Берман. Государственное издательство техникотеоретической литературы

• Название: Государственное издательство техникотеоретической литературы
• Анкор: Берман
• Дата: 11.02.2021
• Размер: 233.41 Kb.
• Имя файла: Berman_Priemy-bystrogo-scheta-2-e-izdanie-.328005 (1).docx
• Тип: Документы; #175545
• страница: 17 из 22

3.6. Сложение и вычитание приближённых чисел

Рассмотрим задачу: сложить приближённые числа: 2,369; 17,2; 8,65 и 94,12. Напишем их обычным столбиком, но прежде чем начать складывать, немного подумаем

+	2,369
	17,2 . .
	8,65 .
	94,12 .

Верхнее слагаемое содержит 9 тысячных долей. С чем их складывать? Ведь остальные слагаемые тоже содержат какие-то тысячные доли, хотя и не известные нам (на месте этих неизвестных цифр стоят точки). Точно так же, складывая сотые доли, мы не можем подсчитать их точно, потому что нам неизвестно, сколько сотых у второго слагаемого. Десятые же доли даны у всех слагаемых, и их мы можем подз считать. Поэтому всё, что правее десятых, отделяем чертой и зачёркиваем, а дальше склаз дылаем обычном порядком:

+	2,3	69
	17,2	. .
	8,6	5 .
	94,1	2 .
122,2

Получилась сумма: 122,2. Но ручаться за последнюю цифру мы не можем, потому что на число десятых могли повлиять отброшенные нами сотые. Поэтому ответ будет 122 (с точностью до простых единиц). Итак, при сложении приближённых чисел сохраняем справа только те разряды, которые имеются у всех без исключения слагаемых, остальные десятичные знаки отбрасываем. Далее, складываем по обычным правилам, и результат округляем, отбрасывая последнюю цифру (при этом следует пользоваться правилом округления).

Так же поступаем и при вычитании. Вычтем, например, 0, 08365 из 0, 242. Пишем:

-	0,242	. .
	0,083	65
	0,159

Ответ будет 0,16 (округляем, потому что за тысячные доли ручаться не можем: на них могли оказать влияние отброшенные десятитысячные).

Если дано несколько чисел с большим числом верных цифр (т.е. с малой процентной ошибкой, а результат нужно получить с малым числом верных цифр, то поступаем так: подписываем слагаемые столбиком, отсчитываем в наибольшем слагаемом слева направо одной цифрой больше, чем то число верных цифр, которое нужно получить у суммы, ставим правее него вертикальную черту и отбрасываем все знаки, стоящие правее черты. Затем складываем обычным порядком и результат округляем, отбрасывая последнюю цифру. Пример: найдём сумму чисел 345,73+0,8892+25,48+2,3391 с тремя верными цифрами. Выписываем наши слагаемые «столбиком», отсчитываем в самом большом слагаемом (345,73) слева направо четыре цифры (одной больше, чем нужно получить в сумме) и проводим правее десятых долей черту:

+	345,7	3
	0,8	892
	25,4	8
	2,3	391
	374,2

Округляем, просто отбрасывая двойку. Получим ответ: 374. Все три цифры верны.

Отметим одну неприятную особенность вычитания приближённых чисел. Если вычитаются числа, близкие друг к другу, причём числа приближённые, но имеющие много верных цифр, то в результате может получиться число очень грубо приближённое. Вычтем, например, 84,25 из 84,36. И уменьшаемое, и вычитаемое имеют по четыре верных знака. Сколько каждое из них содержит тысячных долей, мы не знаем. Вычтя первое из второго, получим 0,11. О тысячных, разумеется, попрежнему ничего не знаем. Получим всего две верные цифры.

По этой именно причине все формулы и схемы технических расчётов стараются составлять так, чтобы избежать вычитания близких друг к другу чисел.

Примеры: Сложить с возможно большей точностью и в каждом примере оценить абсолютную и процентную погрешности:

32, 415+0,0834+4212,3+0,08.

2,36+4,383+0,000016;

43,3+24,2+8,311+20,13;

842,61-33,9; 562,1-561,2.
В следующих примерах получить результат с тремя верными цифрами:

213,65+0,08343+14,6368+12,53;

42,63+8,0082+0,000636+19,14;

5,8163+0,001234+6,2435+0,8383.