Г. П. Михайлов физика твердого тела, атома и атомного ядра

• Название: Г. П. Михайлов физика твердого тела, атома и атомного ядра
• Дата: 10.11.2022
• Размер: 1.94 Mb.
• Имя файла: lab-praktikum1.pdf
• Тип: Практикум; #780271
• страница: 13 из 16

Полукачественный анализ
Процентное содержание того или иного элемента в образце определяется после его обнаружения. Для этого:

1) просматривают все группы спектральных линий данного элемента, сравнивают интенсивности линий для каждой аналитической пары, состоящей из линии анализируемого элемента и линии основы (например, анализируемый элемент Cr, основа – Fe);
2) по соотношению интенсивностей линий основы и примеси, пользуясь таблицами стилоскопических признаков, оценивают содержание анализируемого элемента в сплаве;
3) по окончании анализа стилоскоп отключают;
4) результаты измерений заносят в табл. 6.5.
Таблица 6.5
Исследуемый элемент
Спектральная группа
Оценка интенсивности
Содержание примеси, %
Контрольные вопросы
1. Что такое спектральный анализ?
2. Что такое эмиссионный спектральный анализ?
3. Что представляют собой спектры атомов?
4. Чем отличается спектр нейтрального атома от спектра ионизированного атома?
5. Что такое качественный и количественный спектральный анализ?
6. Как проводится полуколичественный спектральный анализ?
7. Какова оптическая схема стилоскопа СЛ-13?
8. Что такое «последняя» линия?

6.3. Лабораторная работа № 13 (100)
Изучение сериальных закономерностей атома водорода
ВВЕДЕНИЕ
Планетарная модель атома Резерфорда, успешно истолковав результаты опытов по рассеянию α-частиц, в свою очередь столкнулась с очень серьезными трудностями. По законам классической механики Ньютона и электродинамики Максвелла электрон в планетарной модели должен тратить энергию на излучение и за время порядка 10
–8
секунд прекратить свое существование. Этот вывод находится в глубоком противоречии с опытом: ведь на самом деле ничего такого не наблюдается. Предметы нашего мира вполне устойчивы и не распадаются на глазах! Атом может сколь угодно долго пребывать в невозбужденном состоянии, не излучая при этом электромагнитные волны. Оставалось признать, что внутри атомов перестают действовать известные законы классической физики. Первый прорыв в познании законов микромира принадлежит великому датскому физику Нильсу Бору. Он предложил постулаты, резко расходящиеся с механикой и электродинамикой, тем не менее позволяющие правильно описать простейший из атомов − атом водорода. Теория Бора продемонстрировала, что для описания атомных объектов принципиально недостаточно представлений классической физики. В микромире работают другие, совершенно новые законы. Для микромира характерно квантование –
дискретность изменения величин, описывающих состояние объекта.
В качестве меры квантования, как показала теория Бора, может выступать постоянная Планка, которая является универсальной константой и играет фундаментальную роль во всей физике микромира. Теория Бора впервые указала на факт наличия стационарных энергетических состояний атома, образующих дискретный набор. Этот факт оказался общим свойством объектов микромира. В рамках модели Бора удалось получить формулы для вычисления частот спектра атома водорода. Однако теория Бора, разумеется, не могла претендовать на роль общей теории, описывающей микромир.
Модель
Бора обладала рядом существенных недостатков, и в первую очередь ей присуща непоследовательность. С одной стороны, она отвергает описание

атома на основе классической физики, т. к. постулирует наличие стационарных состояний и правила квантования, непонятных с точки зрения механики и электродинамики. С другой стороны, классические законы – второй закон Ньютона и закон Кулона – используются для записи уравнения движения электрона по круговой орбите. Теория Бора не смогла дать адекватное описание самого простого после водорода атома гелия и не объясняла различие в интенсивностях спектральных линий атома водорода. Несмотря на свои недостатки, теория Бора стала важнейшим этапом развития физики микромира. Полуклассическая-полуквантовая модель Бора послужила промежуточным звеном между классической физикой и последовательной квантовой механикой, построенной в 20-х гг. XX в.
ЦЕЛИ РАБОТЫ
1. Изучение теории Бора и уравнения Шредингера для атома водорода.
2. Исследование сериальных закономерностей видимой области спектра атомарного водорода и определение постоянной Ридберга.
ЗАДАЧИ
1. Закрепление теоретических знаний по теме «Квантовая физика».
2. Приобретение навыков проведения физических измерений, умения обработки полученных данных.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Формула Бальмера и теория Бора
Спектры излучения изолированных атомов, например атомов разреженного одноатомного газа или паров металла, состоят из отдельных спектральных линий и носят название линейчатых.
Изучение линейчатых спектров показывает, что в расположении линий, образующих спектр, наблюдаются определенные закономерности: линии группируются в серии. Впервые это было обнаружено Бальмером (1885 г.) для атома водорода. Сериальные закономерности в атомных спектрах присущи не только атому водорода, но и другим атомам и свидетельствуют о проявлении квантовых свойств излучающих атомных систем. Для атома водорода

эти закономерности могут быть выражены с помощью соотношения
(обобщенная формула Бальмера)
2 2
1 1
1
R
n
i









, (6.12) где

– длина волны, R – постоянная Ридберга, равная
1 1,09 107 м
R



, n и i – целые числа, причем
1
i n
 
,
2
i n
 
и т. д.
Формула (6.12) является обобщением зависимостей, полученных на опыте для отдельных серий спектральных линий (
1
n

– серия
Лаймана в ультрафиолетовой области,
2
n

– серия Бальмера в видимой области,
3
n

– серия Пашена в инфракрасной области и т. д.). Например, для серии Бальмера в видимой части спектра
2 2
1 1
1 2
R
i









(6.13)
Таким образом, в обобщенной формуле Бальмера (6.12) целое число n дает номер серии, а целое число i – номер линии в серии
(рис. 6.7).
Рис. 6.7. Схема образования спектральных серий атомарного водорода

На рис. 6.7 изображена схема уровней энергии атома водорода
(
1)
Z
 . Уровни здесь нумеруются квантовым числом n. За нуль принята энергия с n
 . Этот уровень изображен верхней горизонтальной широкой прямой. Все энергетические уровни, расположенные ниже, дискретны. Им соответствуют отрицательные значения полной энергии атома. Выше линии n
  энергия не квантуется, т. е. энергетический спектр непрерывен.
При непрерывном энергетическом спектре (
0)
E
 электрон может как угодно далеко удаляться от ядра (ионизация атома). В случае дискретного спектра (
0)
E
 ядро и электрон образуют связанную систему – атом. С возрастанием n соседние уровни энергии атома сближаются, и при n
  расстояние между ними стремится к нулю, дискретность энергетического спектра становится все менее заметной. Поэтому можно ожидать, что в таком случае квантовая система будет вести себя как классическая. Это положение было выдвинуто Бором и названо им принципом соответствия.
Спектральные закономерности атома водорода объясняются теорией Бора, которая строится на двух постулатах:
1. Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются в действительности только некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определенным квантовым условиям. Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря на то, что он движется с ускорением, не излучает электромагнитных волн. Их выбор подчиняется правилу квантования круговых орбит: из всех орбит электрона, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются только те, для которых момент импульса электрона равен целому кратному постоянной Планка
n n
mv r
n
 
, (6.14) где m − масса электрона,
n
v
− скорость электрона на n-орбите,
n
r
− радиус n-орбиты,
/ 2
h



2. При переходе электрона из одного стационарного
(устойчивого) состояния в другое испускается или поглощается квант энергии hν. Величина светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона:
in
i
n
mv
E
E


. (6.15)

Получим выражение для полной энергии электрона, исходя из теории
Бора. Исходными уравнениями будут условие квантования орбит
(6.14) и второй закон Ньютона
2 2
2 0
/
(1/ 4
)
/
n
n
n
mv
r
e
r


, (6.16) где
0

– электрическая постоянная. Из (6.16) получим выражение для полной энергии электрона на n-й орбите:
4 2
2 2 0
1 8
n
me
E
n
h
 

. (6.17)
Энергия фотона,
возникающего при переходе электрона с i-й орбиты на n-ю (
)
i n
 :
4 2 2 2
2 0
1 1
8
i
n
me
hv E
E
h
n
i








 

. (6.18)
Можно также получить выражение для длины волны фотона:
4 3 2 2
2 0
1 1
1 8
me
h
c n
i







 

. (6.19)
Численное значение константы, стоящее перед скобкой в формуле (6.19), в точности совпадает с экспериментально полученным значением постоянной Ридберга. Таким образом, теория
Бора позволяет почти классическим образом описать поведение электрона в атоме водорода и объяснить устойчивость атомов.
Оказалось, что для атомов и ионов, имеющих более одного электрона, теория Бора дает результаты, не совпадающие с экспериментом. Поэтому возникла необходимость разработки новой теории, позволяющей описать электронные свойства атомов и микрочастиц – квантовой теории. Теория Бора является переходным этапом между классическим описанием поведения частиц и квантовой механикой и в настоящее время имеет огромное историческое значение.
Квантово-механическая теория атома водорода
В соответствии с формализмом квантовой механики поведение любой микрочастицы описывается волновой функцией ψ(x, y, z, t).
Квадрат модуля волновой функции
2
 дает значение плотности вероятности нахождения микрочастицы в точке пространства с координатами (x, y, z) в момент времени t. Плотность вероятности –
это вероятность dP нахождения частицы в элементарном объеме dV,

деленная на этот объем. В этом заключается ее физический смысл.
Зная плотность вероятности, можно найти вероятность P нахождения частицы в конечном объеме V:
2
P
dV
 

Если состояние частицы стационарно, т. е. не зависит от времени (именно такие состояния мы и будем рассматривать), то функция
-

распадается на два независимых множителя:
( , , , )
( , , )
,
i t
x y z t
x y z e
 

 
первый из которых не зависит от времени, а второй зависит от времени по гармоническому закону, здесь i – мнимая единица, ω ‒ циклическая частота.
Для нахождения волновой функции служит так называемое
уравнение Шредингера, которое для случая стационарных состояний имеет следующий вид:
2 2
(
)
0
m
E U


 

 





, (6.20) где E, U – полная и потенциальная энергия; Δ ‒ оператор
Лапласа (Δψ=∂
2
ψ/∂x
2
+∂
2
ψ/∂y
2
+∂
2
ψ/∂z
2
).
Для того чтобы ψ-функция имела тот физический смысл, который ей предписывается, она должна быть однозначной, непрерывной и конечной, а также иметь непрерывную и конечную производную. Эти требования, накладываемые на ψ-функцию, называются стандартными. Уравнение Шредингера содержит в качестве параметра полную энергию E. Возможны случаи, когда его решения, удовлетворяющие стандартным условиям, существуют не при всех значениях параметра E, а лишь при некоторых избранных
(собственных значениях), образующих дискретный набор. Таким образом, квантование энергии вытекает из самих основ квантовой механики. Потенциальная энергия электрона в атоме водорода равна:
2 0
/ (4
).
U
e
r
 
 
Подставив ее выражение в уравнение (6.20), получим уравнение
Шредингера для электрона в атоме водорода:
2 2
0
(2 /
)(
/ 4
)
0
m
E e
r
 


 

. (6.21)
Для того чтобы решение уравнения Шредингера (6.21) удовлетворяло стандартным условиям, полная энергия электрона, связанного с ядром (протоном) в атоме водорода, должна быть

отрицательной и дискретной. Решение уравнения (6.21) дает для нее следующее выражение:
4 2
2 2 0
1 8
n
me
E
n
h
 

. (6.22)
Формула (6.22) совпадает с формулой (6.17) теории Бора и получена исходя из основных принципов квантовой механики. Таким образом демонстрируется согласованность выводов квантовой механики и эксперимента.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Конструктивно стенд НТЦ-22.01.3 «Изучение спектра атома водорода» представляет собой основание из алюминиевого профиля с установленным на нем компьютеризованным спектрометром и газоразрядным источником света с источником питания.
Компьютеризованный спектроскоп позволяет на экране ПК наблюдать линейчатые спектры разреженных газов и измерять длины световых волн излучения газа.
Подключение к персональному компьютеру
Для обработки экспериментальных данных используется программное обеспечение, поставляемое в комплекте со стендом
НТЦ-22.01.3. Для установки приложения необходимо запустить файл NTC_22_01_3_setup_ru(en).exe. Для работы приложения требуется 64-битная операционная система не ниже Windows 7.
Программа установки скопирует все необходимые файлы и добавит ярлыки в меню «Пуск» и на рабочий стол.
Работа с программой
1. Перед запуском программы подключить видеокамеру, входящую в состав лабораторного стенда. После запуска приложения появится окно, представленное на рис. 6.8.
2. Если в системе присутствует несколько подключенных видеокамер, то выбрать нужную в выпадающем списке. Если камеры нет в списке, то убедиться в правильности подключения и перезапустить программу. Также рекомендуется убедиться в том, что камера не используется другими приложениями, обновить драйверы и видеокодеки.
3. Установить исследуемый образец и включить питание лампы.
Разместить лампу перед камерой таким образом, чтобы на экране был виден спектр. При необходимости отрегулировать параметры

яркости, контрастности, насыщенности и резкости камеры.
С помощью регулировочного винта навести камеру на интересующую часть спектра. Кликнуть мышью на полосе спектра для определения соответствующей длины волны. При этом на шкале в нижней части окна программы и в списке справа будет отображено полученное значение. Вертикальные белые полосы на экране отмечают границы рабочей области. С помощью кнопки «Удалить выделенное» можно удалить выбранное значение из списка.
С помощью кнопки «Очистить» можно удалить все собранные данные.
ТРЕБОВАНИЯ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
1. Ознакомиться с устройством экспериментальной установки, ее принципом действия.
2. Убедиться в том, что установка заземлена.
3. Убедиться в исправности сетевых шнуров.
ЗАДАНИЯ
1. Определение длин волн для серии Бальмера в видимой части спектра.
2. Расчет постоянной Ридберга.
Рис. 6.8. Общий вид приложения

МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
1. Записать в табл. 6.6 длины волн

2. Используя формулу (6.13) для каждой линии излучения, рассчитать постоянную Ридберга.
3. Записать результат для среднеарифметического значения R и сравнить его с теоретическим значением.
4. Оценить абсолютную и относительную погрешность величины R, используя методику расчета погрешностей для прямых измерений.
Таблица 6.6
Цвет линии
λ, нм
Номер линии i
R, м
−1
Красная
3
Зелено-голубая
4
Фиолетово-синяя
5
Контрольные вопросы
1. Объясните образование спектральных серий атомарного водорода.
2. Сформулируйте постулаты Бора.
3. Объясните принцип соответствия Бора.
4. Получите выражения для радиусов стационарных орбит электрона и скорости электрона в атоме водорода.
5. Выведите формулу для энергии электрона на n-й орбите.
6. Выведите формулу для константы Ридберга на основе теории
Бора.
7. Каковы трудности теории Бора?
8. Что такое ψ-функция и каков ее статистический смысл?
9. Напишите уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.
10. Какую скорость приобретет первоначально покоившийся атом водорода при испускании фотона, соответствующего головной линии: 1) серии Лаймана; 2) серии Бальмера?
Требования к содержанию и оформлению отчета
Отчет по лабораторной работе должен содержать:
1. Название и номер лабораторной работы.
2. Цель работы.
3. Краткую теорию.

4. Основные формулы для выполнения расчетов.
5. Таблицу с результатами измерений.
6. Вывод по результатам работы, в котором приведены результаты вычислений постоянной Ридберга и ее сравнение с теоретическим значением.
Критерии результативности выполнения лабораторной
работы
Лабораторная работа считается выполненной, если студент:
– овладел знаниями теории Бора и сериальных закономерностей спектра атомарного водорода;
– правильно выполнил экспериментальную и расчетную часть работы;
– сформулировал выводы о проделанной работе.