Физика твердого тела (тексты лекций). Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины С. А. Хахомов, А. В. Семченко, Ю. В. Никитюк физика твердого тела
 Скачать 1.46 Mb.
|
Основы динамики кристаллической решетки
7.4 Фононы До сих пор мы считали, что частицы находящиеся в узлах кристаллической решетки, являются неподвижными. Это предположение позволило нам разобраться с геометрией кристаллов и разобраться с природой сил взаимодействия частиц решетки. В то же время ряд физических свойств, в частности теплоемкость, теплопроводность, термическое расширение, электропроводность и др., не может быть объяснен без учета колебания частиц в узлах кристаллической решетки. В твердом теле атомы при любой температуре непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колебания можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т. д. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Рассмотрим ряд простейших моделей, учитывающих динамику колебаний и найдем закономерности колебаний частиц в узлах решетки.
Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью . В этом случае движение каждого из элементов струны происходит лишь в направлении ее длины. При распространении продольной волны на элемент толщиной x (см. рисунок 7.1) действуют силы: слева S(x) и справа S(x+x), где S - площадь поперечного сечения струны, (x) и (x+x) - нормальные упругие напряжения.  На элемент x действует результирующая сила F= S(x+x) - S(x). Под действием этой силы элемент x испытывает смещение. Обозначив u(x,t) смещение центра масс элемента x, запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение его движения Sx  = S(x+x) - S(x),здесь Sx=m - масса элемента x, а - ускорение. Уравнение можно переписать в виде = .При x0 оно перейдет в уравнение = .Согласно закону Гука для изотропных твердых тел =Е, где Е - модуль упругости (модуль Юнга),  - деформация в точке. Отсюда = Е = Е  .Тогда уравнение движения для смещения u(x,t) окончательно примет вид = .Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей монохроматической волны: u=u0exp[i(kx-t)]= u0 sin 2 (x/-νt)= u0sin(kx-t) где u0 - амплитуда колебания, ν - частота колебаний, = 2ν - круговая частота, t- время, - длина волны, k = 2/ - волновое число. После подстановки последнего выражения в волновое уравнение получим дисперсионное соотношение  .Из дисперсионного соотношения следует, что для упругой волны, распространяющейся в неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (см. рисунок 7.2).  При этом скорость распространения волны для данного материала - величина постоянная. Для железной струны (E=2,11011 Па, =7,8103 кг/м3) имеем  =5103 м/с.Как видно из рисунка 7.2, модуль волнового числа может меняться от 0 до , а следовательно, частота колебаний меняется непрерывно от 0 до . Поскольку энергия Е=2πhω, то энергия колебаний может неограниченно возрастать. Это противоречит физическим представлениям о строении кристаллической решетки. Следовательно, модель струны является слишком грубой вследствие предположения о непрерывности распределения вещества в объеме кристалла. Поэтому рассмотрим случай дискретного распределения вещества. |