Физика твердого тела (тексты лекций). Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины С. А. Хахомов, А. В. Семченко, Ю. В. Никитюк физика твердого тела

• Название: Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины С. А. Хахомов, А. В. Семченко, Ю. В. Никитюк физика твердого тела
• Анкор: Физика твердого тела (тексты лекций).doc
• Дата: 12.12.2017
• Размер: 1.46 Mb.
• Имя файла: Физика твердого тела (тексты лекций).doc
• Тип: Документы; #11149
• страница: 9 из 11

Колебания цепочки одинаковых атомов

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из n одинаковых атомов с массой М и межатомным расстоянием , которые могут перемещаться вдоль прямой линии (см. рисунок 7.3).

К
аждый атом в такой системе обладает одной степенью свободы, а вся система - N степенями свободы.

Допустим, что в момент времени t = 0 мы сместили из положения равновесия атом с номером n = 0 на расстояние u₀. Так как атомы в цепочке связаны друг с другом силами связи, то такое возбуждение распространится по цепочке в виде волны сжатия, и все остальные атомы сместятся из своих положений равновесия.

Пусть u_n(x, t) - это смещение в какой-то момент времени n-го атома относительно его положения равновесия в точке с координатой x_n=n∙. Если смещения атомов из положения равновесия малы по сравнению с расстоянием , то силы межатомного взаимодействия можно считать квазиупругими (согласно закону Гука, они пропорциональны смещениям). Атомы в цепочке как бы связаны между собой упругими пружинками, каждая из которых характеризуется упругой постоянной С, а смещение u_n описывает колебания атома вблизи положения равновесия.

Найдем уравнение движения n-го атома. Будем считать, что каждый атом взаимодействует лишь с ближайшими соседями, которые оказывают на него наиболее сильное влияние. Влиянием более удаленных атомов будем пренебрегать. Рассмотрим силы, действующие на n-й атом. Исходя из предположения о взаимодействии с ближайшими соседями, силы, действующие на n-й атом можно представить в виде результирующей силы:
.
где  - силовая постоянная, которая связана с упругой постоянной С=.

Зная выражение для силы, запишем закон движения n-го атома:
.
Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей волны:

u_n=u₀exp[i(k∙n∙-∙t)]= u₀∙exp[i(k∙х_n-∙t)].

Здесь u₀ - определяет смещение атома с n = 0 в момент времени t = 0,  - круговая частота, k = 2/- волновое число.
Подставим решение в уравнение движения n-го атома:
.
Из данного выражения следует дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в цепочке из одинаковых атомов:
.

Поскольку  не может быть отрицательной величиной, минус соответствует области отрицательных значений k (см. рисунок 7.4).

Из анализа закона дисперсии следует, что при значении волнового числа , т.е. при коротких длинах волн =2а, циклическая частота колебаний достигает максимального значения =_max=.

Оценим величину _maxk, где - скорость распространения акустических волн. Можно считать, что =510³ м/с. Если принять для твердых тел =310^-10 м, то 10^-10 м^-1 и _max510¹³с^-1, что по порядку величины соответствует частотам тепловых колебаний атомов в твердых телах.

П
ри малых значениях k (при длинах волн, значительно больших расстояний между атомами в цепочке)  зависит от k линейно, как и для случая непрерывной упругой струны с линейной плотностью.
Таким образом, отличие дискретной цепочки от непрерывной струны заключается в отсутствии пропорциональности между частотой  и волновым числом k. Это связано с дисперсией волн. Короткие волны, которым соответствует более высокая частота колебаний частиц, вследствие инерции масс частиц распространяются медленнее, чем длинные волны. Наличие дисперсии волн проявляется в отклонении кривой =(k) от линейной зависимости, справедливой для упругой струны. Цепочка из одинаковых атомов ведет себя в отношении распространения акустических волн как упругая струна только лишь при длинах волн >>2.