Методические указания к Типовому расчету. Методические указания к Типовому расчету ВАЖНАЯ ХУЙНЯ. ижевский государственный технический университет
 Скачать 1.52 Mb.
|
|
Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение Высшего профессионального образования «ИЖЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Стаханова П.А. Методические. указания к типовому расчету по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика» Типовой расчет №1 «Случайные события, случайные величины». Ижевск 2011 УДК Типовые расчеты по курсу «Высшая математика» раздел «Теория вероятности и математическая статистика» П.А. Стаханова, старший преподаватель кафедры ВМ, Рецензент: М.И. Пономарев, доцент кафедры ВМ. Типовой расчет содержит 30 вариантов по 14 задач в каждом и предназначен для студентов любых специальностей, изучающих теорию вероятности в рамках общего курса высшей математики. Данный типовой расчет содержит задания , разработанные для усвоения тем «Случайные события, случайные величины». Объем и характер типового задания соответствует рабочим программам по высшей математике для большинства специальностей ИжГТУ и предназначен для лучшего усвоения студентами курса высшая математика и интенсификации самостоятельных занятий. В данном пособии представлена также необходимая для выполнения типового расчета теоретическая информация и примеры ее применения . В конце приводится список литературы, которую можно порекомендовать студентам для изучения данного раздела математики. © Стаханова П.А. 2011 © Издательство ИжГТУ, 2011 Методические указания к Типовому расчету №1 по теме «Случайные события, случайные величины». В соответствии с учебным планом и рабочей программой по По дисциплине «Теория вероятностей , математическая статистика и случайные процессы» направления 230100.62 – «Информатика и вычислительная техника» дневной формы обучения каждый студент должен выполнить два типовых расчета в III семестре 2 курса по курсу теории вероятностей и математической статистики. В данной методичке представлены материалы первого типового расчета по теме «Случайные события, случайные величины». Типовой расчет №1 «Случайные величины, законы их распределения и числовые характеристики» содержит 14 заданий. Первые четыре задания носят комбинаторный характер; следующее задание связано с непосредственным вычислением вероятности и с применением формул сложения и умножения; задание 7 – геометрическая вероятность; 8 задача связана с применением формулы полной вероятности и формулы Байеса; 9-11 задачи связаны с повторными независимыми испытаниями, три оставшиеся задачи посвящены случайным величинам, законам распределения случайных величин и их числовым характеристикам. Задания контрольной работы охватывают следующие разделы теории вероятностей: - комбинаторика; - непосредственное вычисление вероятности случайного события; - геометрическое определение вероятности; - формулы суммы и произведения вероятности; - формулы полной вероятности и формулы Байеса; – повторные независимые испытания: основные понятия, формула Бернулли, формулы Муавра – Лапласа (локальная и интегральная), формула Пуассона, условия применения указанных формул; – случайные величины: понятие случайной величины, виды случайных величин (дискретные и непрерывные), способы задания случайных величин (закон распределения, функция распределения и плотность распределения (для непрерывных случайных величин)); – числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, начальные и центральные моменты случайных величин; – некоторые виды распределений случайных величин: распределения дискретных случайных величин (биномиальное, распределение Пуассона, геометрическое), распределения непрерывных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное); – предельные теоремы теории вероятностей. Перед выполнением типового расчета необходимо изучить соответствующие разделы литературы (/3/ гл. 5 § 1-3; гл.6 § 1-8; гл. 7 § 1-5; гл. 8 § 1-5, 7, 10; гл. 9 § 1-6; гл. 10 § 1-3; гл. 11 § 1-4, 6; гл. 12 § 2-8; гл. 13 § 1-3) и закрепить с помощью упражнений для самостоятельной работы основные понятия, определения и методы теории вероятностей. Так же перед решением заданий рекомендуется ознакомиться со всеми примерами, рассмотренными ниже. По каждому заданию типового расчета в методических указаниях приводится основной теоретический материал и разбирается несколько типовых примеров. Тема 1 Комбинаторика. Задачи 1-4 Перестановки - это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.  ;  ; перестановки с повторениями  .Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества , состоящего из n элементов.(порядок важен).  ; размещения с повторениями  . Одно размещение от другого отличается только не только составом выбранных элементов, но и порядком их расположения.Сочетаниями из n элементов по m элементов будем называть любое подмножество, состоящие из m элементов, множества , состоящего из n элементов. (порядок не важен).  ; сочетания с повторениями  .Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов. Сложная выборка  = .Решения задач: 1.Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу. Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр, причем n1=1 , n2=3, а n3=1, а их количество равна 5, т.е. является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по формуле (3)  .2. На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько различных 10-ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита) Решение. Перестановка двух букв М, осуществляемая Р2= 2 способами, трех букв А, осуществляемая Р3= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т, осуществляемая Р2= 2 способами не меняет составленное из карточек слово.  слов.3. Студенты второго курса изучают 10 различных дисциплин. Определить – сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник планируется поставить 5 пар? Решение: Каждый вариант расписания представляет собой выборку 5 элементов из 10, причем эти варианты отличаются друг от друга не только выбором этих дисциплин, но и порядком их следования, т.е. является размещением из 10 элементов по 5.  .4. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны? 5.Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет? Решение: порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться {5,5,5,5}, {2,2,2,2}, {5,2,5,5} и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов монет по четыре с повторениями.  способов.6. В кондитерской имеется 5 разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из 4 пирожных? Решение: это задача о числе сочетаний из 5 видов пирожных по 4 с повторениями.  способов7. Сколько всего чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке? Решение: это задача о числе сочетаний из 5 цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае.  ;  ;  ; ; Согласно правилу сложения: 5+15+35+70+126=251 чисел. Решение:  .8. Решить уравнения а)  ; б) .Решение:a) ;  ;  ;  ;   б) ;  ;  ;   .Тема 2 Классическое определение вероятности. Алгебра событий Задачи 5 и 6. Случайным событием ( или просто событием) в теории вероятности называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Событие – это не какое-нибудь происшествие, а лишь возможный исход, результат испытания. Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, . . . . Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта, обозначается через Ω. Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Обозначается Ø. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте, т.е. они не смогут произойти вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т.е. все события имеют равные шансы. Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта появится хотя бы одно из них. Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В одновременно). Произведением событий А и В называется событие С=А·В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т.е. и А, и В одновременно). Разностью событий A и B называется событие C=А-В, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B. Событие  называется противоположным событию A, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т.е. означает, что событие А не наступило ).Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А следует, что происходит событие В; записывают А  В. Если А В и В А, то события А и В называют равными; записывают А=В.Примеры решения задач. 1.Пусть событие А заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а событие В заключается в том, что второй стрелок попал в мишень. Тогда событие С=А+В будет заключаться в следующем: или первый стрелок попал в мишень , или второй стрелок попал в мишень, или оба стрелка попали в мишень – иными словами в мишень попал хотя бы один из стрелков. Событие Д=А  В будет заключаться в том, что в мишень попали оба стрелка .2.На предприятии выпускают изделия трех сортов. Событие А заключается в том, что выбранное изделие - 1 сорта, событие В заключается в том, что изделие 2 сорта, событие С заключается в том, что изделие третьего сорта. Тогда событие А+В означает, что выбранное изделие либо 1, либо 2 сорта. Событие А·В – невозможное событие; событие  означает, что выбранное изделие 2 сорта; событие А·В+С означает, что выбранное изделие третьего сорта.3. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя; Решение: Введем события А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение), А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение), А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение), по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8. Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3, или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3, или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1. Таким образом так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем , P(X)=P(A1Ā2A3 + Ā1A2 A3 + A1A2 Ā3)=0,95  =0,32
Тема 3 Геометрическая вероятность. Задача 7. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства). Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(Ω). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область A - часть области Ω, равна отношению мер областей A и Ω, соответственно равные m(A) и m(Ω). Формула геометрической вероятности  имеет вид:  .Решение задач. |
={элемент k работает}; С={ в цепи нет разрыва}. Выразить событие 
.
