Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы

• Название: Изучение производной в курсе математики средней школы
• Анкор: Дипломная работа по методике математика
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Диплом_Просветов ДВ.docx
• Тип: Реферат; #817362
• страница: 9 из 12

2.3. Геометрический подход

В первой главе нами была рассмотрена задача, условие которой заключается в нахождении касательной к кривой, которая является графиком функции (на некотором интервале . Там мы дали определение касательной к указанной кривой в точке этой кривой. (Здесь - некоторое значение аргумента из интервала . см. рис. 20). Если произвольное приращение аргумента обозначить , а точку на кривой с координатами - символом , то касательную, которая проходит через точку данной кривой, мы определили в качестве предельного положения секущей при .

Рис 20

Из рис. 20 ясно, что угловой ко­эффициент секущей (т. е. тангенс угла наклона этой секущей к оси ) ра­вен разностному отноше­нию . Из этого факта и из того, что в пределе при угол наклона секущей должен перехо­дить в угол наклона ка­сательной.

сделали основанный на наглядных соображениях вывод: производная равна угловому коэффициенту касательной в точке к графику функции .[24]

Уточним указанные наглядные соображения. Предположим, что функция имеет производную в данной точке . Таким образом, мы докажем: 1) что график функции имеет касательную в данной точке , 2) что угловой коэффициент указанной касательной равен .

Утверждения 1) и 2) буде доказывать одновременно. Угол наклона секущей к оси обозначим символом . Так как, угловой коэффициент секущей (т. е. ) равен отношению , то

(1)

при любом достаточно малом , который не равен нулю. Из того, что существует производная , то есть предельное значение , из функция является непрерывной для всех значений аргумента, следует, что существует предельное значение функции (1) в точке и равенство

(2)

Равенство (2) доказывает, что существует предельное значение (при ) угла наклона секущей , т. е. доказывает то, что существует касательная к точке . Кроме того, из равенства (2) выте­кает, что если обозначить угол наклона касательной через , то , т. е. .