∗ . Оцените подъемную силу пластины площадью 1 м 2 , нижняя по- верхность которой находится при температуре 100 ◦ C, а верхняя — при 0 ◦ C. Температура воздуха 20 ◦ C, давление 0,1 Па. 5.4.12. Оцените скорость, с которой будет двигаться в сильно разреженном воздухе плоский диск, одна из сторон которого нагрета до температуры 310 K, а другая — до 300 K. Температура воздуха 300 K. 5.4.13 ∗ . Две одинаковые параллельные пластины площади S каждая рас- положены в сосуде близко друг к другу; их температура T 1 и T 2 , температура стенок сосуда T 1 . Пластины отталкиваются друг от друга с силой F . Оцените давление разреженного газа в сосуде. ♦ 5.4.14 ∗ . В сосуде с газом поддерживается температура T 0 . Вне его находится газ, давление которого P , а температура T . Чему равно давление газа внутри сосуда, если в стенке сосуда имеется небольшое отверстие? Газы разрежены. ♦ 5.4.15 ∗ . Теплоизолированная полость сообщается через небольшие одинако- вые отверстия с двумя другими полостями, содержащими газообразный гелий, 130 давление которого поддерживается постоянным и равным P , а температура — равной T в одной полости и 2T — в другой. Найдите давление и температуру, установившиеся внутри этой полости. Газы разрежены. 5.4.16 ∗ . Между двумя плоскими параллельными пластинами, расположен- ными на расстоянии δ друг от друга, находится одноатомный газ (длина сво- бодного пробега атомов много больше δ). Оцените плотность потока тепла, если температура пластин поддерживается равной T и T + ∆T соответственно, а в единице объема газа содержится n атомов; µ — масса атома. ♦ 5.4.17. В тепловом манометре давление газа определяют по температуре теплового элемента, на котором в единицу времени выделяется всегда одно и то же количество теплоты. На рисунке приведен график зависимости температуры элемента от давления азота. Как, пользуясь этим графиком, получить аналогич- ную кривую для водорода? 5.4.18. Оцените массу жидкого воздуха, испарившегося за час из плохо отка- чанного сосуда Дьюара, если давление воздуха (при температуре 293 K), остав- шегося между стенками сосуда, равно 0,133 Па. Поверхность сосуда 600 см 2 , удельная теплота парообразования жидкого воздуха 0,2 МДж/кг, его температу- ра 81 K. Зазор между стенками сосуда мал по сравнению с длиной свободного пробега молекул. 5.4.19 ∗ . Из-за небольшой разницы температур двух параллельных пластин между ними в разреженном газе, в единице объема которого содержится n частиц, возник тепловой поток W 1 . При увеличении давления газа тепловой поток сначала увеличивается, а затем, достигнув величины W 2 , перестает зависеть от давления газа. Объясните этот эффект. Оцените радиус молекул газа. Расстояние между пластинами δ. 5.4.20. Две параллельные пластины находятся на расстоянии δ друг от дру- га, малом по сравнению с их размерами. Между пластинами на одинаковом рас- стоянии друг от друга помещают N тонких и хорошо проводящих тепло пе- регородок — экранов. Определите влияние экранов на теплопроводность между пластинами в двух случаях: а) δ/N λ; б) δ < λ, где λ — длина свободного пробега молекул газа, заполняющего пространство между пластинами. § 5.5. Уравнение состояния идеального газа |