Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы

• Название: Изучение производной в курсе математики средней школы
• Анкор: Дипломная работа по методике математика
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Диплом_Просветов ДВ.docx
• Тип: Реферат; #817362
• страница: 2 из 12

Глава 1. Теоретическое обоснование производной

1.1. Понятие производной функции

Пусть нам дана некая функция , которая определена в обозначенной области значения аргумента. Выбирая некую точку из заданной области, дадим ей некое приращение , которое будет отличным от нуля (причем таким образом, чтобы точка выбранная нами точка лежала именно в области определения данной функции).



Рис. 1

Вычислив приращение данной функции



и составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получим следующее равенство



Данное отношение является некой функцией с аргументом .

Может случиться то, что данная функция будет иметь предел при , то есть, что существует следующий предел функции:



Именно этот предел мы и будем называть производной от данной функции в некой точке .

Замечание. Производная от некой функции в заданной точке можно определять также следующим образом:



В действительности, производная некой функции в заданной точке будет представлять собой следующее соотношение:



Обозначим , тогда , причем при , . Отсюда следует, что:



Данную форму записи производной функции в заданной точке будем использовать и далее в данной работе.

«Предполагаем, что заданная функция в каждой точке некой области D будет иметь производную. Тогда каждому из области D будет соответствовать свое значение этой производной, и тем самым на области D построится некоторая функция . Эта функция называется производной функцией от данной функции или просто производной от этой функции» [2].

Определение: Производной функцией от данной функции называется (при переменном ) предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, когда последнее стремиться к нулю¹.

Характеристику производной функции от функции принято обозначать через , так что



Иначе производную от обозначают через , а также ее можно обозначить следующим образом .

Таким образом, для того чтобы вычислить производную для заданной функции , можно воспользоваться именно самим определение производной, для этого необходимо:

1) Произвольному значению аргумента в области определения заданной функции задать некоторое приращение , а потом вычислить соответствующее приращение заданной функции:



2) Далее необходимо составить отношение .

3) И переходят к решению предела данного отношения для .

Те значения , при которых данный предел будет существовать и составляют составят некую область D, в которой и существует производная для задаваемой функции:



Операцию по отысканию производной для заданной функции называют дифференцированием².

Рассмотрим примеры нахождения производной по ее определению.

Пример 1. Пускай некая функция будет задана на промежутке и соотношением , для которой является некоторым постоянным числом. Необходимо найти производную для заданной функции.

Решение: Возьмем некоторое число с заданного промежутка число. Придадим ему некоторое приращение , и вычислим .

Поскольку ( ), тогда и ; от сюда имеем, что .

Теперь можем составить соотношение :

:

Далее переходим к пределу для , можем найти для любого :

, т. е. .

Таким образом, можем констатировать, что производная для функции, которая сохраняет постоянное значение, будет тождественно равна нулю. Данное определение записывают следующим образом и пишут: . Иными словами можем говорить о том, что производная от какого-либо постоянного числа равна нулю.
Пример 2. Пусть задана некая функция . Необходимо найти производную данной функции.

Решение: Выберем некоторое значение аргумента , и дадим ему некого приращения , далее проведем вычисление :

.

В результате имеем, что для каждого : , именно поэтому и имеем равенство, что .

Таким образом нами было доказано, что производная для функции, которая является численно равной в каждой точке значениям своего аргумента, будет тождественно равной единице. Иными словами, можно сказать, что: производная аргумента (независимого переменного) будет равна единице. Данное утверждение можно записать следующим образом: ³.