Методические указания к Типовому расчету. Методические указания к Типовому расчету ВАЖНАЯ ХУЙНЯ. ижевский государственный технический университет

• Название: ижевский государственный технический университет
• Анкор: Методические указания к Типовому расчету
• Дата: 21.05.2021
• Размер: 1.52 Mb.
• Имя файла: Методические указания к Типовому расчету ВАЖНАЯ ХУЙНЯ.doc
• Тип: Методические указания; #208184
• страница: 3 из 14

4) При 200 выстрелах мишень будет поражена не более 110 раз. Ищем Р₂₀₀ . . Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k₁=0, k₂=110.

.



5) Вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 115 раз будем искать, также применяя интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Задачи в классе. Здесь n=200, р=0,6,q=0,4, k₁=115, k₂=200.

.



6) На стрельбы пришла Полина Александровна. Для нее вероятность попадания в мишень равна 0,04. Найти вероятность того, что из 200 выстрелов Полина Александровна попадет в мишень 10 раз.

р=0,04, q=0,96, n=200, m=10.

Т.к. n=200 достаточно велико (условие ), применяем теорему Пуассона , где . . Значение Р₁₀(8) берем из таблицы в приложении III.

Тема 6.

Дискретные случайные величины.

Задачи 12-13.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Сами случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: х₁ ,х₂ ,х₃ .

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы перечислены все значения случайной величины в порядке возрастания, а в нижней – соответствующие им вероятности.

Х	х1	х2	х3	…..	xn
Р	p1	p2	p3	…..	pn

Причем следует учитывать, что

(1).

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ будем откладывать значения случайной величины , k=1, 2, …, n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности р_1, р₂, …, р_n. Полученные точки соединяются отрезками прямых.




Построенная таким образом фигура называется многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Функция распределения дискретной случайной величины.
Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения , представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем заданное х.

F(х)=Р{X(2).

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.
Дан ряд распределения случайной величины Х.

xi	2	4	6	7
pi	0,4	0,3	0,1	*

Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения.
Решение: так как сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке есть величина равная 1, *=1-(0,4+0,3+0,1)=0,2. Т.е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение 7, равна 0,2.

Для нахождения функции распределения будем задавать различные значения х и находить для них F(х)=Р{X

1. 
   Если , то, очевидно, F(x)=0 в том числе и при х=2 F(2)=P(X<2)=0.
   
2. 
   Если , например, х=3; F(x)=P(X=2)=0,4. очевидно, что и F(4)=P(X<4)=0,4.
   
3. 
   Если , например, х=5; F(x)=P(X=2)+P(X=4)=0,4+0,3=0,7. очевидно, что и F(6)=P(X<6)=0,7.
   
4. 
   Если , например, х=6,123; F(x)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=0,4+0,3+0,1=0,8. очевидно, что и F(7)=P(X<7)=0,8.
   
5. 
   Если , например, х=8; F(x)=P(X=2)+ P(X=4)+P(X=6)+P(X=7)==0,8+0,2=1.
   

И
x
зобразим функцию F(x) графически:

.

Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение, иначе говоря, функция распределения непрерывна слева.

Итак, функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующим возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции равна 1.

Свойства функции распределения.

1. .

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. , .

4. Р(х₁ Х2)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 5).

Решение: По формуле Р(х₁ Х2)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Р(2 Х<5)=F(5)-F(2)=1-2/3=1/3. (4).

Ответ : 1/3.
Математические операции над случайными величинами.

Определение: Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.
Пример: Суммы выигрыша в двух различных лотереях – независимые случайные величины так как при любом выигрыше в первой лотерее, закон распределения выигрышей по второй лотерее не изменится.
Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть даны две случайные величины: Х и Y

xi	х1	х2	х3	…..	xn
pi	p1	p2	p3	…..	pn

yj	y1	y2	y3	…..	ym
pj	p1	p2	p3	…..	pm

1. 
   Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).
   
2. 
   Cтепенью m случайной величины Х называется случайная величина Х^m, которая принимает значения x_i^m с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).
   

Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения x_i^m могут получаться одними и теми же способами при различных x_i , то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей.
Пример: Дана случайная величина Х:

xi	-3	-2	0	1	2
pi	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Найти закон распределения случайных величин 5Х и Х².

Решение: Закон распределения случайной величины 5X.

5xi	-15	-10	0	5	10
pi	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Случайная величина Х² примет значения (-3)²=9; (-2)²=4; (0)²=0; 1²=1 и 2²=4.

Значение Х=4 получили при значении х=-2 с вероятностью 0,2 и при значении х=2 с вероятностью 0,45. Тогда Р(Х²=4)=0,2+0,35=0,55.

Закон распределения случайной величины X².

Xi2	0	1	4	9
pi	0,05	0,3	0,55	0,1

3. Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида х_i+y_j (х_i-y_j или х_iy_j), где i=1, 2,…, n, j=1, …, m с вероятностями p_ij=Р . Если случайные величины независимы, то по теореме умножения вероятностей

p_ij=Р (5)

Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения х_i+y_j (х_i-y_j или х_iy_j), могут получаться одними и теми же способами при различных x_i ,y_j то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей p_i или p_ij .

Пример: Даны законы распределения двух случайных величин Х и Y:

xi	-2	0	1	2
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

yi	-2	0	1	4
pi	0,1	0,2	0,1	0,6

Найти закон распределения случайных величин а )Z=X+Y; б)U=XY.
Решение: Составим вспомогательную таблицу:

X+Y	yj	-2	0	1	4
xi	pi pj	0,1	0,2	0,1	0,6
-2	0,2	-4 0,02	-2 0,04	-1 0,02	2 0,12
0	0,1	-2 0,01	0 0,02	1 0,01	4 0,06
1	0,3	-1 0,03	1 0,06	2 0,03	5 0,18
2	0,4	0 0,04	2 0,08	3 0,04	6 0,24

Таблица заполняется следующим образом: в каждой клетке таблицы в левом углу находится значение разности х_i-y_j , а в правом углу – вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей p_i и p_j .

Так как среди 16 значений таблицы находятся повторяющиеся, то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей. Например, значение

Z=X+Y=0 может быть получено, когда X=2, Y=-2 с вероятностью 0,04; Х=0,Y=0 с вероятностью 0,02, поэтому Р(Z=0)=0,04+0,02=0,06 и т.д.

zi	-4	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6
pi	0,02	0,05	0,05	0,06	0,07	0,23	0,04	0,06	0,18	0,24

Убедимся, что условие выполнено.

Б) аналогично составляем таблицу для U=XY

XY	yj	-2	0	1	4
xi	pi pj	0,1	0,2	0,1	0,6
-2	0,2	4 0,02	0 0,04	-2 0,02	-8 0,12
0	0,1	0 0,01	0 0,02	0 0,01	0 0,06
1	0,3	-2 0,03	0 0,06	1 0,03	4 0,18
2	0,4	-4 0,04	0 0,08	2 0,04	8 0,24

ui	-8	-4	-2	0	1	2	4	8
pi	0,12	0,04	0,05	0,28	0,03	0,07	0,2	0,24

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную величину. Однако, когда невозможно определить закон распределения, или этого не требуется, можно ограничиться нахождением значений, называемых числовыми характеристиками случайной величины:

Математическое ожидание,

Дисперсия,

Среднее квадратичное отклонение
Эти величины определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Математическое ожидание M дискретной случайной величины - это среднее значение случайной величины, равное сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.